MA1201/MA6201 Høsten 2016

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MA1201/MA6201 Høsten 2016"

Transkript

1 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta at A har de distinkte egenverdiene λ,, λ n. La x i være egenvektoren tilhørende egenverdien λ i, slik at Ax i = λ i x i. La P være matrisen som har x,, x n som kolonnevektorer (i den rekkefølgen). Fra teorem 5.. vet vi at x,, x n er lineært uavhengige, så P er en inverterbar matrise. La Λ være diagonalmatrisen som har λ,, λ n som diagonalelementer. La oss se på AP = A [ [ [ x x n = Ax Ax n = λ x λ n x n λ = [. x x n = P Λ. λ n Ligningen AP = P Λ kan vi skrive om til Λ = P AP. Siden Λ er en diagonalmatrise, er A altså diagonaliserbar. b) Stemmer ikke. La B være en ikke-diagonaliserbar kvadratisk matrise, for eksempel den i eksempel 5. La A være identitetsmatrisen av samme dimensjon som B. Da er A diagonaliserbar (den er ferdig diagonalisert), og AB = B = BA, men B er ikke diagonaliserbar. c) Stemmer. Anta at λ er en egenverdi for A, med tilhørende egenvektor x. Vi kan skrive om ligningen A = P AP til P A = BP. Dermed er B(P x) = P Ax = P λx = λ(p x). Det gir oss at Λ er en egenverdi for B, med tilhørende egenvektor P x. Altså er alle egenverdier av A også egenverdier for B. Vi kan på samme måte vise at alle egenverdier av B er egenverdier for A, ved å ta utgangspunkt i AP = P B. Eventuelt kan vi bruke lemma..4, side 66, som sier at similære matriser (som A og B er) har samme karakteristiske polynom. d) Stemmer ikke. La oss igjen se på matrisen B fra eksempel 5. Vi viste i eksempelet spesielt at B ikke er diagonaliserbar. Om vi ser på matrisen D =, [ så har den samme egenverdier som B, men siden B ikke er diagonaliserbar kan det ikke finnes noen matrise slik at D = P BP. 8. november 6 Side av 7

2 Løsningsforslag Øving Alternativt kan man se på A og B av ulik dimensjon, men med samme egenverdier (for eksempel identitetsmatrisene I og I ). Vi vet at determinanten til en matrise er lik produktet av egenverdiene. Siden ikke er et kvadrattall, og egenverdiene til A er heltall, må A ha to distinkte egenverdier. Da vet vi fra oppgave (a) at A er diagonaliserbar. Kapittel 6.4 Når vi vil diagonalisere en symmetrisk matrise følger vi denne oppskriften. Finn det karakteristiske polynomet til matrisen. Finn egenverdiene til matrisen.. Finn egenvektorene til matrisen. Hvis en egenverdi har algebraisk multiplisitet større enn, sørg for at egenvektorene tilhørende den egenverdien er ortogonale. Normaliser egenvektorene. 4. La P være matrisen som har egenvektorene som kolonner, og la Λ være diagonalmatrisen som har egenverdiene til A som diagonalelementer, slik at tallet i rad og kolonne i av Λ er egenverdien som tilhører egenvektoren i kolonne i av P. 5. Du har nå at Λ = P T AP. Dette kan du med fordel dobbeltsjekke! b) Vi regner først ut det karakteristiske polynomet for matrisen: [ λ 4 det = ( λ)( λ) 4 4 = λ 5 = (λ 5)(λ + 5). 4 λ Vi har altså egenverdiene λ = 5 og λ = 5. Fra det regner vi ut egenvektorer: A 5I = [ gir oss egenvektoren x = [. Normalisert får vi v = 5 [. A+5I = [ gir oss egenvektoren x = [. Normalisert får vi v = [ 5. Da får vi at P = [ 5. Vi kontrollregner: P T AP = [ [ [ 4 5 = [ [ [ = [ [ 5 = [ [ 5 5 = = Λ f) Vi regner først ut det karakteristiske polynomet for matrisen: λ det λ = λ [ [ [ λ = ( λ) det + det + det λ λ λ = ( λ)(( λ)( λ) 4) + ( ( λ) 4) + ( 4 ( λ)) = λ + λ + 9λ 7 8. november 6 Side av 7

