UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: En Matlab-utskrift finnes bakerst i oppgavesettet. Ingen. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Alle deloppgaver (a, b osv.) teller likt. Merk: Du kan henvise til Matlab-utskriften når du finner det hensiktsmessig. Oppgave La A = a Vis at x = er en egenvektor til A. Finn alle egenverdiene til A. Vi har Ax = = 4 4 = 4x. Dette viser at x er egenvektor med egenverdi 4. Vi har λ det(a λi) = λ = λ ( λ)( λ)( λ) ( λ) = ( λ)(( λ) ). Vi har ( λ) = λ = eller λ = 4, og vi ser at egenverdiene blir 4 (med multiplisitet ) og (med multiplisitet ). (Fortsettes på side.)

2 Eksamen i MAT, Mandag,. desember 7. Side b Begrunn at A er ortogonalt diagonaliserbar. Bestem deretter en ortogonal matrise P og en diagonal matrise D som gir en ortogonal diagonalisering av A. A er symmetrisk derfor ortogonalt diagonaliserbar. Egenvektorer til λ = er løsninger av likningssystemet Vi får da x = x og Vi ser at {, x x x x + x = = x + x =. = x + x blir også en ortogonalbasis som sammen med } blir en basis for egenrommet til λ =. Dette av egenvektorer for R. Setter vi nå / / P = / /, gir en ortogonal basis er P en matrise med ortonormale kolonner som er egenvektorer for A og som danner en basis for R. Settes D = vil P og D da ortogonalt 4 diagonalisere A. c Betrakt den kvadratiske formen Q(x) = x + x + x + x x der x = (x, x, x ) R. Finn en ortogonal matrise P slik at variabelskifte x = P y transformerer Q(x) til en kvadratisk form uten kryssledd. Angi den nye kvadratiske formen og finn maksimum av Q(x) når x varierer gjennom alle x i enhetssfæren S = {x R : x = }. Vi ser at Q(x) = x T Ax så om vi setter x = P y der P er matrisen fra (b) over, så får vi (siden P og D digonaliser A) at Q(x) = y T Dy = y + y + 4y. Vi vet videre fra teorien at nå x varierer gjennom alle x med x = blir maksimum av Q(x) den største egenverdien til A altså lik 4. (Fortsettes på side.)

3 Eksamen i MAT, Mandag,. desember 7. Side Oppgave La A være matrisen gitt ved A = La W = ColA være kolonnerommet til A. a Finn en ortonormal basis B for W. Finn en QR-faktorisering av A. Sett u = og u = v = u u v v v v =. Sett v = u og = {v, v } blir da en ortogonal basis for W. Setter vi w = v / v = (/ ) og w = v / v = (/ ) {w, w } bli en ortonormal basis for W., vil Vi har u = (u w )w = w og u = (u w )w + (u w )w = w + ( ) w. Vi setter nå Q = [w w ] = / / / / / og R = [ Vi har da A = QR og siden kolonnene til Q er en ortonormal basis for kolonnerommet til A og R er en øvre triangulær blir dette en QR faktorisering av A. b Sett y = 4 8. Beregn den ortogonale projeksjonen ŷ = Proj W (y) av y ned i W. Skriv y som en sum y = y + y der y W og y W. (Her betegner W det ortogonale komplementet til W.) Vi har ŷ = Proj W (y) = (y w )w +(y w )w = ( )w +( 6 )w = ]. 5 7 (Fortsettes på side 4.)

4 Eksamen i MAT, Mandag,. desember 7. Side 4 Vi setter nå y = ŷ og y = y ŷ = y W og y W. c Vi får da y = y + y der Finn β og β slik at grafen til funksjonen y = f(x) = β + β x gir beste minste kvadraters tilpassing til måleresultatene (,.4), (,.), (,.8)..4 f( ) Sett u =..8 Finn feilvektoren ɛ = u f() f() [ ] β blir minste kvadraters løsning av likningen β [ β β ] [ β = A β ] = Dette blir igjen løsningen av likningen [ ] β A = Proj β W ((.)y) = (.) Likningsystemet over har utvidet matrise = (.)y. =.5..7 rekkereduserer vi denne til redusert trappeform får vi gir β =. og β = og.. ( Denne oppgaven kan også løses ved å løse normallikningen A T A. Dette [ β β ] = A T u, og om vi da bruker QR-faktoriseringen [ ] fra (a) vil normallikningen β redusere seg til å løse likningen R = Q β u.) f( ).5 Vi får da at f() f() =., og at.7 ɛ = Oppgave =... = (.)y. La A = (Fortsettes på side 5.)

5 Eksamen i MAT, Mandag,. desember 7. Side 5 Vis at er en egenverdi til A. Avgjør om A er diagonaliserbar. Vi har det(a λi) = λ λ λ = ( λ)( + λ)( + λ) 4( + λ) = ( + λ)( λ + λ + ). Vi har at λ + λ + = λ = eller λ =, spesielt blir en egenverdi. (For å vise dette separat er det nok å vise at det(a I) =.) Vi ser da λ = blir egenverdi med multiplisitet og λ = får multiplisitet. Det er da klart at R har en basis av egenvektorer for A hvis og bare hvis dimensjonen til egenrommet til er. Dvs. A er diagonaliserbar hvis og bare hvis dimensjonen til egenrommet til er. Egenvektorer til λ = er løsninger av likningssystemet Vi får da x = x og Vi ser at {, x x x 4x x = = x x =. = x + x } blir en basis for egenrommet til λ =, og dimensjonen til dette egenrommet er da så A blir diagonaliserbar. Oppgave 4 La P betegne vektorrommet som består av alle reelle polynomer av grad mindre enn eller lik i en reell variabel t. La B = {p, p, p } være standardbasisen for P, dvs p (t) =, p (t) = t og p (t) = t. Definer q, q, q P ved 4a q (t) = + t, q (t) = t + t, q (t) = t t. Begrunn at C = {q, q, q } er en basis for P. Finn basisskifte-matrisen, fra C til B, og finn den tilsvarende basisskifte-matrise P fra B til C. P B C C B Siden dim P = er det nok å vise at {q, q, q } er lineært uavhengig. La c q + c q + c q = ( her betyr det konstante polynomet som er lik ). (Fortsettes på side 6.)

6 Eksamen i MAT, Mandag,. desember 7. Side 6 Dette gir oss c + (c + c + c )t + (c c )t = c p + (c + c + c )p + (c c )p =. Siden {p, p, p } er lineært uavhengig må Siden det c = c + c + c = c c = =, er koeffisientmatrisen til likningssystemet over invertibel og vi må derfor ha c = c = c = dvs. {q, q, q } er lineært uavhengig. Alternativt her kan en si at: [[q ] B [q ] B [q ] B ] = [S B ] = er invertibel og da følger det fra Notat at C er en basis. Vi har at P = [[q ] B [q ] B [q ] B ] = B C Fra MatLAB utskriften ser vi at / / / / / / Dette betyr at P = ( P C B B C ) = = = / / / / / / Definer en lineæravbildning T : P P ved at et polynom p P avbildes over i T (p), der (T (p) ) (t) = p() + tp (t). 4b Finn matrisen [T ] B for T relativt til B. Finn også matrisen [T ] C for T relativt til C. Vi har T (p ) =, T (p ) = + t og T (p ) = + t så vi får: [T ] B = [[T (p )] B [T (p )] B [T (p )] B ] = Vi har videre: [T ] C = P [T ] B P = C B B C (Fortsettes på side 7.) / / / / / / / / / / / / =

7 Eksamen i MAT, Mandag,. desember 7. Side 7 4c Finn en egenvektor for [T ] B med egenverdi. Finn p P slik at T (p) = p. For å finne en slik egenvektor må vi løse likningen ([T ] B I)x =. Dvs. likningssystemet x +x + x = x =. = Dette gir x = x og x = så x = blir en slik egen egenvektor. Settes p = + t har vi [p] B = x, og vi får da [T (p)] B = [T ] B [p] B = [p] B så vi må ha T (p) = p. Lykke til! (Fortsettes på side 8.)

8 Eksamen i MAT, Mandag,. desember 7. Side 8 Matlab-utskrift. >> C C = >> rref(c) ans = -