Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear

Transkript

1 Lineær Algebra

2 Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear

3 y = ax + b linje y = f(x) funksjon Taylor utvikling f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f 00 (x 0 )(x x 0 ) 2 + f(x) f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) = f 0 (x 0 )x +(f(x 0 ) f 0 (x 0 )x 0 ) f(x 0 ) x 0

4 Nå: funksjoner av flere variabler y = ax + b f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f 00 (x 0 )(x x 0 ) 2 + f(x) f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) = f 0 (x 0 )x +(f(x 0 ) f 0 (x 0 )x 0 ) Blir til. = Ax + b med andre ord: lineæralgebra er inngangsbilletten til funksjoner av flere variabler

5 Alt det som kommer ut av industrielt produksjon Økonomi Bank og finans Ingenjørfag Fysikk Naturvitenskap Lineære systemer Egenverdier Ax = b Ax = x

6 Page rank Brukes av Google til å rangere hjemmesider etter popularitet Algoritmen er basert på lineæralgebra (egenverdiproblem) Larry Page, Co-Founder and President, Google

7 Hvordan er det mulig å forutse været? Metereologene modellerer været ved hjelp av kompliserte differensiallikninger. Differensialoperatorer er lineær Kont. modell Lineær diff. operator Diskré modell Stor matrise

8 Lineære systemer 3x +2y =4 x + y =0 3x +2y z =4 x + y + z =0 2x z =1 x,y,z ukjente (eller variablene) x 1,x 2,x 3,...

9 Lineære systemer lineær likningssystem av m likninger i n ukjente : a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + a 2,3 x a 2,n x n = b 2... a m,1 x 1 + a m,2 x 2 + a m,3 x a m,n x n = b m første indeks teller hvilken likning andre indeks teller hvilket ukjent DEF: En løsning er et sett av verdier s 1,s 2,...,s n som, satt istedet for xi, forenkle likningene slik at tallet på venstre siden = tallet på høyre siden

10 DEF: Løsningssettet er mengden av alle mulige løsninger av et lineærsystem. Eksempler: x 1 x 2 =0 x 1 +2x 2 =3 x 1 x 2 =0 2x 1 2x 2 =3 x 1 x 2 =0 2x 1 2x 2 =0 Løsnignsettet: x 1 =1 x 2 =1 løsningsettet består av én løsning {} løsningsettet er tomt x 1 = s s 2 R x 2 = s løsningsettet består av uendlig mange løsninger

11 Geometrisk interpretasjon: 2x 1 x 2 =1 x 2 x 1 + x 2 =2 x 1 Hver likning kan tenkes som en linje i (x1,x2) planet. Løsningen er skjæringspunktet mellom de to linjene x 1 =1, x 2 =1 Det finnes ingen andre løsning. 1 1

12 2x 1 x 2 =1 x 2 4x 1 2x 2 =0 Linjene skjærer ikke hverandre: ingen løsning! x 1 x 2 2x 1 x 2 =1 4x 1 2x 2 =2 Linjene overlapper: uendelig mange løsninger x 1

13 Oppsummering: lineære ligningsystemer av 2 likn. 2 ukjente Systemet kan ha: en og bare en løsning ingen løsning uendelig mange løsninger Vi skal se at det er sant _generelt_ (dvs. m likninger, n ukjente).

14 DEF: To lineærsystemer er som har samme løsningssett kalles for ekvivalente. 2x 1 + x 2 =1 x 1 +2x 2 = 1 2x 1 + x 2 =1 x 2 = 1 De to systemene er ekvivalente fordi begge to har løsningsettet {x1=1, x2=-1} Dermed, for å finne løsning(ene) til et system, det er nok å finne løsning(ene) av et system som er ekvivalent.

15 Hvordan transformere en vanskelig system til en enklere, ekvivalent system? Hvordan gjøres det systematisk?

16 Elementære rekkeoperasjoner Som bevarer ekvivalens Gange begge sider av en ligning/rekke med et tall 0 Bytte om plassen for to ligninger /rekker Erstatte: legge til en ligning/rekk et multippel av en annen ligning/rekk ( eks. LA erstattes med LA+3LB) DEF: To lineære systemer A og B er rekkeekvivalente hvis A kan forvandles til B ved rekkeoperasjoner