3 Løsningsforslag Øving Det er ikke så vanskelig å se at λ = er en rot av polynomet. Med polynomdivisjon får vi at λ + λ + 9λ 7 = (λ ) (λ + ), Så egenverdiene er λ, = (dobbel rot) og λ =. A I = [ [ gir oss egenvektorene og og v = [ 6 R R R R. Disse er ikke ortonormale, men ved å bruke [ Gram-Schmidt og så normalisere resultatet får vi egenvektorene v =. 4 A + I = R +R 6 6 gir oss egenvektoren [ R R R 6 R Dette gir oss matrisen P = R +R R R, som normalisert blir v = [. [ 6 Jeg vil såklart også her anbefale kontrollregning ;) Vi vet at A er symmetrisk, så den må ha et fullt sett med egenvektorer. A har egenverdiene λ = og λ =. λ har geometrisk (og dermed algebraisk) multiplisitet, så λ må ha geometrisk og algebraisk multiplisitet. Videre vet vi at E(λ ) = E(λ ). Det vil si at dersom vi kan finne en basis for E(λ ), så har vi et fullt sett med egenvektorer tilhørende λ. Da har vi også et fullt sett med egenvektorer for A. Hvis de i tillegg er ortogonale, så har vi at A = P ΛP T, der P inneholder egenvektorene til A og Λ inneholder egenverdiene. For å finne egenvektorene for E(λ ) utvider vi basisen for E(λ ) til en ortogonal basis for R. De nye basisvektorene er da basisvektorer for E(λ ) = E(λ ). Vi starter med utgangspunkt i u = u = u = som er en basis for R. Vi kommer til å normalisere de nye vektorene underveis. 8. november 6 Side av 7

4 Løsningsforslag Øving v = u u = v = u u v v v = v = v v = 6 v = u u v v v u v v v = = + = 6 v = v v = = = = Vi har altså P = [ 6 Da får vi A = P ΛP T = 6 6 = 6 = 8 8 = Siden A [ = [, er λ = en egenverdi for A, med tilhørende egenvektor x = [. Vi vet at produktet av egenverdiene er lik determinanten, så den andre egenverdien må være λ =. Den tilhørende egenvektoren er ortogonal på x, så vi kan velge x = [. Vi normaliserer egenvektorene, og får v = [ og v = [. Vi setter [ λ Λ = = λ [ og P = [ Da får vi at A = P ΛP T = [ [ [ = = [ 5 5 [ [ 8. november 6 Side 4 av 7

5 Løsningsforslag Øving Jeg viser her kun resultatene for positivt (semi-)definitt; beviset for det negative tilfellet er symmetrisk. a) Anta at A og B er positivt definitte matriser, og anta at x. Da er (A + B)x x = (Ax + Bx) x = Ax x + Bx x > + =, og dermed er A + B positivt definitt. b) La A være positivt definitt. La λ være en egenverdi for A, med tilhørende egenvektor x. Da vet vi at λx x = Ax x >. Siden x x = x > (egenvektorer er per definisjon ulike nullvektoren), så må også λ >. På den andre siden, anta at A er en symmetrisk n n-matrise med kun positive egenverdier λ,, λn (telt med multiplisitet). Da vet vi vi kan danne en ortogonal basis for R n bestående av egenvektorer til A, kall de v,, v n. La x være en vilkårlig ikke-null vektor i R n. Da kan vi skrive x = a v + + a n v n. Ax x = A(a v + + a n v n ) (a v + + a n v n ) = (a Av + + a n Av n ) (a v + + a n v n ) = (a λ v + + a n λ n Av n ) (a v + + a n v n ) = a λ v + + a nλ n A v n > Den siste ulikheten kommer av at v i >, λ i > for alle i, og at a i for minst en i. c) Her er beviset nesten som i forrige oppgave, men med noen endringer, så jeg skriver det opp for sikkerhets skyld. La A være positivt semidefinitt. La λ være en egenverdi for A, med tilhørende egenvektor x. Da vet vi at λx x = Ax x. Siden x x = x > (egenvektorer er per definisjon ulike nullvektoren), så må også λ. På den andre siden, anta at A er en symmetrisk n n-matrise med kun ikkenegative egenverdier λ,, λn (telt med multiplisitet). Da vet vi vi kan danne en ortogonal basis for R n bestående av egenvektorer til A, kall de v,, v n. La x være en vilkårlig vektor i R n. Da kan vi skrive x = a v + + a n v n. Ax x = A(a v + + a n v n ) (a v + + a n v n ) = (a Av + + a n Av n ) (a v + + a n v n ) = (a λ v + + a n λ n Av n ) (a v + + a n v n ) = a λ v + + a nλ n A v n Den siste ulikheten kommer av at for alle i er a i, v og λ i større enn eller lik null. d) Siden oppgave (b) sa noe om positive egenverdier, mistenker vi at det kanskje er en ide å vise at A er positivt definitt. La x R n være ulik nullvektoren. Se på Ax x = (C T Cx) T x = x T C T Cx = (Cx) T (Cx) = Cx 8. november 6 Side 5 av 7

6 Løsningsforslag Øving Siden C har rang n, så er Cx = hvis og bare hvis x =. Altså har vi at Cx > (siden x ble antatt å være ulik nullvektoren), og dermed er Ax x >. Da er A positivt definitt, og har i følge oppgave (b) bare positive egenverdier. Ta en kikk på oppgave 6.4. igjen for løsningsmetoden for de neste to oppgavene! Eksamen a) Det karakteristiske polynomet er gitt ved: [ 6 λ det = (6 λ) = 6 λ+λ = λ λ+5 = (λ 7)(λ 5). 6 λ Vi har altså egenverdiene λ = 7 og λ = 5, og regner nå ut egenvektorene. gir oss egenvektoren x = [, som norma- A 7I = [ liseres til v = A 5I = [ til v = [ R R [ R +R [ [ gir oss egenvektoren x = [, som normaliseres A = P ΛP T = [ [ [ 7 5 Eksamen 5 a) Det karakteristiske polynomet er gitt ved: [ λ 4 det = ( λ) 6 = 9 6λ+λ 6 = λ 6λ 7 = (λ+)(λ 7). 4 λ Vi har altså egenverdiene λ = og λ = 7, og regner nå ut egenvektorene. A + I = 4 4 v = [ 4 4 R R A 7I = [ 4 4 til v = [ 4 4 [ 4 4 gir oss egenvektoren x = [, som normaliseres til R +R [ 4 4 gir oss egenvektoren x = [, som normaliseres A = P ΛP T = [ [ [ 7 8. november 6 Side 6 av 7

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Løsningsforslag. Vedlegg C: Kapittel 2. e) Ingen løsning. f) Flere løsninger: x = 4 + 2t, y = t. c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1

Løsningsforslag. Vedlegg C: Kapittel 2. e) Ingen løsning. f) Flere løsninger: x = 4 + 2t, y = t. c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1 Vedlegg C: Løsningsforslag Kapittel. a x =, y = 3 b x =, y = 0 cx =, y = 5 d x =, y = 3 e Ingen løsning. f Flere løsninger: x = 4 + t, y = t. a x = 7, x = 6, x 3 = bx =, x =, x 3 = c x =, x = 3, x 3 =.3

Detaljer

MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver

MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver Sosialøkonomisk institutt 22 Forord Dette heftet er beregnet på studenter som forbereder seg til eksamen i kurset Matematikk for økonomer i 3. avdeling.

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra

11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra TFY4250/FY2045 Tillegg 11 - Harmonisk oscillator og dreieimpuls operatoralgebra 1 TILLEGG 11 11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra I Tillegg 3 er den harmoniske oscillatoren gitt en

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02 Leting på nettet 3 MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET Eskilstuna 5 september 02 Som så ofte når det gjelder spektakulære tekniske anvendelser, og spesielt når det gjelder verktøyene på nettet,

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien. Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.. John von Neumanns min-max teorem For å vise dette resultatet trenger vi et lite hjelperesultat. For p R m så sier vi at p er en sannsynlighetsvektor

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995 Løsningsforslag eksamen STE 638 Geometrisk modellering 9/8 995. a) Vi skal bestemme hvilke av avbildningene/transformasjonene som er homeomorfier. f 4 6 Determinanten til matrisen er lik, dvs at den har

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet som ønsker videreutdanning

Detaljer

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0 Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 Lars Sydnes, NITH 26. november 2013 I. GAUSS-ELIMINASJON 2x + 3y + z = 1 2x + 5y z = 1 4x + 7y + 4z = 3 x + 3/2 y + 1/2 z = 1/2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 x + 2z = 2 y z

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS.

Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Oppgave 1 En bonde har et 20 meter langt gjerde og skal sperre av et rektangulært område der en av sidene i rektangelet er en fjøsvegg. Finn maksimalt areal som

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN VÅR07, MA0301

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN VÅR07, MA0301 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN VÅR07, MA0301 Oppgave 1 Om mengder. a) (10%) Sett opp en medlemsskapstabell (membership

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Justering til gyldig korrelasjonsmatrise

Justering til gyldig korrelasjonsmatrise Absolute difference between original and adjusted matrix (major, with weights)...2.3.4.5.85.45.6 -.2. -. -.4.6.4.4.3.7 -.7 -.7. -.4.5.72.45 -.4 -.79.85.34.3 -.8.8.4 -. -.4..4.9.5 -.9 -.7 -.4 -.9.64.8.53.2

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2015/2016

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2015/2016 Versjon 01/15 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2015/2016 Profesjons- og yrkesmål Matematikkstudier i regi av NTNU KOMPiS skal gi studentene tilstrekkelig fagkompetanse til å kunne

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2014/2015

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2014/2015 Studieplan MATEMATIKK DELTA studieåret 2014-2015 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK - DELTA studieåret 2014/2015 Profesjons- og yrkesmål Matematikkstudier i regi av NTNU KOMPiS skal gi studentene tilstrekkelig

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1

Detaljer

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )

Euklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 ) For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Unge Abel NMCC. Prosesslogg. Nord-Trøndelag, Norge 27.03.2015

Unge Abel NMCC. Prosesslogg. Nord-Trøndelag, Norge 27.03.2015 2015 Unge Abel NMCC Prosesslogg Nord-Trøndelag, Norge 27.03.2015 Innhold UngeAbel logg... 2 Faglig rapport... 5 Innledning:... 5 UngeAbel oppgave Aa... 6 GeoGebra... 8 Excel... 9 Konklusjon... 10 UngeAbel

Detaljer

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109 Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Prosjekt 2, Diskret kosinus-transformasjon.

MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Prosjekt 2, Diskret kosinus-transformasjon. Stavanger, 25. januar 2012 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet MIK 200 Anvendt signalbehandling, 2012. Prosjekt 2, Diskret kosinus-transformasjon. Vi skal i dette miniprosjektet se litt på bruk av

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 17, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i

Detaljer

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Korteste vei problemet (seksjon 15.3)

Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k

Detaljer

Rekker, Konvergenstester og Feilestimat

Rekker, Konvergenstester og Feilestimat NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)} Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a,

Detaljer

Matematikk R1 Forslag til besvarelse

Matematikk R1 Forslag til besvarelse Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her

Detaljer

Hvor magisk er eksponensialet til et magisk kvadrat?

Hvor magisk er eksponensialet til et magisk kvadrat? Normat 50:2, 1001 1007 2002) 1001 Hvor magisk er eksponensialet til et magisk kvadrat? Kenth Engø Telenor Forskning og Utvikling Snarøyveien 0 NO 11 Fornebu Kenth.Engo@telenor.com Introduksjon. I denne

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X

Problemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X Problemløsing Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse Einar Andreas Rødland 199X Innhold 1 Innledning 3 2 Logikk og beviser 3 3 Geometri 5 4 Reductio ad absurdum 7 5 Induksjonsbevis

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

Matematikk påbygging

Matematikk påbygging Høgskolen i Østfold Matematikk påbygging Omfang: 1 år 60 studiepoeng Påbyggingsstudium Godkjent Av Dato: 14.08.04 Endret av Dato: Innholdsfortegnelse INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 MÅLGRUPPE OG OPPTAKSKRAV...

Detaljer

For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008

For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 ITERERTE LINEÆRE REKURSJONER OG SCHUBERT REGNING For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 1. Adjunksjon av røtter 1.1 Notasjon. La A være en ring. For en A-algebra B betrakter vi Hom A (B, A) som en

Detaljer

Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE)

Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE) Emneplaner for fysikk og matematikk 3-treterminordingen (TRE) Heltid - ikke studiepoenggivende utdanning Godkjent av Avdelingsstyret ved ingeniørutdanningen 14. mars 2011 Fakultet for teknologi, kunst

Detaljer

En studentassistents perspektiv på ε δ

En studentassistents perspektiv på ε δ En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og

Detaljer

n-te røtter av komplekse tall

n-te røtter av komplekse tall . 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ

Detaljer

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen MAT1100 Pensum fra Kalkulus KAP3 KOMPLEKSE TALL 3.1

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER

KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

NYE OPPGAVETYPER OG KRAV TIL FØRING

NYE OPPGAVETYPER OG KRAV TIL FØRING CAS, Graftegner og regneark på eksamen Eksamen 1P, 2P og 2P-Y 2 timer uten hjelpemidler 3 timer med hjelpemidler Noen oppgaver i del 2 kreves løst med digitale verktøy Aktuelle verktøy er graftegner og

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

4.7 EMNEBESKRIVELSER I MATEMATIKK

4.7 EMNEBESKRIVELSER I MATEMATIKK SIDE 309 MA0001 Brukerkurs i matematikk A Mathematical Methods A Faglærer: Førsteamanuensis Øyvind Bakke Anbefalte forkunnskaper: Undervisningen bygger på matematikkunnskaper tilsvarende 2MX fra videregående

Detaljer

Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24. Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics

Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24. Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Faculty of Technology, Postboks 203, Kjølnes ring 56,

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/thorup/dlbook/april 11, 2005 DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Diskret matematikk finnes ikke Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer