Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder"

Transkript

1 Et forsøk på et oppslagsverk for TMA4145 Lineære metoder Ruben Spaans May 21, Oppslagsverk Adjungert Ball, la (X, d) være et metrisk rom og la ɛ > 0. Da er for x 0 X: 1. B(x 0 ; ɛ) = {x x X d(x, x 0 ) < ɛ} den åpne ɛ-ballen om x 0 med radius ɛ. 2. B(x 0 ; ɛ) = {x x X d(x, x 0 ) ɛ} den lukkede ɛ-ballen om x 0 med radius ɛ. 3. S(x 0 ; ɛ) = {x x X d(x, x 0 ) = ɛ} (ɛ-)sfæren (kuleskall) om x 0 med radius ɛ. Merk at generelt er B(x 0, ɛ) S(x 0, ɛ) B(x 0, ɛ). Banachrom, et Banachrom er et normert rom som er et komplett metrisk rom med hensyn på metrikken indusert av dets norm. Basis (kolonnerom), kolonnene til en matrise A utspenner kolonnerommet til matrisen, men de er ikke nødvendigvis en basis, det kan forekomme lineært avhengige kolonner. Ved å redusere A til redusert echelon-form, vil de kolonneposisjonene som inneholder pivotelementer være identisk med de kolonneposisjonene i A som inneholder basisen. Eksempel A = , 1

2 redusert echelon-form av A: Vi ser at kolonne 1, 2 og 4 inneholder pivotelementer. En basis for kolonnerommet blir derfor , 7 5 og 9 1, som tilsvarer kolonne 1,2 og i den opprinnelige matrisen A. Begrenset følge, en begrenset følge x (fra C) er en følge (x n ) n=1 slik at x n c x hvor c x R. Bijektiv, en funksjon f : X Y er bijektiv hvis f er både injektiv og surjektiv. Bilde, bildet til en funksjon f : X Y er f(x) = {f(x) x X} Y. Cauchy-følge, en følge (x n ) n=1 i et metrisk rom X = (X, d) er Cauchy hvis for hver ɛ > 0 finnes en N slik at d(x m, x n ) < ɛ for hver m, n > N. Se komplett.. Eksempel 1 ( 1 n ) n=1 er en Cauchy-følge i (0,1] (og divergent). Eksempel 2 Q med d(x, y) = x y, la x n = ! + 1 2! n!. Da er (x n ) n=1 en Cauchy-følge i Q, men ikke konvergent i Q, siden grensen i R er e og e Q. Cauchy-kontinuerlig, en funksjon f er Cauchy-kontinuerlig hvis den tar Cauchy-sekvenser til Cauchy-sekvenser. Cauchy-Schwartz ulikhet, for x, y i et indreproduktrom V, x, y = x y. Cholesky-faktorisering Diagonaliserbarhet Direkte sum Diskret metrikk, la X være en mengde. Den diskrete metrikken på X er gitt ved { 1 x y d(x, y) = 0 x = y Divergens, en følge som ikke er konvergent er divergent. 2

3 Dualrom Egenrom Egenvektor Egenverdi Fikspunkt, et fikspunkt i en avbildning T : X X på en mengde X til seg selv er en x X som avbildes til seg selv, dvs T x = x, bildet til T x sammenfaller med x. Gram-Schmidt, prosess som genererer ortonormal basis e = {e 1, e 2,, e n } fra en vilkårlig basis x = {x 1,, x n }. Begynn med å finne e 1, deretter lag v i fra x og e og lag e i for i = 2,, n. e 1 = 1 x 1 x 1 v 2 = x 2 x 2, e 1 e 1 e 2 = 1 v 2 v 2. i 1 v i = x i x i, e k e k k=1 e i = 1 v i v i. Grenseverdi, hvis x 1, x 2,... er en følge av reelle tall, da er lim n x n = x hvis og bare hvis, vi for alle ɛ > 0 kan finne en N slik at n N x n x < ɛ. Hermitisk Hilbertrom, et Hilbertrom er et indreproduktrom som er et komplett metrisk rom med hensyn på metrikken indusert av dets indreprodukt. Identitetsfunksjon, 1 X : X X definert ved 1 X (x) = x for alle x X. Indre (metrisk rom), la (X, d) være et metrisk rom, og la A X. Det indre av A er (A 0 ) = int A = {x x er indre punkt i A}. Eksempel 1 I R med vanlig metrikk: int [a, b) = (a, b). Eksempel 2 int Q =. Indreprodukt, et indreprodukt på en komplekst vektorrom V er en avbildning, : V V C slik at for alle x, y, z V og alle λ C, 3

