6.4 Gram-Schmidt prosessen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "6.4 Gram-Schmidt prosessen"

Transkript

1 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig basis for W og konstruere en ortogonal basis for W. Ønsker vi en ortonormal basis for W er det bare å normalisere alle vektorene. En konsekvens av denne prosessen er at enhver matrise med lineært uavhengige kolonner har en QR-faktorisering. 1 / 27

2 Vi betrakter V = R n med prikkproduktet. Eksempel. Anta at W er et underrom av R n med dim W = 2. La {x 1, x 2 } være en basis for W. Vi skal lage en ortogonal basis for W : Vi lar p være den ortogonale projeksjonen av x 2 langs x 1 : p = x 2 x 1 x 1 x 1 x 1. Da er x 2 p W og x 2 p er ortogonal på x 1. Vi setter derfor v 1 = x 1 v 2 = x 2 p = x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Da er {v 1, v 2 } en ortogonal mengde av ikke-null vektorer i W. Siden dim W = 2 er {v 1, v 2 } en ortogonal basis for W. 2 / 27

3 Teorem 11 Gram-Schmidt prosessen i R n Anta at {x 1,..., x p } er en basis for et underrom W av R n. Sett W k = Span {x 1,..., x k } for k = 1,..., p. Sett: v 1 = x 1 v 2 = x 2 x 2 v 1 v 1 v 1 v 1 v 3 = x 3 x 3 v 1 v 1 v 1 v 1 x 3 v 2 v 2 v 2 v 2. =. v p = x p x p v 1 v 1... x p v p 1 v p 1 v 1 v 1 v p 1 v p 1 Da er {v 1,..., v k } en ortogonal basis for W k for k = 1,..., p. Spesielt er {v 1,..., v p } en ortogonal basis for W. Merk: Gram Schmidt-prosessen lar seg greit programmere i Matlab (men rett fram progammering gir en ustabil numerisk metode; se i Study Guiden). 3 / 27

4 QR-faktorisering Denne faktoriseringen av en m n matrise A brukes i flere numeriske algoritmer. Vi nøyer oss med å se på tilfellet der A har lineært uavhengige kolonner. Da må m n. Teorem 12 - QR-faktoriseringen. Anta at A er en m n matrise med lineært uavhengige kolonner. Da kan A faktoriseres på formen der A = Q R Q er en m n matrise der kolonnene danner en ortonormal basis for Col A, R er en n n øvre triangulær invertibel matrise med positive elementer langs hoveddiagonalen. 4 / 27

5 Kommentar: Anta at A = [x 1 x n ] er som i teoremet. Vi skal se at Q = [u 1 u n ] kan velges ved at {u 1,..., u n } er den ortonormale basisen for Col A vi får ved å bruke Gram-Schmidt prossessen på {x 1,..., x n }, etterfulgt av normalisering av alle vektorene. Siden Q har ortonormale kolonner er Q T Q = I. Dermed er R = I R = Q T Q R = Q T A. Dette gir en grei måte å finne R på når man regner for hånd med små matriser. For store matriser vil denne fremgangsmåten kunne gi numeriske problemer. Programpakker som Matlab bruker derfor en annen tilnærming. 5 / 27

6 Eksempel. Vi regner ut følgende QR-faktoriseringer : og / 2 1/ = 0 1/ [ ] / 2 1/ = / / Matlab og QR-faktorisering: Kan da bruke [Q R] = qrfact(a) der qrfact er Matlab-funksjonen definert i Matlab-heftet. (Se også i Study-guiden). 6 / 27

7 6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør man da? En typisk situasjon er såkalt lineær regresjon: gitt en mengde punkter i planet (som ofte er resultatet av en serie med målinger beheftet med usikkerhet), finn linjen som best approksimerer disse punktene. Vi skal se i avsn. 6.6 at dette er et spesialtilfelle av en større klasse problemer om lineære modeller, der man skal finne den best mulige approksimasjonen. Inkonsistente likningsystemer kan betraktes som minste kvadraters problemer, der løsningen(e) er den/de som er best mulig(e) i en viss forstand. 7 / 27

8 Betrakt et likningssystem Ax = b der A er en m n matrise, x IR n og b IR m. Vi vet at systemet er konsistent b Col A. Så hvis b ikke er med i Col A, hva kan vi gjøre? Vi kan da prøve å få feilen b Ax minst mulig. Dette kalles gjerne for et minste kvadraters problem (fordi uttrykket b Ax 2 er en sum av kvadrater). Definition Vi sier at ˆx IR n er en minste kvadraters løsning av systemet A x = b dersom b A ˆx b A x for alle x IR n. Merk: Siden Col A = { A x x IR n }, så er ˆx altså slik at A ˆx gir den beste approksimasjonen av b blant alle vektorene i Col A. Fra Teorem 9 om beste approksimasjon, får vi at en minste kvadraters løsning ˆx er bestemt ved at A ˆx = ˆb der ˆb :=Proj W (b) med W := Col A. 8 / 27

9 Nå er ˆb W = Col A, så systemet A ˆx = ˆb er alltid konsistent. Dermed vil det alltid finnes minste kvadraters løsninger, og disse finnes ved å løse systemet Aˆx = ˆb. Vi har altså kommet frem til at følgende grunnleggende observasjon holder: ˆx IR n er en minste kvadraters løsning av systemet A x = b ˆx er en løsning av (det konsistente) systemet A ˆx = ˆb der ˆb = Proj W (b) og W = Col A. 9 / 27

10 Merk: Anta at systemet A x = b er konsistent, dvs. at b W = Col A. Da er ˆb = Proj W (b) = b. Så minste kvadraters løsninger blir da det samme som vanlige løsninger. Anta at A har lineært uavhengige kolonner (m.a.o. rref(a) har pivoter i alle kolonner). Da vil systemet A ˆx = ˆb ha en entydig løsning. Det betyr at A x = b vil da ha en entydig minste kvadraters løsning. Dersom A har lineært avhengig kolonner, så følger det på tilsvarende måte at A x = b vil da ha uendelige mange minste kvadraters løsninger. b Aˆx = b ˆb kalles minste kvadraters feilen: den angir minimumsavstanden mellom b og vektorer på formen Ax. 10 / 27

11 Dermed: Vi kan finne minste kvadraters løsning (tungvint) ved å bestemme en ortogonal basis for W = Col A (ved Gram-Schmidt prossessen) og så beregne ˆb = Proj W (b). Så må vi løse systemet Aˆx = ˆb. Det finnes en enklere metode! Teorem 13. Betrakt likningssystemet Ax = b der A er en m n matrise, x IR n og b IR m. Da gjelder ˆx IR n er en minste kvadraters løsning av systemet A x = b ˆx IR n en løsning av (det konsistente) systemet A T Ax = A T b Merk: A T Ax = A T b kalles ofte normallikningene for Ax = b. Beviset bygger på at b ˆb W. 11 / 27

12 Eksempel. A = Normallikningene blir , b = x 1 x 2 x 3 = Man finner nå (for hånd eller ved Matlab) at løsningen blir ˆx = (0.325, 0.025, 0.15). Vi gir nå et teoretisk interessant resultat (men som sjelden brukes ved praktiske utregninger).. 12 / 27

13 Teorem 14. La A være en m n matrise. Da er A T A invertibel hvis og bare hvis A har lineært uavhengige kolonner. Når dette er oppfylt, så er den entydige minste kvadraters løsning ˆx av A x = b gitt ved ˆx = (A T A) 1 A T b. En numerisk mer stabil metode for å beregne minste kvadraters løsning når koeffisientmatrisen har lineært uavhengig kolonner er følgende: Teorem 15. La A være en m n matrise som har lineært uavhengige kolonner og la b IR m. La A = Q R være QR-faktoriseringen av A, i henhold til Teorem 12. Da er den entydige minste kvadraters løsning ˆx av A x = b lik den entydige løsningen av systemet R x = Q T b. Merk: Dette betyr at ˆx = R 1 Q T b. Men det er best å unngå å beregne R 1 og istedet løse systemet ovenfor. 13 / 27

14 Eksempel (forts.) Med A som foran har vi QR-faktoriseringen A = QR = / / Vi kan derfor finne ˆx ved å beregne (den entydige løsningen) av Rx = Q T b, dvs. av /2 x /2 x 2 = x Løsning av dette systemet ved baklengssubstitusjon gir at ˆx = (0.325, 0.025, 0.15).. 14 / 27

15 Til slutt, en liten observasjon: Anta at matrisen A har ortogonale ikkenull kolonner u 1,..., u n. (Dette er ikke veldig sannsynlig men det hender jo...). Da er den entydige minste kvadraters løsning ˆx av A x = b gitt ved ˆx = ( b u 1 u 1 u 1,..., b u n u n u n ). Her gjenkjenner vi koeffisientene til ˆb mhp basisen {u 1,..., u n }. 15 / 27

16 Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Knyttet til symmetriske matriser har vi kvadratiske former og vi skal studere visse optimeringsproblemer for disse. Til slutt ser vi på singulærverdi dekomposisjonen til en matrise. Den er nyttig i mange anvendelser. 7.1 Symmetriske matriser Vi skal se at alle symmetriske matriser er diagonaliserbare, og har spesielle spektrale egenskaper. Singulærverdi dekomposisjonen til en (rektangulær) matrise A (avsnitt 7.4), henger nøye sammen med diagonaliseringen av den symmetriske matrisen A T A. For komplekse matriser er det analoge til symmetrisk det som kalles selv-adjungerte (eller Hermitiske ) matriser. Disse spiller en fremtrende rolle i fysikk (spesielt i kvantemekanikk). 16 / 27

17 Definisjon. En n n (reell) matrise A kalles symmetrisk dersom A T = A. Hvis A = [a ij ], så er A symmetrisk hvis og bare hvis a ij = a ji for alle i, j. a b c F.eks. er matrisen A = b d e er symmetrisk. c e f Alle diagonalmatriser er symmetriske. Hvis A M n (R), så er B = A + A T symmetrisk. Og hvis A M m n (R), så er C = A T A symmetrisk. Hva er spesielt med symmetriske matriser? [ ] 7 2 Eksempel. Betrakt den symmetriske matrisen A =. 2 4 Utregning gir at egenverdiene til A er 3 og 8, og at egenrommene til A er gitt ved 17 / 27

18 [ ] 4 2 { [ ] E3 A = Nul (A 3 I ) = Nul 1 } = Span, [ ] 1 2 { [ ] E8 A = Nul (A 8 I ) = Nul 2 } = Span Legg merke til at egenrommene til A er ortogonale på hverandre: La v 1 = (1, 2), v 2 = (2, 1), som utspenner hvert sitt egenrom. Da er v 1 v 2 = 0, så disse er ortogonale på hverandre. Ved å normalisere v 1 og v 2 får vi vektorene u 1 = 1 [ ], u 2 = 1 5 [ 2 1 ], som danner en ortonormal basis for R 2 med egenvektorer for A. Matrisen P = [u 1 u 2 ] er dermed ortogonal (P 1 = P T ), og slik at A = P [ ] P 1 = P [ ] P T Vi skal se at dette er typisk for symmetriske matriser. 18 / 27

19 En viktig egenskap ved en symmetrisk matrise er at dens egenrom er ortogonale på hverandre: Teorem 1. La A være en symmetrisk matrise, og la u 1, u 2 være egenvektorer for A som tilhører to forskjellige egenverdier. Da er u 1 ortogonal på u 2. En annen viktig egenskap er: En symmetrisk matrise har bare reelle egenverdier. Definisjon. A M n (R) kalles ortogonalt diagonaliserbar dersom det fins en n n ortogonal matrise P (så P 1 = P T ) og en n n diagonal matrise D slik at A = P D P T = P D P 1 Merk at da er A diagonaliserbar i vanlig forstand. Videre er A T = (P D P T ) T = (P T ) T D T P T = P D P T = A. En ortogonalt diagonaliserbar matrise er altså symmetrisk. Den omvendte påstanden er også riktig. 19 / 27

