Øving 4 Egenverdier og egenvektorer

Transkript

1 Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor parallell med den opprinnelige. Til hver egenvektor x hører det en verdi av Λ, kalt den tilhørende egenverdi. x = er en løsning, men aksepteres ikke som egenvektor da vi ikke kan assosiere noen egenverdi til x =. Likningen er oppfylt for alle verdier av Λ i dette tilfellet. Vi ser at når x er en egenvektor, vil også k x være det: A. k x = k (A.x) = k (Λ x) = Λ (k x). Likningen har derfor uendelig mange løsninger, selv for samme Λ..Dersom egenvektoren x er oppgitt, regner du ut A.x og leser av verdien for Λ.Dersom egenverdien Λ er oppgitt, finner du tilhørende egenvektor ved å bringe matrisen A- Λ I på redusert trappeform. Du skal da få en nullrad fordi du har en fri variabel..i de fleste oppgaver er hverken x eller Λ oppgitt, og du skal finne begge deler. Likningen A.x = Λ x = Λ I x ( der I er identitetsmatrisen av samme dimensjon som A), kan skrives (A - Λ I).x =. Du har altså et likningssystem med to ukjente ( Λ, x). Et homogent likningssystem har minst en løsning ( x = ) eller det har uendelig mange løsninger. Vi er interessert i tilfellet med uendelig mange løsninger (utenom den trivielle løsningen) og krever derfor det(a - Λ I) =. Dette gir oss et polynom i Λ av samme grad som dimensjonen til A.Vi kaller dette for matrisens karakteristiske polynom. Nullpunktene i polynomet er de søkte egenverdiene. Deretter bestemmer du egenvektorene som nevnt ovenfor i pkt. Mathematica har innebygde kommandoer for å håndtere egenverdier og egenvektorer. Eks ; - - Egenverdier : evals = Eigenvalues@AD 8-, -, -< Karakteristisk polynom: p@λ_d = Det@A - Λ IdentityMatrix@DD -Λ - 9 Λ - Λ - p@λ_d = CharacteristicPolynomial@A, ΛD -Λ - 9 Λ - Λ -

2 Øving uke 7.nb Egenverdiene er nullpunktene i det karakteristiske polynom: Solve@p@ΛD, ΛD 88Λ -<, 8Λ -<, 8Λ -<< Det karakteristiske polynom er også nyttig for å beregne determinanter, da p[] = det A. Determinanten til matrisen er derfor lik konstantleddet i det karakteristiske polynom: p@d - Sjekk : Det@AD - Tilhørende egenvektorer evecs = Transpose@Eigenvectors@ADD Egenvektorene står på radene til Eigenvectors[A] og vi må derfor transponere matrisen hvis vi vil lese egenvektorene søylevis. Første søyle svarer til første egenvektor osv. Vi kan sjekke at vektorene er løsning av likningen A.x = Λ x: En tredje kommando gir både egenverdier og egenvektorer : Eigensystem@AD , -, < 8, -, < 8-, -, < Manuelt bestemmer du egenvektoren til Λ ved å bringe matrisen A - Λ I på redusert trappeform. RowReduceBArrayFlattenB::A + IdentityMatrix@D, - >>FF Her ser du at z er fri parameter pga nullraden nederst, du har altså bare to lineært uavhengige likninger med variable. Med en fri variabel får du uendelig mange løsninger, som vi forventer. x -z = y+z = x = t y = -t x y = t -

3 Øving uke 7.nb Her ser du at z er fri parameter pga nullraden nederst, du har altså bare to lineært uavhengige likninger med variable. Med en fri variabel får du uendelig mange løsninger, som vi forventer. x -z = y+z = x = t z=t y = -t x y = t - z z=t Velger vi t =, får vi egenvektoren - som hører til Λ = -. Eks ; - Eigenvalues@AD 8-,, < En triangulær matrise har egenverdiene som diagonaleelmenter. De kan derfor leses av direkte. Men du kan selvfølgelig gå veien om det karakteristiske polynom. -Λ -Λ -Λ det(a- Λ I) = det = (-Λ) det = ( - Λ)( - Λ)(-- - Λ) = - - Λ - - Λ Diagonalmatriser er et enda enklere spesialtilfelle Clear@a, b, cd 8a, b, c< IdentityMatrix@D a b c Eigensystem@%D a b c 8,, < 8,, < 8,, < Eks ; Eigensystem@AD ,, < 8-,, < 8, -, < B= ;