4 (i) x, y = x, y (ii) λx, y = λ x, y (iii) x + y, z = x, z + y, z (iv) x, x > 0 når x 0 Indreproduktrom, et indreproduktrom er et par (V,, ) der V er et komplekst vektorrom og, er et indreprodukt på V. Indre punkt (metrisk rom), la (X, d) være et metrisk rom og la A X. Et punkt x A kalles et indre punkt hvis A er en omegn om x. Indusert metrikk, se underrom. Injektiv, en funksjon f : X Y er injektiv (en-til-en) hvis for alle x, x X, f(x ) = f(x) x = x. Invers funksjon, en funksjon f : X Y har en invers (omvendt) funksjon hvis og bare hvis f er bijektiv. Da er f 1 gitt ved f 1 : Y X og f 1 (y) = x y = f(x). Da er f f 1 = 1 Y and f 1 f = 1 X. Inverst bilde, det inverse bildet til en funksjon f : X Y er f 1 (Y ) = {x f(x) Y } X. Jacobi-iterasjon Jordanblokk Jordan[-]kanonisk form Jordanmatrise Karakteristisk polynom Kolonnerom, et kolonnerom av en matrise A er mengden av alle lineærkombinasjonene av dets kolonnevektorer. Dimensjonen til kolonnerommet kalles rangen til matrisen. Komplett (metrisk rom), et metrisk rom X er komplett hvis hver Cauchyfølge i X konvergerer, dvs har en grenseverdi som ligger i X. Eksempel 1 R er komplett. Eksempel 2 R n og C n er komplette. Komplett (ortonormal sekvens) Konjugat-lineær, x, λy = λ x, y. Konjugattransponert, A matrise, A konjugattransponert, (A ) ij = (A) ji. Kontinuasjon, la (X, d X ) og (Y, d Y ) være metriske rom og la f : X Y være en funksjon. 4

5 1. f er kontinuerlig i x 0 X hvis det for alle ɛ > 0 finnes δ > 0 slik at for alle x, d X (x, x 0 ) < δ d Y (f(x), f(x 0 )) < ɛ eller f(b(x 0 ; δ)) B(f(x 0 ); ɛ). 2. f er kontinuerlig hvis f er kontinuerlig i alle x 0 X. Kontraksjon, la X = (X, d) være et metrisk rom. En avbildning T : X X kalles en kontraksjon på X hvis det finnes et positivt reelt tall α < 1 slik at for alle x, y X d(t x, T y) αd(x, y). Konveks, en delmengde A av et reelt eller komplekst vektorrom er konvekst hvis for alle a, b A og alle λ (0, 1), punktet λa + (1 λ)b ligger i A. Konvergens, La (x n ) n=1 være en følge av punkter i et metrisk rom X. Følgen er konvergent hvis det finnes en x X slik at for alle ɛ > 0 det finnes en N slik at for alle n > N, d(x n, x) < ɛ. x er da grensen til (x n ) n=1, og skrives lim x n = x. n Eksempel 1 (x n ) n=1 = ( 1 n ) n=1 er konvergent i [0, 1]. Eksempel 2 (x n ) n=1 = ( 1 n ) n=1 er divergent i (0, 1]. Lineær funksjonal Lineær transformasjon, la V og W være vektorrom. En funksjon T : V W er en lineær transformasjon hvis T (αx + βy) = αt (x) + βt (y) for alle x, y V og α, β (skalarer). Vi skriver vanligvis T (x) som T x. Lipschitz-betingelsen, la X = (X, d X ) og Y = (Y, d Y ) være metriske rom. En funksjon f : X Y er Lipschitz-kontinuerlig hvis det finnes en reell konstant K 0 slik at, for alle x 1, x 2 X d Y (f(x 1 ), f(x 2 )) Kd x (x 1, x 2 ) Den minste K som oppfyller betingelsen kalles Lipschitz-konstanten til funksjonen f. LU-dekomposisjon Lukket (metrisk rom), la (X, d) være et metrisk rom. A X er lukket hvis A C = X A er åpen. Metrikk, en metrikk er en distansefunksjon d : X X R i et metrisk rom X. Se metrisk rom. 5