20 Teorem 2. La A være en kvadratisk matrise. Da er A ortogonalt diagonaliserbar hvis og bare hvis A er symmetrisk. Ortogonal diagonalisering i praksis (når vi regner for hånd.): La A være en symmetrisk n n matrise. Vi skal konstruere P = [u 1... u n ] ortogonal og D = diag(λ 1,..., λ n ) slik at A = P D P T = P D P 1. Her må λ 1,..., λ n R være egenverdiene til A og P s kolonner må danne en ortonormal basis for R n bestående av de tilhørende egenvektorene. Metoden er: Bestem egenverdiene til A. For hver av egenverdiene: bestem en basis for det tilh. egenrommet og utfør Gram-Schmidt prosessen med normalisering. Dann mengden B som består av alle de ortonormale basisene konstruert ovenfor. Matrisen P har vektorene fra B som sine kolonner. Matrisen D er diagonalmatrisen med de tilhørende egenverdiene til A i tilsvarende rekkefølge. 20 / 27

21 Eksempel. La A = Vi finner da at egenverdiene til A er ±3. Finner tilhørende egenvektorer (1, 0, 1) og (0, 1, 1) for egenverdi 3, og bruker Gram-Schmidt prosessen på disse. For egenverdi 3 finner vi egenvektor ( 1, 1, 1) som vi normaliserer. { Resultatet er B = , , 1 3 som er en o. n. b. for R 3 av egenvektorer for A. P = er da ortogonal, og slik at A = P diag(3, 3, 3) P T } 21 / 27

22 Mengden av alle egenverdier til en kvadratisk matrise A kalles ofte spektret til A. Neste teorem oppsummerer de spektrale egenskapene til symmetriske matriser. Teorem 3 Spektralteoremet for symmetriske matriser. La A være en n n symmetrisk matrise. Da gjelder følgende: a) A har n reelle egenverdier når vi teller med multiplisiteten. b) Dimensjonen til hvert av egenrommene til A er lik multiplisiteten til den tilhørende egenverdien, c) Egenrommene står ortogonalt på hverandre. d) A er ortogonalt diagonaliserbar. 22 / 27

23 Spektral dekomposisjonen til en symmetrisk matrise. Betrakt en n n symmetrisk matrise A. Velg P = [u 1... u n ] ortogonal og D = diag(λ 1,..., λ n ) slik at A = P D P T. Da er λ λ u T 1 A = [u 1 u 2... u n ] u T u T n λ n u T 1 u T = [λ 1 u 1 λ 2 u 2... λ n u n ] 2. u T n = λ 1 u 1 u T 1 + λ 2 u 2 u T λ n u n u T n (bruker kolonne-rad formelen for matriseproduktet i siste likhet). 23 / 27

24 Dette kan skrives som A = λ 1 P 1 + λ 2 P λ n P n der P j = u j u T j, j = 1,... n. Dette kalles kalles en spektral dekomposisjon av A. Sett W j = Span {u j }. Ved Teorem 10 i Kap. 6 er Proj Wj (x) = u j u T j x for alle x R n. Matrisen P j = u j u T j er altså standardmatrisen til Proj Wj. Hver P j har rang 1 siden Col P j = W j er 1-dimensjonalt, og tilfredstiller at P 2 j = P j = P T j. 24 / 27

25 7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal se på to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt diagonaliserbare, og Schur triangularisering: tilleggsstoff (noe kjennskap). Vi fokuserer på det reelle tilfellet (det finnes en kompleks variant) Minner om at to kvadratiske matriser A og B kalles similære dersom det finnes en invertibel matrise S slik at B = S 1 AS. Da har A og B samme egenverdier. Spesielt enkelt er dette hvis S er en ortogonal matrise (dvs. S er n n og kolonnene er ortonormale); da er nemlig S 1 = S T!! 25 / 27

26 Teorem ( Schur triangulering) Anta at A er en n n matrise med reelle egenverdier λ 1, λ 2,..., λ n (telles med multipl., i en viss rekkefølge). Da finnes en (reell) ortogonal matrise U slik at U T AU = T er øvre triangulær, og der diagonalelementene i T er egenverdiene til A, t ii = λ i (i n). Merk: U T er den transponerte av U. T er en matrise. Schur triangularisering har en rekke anvendelser. Vi skal her bruke dette resultatet til å vise spektralteoremet. 26 / 27

27 Teorem ( Spektralteoremet) La A være en reell symmetrisk n n matrise. Da har A reelle egenverdier λ 1, λ 2,..., λ n (telles med multipl., i en viss rekkefølge) og det finnes en (reell) ortogonal matrise U slik at U T AU = D der D er diagonalmatrisen med diagonalelementer λ 1, λ 2,..., λ n. Kolonnene i U er n ortonormale egenvektorer som hører til de resp. egenverdiene. Bevis (skisse): Først kan man bruke at A er symmetrisk til å vise at A har relle egenverdier og dermed reelle egenvektorer. Ved Schur triangulering finnes da en ortogonal matrise U slik at U T AU = T der T er øvre triangulær. Men A symmetrisk som medfører at T er symmetrisk, og T er derfor en diagonalmatrise. 27 / 27

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Øving 5 Diagonalisering

Øving 5 Diagonalisering Øving 5 Diagonalisering En matrise A er diagonaliserbar dersom den er similær med en diagonalmatrise, dvs. det eksisterer en invertibel matrise P og diagonal matrise D slik at P.D.P -1. I øving 4 lærte

Detaljer

Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering

Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering Vi lar A være en reell n n matrise, med mindre noe annet sies. x R n er en egenvektor for A tilh. egenverdien λ R betyr at A x = λ x og x 0. Hvis A er triangulær, er egenverdiene

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 Innlevering: Senest fredag 30 oktober, 2009, kl1430, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7 etasje NHA) Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Korteste vei problemet (seksjon 15.3)

Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3440 / INF 4440 Signalbehandling Eksamensdag: 27. oktober 2003 10. november 2003 Tid for eksamen: 12.00 12.00 Oppgavesettet

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008

For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 ITERERTE LINEÆRE REKURSJONER OG SCHUBERT REGNING For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 1. Adjunksjon av røtter 1.1 Notasjon. La A være en ring. For en A-algebra B betrakter vi Hom A (B, A) som en

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

<kode> Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5

<kode> Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Emnebeskrivelse 1 Emnenavn og kode Grunnleggende matematikk for ingeniører 2 Studiepoeng 10 studiepoeng 3 Innledning Dette er det ene av

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995 Løsningsforslag eksamen STE 638 Geometrisk modellering 9/8 995. a) Vi skal bestemme hvilke av avbildningene/transformasjonene som er homeomorfier. f 4 6 Determinanten til matrisen er lik, dvs at den har

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Løsningsforslag. Vedlegg C: Kapittel 2. e) Ingen løsning. f) Flere løsninger: x = 4 + 2t, y = t. c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1

Løsningsforslag. Vedlegg C: Kapittel 2. e) Ingen løsning. f) Flere løsninger: x = 4 + 2t, y = t. c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1 Vedlegg C: Løsningsforslag Kapittel. a x =, y = 3 b x =, y = 0 cx =, y = 5 d x =, y = 3 e Ingen løsning. f Flere løsninger: x = 4 + t, y = t. a x = 7, x = 6, x 3 = bx =, x =, x 3 = c x =, x = 3, x 3 =.3

Detaljer

11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra

11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra TFY4250/FY2045 Tillegg 11 - Harmonisk oscillator og dreieimpuls operatoralgebra 1 TILLEGG 11 11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra I Tillegg 3 er den harmoniske oscillatoren gitt en

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

Flervariabel analyse med lineær algebra

Flervariabel analyse med lineær algebra Flervariabel analyse med lineær algebra av Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Matematisk institutt og Senter for matematikk for anvendelser (CMA) Universitetet i Oslo Revidert versjon for vårsemesteret 2009

Detaljer

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(.