17 Eksempel: Bytte, Gange, Erstatte 2x 1 x 2 x 3 =1 4x 1 2x 2 + x 3 =1 x 1 3x 2 x 3 =0 Bytte om rekke2 og rekke1 4x 1 2x 2 + x 3 =1 2x 1 x 2 x 3 =1 x 1 3x 2 x 3 =0 Gange rekke 2 med (-2) 4x 1 2x 2 + x 3 =1 4x 1 +2x 2 +2x 3 = 2 x 1 3x 2 x 3 =0

18 Erstatte rekke 2 med rekke1+rekke2 4x 1 2x 2 + x 3 =1 3x 3 = 1 x 1 3x 2 x 3 =0 Bytte om rekke2 og rekke3 4x 1 2x 2 + x 3 =1 x 1 3x 2 x 3 =0 3x 3 = 1 Erstatte rekke2 med rekke1+(-4)*rekke2 4x 1 2x 2 + x 3 =1 10x 2 +5x 3 =1 3x 3 = 1

19 4x 1 2x 2 + x 3 =1 10x 2 +5x 3 =1 3x 3 = 1 trappeform Nå er systemet enkelt å løse: finn x3, deretter x2 og x1 x 3 = 1 3, x 2 = 4 15, x 1 = 7 Når vi bruker rekkeoperasjonene endrer vi ikke løsningene til ligningssystemet: 15 vi mister ikke løsninger vi får ikke nye "falske" løsninger

20 Matrisnotasjon Eksempel: 3 likninger i 3 ukjente 2x 1 x 2 + x 3 =1 4x 1 2x 2 +2x 3 =0 x 1 3x 2 x 3 =0 Det er nyttig å kunne separere koeffisientene fra variablene. Vi konstruerer en tabell ( matrise ) likning 1 likning 2 likning Koeffisientmatrisen Koeff. x1 Koeff. x3 Koeff. x2

21 2x 1 x 2 + x 3 =1 4x 1 2x 2 +2x 3 =0 x 1 3x 2 x 3 = koeff. matrisen Koeffisientmatrisen har ingen informasjon om høyre siden av systemet. Vi legger en kolonne til, som representerer høyresiden Augmentert matrise Den augmentertmatrisen er nyttig i det vi skal regne på systemene

22 Koeffisientmatrisen kan konstrueres for en hvilkårlig likningssystem (m likn., n ukjente) a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + a 1,3 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + a 2,3 x a 2,n x n = b 2. a m,1 x 1 + a m,2 x 2 + a m,3 x a m,n x n = b m Koeffisientmatrisen m rekker (=antall likninger) n kolonner(= antall ukjente) Augmentert matrisen a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n.... a m,1 a m,2 a m,n a 1,1 a 1,2 a 1,n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n b a m,1 a m,2 a m,n b m mxn kalles matrisestørrelsen

23 Eksempel: Bytte, Gange, Erstatte 2x 1 x 2 x 3 =1 4x 1 2x 2 + x 3 = x 1 3x 2 x 3 = Bytte om rekke2 og rekke1 4x 1 2x 2 + x 3 =1 2x 1 x 2 x 3 =1 x 1 3x 2 x 3 = Gange rekke 2 med (-2) 4x 1 2x 2 + x 3 =1 4x 1 +2x 2 +2x 3 = 2 x 1 3x 2 x 3 =

24 Erstatte rekke 2 med rekke1+rekke2 4x 1 2x 2 + x 3 = x 3 = x 1 3x 2 x 3 = Bytte om rekke2 og rekke3 4x 1 2x 2 + x 3 = x 1 3x 2 x 3 = x 3 = Erstatte rekke2 med rekke1+(-4)*rekke2 4x 1 2x 2 + x 3 = x 2 +5x 3 = x 3 =

25 4x 1 2x 2 + x 3 =1 10x 2 +5x 3 =1 3x 3 = 1 trappeform Nå er systemet enkelt å løse: finn x3, deretter x2 og x1 x 3 = 1 3, x 2 = 4 15, x 1 = 7 15

26 Når vi bruker rekkeoperasjonene endrer vi ikke løsningene til ligningssystemet: vi mister ikke løsninger vi får ikke nye "falske" løsninger

27 Oppsummering: Ekvivalsens av lineære ligningssystemer Matrisnotasjonen Elementære rekkeoperasjoner som bevare ekvivalens: Bytte-Gange-Erstatte Trappeform Kap. 1.1 i boken.

28 Neste gang: Har systemet løsning? (dvs. er systemet konsistent?) Om systemet er konsistent, er løsning entydig? Systematisk reduksjon til trappeform/echelon form