6 Metrisk rom, et metrisk rom er et par (X, d) der X er en mengde og d er en metrikk på d (eller distansefunksjon på d), en funksjon fra X X slik at for alle x, y, z X, følgende oppfylles: 1. d er reell, endelig og ikke-negativ. 2. d(x, y) = 0 hvis og bare hvis x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) (symmmetri). 4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (trekantulikheten). Eksempel 1 X = R, d(x, y) = x y Eksempel 2 X = R n, d 1 (x, y) = n j=1 x j y j Eksempel 3 X = R n, d 2 (x, y) = n j=1 (x j y j ) 2 Eksempel 4 X = R n, d (x, y) = max 1 j n x j y j Eksempel 5 X = C n, d(x, y) = n j=1 x j y j 2 der x = a+bi, y = c+di C, x y = (a c) 2 + (b d) 2. Eksempel 6 X = C[a, b] = {x x : [a, b] C er kontinuerlig }, d (x, y) = max a t b x(t) y(t) Minste kvadraters metode, for ligningsystemet Ax = b, ˆx = (A T A) 1 A T b er minste kvadraters løsning. Multiplisitet Norm, la E være et reelt eller komplekst vektorrom. En norm på E er en avbildning : E R som tilfredsstiller (i) x > 0 hvis x 0 (ii) λx = λ x for alle skalarer λ og vektorer x (iii) x + y x + y for alle vektorer x, y Et normert vektorrom er et par (E, ) hvor E er et reelt eller komplekst vektorrom og er en norm på E. Normal (matrise), en matrise A C n n er normal hvis og bare hvis A A = AA. Normert romk, et normert (vektor)rom er et vektorrom med en norm definert. Norm (indreproduktrom), normen til en vektor x i et indreproduktrom er definert til å være x, x, og skrives x. 6

7 Nullrom, nullrommet til en matrise A er løsningene til ligningssettet Ax = 0, og skrives N(A). Dimensjonen er n r = (antall kolonner) - rangen. Omegn, la (X, d) være et metrisk rom, og la x X. N X er en omegn om x hvis det finnes ɛ > 0 slik at B(x; ɛ) N. Opphopningspunkt, la (X, d) være et metrisk rom, og la A X. Et punkt x X er et opphopningspunkt for A hvis det for hver ɛ > 0 finnes et punkt y i B(x; ɛ) A, y x. Opptil begrenset, la A R, A. A er opptil begrenset hvis det finnes en b R slik at a < b for alle a A. a er den minste begrensningen av A hvis (i) x a for alle x A (ii) Hvis x b for alle x A, så er a b En slik a kalles sup A (supremum). (Andre veien: inf A (infimum).) Ortogonal, vektorer x, y i et indreproduktrom er ortogonale (skrives x y) hvis x, y = 0. Ortogonal (matrise), en n n-matrise M er ortogonal hvis M 1 = M T. Ortogonalt diagonaliserbar Ortonormal Ortonormal sekvens Permutasjonsmatrise Positivt definitt (matrise), en matrise A er positivt definitt hvis v T Av > 0. Det er en slags matrise-analog til positive reelle tall. Projeksjon Pseudoinvers (matrise), La R n R m. Vi definerer A+ : R m R n ved A + y = den optimale minstekvadraters-løsningen av Ax = y. Vi kaller A den pseudoinverse til A. Man finner den ved formelen A + = V Σ + U T. QR-faktorisering Radrom Rang, rangen til en matrise A er antall pivotelementer, og er identisk med dimensjonen til kolonnerommet Col(A) og dimensjonen til radrommet. Hvis man ser på en matrise A som en lineær avbildning f : F n F m slik at f(x) = Ax, er rangen dimensjonen til bildet til f. Rangen er også n minus dimensjonen til kjernen til f. Separabel 7

8 Similær Singulærverdi Singulærverdi-dekomposisjon Skjevt Hermitisk, A R n n, A = A. Skjevt symmetrisk, A C n n, A = A. Span Standardbasis Surjektiv, en funksjon f : X Y er surjektiv hvis for alle y Y, det finnes en x X slik at f(x) = y. Symmetrisk (matrise) Tillukning, la (X, d) være et metrisk rom og la A X. Tillukningen til A er A = A {x x er opphopningspunkt for A}. Eksempel 1 I R med vanlig metrikk: [a, b) = [a, b] Eksempel 2 Q = R Underrom (metrisk rom), la (X, d) være et metrisk rom, og la A X. Da gir d restriktert til A, dvs d : A A R en metrikk på A. Da kalles (A, d) et underrom av (X, d) og A sier å ha den induserte metrikken. Unitær operator, en lineær avbildning U : H K, H, K Hilbertrom, er unitær hvis den er lineær og bijektiv og preserverer indreprodukt, dvs Ux, Uy = x, y. Unitært diagonaliserbar Åpen (metrisk rom), la (X, d) være et metrisk rom. U X er åpen hvis for alle x U finnes ɛ > 0 slik at B(x 0, ɛ) U. 2 Regneeksempler 2.1 Regneeksempel 1 La G : C[0, 1] C[0, 1] være definert ved (Gx)(t) = t 0 sx(s)ds, 0 t 1. Oppgave: Vis at G er en kontraksjon hvis C[0, 1] har d -metrikken. 8

9 Svar: Vi vise at det finnes α < 1 R slik at d(gx, Gy) αd(x, y). Vi har at d (x, y) = max x(t) y(t). 0 t 1 d (Gx, Gy) = (Gx)(t) (Gy)(t) = ( t 0 t 0 t 0 s(x(s) y(s))ds s x(s) y(s) ds sds)d (x, y) = 1 2 t2 d (x, y) 1 2 d (x, y). G er en kontraksjon med α = Mengder 3.1 Mengder l 0 l 2 {x x = (x n ) n=1 har et endelig antall ikke-null-elementer } {x x = (x n ) n=1, n=1 x n 2 < } l {x x = (x n ) n=1 er begrenset følge fra C} 3.2 Indreproduktrom l 2 L 2 (a, b) Indreprodukt: x, y = n=1 x ny n {x x C[a, b], b a f(t) 2 dt <, x Lebesgue-målbar} Indreprodukt: f, g = b a f(t)g(t)dt 4 Oppgavetyper Kontraksjon, gitt funksjon G, vis at G er en kontraksjon. Oppgitt G(x) Gitt en metrikk, sett G(x), G(y) inn den oppgitte metrikken, løs høyresiden og få den på samme form som metrikken. Man søker uttrykk på formen d(g(x), G(y)) = αd(x, y). Kontraksjon hvis α < 1. Singulærverdi-dekomposisjon, gitt m n-matrise A, finn en singulærverdidekomposisjon. Algoritme: 9