4 Øving uke 7.nb ,, < 8,, < 8, -, < Eksempel illustrerer tilfeller der du får to like egenverdier. I eksempel finnes tre lineært uavhengige egenvektorer, men i eksempel får vi bare to egenvektorer da nullvektoren ikke regnes med. Dette er en situasjon som kan oppstå når du har multiple egenverdier, og det får betydning for diagonalisering av matriser som er tema i øving. Når du har n distinkte (forskjellige) egenverdier i en n x n matrise, er du garantert n lineært uavhengige egenvektorer. Vi sier også at egenvektorrommet ( mengden av alle lineært uavhengige egenvektorer) har dimensjon n. Similære matriser To matriser A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at B = P.A.P -..Similariteten gjelder begge veier, da det følger av matrisemultiplikasjon fra venstre med P - at Q.B.Q- der Q = P -. Similære matriser har samme egenverdier: B - Λ I = P.A.P -. - Λ I = P.A.P -. - Λ P..P -..I = P.A.P -. - Λ P.I.P -. = P ( A - Λ I). P -. det (B - Λ I) = det ( P ( A - Λ I). P -. ) = det(p) det(a-λ I) det(p - ) = det(p) det(a-λ I) = dethpl det(a-λ I). Siste likhet skyldes at determinanter er reelle tall og rekkefølgen kan derfor byttes om. Eksistensen av P - sikrer at det(p) ¹. A og B har samme egenverdier siden det(a- Λ I) = Þ det(b - Λ I) =. Egenvektorene til A og B er ikke like, men det er en nær relasjon mellom dem. Anta x er egenvektor for A, dvs A.x = Λ x Da er B.P.x = P.A.P -.x = P.A.I.x = HP.AL.x = P.HA.xL = P. HΛ xl = Λ P.x slik at P.x er egenvektor for B. Dette er en viktig egenskap for diagonalisering av matriser, som vi skal se på i øving. Similære matriser har samme determinant. Beviset benytter grunnleggende egenskaper ved determinanter. det detip.b.p - M = dethpl det HBL det IP - M = dethpl detip - M det B = det IP.P - M det B = det I det B = det B. I beviset har vi benyttet at det( A.B) = det A det B = det B det det(b.a) fordi determinanter er reelle tall og rekkefølgen mellom tall kan byttes om. Produktene er vanlig multiplikasjon, ikke matrisemultiplikasjon. Videre vet vi at det I = uansett dimensjon ( = produktet av diagonalelementene). Cayley - Hamiltons teorem En matrise tilfredsstiller sin eget karakteristiske polynom.. La P(Λ) være det karakteristiske polynomet til A. Egenverdiene til A er altså røttene i likningen P(Λ) =. Da sier teoremet at P(A) =. Når vi erstatter tallet Λ med matrisen A, må vi også forstå at produktet Λ erstattes med matriseproduktet A. A, og tilsvarende for høyere potenser. Dette gir oss en ny og meget smart metode til å beregne den inverse matrisen A-.

5 Øving uke 7.nb ; Matrisen er triangulær, så egenverdiene kan leses av på diagonalen: Eigenvalues@AD 8,,, < CharacteristicPolynomial@A, ΛD Λ - Λ + 68 Λ - Λ + 7 CH - teorem sier da at A - A + 68 A - A + 7 I = Iunderforstått A A.A osvm. Multipliserer vi fra venstre med A-, får vi: A - A + 68 A - I + 7 A- = Þ A- = 7 IA - A + 68 A - IM H MatrixPower@A, D - MatrixPower@A, D + 68 A - IdentityMatrix@DL Vi sjekker resultatet i Mathematica Inverse@AD Dette er en meget nyttig metode for å invertere matriser, hvor du bare benytter matrisemultiplikasjoner og trenger ingen elimasjonsprosess. Oppgave Bestem egenverdiene til matrisene ved å regne ut det karakteristiske polynom. Skriv programkode som gjennomfører regningen. Bestem også egenvektorene ved bringe de aktuelle matrisene på redusert trappeform. Sjekk svarene med kommandoene i Mathematica. K - O; B = K O; 8 C = ; - -

6 6 Øving uke 7.nb Oppgave Gitt matrisen ; - - Sett opp det karakteristiske polynom p(λ) for A. Vis at p() =. Bruk dette til å finne alle egenverdier til A. Hint: polynomdivisjon. Sjekk egenverdier og tilhørende egenvektorer med kommandoer i Mathematica. Bruk Cayley- Hamiltons teorem til å bestemme A-. Sjekk svaret med kommando i Mathematica.