TMA4122/TMA4130 Matematikk 4M/4N Høsten 2010

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4122/TMA410 Matematikk 4M/4N Høsten Oppgave: Løs følgende ligningssystemer ved hjelp av Gauss-eliminasjon med delvis pivotering. Hvis du ikke finner noen løsning (eller mer enn én løsning), forklar hvorfor. Kontroller løsningen ved innsetting. Du kan/bør selvsagt så sjekke svaret i MATLAB. x 1 x 2 + 2x = 2 2x 1 + x 2 x = 2 4x 1 x 2 + 2x = 1 (1) 2x 1 + 5x 2 + 7x = 25 5x 1 + 7x 2 + 2x 2 = 4 x x 2 + 2x = 71 Løsning, system (1): I dette tilfellet pivoterer vi siden koeffisienten foran x 1 i den tredje ligningen har den største absoluttverdien i forhold til de tilsvarende koeffisientene i de andre ligningene. Vi setter i stedet eliminerer x 1 fra ligning 2 : /2 0 /2 0 /4 /2 7/4 Den tredje ligningen har nå høyere koeffisient foran x 2 -leddet, så vi bytter dem om: /4 /2 7/4 0 1/2 0 /2 eliminerer x 2 fra ligning : /4 /2 7/ /6 Vi tilbakesubstituerer får løsningen: x = 2/6, x 2 = 4/( 7/4 (/2)x ) = 7/ + 4/6 = 18/6 =, x 1 = 1/4( 1 + x 2 2x ) = 1/. (2) 5. november 2010 Side 1 av 7

2 Løsning, system (2): Vi skal løse ligningssystemet 2x 1 + 5x 2 + 7x = 25 5x 1 + 7x 2 + 2x = 4 x x 2 + 2x = 71 ved Gausseliminasjon. I dette tilfelle pivoterer vi siden koeffisienten foran x 1 i den andre ligningen har den største absoluttverdien i forhold til de tilsvarende koeffisientene i de andre ligningene. Vi setter i stedet Den tredje ligningen har nå høyere koeffisient foran x 2 -leddet, så vi bytter dem om: Siden vi bare har to lineært uavhengige ligninger tre variable, betyr det at vi vil få uendelig mange løsninger; en løsning som avhenger av en reell variabel a. Vi setter x = a, tilbakesubstituerer. Vi får: Tilsammen blir dette: når a er en reell variabel. x 2 = a x 1 = 5 a. x 1 = 5 a x 2 = a x = a, 2 Oppgave: Finn LU-faktoriseringen (Doolittle) av matrisa A = november 2010 Side 2 av 7

3 Bruk dette til å løse ligningene med b gitt ved henholdsvis Ax = b Vi vil finne koeffisientene m i,j u i,j slik at u 1,1 u 1,2 u 1, 5 2 = m 2, u 2,2 u 2, 1 1 m,1 m, u, Vi tar en rad (fra den øverste til den nederste) en kolonne (fra venstre til høyre) av gangen. Vi får 1.rad: u 1,1 =, u 1,2 = 2, u 1, = 1 2.rad: 1.kolonnet: 5 = m 2,1 u 1,1 m 2,1 = 5 2.kolonnet: = m 2,1 u 1,2 + u 2,2 u 2,2 = 1.kolonnet: 2 = m 2,1 u 1, + u 2, u 2, = 11.rad: 1.kolonnet: 1 = m,1 u 1,1 m,1 = 1 2.kolonnet: 1 = m,1 u 1,2 + m,2 u 2,2 m,2 = 5.kolonnet: = m,1 u 1, + m,2 u 2, + u, u, = 15 Vi får L = U = Vi løser nå ligningen for den første b-vektoren. Første steg er da å løse Ly = b, dvs y y 2 = y 1.1 Vi får y 1 = 2.7, y 2 = y 1 = 12.4 y = y 1 + 5y 2 = 48. Løsningen x til Ax = b er gitt ved Ux = y eller 2 1 x x 2 = x november 2010 Side av 7

4 Dermed, x = 16 5 x 2 = ( x ) = 2 x 1 = 1 ( 2.7 2x 2 + x ) = 1.5. Løsningen for den første b-vektoren er x = [1.5, 2, 16/5] t Vi løser nå ligningen for den andre b-vektoren. Første steg er da å løse Ly = b, dvs y y 2 = y 6. Vi får y 1 = 2.1, y 2 = y 1 = 10.7 y = y 1 + 5y 2 = Løsningen x til Ax = b er gitt ved Ux = y eller Dermed, 2 1 x x 2 = x 46.5 x = =.1 x 2 = ( x ) = 2 x 1 = 1 ( 2.1 2x 2 + x ) = 1. Løsningen for den andre b-vektoren er x = [ 1, 2,.1] t. Gjør iterasjonene som antydes i slutten av eksempel 2, kap Lag en skisse tilsvarende figur november 2010 Side 4 av 7

5 x 0 = 1 x 0 = 0.5 x 0 = stort tall stort tall stort tall Figur 1: Figur til oppgave november 2010 Side 5 av 7

6 4 Oppgave: Kap Hvorfor oppnår vi en monoton følge i eksempel 1, men ikke i eksempel 2. (Har du glemt hva en monoton følge er, slå opp i stikkordsregisteret bakerst i boka). x er en økende funksjon. I eksempel 1 er g(x) en økende funksjon i eksempel 2 er g(x) avtagende. Se på figurene i boken. 5 Oppgave: Finn en tilærmelse til løsningen av den ikke-lineære ligningen ved hjelp av iterasjoner med Newton s metode. Sekantmetoden. x 2 + e x 1 = 0 Bruk x 0 = 1 som startverdi, for sekantmetoden velger du x 1 selv. Regn ut residualet for x i begge tilfellene. For den ikkelineære ligningen x 2 + e x 1 = 0 har vi f(x) = x 2 + e x 1, f (x) = 2x + e x Newtons iterasjon er x n+1 = x n f(x n )/f (x n ). Siden x 0 = 1 får vi x 1 = e e 1 = , x 2 = x = Residualet er f(x ) = Sekantmetoden er x n x n 1 x n+1 = x n f(x n ) f(x n ) f(x n 1 ). Vi har x 0 = 1, vi velger x 1 nært x 0 for å få en god tilnærming for den deriverte, si x 1 = 0.9. Da får vi x 2 = 0.9 ( ( 0.9) 2 + e ) ( 0.9) 2 + e (1 + e 1 1) , x = ( ( ) 2 + e ) ( ) 2 + e ((0.9) 2 + e 0.9 1) , Residualet er f(x ) = f( ) november 2010 Side 6 av 7

7 6 Oppgave: Eksempel på mulig eksamensoppgave i MATLAB for TMA4122. Forklar hva følgende MATLAB-skript gjør, det vil si hvilken numerisk algoritme som er implementert her, hvilket problem som løses. Skriv så ned de første linjene av utskriften fra skriptet. g exp(-x); x = 0.5 Nit = 10; for n=1:nit x = g(x) end Algoritmen som er implementert, x n+1 = g(x n ), er fikspunkt-iterasjon (fixed-point iteration) for løsing av ligninger. Problemet som løses er e x x = 0, startverdien er x 0 = 0.5, det gjøres 10 iterasjoner. De tre første linjene av utskriften er: x= x= x= november 2010 Side 7 av 7