10 (1) Finn A T A. (2) Finn egenverdiene λ 1,, λ r til A T A. (3) Finn de tilhørende ortonormale egenvektorene v(1),, v (r). (4) Finn singulærverdiene σ 1 = λ 1,, σ r = λ r. (5) Finn matrisen Σ, a diagonal r r-matrix with elements σ 1,, σ r. (6) Finn U i = 1 σ i Av (i). Magisk projeksjonsoppgave, oppgave 3 eksamen 2007, gi opp Tillukning, gitt et rom, vis at tillukningen av rommet har en eller annen egenskap, eller et eller annet element. Lag en sekvens av elementer, og vis at grensen har ønsket egenskap. Finn nærmeste punkt, gitt et ortonormalt system e 1,, e n. Gitt et punkt x, finn punktet som er nærmest span av det ortonormale systemet. Teorem 4.6: nærmeste punkt y i span til x er: y = n x, e j e j. j=1 Gauss gitt m n-matrise, også kalt T : R m R n, finn basis for R n (kolonnerom) og R m (radrom). Kolonnerom = nullrom, og fyll på med e i der i er kolonnenr for pivot. Radrom: Ta alle kolonnene fra matrisen før gauss hvor det forekommer pivotelementer. Fyll på med e i der i er radnr for nullrader der det antas at man IKKE har byttet rader. 5 Teoremer 5.1 Kreyszig Kapittel 1 Teorem La (X, d) være et metrisk rom. Da er for x 0 X og ɛ > 0 1. B(x 0 ; ɛ) er åpen 2. B(x 0 ; ɛ) er lukket 3. S(x 0 ; ɛ) er lukket 10

11 Teorem La f : (X, d X ) (Y, d Y ). Da er f kontinuerlig hvis og bare hvis f 1 (U) X er åpen når U Y er åpen. Teorem Hvis (x n ) konvergerer mot x og x, da er x = x. Bevis 0 d(x, x ) d(x n, x) + d(x n, x ) = 0 d(x, x ) = 0 x = x. Teorem (x n ) n=1 er konvergent (x n) n=1 er Cauchy-følge. 5.2 Kreyszig Kapittel 5 Banachs fikspunktteorem, la X = (X, d) være et metrisk rom. Anta at X er komplett og la T : X X være en kontraksjon på X. Da har T kun ett fikspunkt. Bevis, se bok s Teorem a + b b + a. Bevis Regn ut, og man får samme svar. Teorem (ikke i boken) C[a, b] med d -metrikken er et komplett metrisk rom. 6 Husk Underrom, la A være en n m-matrise (n rader, k kolonner. R(A T ) = N (A) R(A) = N (A T ) R(A T ), N (A) R m R(A), N (A T ) R n Ser ut som at, for en n m-matrise P A = LDU: R(A) ima kolonnerommet til A N (A) kera = (ima T ) nullrommet til A R(A T ) ima T radrommet til A N (A T ) kera T = (ima) venstre nullrom til A Hvordan finne basis til A = LU, gitt L og U Basis for ima (kolonnerommet) er de r kolonnene i U som inneholder pivotelementerm og har dimensjon r, og er underrom av R m. 11

12 Basis for ker(a) (nullrommet) er de n r kolonnene i x i løsningen til Ux = 0, og har dimensjon n r og er underrom av R n. Basis for ima T (kolonnerommet) er de r radene som inneholder pivotelementer i U. Dimensjonen er r og er underrom av R n. Basic for kera T (venstre nullrom) er de siste m r radene i L 1 P. Dimensjonen er m r, og er underrom av R m. 12

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU

Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =

Detaljer

= 3 11 = = 6 4 = 1.

= 3 11 = = 6 4 = 1. MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til! Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta

Detaljer

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.

Detaljer

Analysedrypp IV: Metriske rom

Analysedrypp IV: Metriske rom Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en

Detaljer

Rom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012.

Rom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012. Rom og lineæritet Erik Bédos Matematisk Institutt, UiO 202. Lineær algebra er et viktig redskap i nær sagt alle grener av moderne matematikk. De fleste emnene i matematikk på masternivå bygger på en forståelse

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene

Detaljer

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon

Detaljer

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

a) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er matrisen inverterbar når v T u 1.

a) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er matrisen inverterbar når v T u 1. Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Oppgave 1 a) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.

Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer

Detaljer

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001 Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()

Detaljer

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Basis, koordinatsystem og dimensjon

Basis, koordinatsystem og dimensjon Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå

Detaljer

Ortogonale polynom og Gauss kvadratur

Ortogonale polynom og Gauss kvadratur Ortogonale polynom og Gauss kvadratur Hans Munthe-Kaas 1. jaunar 2002 Sammendrag Dette notatet tar for seg minste kvadrat approksimasjoner, ortogonale polynom og Gauss kvadratur. Notatet er ment som et

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL) EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

EKSAMEN I TMA4180 OPTIMERINGSTEORI

EKSAMEN I TMA4180 OPTIMERINGSTEORI Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 4 Faglig kontakt under eksamen: Marte Pernille Hatlo 7359698 / 97537854 EKSAMEN I TMA48 OPTIMERINGSTEORI Fredag 2. juni

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 6 MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE Hvordan å løse oppgaven? 4 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall............................. 9. Matriser og vektorer.........................

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet 7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt

Detaljer

For å vise at et metrisk rom (X, d) er komplett må vi vise at enhver Cauchy-følge (x_n)_n i (X, d) konvergerer mot en grense x i X.

For å vise at et metrisk rom (X, d) er komplett må vi vise at enhver Cauchy-følge (x_n)_n i (X, d) konvergerer mot en grense x i X. MAT1300 Analyse I 20. april 2009 For å vise at et metrisk rom (X, d) er komplett må vi vise at enhver Cauchy-følge (x_n)_n i (X, d) konvergerer mot en grense x i X. Da kan vi (A) finne en kandidat x for

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 6

MAT Grublegruppen Notat 6 MAT00 - Grublegruppen Notat 6 Jørgen O. Lye Vektorrom og indreprodukt Vektorrom Vi trenger å si litt om vektorrom og indreprodukt for å formulere Fourierrekker. Denisjonen av vektorrom kan man tenke på

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

6.5 Minste kvadraters problemer

6.5 Minste kvadraters problemer 6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør

Detaljer

Litt topologi. Harald Hanche-Olsen

Litt topologi. Harald Hanche-Olsen MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

Sensitivitet og kondisjonering

Sensitivitet og kondisjonering Sensitivitet og kondisjonering Gitt en lineær likningssystem Ax = b vi skal studere effekten av perturbasjoner av input data: 1/19 på output data: Man kan A, b x perturbere bare b perturbere b og A samtidig.

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Iterasjon og optimering

Iterasjon og optimering Innhold 5 Iterasjon og optimering 3 5.1 Litt topologi i R m........................ 4 5. Kompletthet av R m....................... 13 5.3 Noen konsekvenser av kompletthet............... 18 5.4 Iterasjon

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Fraktaler og kaos Harald Hanche-Olsen

Fraktaler og kaos Harald Hanche-Olsen TMA4165 Dynamiske systemer 2007 Fraktaler og kaos 2 Fraktaler og kaos Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no Sammendrag. Tillegg til dynamiske systemer 2007. Etter notater av Nils A. Baas. Notatet gir

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn

Detaljer

MA2501 Numeriske metoder

MA2501 Numeriske metoder MA2501 Numeriske metoder Løsningsforslag, øving 7 Oppgave 1 a) Vi vet at r = Ae e = A 1 r. La være en vektornorm på R n med en tilhørende avledet (subordinat) matrisenorm på R n n. Siden blir Ax A = sup

Detaljer

MA2501 Numeriske metoder

MA2501 Numeriske metoder MA250 Numeriske metoder Oppgave Løsningsforslag, øving 7 a) Vi vet at r = Ae e = A r. La være en vektornorm på R n med en tilhørende avledet (subordinat) matrisenorm på R n n. Siden blir Ax A = sup Ax

Detaljer

LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder

LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder simpleksalgoritmen går langs randen av polyedret P av tillatte løsninger et alternativ er indrepunktsmetoder de finner en vei i det indre av P fram til en optimal løsning

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer