Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1

Transkript

1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 1

2 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 Hvis A er en diagonaliserbar matrise, A = PDP 1, så kan vi regne ut potenser av A ved å bruke formelen A k = PD k P 1 1

3 Diagonalisering og egenvektorer Teorem En n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis den har n lineært uavhengige egenvektorer. 2

4 Diagonalisering og egenvektorer Teorem En n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis den har n lineært uavhengige egenvektorer. Hvis A er diagonaliserbar og A = PDP 1, så er kolonnene til P egenvektorer for A og D er diagonalmatrisen med de tilhørende egenverdiene på diagonalen. 2

5 Diagonalisering og egenvektorer Teorem En n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis den har n lineært uavhengige egenvektorer. Hvis A er diagonaliserbar og A = PDP 1, så er kolonnene til P egenvektorer for A og D er diagonalmatrisen med de tilhørende egenverdiene på diagonalen. P kalles egenvektormatrise for A og D kalles egenverdimatrise for A. 2

6 Diagonalisering og egenvektorer Teorem En n n-matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis den har n lineært uavhengige egenvektorer. Hvis A er diagonaliserbar og A = PDP 1, så er kolonnene til P egenvektorer for A og D er diagonalmatrisen med de tilhørende egenverdiene på diagonalen. P kalles egenvektormatrise for A og D kalles egenverdimatrise for A. Teorem Hvis A har n distinkte egenverdier λ 1,..., λ n og v 1,..., v n er tilhørende egenvektorer for A, så er v 1,..., v n lineært uavhengige og A er diagonaliserbar. 2

7 Komplekse egenverdier Et kompleks tall λ som oppfyller det(a λi) = 0 kalles en (kompleks) egenverdi til matrise A. 3

8 Komplekse egenverdier Et kompleks tall λ som oppfyller det(a λi) = 0 kalles en (kompleks) egenverdi til matrise A. Hvis A er en matrise med reelle elementer og λ er en egenverdi så er λ også en egenverdi. 3

9 Komplekse egenverdier Et kompleks tall λ som oppfyller det(a λi) = 0 kalles en (kompleks) egenverdi til matrise A. Hvis A er en matrise med reelle elementer og λ er en egenverdi så er λ også en egenverdi. Eksempel A = [ ] 3

10 Komplekse vektorer Vi ser på n-vektorer med komplekse komponenter, v = [z 1,..., z n ] hvor z j = x j + iy j er komplekse tall. 4

11 Komplekse vektorer Vi ser på n-vektorer med komplekse komponenter, v = [z 1,..., z n ] hvor z j = x j + iy j er komplekse tall. v = Re(v) + iim(v), Re(v) = [x 1,..., x n ] og Im(v) = [y 1,...y n ]. 4

12 Komplekse vektorer Vi ser på n-vektorer med komplekse komponenter, v = [z 1,..., z n ] hvor z j = x j + iy j er komplekse tall. v = Re(v) + iim(v), Re(v) = [x 1,..., x n ] og Im(v) = [y 1,...y n ]. Vi definerer kompleks konjugert vektor v = Re(v) iim(v) 4

13 Komplekse egenverdier og egenvektorer La A være en matrise (med reelle tall) og v være en kompleks vektor, vi definerer Av = ARev + iaimv. 5

14 Komplekse egenverdier og egenvektorer La A være en matrise (med reelle tall) og v være en kompleks vektor, vi definerer Av = ARev + iaimv. En kompleks vektor v 0 kalles en egenvektor til kvadratisk matrisen A hvis Av = λv hvor λ er et kompleksetall som kalles en egenverdi til A. 5

15 Komplekse egenverdier og egenvektorer La A være en matrise (med reelle tall) og v være en kompleks vektor, vi definerer Av = ARev + iaimv. En kompleks vektor v 0 kalles en egenvektor til kvadratisk matrisen A hvis Av = λv hvor λ er et kompleksetall som kalles en egenverdi til A. Hvis v er en egenvektor til en reell matrisen A, Av = λv, så er v også en egenvektor og A v = λ v. 5

16 Komplekse egenverdier og egenvektorer La A være en matrise (med reelle tall) og v være en kompleks vektor, vi definerer Av = ARev + iaimv. En kompleks vektor v 0 kalles en egenvektor til kvadratisk matrisen A hvis Av = λv hvor λ er et kompleksetall som kalles en egenverdi til A. Hvis v er en egenvektor til en reell matrisen A, Av = λv, så er v også en egenvektor og A v = λ v. Et kompleksetall λ er en egenverdi hvis og bare hvis det(a λi) = 0. 5

17 Oppsummering Denne uken: Egenvektorer og egenverdier, diagonalisering Lærebok: 5.1, 5.2, 5.3, 5.5 Neste gang Anvendelser til diffirensialligninger Lærebok: 5.7 6

18 Oppsummering Denne uken: Egenvektorer og egenverdier, diagonalisering Lærebok: 5.1, 5.2, 5.3, 5.5 Neste gang Anvendelser til diffirensialligninger Lærebok: 5.7 Påskelesing: 5.6, 5.8, 6.3 6