Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise
|
|
|
- Ole-Kristian Stene
- 1 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 19. september 2011
2 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x 1,..., x n som kan skrives: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Vi vil finne alle løsninger (x 1,..., x n ). Ligningssystemet sies å være konsistent hvis det har minst én løsning og inkonsistent hvis det ikke har noen løsninger.
3 Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = 4
4 Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: Det er ekvivalent med systemet x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = 4 + 2
5 Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: Det er ekvivalent med systemet x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = x 1 + 2x 2 = 5 7x 2 = 14
6 Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: Det er ekvivalent med systemet x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = x 1 + 2x 2 = 5 7x 2 = 14 Fra den nederste ligningen har vi x 2 = 2.
7 Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: Det er ekvivalent med systemet x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = x 1 + 2x 2 = 5 7x 2 = 14 Fra den nederste ligningen har vi x 2 = 2. Så gir den første ligningen x 1 = 2x 2 5 = 4 5 = 1.
8 Eksempler Eksempel 1. Vi vil løse systemet: Det er ekvivalent med systemet x 1 + 2x 2 = 5 2x 1 + 3x 2 = x 1 + 2x 2 = 5 7x 2 = 14 Fra den nederste ligningen har vi x 2 = 2. Så gir den første ligningen x 1 = 2x 2 5 = 4 5 = 1. Svar: x 1 = 2, x 2 = 1.
9 Eksempler Eksempel 2. 2x 1 x 2 + x 3 = 5 3x 1 + 2x 2 3x 3 = 4
10 Eksempler Eksempel 2. Eksempel 3. 2x 1 x 2 + x 3 = 5 3x 1 + 2x 2 3x 3 = 4 2x 1 x 2 = 5 4x 1 + 2x 2 = 4
11 Matriser Koeffisientmatrisen til ligningssystemet og høyresidevektoren er a 11 a a 1n b 1 A = a 21 a a 2n , b = b a m1 a m2... a mn b m Totalmatrisen til ligningssystemet er [A b] = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m
12 Gausseliminasjon Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en enkel matrise ved hjelp av radoperasjoner.
13 Gausseliminasjon Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en enkel matrise ved hjelp av radoperasjoner. Løsninger til ligningssystemet blir ikke forandret ved radoperasjoner!
14 Gausseliminasjon Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en enkel matrise ved hjelp av radoperasjoner. Løsninger til ligningssystemet blir ikke forandret ved radoperasjoner! Hva er radoperasjoner?
15 Gausseliminasjon Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en enkel matrise ved hjelp av radoperasjoner. Løsninger til ligningssystemet blir ikke forandret ved radoperasjoner! Hva er radoperasjoner? Hva mener vi med en enkel matrise?
16 Elementære radoperasjoner i en matrise 1. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (R j + cr k )
17 Elementære radoperasjoner i en matrise 1. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (R j + cr k ) 2. Bytte om to rader (SWAP(R j, R k ) / R j R k )
18 Elementære radoperasjoner i en matrise 1. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (R j + cr k ) 2. Bytte om to rader (SWAP(R j, R k ) / R j R k ) 3. Multiplisere en rad med konstant c 0 (cr j )
19 Elementære radoperasjoner i en matrise 1. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (R j + cr k ) 2. Bytte om to rader (SWAP(R j, R k ) / R j R k ) 3. Multiplisere en rad med konstant c 0 (cr j ) Radekvivalente matriser To matriser kalles radekvivalente hvis en kan omformes til andre ved hjelp av elementære radoperasjoner.
20 Elementære radoperasjoner i en matrise 1. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (R j + cr k ) 2. Bytte om to rader (SWAP(R j, R k ) / R j R k ) 3. Multiplisere en rad med konstant c 0 (cr j ) Radekvivalente matriser To matriser kalles radekvivalente hvis en kan omformes til andre ved hjelp av elementære radoperasjoner. Teorem Dersom to ligningssystem har radekvivalente totalmatriser, så har ligningssystemene samme løsninger.
21 Echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
22 Echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet. En matrise kalles echelonmatrise hvis 1. Eventuelle nullrader står nederst. 2. Lederelementet i hver ikkenullrad står til høyre for lederelementer i raden over.
23 Echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet. En matrise kalles echelonmatrise hvis 1. Eventuelle nullrader står nederst. 2. Lederelementet i hver ikkenullrad står til høyre for lederelementer i raden over. Anta at totalmtrisen til et ligningssystem er en echelonmatrise. Hver kolonne untatt den siste tilsvarer til en ukjent.
24 Echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet. En matrise kalles echelonmatrise hvis 1. Eventuelle nullrader står nederst. 2. Lederelementet i hver ikkenullrad står til høyre for lederelementer i raden over. Anta at totalmtrisen til et ligningssystem er en echelonmatrise. Hver kolonne untatt den siste tilsvarer til en ukjent. En ukjent som tilsvarer til en kolonne med et lederelement kalles en ledende variabel. Andre ukjente kalles frie variabler.
25 Gausseliminasjon for ligningssystem Gausseliminasjon: 1. Omforme totalmatrisen a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m til en echelonmatrise ved hjelp av elementære radoperasjoner. 2. Hvis echelonmatrisen inneholder en rad b med b 0 så har systemet ingen løsning. 3. Ellers kan vi løse systemet med tilbakesubstitusjon.
26 Redusert echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
27 Redusert echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet. En matrise kalles redusert echelonmatrise hvis 1. Eventuelle nullrader står nederst. 2. Lederelementet i hver ikkenullrad står til høyre for lederelementer i raden over. 3. Lederelementet i hver ikkenullrad er Hver lederelement er eneste element som ikke er lik 0 i sin kolonne.
28 Redusert echelonmatrise Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet. En matrise kalles redusert echelonmatrise hvis 1. Eventuelle nullrader står nederst. 2. Lederelementet i hver ikkenullrad står til høyre for lederelementer i raden over. 3. Lederelementet i hver ikkenullrad er Hver lederelement er eneste element som ikke er lik 0 i sin kolonne. 1-2: Echelonmatrise 1-4: Redusert echelon matrise
29 Gauss-Jordaneliminasjon for ligningssystem Gausse-Jordaneliminasjon: 1. Omforme totalmatrisen a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m til en redusert echelonmatrise ved hjelp av elementære radoperasjoner. 2. Hvis redusert echelonmatrisen inneholder en rad så har systemet ingen løsning Ellers kan vi løse systemet med tilbakesubstitusjon.
30 Semesterprøve oppgaver, 2007 Oppgave Bestem redusert echelonform for matrisen A : C : B : D :
31 Semesterprøve oppgaver, 2007 Oppgave Hvilken av matrisene er på redusert echelon form? A : B : C : D :
32 Semesterprøve oppgaver, 2007 Oppgave Hvilken av matrisene er på redusert echelon form? A : B : C : D :
Lineære ligningssystem og matriser
Lineære ligningssystem og matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 15, 2009 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x 1,..., x n som kan
Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler
Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1
Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009
Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner
Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har
(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis
Elementær Matriseteori
Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start
Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser
Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =
Basis, koordinatsystem og dimensjon
Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis
Lineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
MAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
Lineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
Lineære likningssett.
Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,
Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009
Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til
Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2
Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe
y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks
Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning
Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
John Haugan. Matematikk for ingeniørstudenter: Lineær algebra
John Haugan Matematikk for ingeniørstudenter: Lineær algebra Studieprogram Energi og miljø i bygg, 25-26 2 John Haugan Matematikk for ingeniørstudenter: Lineær algebra Studieprogram Energi og miljø i bygg,
Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =
Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (
EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven
EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller
Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear
Lineær Algebra Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear y = ax + b linje y = f(x) funksjon Taylor utvikling f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f 00 (x 0 )(x x 0 ) 2 + f(x) f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )
Lineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
1 Gauss-Jordan metode
Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller
MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.
MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =
Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon
DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,
Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
Øving 3 Determinanter
Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er
10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet
Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en
RF5100 Lineær algebra Leksjon 2
RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 Lars Sydnes, NITH 27.august 2013 I. LINEÆRE SYSTEM SKJÆRINGSPUNKTET FOR TO LINJER l 1 : x + y = 1 P l 2 : x + y = 3 Geometri: (i) P ligger på linjen l 1 (ii) P ligger på
Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG
Mer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)
Mer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving 6 9..7 Anta at en populasjon er delt inn i tre aldersklasser, og at %
1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A =
1. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 2 3. 1 4 Svar: λ = 5 med egenvektorer [x, y] T = y[1, 1] T og λ = 1 med egenvektorer [x, y] T = y[ 3, 1] T, begge strengt tatt med y 0. (b)
Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene
Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge
Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde
Ma Linær Algebra og Geometri Øving 1
Ma0 - Linær Algebra og Geometri Øving Øistein Søvik 0. september 0 Excercise Set. = 4 x6 x x = x 6 4 x x = x 4 4 4 x x. In each part, determine whether the equation is linear in x, x and x Før vi begynner
Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser
Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).
Lineær algebra. Kurskompendium, Utøya, MAT1000. Inger Christin Borge
Lineær algebra Kurskompendium, Utøya, MAT1000 Inger Christin Borge 2006 Forord Dette er et kompendium skrevet til bruk i MAT1000-varianten av Utøyaseminarene, arrangert av Matematisk fagutvalg ved Matematisk
Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit
Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som
x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g
Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser
Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er
MA2501 Numeriske metoder
MA2501 Numeriske metoder Løsningsforslag, øving 7 Oppgave 1 a) Vi vet at r = Ae e = A 1 r. La være en vektornorm på R n med en tilhørende avledet (subordinat) matrisenorm på R n n. Siden blir Ax A = sup
MA2501 Numeriske metoder
MA250 Numeriske metoder Oppgave Løsningsforslag, øving 7 a) Vi vet at r = Ae e = A r. La være en vektornorm på R n med en tilhørende avledet (subordinat) matrisenorm på R n n. Siden blir Ax A = sup Ax
Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430
MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil
Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!
Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:
MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
LP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden
LP. Leksjon 1. Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden Dette emnet gir en innføring i lineær optimering og tilgrensende felt. hva er LP (lin.opt.=lin.programmering) mer generelt: matematisk optimering
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Magnus Dahler Norling (magnudn@math.uio.no) September 2014 Oppgave 4.6.4 rank A = rank B = 5 (teorem 13+14). dim Nul A = n - rank A = 6-5 = 1 (teorem
Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 23.08.2015 Fjerde utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er løsing av linære likningsystem enkelt, men det blir fort veldig
Lineære likningssystemer, vektorer og matriser
Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om
1 Oppgave 1 Skriveoppgave Manuell poengsum. 2 Oppgave 2 Code editor Manuell poengsum. 3 Oppgave 3 Skriveoppgave Manuell poengsum
MAT102 - Demoprøve Oppgaver Oppgavetype Vurdering Forside Dokument Ikke vurdert 1 Oppgave 1 Skriveoppgave Manuell poengsum 2 Oppgave 2 Code editor Manuell poengsum 3 Oppgave 3 Skriveoppgave Manuell poengsum
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
MAT 1110: Bruk av redusert trappeform
Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,
Fasit MAT102 juni 2016
Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet
LP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former
LP. Leksjon 5 Kapittel 5: dualitetsteori motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former 1 / 26 Motivasjon Til ethvert LP problem (P) er det knyttet et
Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1
Numerisk lineær algebra
Numerisk lineær algebra Arne Morten Kvarving Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology 29. Oktober 2007 Problem og framgangsmåte Vi vil løse A x = b, b, x R N,
LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1
LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 Vi fortsetter studiet av (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Har nå en algoritme for beregning av x for gitt spenntre T Skal forklare
Lineære likningssystemer
Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MoD200 Eksamensdag: 15. desember 2003 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Løsningsforslag C = B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB
Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 06. oktober 206 kl 6:00 Antall oppgaver: 6 Løsningsforslag Vi denerer noen matriser A [ 5 2 0 B [ 0 3
Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.
Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer
MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
Kapittel 5: dualitetsteori
LP Leksjon 5 Kapittel 5: dualitetsteori motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former LP Leksjon 5: #1 of 17 Motivasjon Til ethvert LP problem (P) er
=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,
Studieåret 2017/2018
Versjon 03-17 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) Studieåret 2017/2018 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet og på videregående skole som ønsker
Øving 2 Matrisealgebra
Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=
Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden
LP. Leksjon 1 Kapittel 1 og 2: eksempel og simpleksmetoden et eksempel fra produksjonsplanlegging simpleksalgoritmen, noen begreper algoritmen LP. Leksjon 1: #1 of 14 Eksempel: produksjonsplanlegging Produkter:
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)
ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med
Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =
Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 0 y = 4 0 4 0 z 0 Deretter
EKSAMEN I MATEMATIKK 1000
EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2
Snøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk
Snøtetthet Notat for TMA424/TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU 5. august 22 I forbindelse med varsling av om, klimaforskning og særlig kraftproduksjon er det viktig å kunne anslå hvor
Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.
Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise
EKSAMEN I EMNET MAT160 Beregningsalgoritmer 1 Mandag 12 februar 2007 LØSNINGSFORSLAG
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 5 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET MAT160 Beregningsalgoritmer 1 Mandag 12 februar 2007 LØSNINGSFORSLAG Tillatte
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 3
MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE OPPGAVE Hvordan løses oppgave? 5 4 Hvordan løses oppgave? 6 5 Formatering av svarene 8 5. Rasjonale tall............................. 8 5. Matriser
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
Differensjalligninger av førsteorden
Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014 Forelesning (29.10.2014): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem
Lineær algebra. H. Fausk
Lineær algebra H. Fausk 11.02.2016 Sjuende utkast Flere lineære likninger som samtidig skal oppfylles kalles lineære likningssystem. I prinsippet er løsing av lineære likningsystem enkelt, det benytter
Studieplan for MATEMATIKK 2 ( trinn) Studieåret 2016/2017
NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) Studieåret 2016/2017 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet og på videregående skole som ønsker videreutdanning
Studieåret 2017/2018
Januar 17 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) Studieåret 2017/2018 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet og på videregående skole som ønsker