Opp til nå har problemstilling vart: Gitt en funksjon f, finn for hvilket verdier av de variabler f tar en bestemt verdi. Ax = b, f(x) = 0.

Transkript

1 Interpolasjon Opp til nå har problemstilling vart: Gitt en funksjon f, finn for hvilket verdier av de variabler f tar en bestemt verdi. 1/9 Ax = b, f(x) = 0. Ved interpolasjon, er problemet det motsatte: Gitt verdier av y i for visste verdier av variabelen x i, hva er funksjonen f slik at y i = f(x i )? Og hvordan kan vi regne ut f(x) hvis x x i? EKS: En satellit sender måling av observasjoner av en stjerne (Cepheid variable), Time Magnitude Vi vil gjerne vite hva er den funksjon som stemmer med de data. Også ønsker vi å regne ut slik funksjon for t =

2 OBS: Notasjonen i klassisk interpolasjonsteori er litt andeledes enn i boka: Også vi representerer en generisk polynom som (x i, y i ) vs. (t i, y i ) p k (x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0, 2/9 mens i boka slik polynom er representert som p k (x) = x k t k + x k 1 t k x 1 t + x 0, I boka indeksene går fra 1 til m, mens i den klassiske teorien man bruker i = 0, 1,..., m. Generelt, vi vil bruke den klassiske notasjon.

3 PROBLEMSTILLING: Gitt m + 1 par data (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x m, y m ) finn en funksjon f(x) i en bestemt klass of funksjoner (polynomer, trigonometrisk, rasjonal o.s.v.), slik at f(x i ) = y i, i = 0, 1,... m. Funksjonen f kalles for INTERPOLANT. 3/9 La merke at det er en del ting man burde konsiderere ved interpolering: Hvilket form burde f ha? (analyse) Hvordan burde f være mellom interpolasjon punktene? Burde f arve egenskaper fra data (monotonisitet, periodisitet, konveksitet, o.s.v.) Er vi interessert bare i å vise det på skjerm eller skal f brukes videre? Om f og data vises på skjermen, burde resultaten være fin å se på?

4 Valget av interpolanten er avhenging av svarene til de spørsmalene og data som skal interpoleres. I tillegg vi burde konsiderere: Hvor lett er interpolanten å jobbe med (f.eks. om vi skal integrere, derivere,... ) Hvor bra egenskapene til interpolanten matcher de data egenskaper (regularitet, konveksitet, periodisitet, osv) 4/9 De mest brukt familier av funksjoner for interpolasjon er: Polynomer Trigonometriske funksjoner Eksponentielle funksjoner Rationelle funksjoner

5 Eksistens, enhet og kondisjonering Eksistens og enhet av interpolanten er avhenging av å matche antall parameter i interpolanten og antall data punkter. 5/9 hvis vi har for mange data i forhold til de fri parameter (som skal determineres for a kunne determinere interpolanten): ingen interpolant hvis vi har for lite data: flere interpolanter for data (uenhet) Gitt en samling av data, (x i, y i ), i = 0, 1,..., m vi velger en passelig funksjonsrom og en basis φ 0 (x), φ 1 (x),..., φ n (x) slik at f kan skrives som lineær kombinasjon av φ i ne: n f(x) = α j φ j (x), j=0 hvor α 0,..., α n er ukjente parameter vi ønsker å regne ut.

6 At f interpolerer dataene betyr at f(x i ) = y i, i = 0, 1,..., m eller f(x i ) = n α j φ j (x i ) = y i j=0 i = 0, 1,..., m 6/9 I mer detalje: α 0 φ 0 (x 0 ) + + α n φ n (x 0 ) = y 0 α 0 φ 0 (x 1 ) + + α n φ n (x 1 ) = y 1. α 0 φ 0 (x m ) + + α n φ n (x m ) = y m Funksjonene φ j (x) er kjent på forhand: vi har m + 1 lineære likninger og n + 1 ukjente parameter α i hvor (m + 1) (n + 1) lineær likningssystem Aα = y A = (a i,j ) = (φ j (x i )), α = [α 0,..., α n ] T,, y = [y 0,..., y m ] T.

7 α 0 φ 0 (x 0 ) + + α n φ n (x 0 ) = y 0 α 0 φ 0 (x 1 ) + + α n φ n (x 1 ) = y 1 α 0 φ 0 (x m ) + + α n φ n (x m ) = y m. 7/9 Aα = y. Om m = n: data kan interpoleres eksakt (om A er ikke singulært) Om m > n: for mange data (overdeterminert system) minst kvadrater Om m < n: for få data (underdeterminert system) uenhet av interpolanten (kan brukes til andre krav som konveksistet, regularitet, osv). Oppsummering: Eksistens og enhet: A ikkesingulær Sensitivitet i forhold til input data: cond(a) og dermed valg av basis. Valget av basis har konsekvenser over konditionering kostnadene for å løse Aα = y hvordan interpolanten f evalueres, deriveres, manipuleres....

8 Interpolasjon med polynomer Den enkleste type interpolasjon er med polynomer. For en gitt heltall k, vi skriver P k for samlingen av alle polynomer av grad k (maksimum) i et gitt intervall P k = {p k (x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0 : x [a, b]}, 8/9 p k (x) + q k (x) P k αp k (x) P k, α skalar og det betyr at P k er en vektor rom av dimensjon dim(p k ) = k + 1 (vi må determinere k + 1 koeffisienter) Vi har muligeter for å velge forkjellige basis-funksjoner Dette valg har en viktig effekt over: kostnadene for å regne ut/manipulere interpolanten sensitivitet i forhold til små variasjoner av input parameter (data)

9 Monomer basis For å interpolere n + 1 data, velger vi k = n og en generisk polynom i P n er 9/9 p n (x) = α 0 + α 1 x + + α n 1 x n 1 + α n x n. Polynomen p n (x) er en lineært kombinasjon av de første n + 1 monomer: φ j (x) = x j Monomene er en basis for P n. Hvis φ j (x) = x j, matrisen A = (φ j (x i )), 1 x 1 x n 1 1 x 2 x n 2 A = x n x n n og α = [α 0,..., α n ] T finnes ved å løse Aα = y. Matriser lik A kalles for Vandermonde matriser.