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(. Algebra Algebra blir ofte referert til som bokstavregning, selv om man nok mister noe av det helhetlige bildet ved å holde seg til en slik oppfatning. Vi velger her å ta med ting som likningsløsning og

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i

Detaljer

Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet som ønsker videreutdanning

Detaljer

EKSAMEN RF5100, Lineær algebra

EKSAMEN RF5100, Lineær algebra Side av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF500, Lineær algebra Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4. oktober 04 Emneansvarlig: Lars Sydnes

Detaljer

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02 Leting på nettet 3 MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET Eskilstuna 5 september 02 Som så ofte når det gjelder spektakulære tekniske anvendelser, og spesielt når det gjelder verktøyene på nettet,

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning

Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning Gert Monstad Hana Sammendrag Teksten tar for seg hvordan å lage et perspektivisk bilde av kvadratiske rutenett. Bildet av slike rutenett kan være til

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 4. juni 2008 Tid for eksamen : 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på

Detaljer

Tips til arbeidet med obligatorisk oppgave 2 i MAT-INF 1100 høsten 2004

Tips til arbeidet med obligatorisk oppgave 2 i MAT-INF 1100 høsten 2004 Tips til arbeidet med obligatorisk oppgave 2 i MAT-INF 1100 høsten 2004 Knut Mørken 3. november 2004 Etter samtale med noen av dere de siste dagene skjønner jeg at noen strever med del 2 av oblig2. Problemene

Detaljer

Justering til gyldig korrelasjonsmatrise

Justering til gyldig korrelasjonsmatrise Absolute difference between original and adjusted matrix (major, with weights)...2.3.4.5.85.45.6 -.2. -. -.4.6.4.4.3.7 -.7 -.7. -.4.5.72.45 -.4 -.79.85.34.3 -.8.8.4 -. -.4..4.9.5 -.9 -.7 -.4 -.9.64.8.53.2

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Matriser Løsningsforslag Oppgave 1 Redusert trappeform og løsning av lineære likningssystemer a) Totalmatrisa blir Vi tilordner dette i MATLAB: 5 1 1

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2015/2016

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2015/2016 Versjon 01/15 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2015/2016 Profesjons- og yrkesmål Matematikkstudier i regi av NTNU KOMPiS skal gi studentene tilstrekkelig fagkompetanse til å kunne

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

3.A IKKE-STASJONARITET

3.A IKKE-STASJONARITET Norwegian Business School 3.A IKKE-STASJONARITET BST 1612 ANVENDT MAKROØKONOMI MODUL 5 Foreleser: Drago Bergholt E-post: Drago.Bergholt@bi.no 11. november 2011 OVERSIKT - Ikke-stasjonære tidsserier - Trendstasjonaritet

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2014/2015

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2014/2015 Studieplan MATEMATIKK DELTA studieåret 2014-2015 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2014/2015 Profesjons- og yrkesmål Matematikkstudier i regi av NTNU KOMPiS skal gi studentene tilstrekkelig

Detaljer

TFE4100 Kretsteknikk Kompendium. Eirik Refsdal <eirikref@pvv.ntnu.no>

TFE4100 Kretsteknikk Kompendium. Eirik Refsdal <eirikref@pvv.ntnu.no> TFE4100 Kretsteknikk Kompendium Eirik Refsdal 16. august 2005 2 INNHOLD Innhold 1 Introduksjon til elektriske kretser 4 1.1 Strøm................................ 4 1.2 Spenning..............................

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Årsplan i matematikk for 10. trinn

Årsplan i matematikk for 10. trinn Årsplan i matematikk for 10. trinn Uke 34-40 Geometri undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke eigenskapane i samband med konstruksjonar og berekningar Begreper. Utregning

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

En studentassistents perspektiv på ε δ

En studentassistents perspektiv på ε δ En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve

Detaljer

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen

Detaljer

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Frankering og computer-nettverk

Frankering og computer-nettverk 318 Frankering og computer-nettverk Øystein J. Rødseth Universitetet i Bergen Beskrivelse av oppgaven. I denne oppgaven vil du bruke kombinatorikk, tallteori og muligens også litt analyse. Oppgaven er

Detaljer

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien. Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.. John von Neumanns min-max teorem For å vise dette resultatet trenger vi et lite hjelperesultat. For p R m så sier vi at p er en sannsynlighetsvektor

Detaljer

3 Største felles faktor og minste felles multiplum

3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3.1 Største felles faktor og minste felles multiplum. Metodiske aspekter Største felles faktor og minste felles multiplum er kjente matematiske uttrykk

Detaljer

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0 Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0

Detaljer

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k Oblig 2 - MAT20 Fredri Meyer 26 otober 2009 Matrisee A i er defiert sli der P er e rotasjosmatrise som defierer i oppgave 2: A A 2 A + = A = P A P = P A P Oppgave Matrisee A i+ og A i er similære det fies

Detaljer

MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Prosjekt 2, Diskret kosinus-transformasjon.

MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Prosjekt 2, Diskret kosinus-transformasjon. Stavanger, 25. januar 2012 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Prosjekt 2, Diskret kosinus-transformasjon. Vi skal i dette miniprosjektet se litt på bruk av

Detaljer

Computers in Science Education. Knut Mørken Institutt for informatikk Senter for matematikk for anvendelser Universitetet i Oslo

Computers in Science Education. Knut Mørken Institutt for informatikk Senter for matematikk for anvendelser Universitetet i Oslo Computers in Science Education Knut Mørken Institutt for informatikk Senter for matematikk for anvendelser Universitetet i Oslo Viktige bidrag Morten Hjorth-Jensen, fysikk Hans Petter Langtangen, informatikk

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Kvadrattall og KVADRATROT FRA A TIL Å

Kvadrattall og KVADRATROT FRA A TIL Å Kvadrattall og KVADRATROT FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til kvadrattall og kvadratrot K - 2 2 Grunnleggende om kvadrattall og kvadratrot K - 2 3 Kvadrattall

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Avanserte flytalgoritmer

Avanserte flytalgoritmer Avanserte flytalgoritmer Magnus Lie Hetland, mars 2008 Stoff hentet fra: Network Flows av Ahua m.fl. (Prentice-Hall, 1993) Graphs, Networks and Algorithms, 2. utg., av Jungnickel (Springer, 2005) Repetisjon

Detaljer

Matematikk 15 V-2008

Matematikk 15 V-2008 Matematikk 5 V-008 Løsningsforslag til øving 9 OPPGVE Husk at N = {alle naturlige tall} = {0,,,,... }, Z = {alle heltall} = {...,,, 0,,,,... }, R = {alle reelle tall} og = {alle komplekse tall} = { z :

Detaljer

TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk. Eirik Refsdal

TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk. Eirik Refsdal TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk Eirik Refsdal 2. august 2005 En mangel ved dagens autorative kompendium i matematikk 4, er at numerikkbiten i matematikk 4D er fullstendig utelatt. Dette er

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm og Klara Hveberg. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Tilleggskapitler til Kalkulus 3 utgave Universitetsforlaget, Oslo 3 utgave Universitetsforlaget AS 2006 1 utgave 1995 2 utgave 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

EN LITEN INNFØRING I USIKKERHETSANALYSE

EN LITEN INNFØRING I USIKKERHETSANALYSE EN LITEN INNFØRING I USIKKERHETSANALYSE 1. Forskjellige typer feil: a) Definisjonsusikkerhet Eksempel: Tenk deg at du skal måle lengden av et noe ullent legeme, f.eks. en sau. Botemiddel: Legg vekt på

Detaljer

Idag. Hvis bildet f(x,y) er reelt og symmetrisk, vil Fourier transformen bestå av reelle koeffisienter korresponderende til cosinus leddene.

Idag. Hvis bildet f(x,y) er reelt og symmetrisk, vil Fourier transformen bestå av reelle koeffisienter korresponderende til cosinus leddene. Slide Slide Idag Cosinus transform Cosinus transform Sinus transform Hvis bildet f(,y) er reelt og symmetrisk, vil Fourier transformen bestå av reelle koeffisienter korresponderende til cosinus leddene.

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Beregning av konstruksjon med G-PROG Ramme

Beregning av konstruksjon med G-PROG Ramme Side 1 av 11 Beregning av konstruksjon med G-PROG Ramme Introduksjon G-Prog Ramme er et beregningsprogram for plane (2-dimensjonale) ramme-strukturer. Beregningene har følgende fremgangsmåte: 1) Man angir

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Programmering i Java med eksempler

Programmering i Java med eksempler Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning uke 39, 2006 MAT-INF1100 Differenslikn. p. 1 Løsning av differenslikninger i formel Mulig for lineære likninger med konst.

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer