EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)

Transkript

1 EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater og Rottmanns tabeller. Oppgavesettet er på sider eks. forside, og inneholder deloppgaver: abcd, abcd, abc, abcd. Kontaktperson: Professor Andrei Prasolov, mobil 9 8.

2 Begrunn svarene dine, vis fremgangsmåten ved oppgaveløsningen tydelig! OPPGAVE Gitt tre vektorer i R. Operatoren er gitt ved formelen u = ; v = ; w = T : R! R T (x) = u x + x v der er kryssproduktet (the cross product, se merknaden nedenfor). a) Finn matrisen [T ] E til operatoren T med hensyn til standardbasisen 0 E = (i; j; k) 0 ; (the matrix for T relative to the basis E). b) Finn en basis for kjernen (the kernel) ker T. c) Finn en basis for bildet (the range) R (T ). ; 0 0 d) Finn alle vektorer x som tilfredsstiller likningen T (x) = w: A Merknad. Formelen for kryssproduktet er følgende: a a b a b a b b = a b a b a b = a b a b a b + b a a b a b a b a b eller a a a b b b = i j k a a a b b b :

3 OPPGAVE Betrakt følgende -tuppel av vektorer i R : 0 G = (g ; g ; g ; g ) = ; ; ; C A : La V = span (G) = span (g ; g ; g ; g ) R være underrommet utspent av G (the span of G). a) Finn en basis for underrommet V. b) Undersøk for hvilken verdi av t vektoren u = 9 t hører til underrommet V. kombinasjon av g i : For denne verdien av t, beskriv u som en lineær u = g i + g + g + g : c) Betrakt mengden W av alle vektorer w i R som er ortogonale til envher av vektorene g, g, g, g. W er et underrom i R (du behøver ikke bevise dette). Finn en basis H = (h ; h ; :::; h s ) for W. Hint: beskriv W som løsningsrommet til et homogent system (the solution space of a homogeneous system) av lineære likninger. d) Finn koordinatvektoren [w] H (the coordinate vector of w relative to H) til vektoren w = med hensyn til basisen H du fant i deloppgave c).

4 OPPGAVE La B k være en matrise som avhenger av parameteren k: k B k = : 9 a) For hver av de tre verdiene k = 9, k =, og k =, nn egenverdiene og egenvektorene til matrisen B k, og undersøk om matrisen B k er diagonaliserbar (diagonalizable). Hvis svaret er ja, beskriv da matrisen B k som B k = P EP der E er en diagonalmatrise, og P er en invertibel matrise. Beregningshjelp: nedenfor er tabellen med de karakteriske polynomene p (t) til de tre matrisene B k du er spurt om: k p (t) 9 (t + ) (t ) (t ) (t ) (t 9) b) Finn en verdi av k der matrisen B k er ortogonalt diagonaliserbar (orthogonally diagonalizable). For denne verdien av k, beskriv B k som B k = QDQ der D er en diagonalmatrise, og Q er en ortogonal matrise. c) Finn formelen for (B ) m = 9 m for et vilkårlig helt tall m. Formelen skal se ut som m = a m U + b m V 9 der a og b er reelle tall, mens U og V er konstante (dvs. som ikke avhenger av m) matriser. Hint: bruk resultatene fra deloppgave a), og formelen (B k ) m = P EP m = P E m P :

5 OPPGAVE La P være vektorrommet av polynomer f (x) av grad, med standardbasisen E: E = ; x; x ; x : La W P være mengden av polynomer f P som tilfredsstiller betingelsen f () = 0, dvs. som har som en rot: W = ff P j f () = 0g : W danner et underrom i P (du behøver ikke bevise dette). For eksempel, f = + x + x + x W; fordi mens fordi f () = = 0; u = + x + x x W; u () = = = 0: a) Vis at -tuppelet danner en basis for W. G = (g ; g ; g ) = x; x ; 8 x Hint: Vis at dim W, og at de tre vektorene er lineært uavhengige. La P være vektorrommet av polynomer f (x) av grad, med standardbasisen F = ; x; x og la T : P! W være den lineære transformasjonen gitt ved formelen T (f (x)) = (x ) f (x) (du behøver ikke bevise at T er lineær). b) Finn matrisen [T ] G F (som i læreboken betegnes [T ] G;F ) med hensyn til basisene F og G (the matrix for T relative to the bases F and G).

6 c) Vis at T er en isomor sme (an isomorphism), og nn matrisen T F G (som i læreboken betegnes T ) til den inverse transformasjonen. F;G d) Finn polynomet T (f) der f = + x + x + x W: LYKKE TIL!

7 EKSAME SOPPGÅVE MAT-00 ( Y ORSK) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : Stad : Teorifagb., hus, plan. Tillatne hjelpemiddel : Godkjent kalkulator, to A ark eigne notat og Rottmanns tabellar. Oppgåvesettet er på sider eks. forside, og inneheld deloppgåver: abcd, abcd, abc, abcd. Kontaktperson: Professor Andrei Prasolov, mobil 9 8.

8 Grunngi svara dine, vis framgangsmåten ved oppgåveløysinga tydeleg! OPPGÅVE Gitt tre vektorar i R. Operatoren er gitt ved formelen u = ; v = ; w = T : R! R T (x) = u x + x v der er kryssproduktet (the cross product, sjå merknaden nedanfor). a) Finn matrisa [T ] E til operatoren T med omsyn til standardbasisen 0 E = (i; j; k) 0 ; (the matrix for T relative to the basis E). ; b) Finn ein basis for kjernen (the kernel) ker T. c) Finn ein basis for bildet (the range) R (T ). d) Finn alle vektorar x som tilfredsstiller likninga T (x) = w: 0 0 A Merknad. Formelen for kryssproduktet er følgjande: a a b a b a b b = a b a b a b = a b a b a b + b a a b a b a b a b eller a a a b b b = i j k a a a b b b :

9 OPPGÅVE Sjå på følgjande -tuppel av vektorar i R : 0 G = (g ; g ; g ; g ) = ; ; ; C A : La V = span (G) = span (g ; g ; g ; g ) R vere underrommet utspent av G (the span of G). a) Finn ein basis for underrommet V. b) Undersøk for kva verdiar av t vektoren u = 9 t høyrer til underrommet V. For denne verdien av t, beskriv u som ein lineær kombinasjon av g i : u = g i + g + g + g : c) Sjå på mengden W av alle vektorar w i R som er ortogonale til kvar av vektorane g, g, g, g. W er eit underrom i R (du treng ikkje bevise dette). Finn ein basis H = (h ; h ; :::; h s ) for W. Hint: beskriv W som løysingsrommet til eit homogent system (the solution space of a homogeneous system) av lineære likningar. d) Finn koordinatvektoren [w] H (the coordinate vector of w relative to H) til vektoren w = med omsyn til basisen H du fant i deloppgåve c).

10 OPPGÅVE La B k vere ein matrise som avhenger av parameteren k: k B k = : 9 a) For kvar av dei tre verdiane k = 9, k =, og k =, nn eigenverdiane og eigenvektorane til matrisa B k, og undersøk om matrisa B k er diagonaliserbar (diagonalizable). Om svaret er ja, beskriv da matrisa B k som B k = P EP der E er ein diagonalmatrise, og P er ein invertibel matrise. Rekningshjelp: nedanfor er tabellen med dei karakteriske polynom p (t) til dei tre matrisane B k du er spurt om: k p (t) 9 (t + ) (t ) (t ) (t ) (t 9) b) Finn ein verdi av k der matrisa B k er ortogonalt diagonaliserbar (orthogonally diagonalizable). For denne verdien av k, beskriv B k som B k = QDQ der D er ein diagonalmatrise, og Q er ein ortogonal matrise. c) Finn formelen for (B ) m = 9 m for eit vilkårlig helt tall m. Formelen skal sjå ut som m = a m U + b m V 9 der a og b er reelle tall, mens U og V er konstante (dvs. som ikkje avhenger av m) matriser. Hint: bruk resultatane frå deloppgåve a), og formelen (B k ) m = P EP m = P E m P :

11 OPPGÅVE La P vere vektorrommet av polynom f (x) av grad, med standardbasisen E: E = ; x; x ; x : La W P vere mengda av polynom f P som tilfredsstiller vilkåret f () = 0, dvs. som har som ein rot: W = ff P j f () = 0g : W dannar eit underrom i P (du treng ikkje bevise dette). For eksempel, f = + x + x + x W; fordi mens fordi f () = = 0; u = + x + x x W; u () = = = 0: a) Vis at -tuppelet G = (g ; g ; g ) = x; x ; 8 x dannar ein basis for W. Hint: Vis at dim W, og at dei tre vektorane er lineært uavhengige. La P vere vektorrommet av polynom f (x) av grad, med standardbasisen F = ; x; x og la T : P! W vere den lineære transformasjonen gitt ved formelen T (f (x)) = (x ) f (x) (du treng ikkje bevise at T er lineær). b) Finn matrisa [T ] G F (som i læreboka skrivas [T ] G;F ) med omsyn til basisane F og G (the matrix for T relative to the bases F and G).

12 c) Vis at T er ein isomor sme (an isomorphism), og nn matrisa T F G (som i læreboka skrivas T ) til den inverse transformasjonen. F;G d) Finn polynomet T (f) der f = + x + x + x W: TIL LYKKE!