Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Transkript

1 Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk En stor klasse av problemer som kan løses via lineære likningssystemer faller inn under overskriften Populasjonsdynamikk, og det er disse typene problemer vi skal studere nå De dukker ofte opp i biologi, men også innenfor andre fagområder (vi skal blant annet se på bilister som kjører med og uten piggdekk) Populasjonsdynamikk dreier seg om å studere dynamikken i en populasjon, dvs vi deler opp en populasjon som består av individer i underpopulasjoner og studerer bevegelsen mellom tilstander i populasjonen over generasjoner Eksempel 4 Eksempler på populasjoner kan være mennesker i et land, dyr i et avgrenset område, planter i et drivhus eller sykler i en by Underpopulasjoner av sykler i en by kan for eksempel være stjålet og ikke stjålet En tilstand for denne populasjonen kan være at 2% er stjålet 54

2 og at 8% ikke er stjålet Når tiden går vil underpopulasjonene utvikles og forandres etter gitte sammenhenger, og denne populasjonsdynamikken gjør at populasjonen endres Spørsmålet man vil ha svar på i populasjonsdynamikk er: Hva skjer med populasjonen over tid, når de gitte sammenhengene repeteres for hver generasjon? Det er et par superviktige antagelser vi gjør når vi skal løse denne typen problemer: Vi antar at de gitte sammenhengene er lineære (vi skal straks se hva dette betyr) I populasjonsdynamikk regnes tiden i adskilte tidspunkter, dvs tiden måles i for eksempel måneder, år eller generasjoner Det betyr at vi kan la n være et naturlig tall, og snakke om tilstanden til en populasjon ved tid n Det er mange problemer som kan løses ved å gjøre disse antagelsene Vi er ofte interessert i å studere situasjoner som kan deles opp i adskilte tidsrom selv om tiden går hele tiden Vi er da interessert i milepæler, noe som kan måles hver generasjon Eksempel 42 Eksempler på milepæler (adskilte tidsrom) kan være at vi setter på piggdekk hver høst, noen populasjoner får avkom hver 4 måned, og noen bytter kanskje strømleverandør en gang i året Vi skal snart ta for oss et tekstoppgave-eksempel, men la oss innføre litt språkbruk først (les gjerne dette en gang til etter eksemplet) Matematisk tenker vi på en populasjon som et system som skal studeres Hvis vi har r underpopulasjoner av en populasjon, lar vi x i være antall (som kan være gitt som prosentandel) individer i underpopulasjon i Da får vi en vektor x,, x r R r, og for hver generasjon får vi en tilstandsvektor Definisjon 43 Tilstandsvektoren u n til en populasjon ved tiden n er en vektor som sier hvor mange individer det er i hver underpopulasjon i generasjon n 55

3 Initialvektoren u til en populasjon gir oss populasjonens tilstand ved tid, dvs startpunktet for utviklingen vi studerer Bemerkning 44 I MAT skal vi jobbe med 2 eller 3 underpopulasjoner, og vi vil derfor bruke x, y (og z) for antall individer i disse underpopulasjonene Tilstandsvektoren til en populasjon med 3 underpopulasjoner x, y og z ved tiden n skriver vi derfor u n og initialvektoren blir u x y z n z Eksempel 45 Hvis vi lar være prosentandel sykler som er stjålet ved tiden n og være andel sykler som ikke er stjålet ved tid n, blir tilstandsvektoren for syklene i Eksempel 4, hvis vi sier at dette er ved tid 2 m, lik u m 8 I populasjonsdynamikk slik vi skal studere det, antar vi altså at de gitte sammenhengene er lineære Vi vet at de lineære regneoperasjonene er addisjon og multiplikasjon med skalarer Det betyr at vi kan finne tilstandsvektoren u n+ i generasjon n + ved å bruke lineære regneoperasjoner på antallene, og z n i tilstandsvektoren u n Dermed får vi u n+ + + a + a 2 + a 3 z n a 2 + a 22 + a 23 z n z n+ a 3 + a 32 + a 33 z n der a ij -ene er skalarer Navnevalget er ikke tilfeldig, for dette kjenner vi igjen Vi har jo at a + a 2 + a 3 z n a 2 + a 22 + a 23 z n a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 + a 32 + a 33 z n a 3 a 32 a 33 z n 56

4 Det betyr at hvis vi kaller 3 3-matrisen ovenfor for A, så vil u n+ + + A Au n, z n+ z n dvs at (Viktig!) i vår modell for populasjonsdynamikk er sammenhengen mellom to tilstander til en populasjon gitt ved å multiplisere med en matrise! Definisjon 46 Matrisen A ovenfor, som koder all informasjon om utviklingen av populasjonen vår, kalles overgangsmatrisen til populasjonen Bemerkning 47 Legg merke til at mange bruker bokstaven M eller P for overgangsmatriser, og at noen kaller dem projeksjonsmatriser Eksempel 48 Vi kan for eksempel ha følgende lineære sammenhenger: z n 5 + 3z n z n z n Siden blir overgangsmatrisen + + z n+ A z n, Mye av jobben i populasjonsdynamikk-oppgavene ligger i å finne overgangsmatrisen ut fra gitte tekst-opplysninger Her er et konstruert eksempel: 57

5 Eksempel 49 Anta at MAT-studenter kun kan være i to tilstander: enten jeg leser eller jeg sover Anta videre at studentene følger følgende rutiner: Dersom en student er jeg leser idag, er det hundre prosent sikkert at studenten er jeg sover imorgen, og dersom studenten er jeg sover idag, er det 4% sjanse for at studenten er jeg sover imorgen også, og 6% sjanse for at studenten er jeg leser imorgen La være antall MAT-studenter som leser ved dag n, og la være antall MAT-studenter som sover ved dag n La oss finne overgangsmatrisen som styrer tilstandene til MAT-studentene, dvs matrisen M slik at + + M Fra teksten får vi at + (antall som leser ved dag n + ) er 6% av de som sov dagen før Antall studenter som sover ved dag n er, og dermed får vi at + 6 Antall studenter som sover ved dag n +, angitt ved +, er antall som leste ved dag n, pluss 4% av de som sov ved dag n, så Dette gir , så M 6 4 Vi skal se nærmere på hva som skjer med disse studentene utover i kapittelet La oss se på et (stort) eksempel, basert på en eksamensoppgave i MAT 58

6 fra våren 26 Eksempel 4 (Matematikk og miljø!) Vi skal se på hvorfor Oslo kommune gjeninnførte ordningen med piggdekkgebyr, kalt PiggAv, fra november 24, og konsekvensene av dette Oppgavetekst: I 99 kjørte % av Oslo-bilistene med piggdekk om vinteren La og være prosentandelen av bilister som kjører henholdsvis piggfritt eller med piggdekk n år senere, dvs x og y Vi antar at antall bilister er konstant, men at % av bilistene hvert år skiftes ut med nye bilister Av de nye bilistene og de som kjørte piggfritt året før, kjører 9 % piggfritt og % med piggdekk Av de som kjørte med piggdekk året før kjører fortsatt 8% med piggdekk og 2% har skiftet til piggfritt Forklar at + M Sitat slutt Matrisen M er oppgitt i oppgaven som M 73 Overgangsmatrisen er ofte oppgitt, og du blir gjerne bedt om å forklare hvorfor den blir slik Dette er ment som en hjelp, siden du vet hva du skal frem til For å forklare, må du imidlertid skjønne hvordan man kommer seg fra tekst til overgangsmatrise, så la oss vise hvordan vi finner matrisen i denne oppgaven Overgangsmatrisen M skal lage matematikk av teksten og hjelpe oss å holde styr på piggdekksituasjonen i Oslo Tilstandsvektoren ved år n er gitt ved, og vi skal altså finne M slik at + + M 59

7 Vi må altså finne uttrykk for + og +, uttrykt ved og Vi leser teksten en gang til og begynner å jobbe Vi antar at antall bilister er konstant, men at % av bilistene hvert år skiftes ut med nye bilister Det betyr at et år senere er antall nye bilister ( + ), antall piggfrie bilister fra året før er 9 og antall bilister med pigg fra året før er 9 Av de nye bilistene og de som kjørte piggfritt året før, kjører 9% piggfritt og % med piggdekk Det betyr at + får tilskudd av 9( + ) og + får tilskudd av ( + ) fra de nye bilistene Videre vil + beholde 9(9 ) og + vil få (9 ) av de piggfrie bilistene fra året før Av de som kjørte med piggdekk året før kjører fortsatt 8% med piggdekk og 2% har skiftet til piggfritt Det betyr at antall bilister med pigg fra året før gir opphav til at + beholder 8(9 ) og at + får 2(9 ) I disse oppgavene må man altså holde hodet kaldt, lese sakte og skaffe seg et bilde av situasjonen Da kan det ofte hjelpe å tegne en figur Her er en tegning (man må tegne selv for å forstå, men denne tas med som et eksempel): 9( + ) ( + ) PIGGFRI 2(9 ) PIGG xn+ + 9(9 ) (9 ) 8(9 ) I tegningen er det en sirkel for hver underpopulasjon, med piler som går frem og tilbake og inn og ut (dynamikken i populasjonen!) På pilene står bidragene (de som er uthevet i teksten ovenfor) Alt vi har skrevet i oppgaveløsningen til nå kan altså sies med denne tegningen I en eksamensbesvarelse er denne tegningen sammen med et par 6

8 forklarende setninger et godt svar Fra tegningen kan vi nå summere bidragene og får + 9(9 ) + 9( + ) + 2(9 ) , og + 8(9 ) + ( + ) + (9 ) På matriseform får vi dermed så overgangsmatrisen er M, som er den vi får oppgitt i 73 oppgaven Dette er som sagt gitt som en hjelp for å sjekke at svaret er riktig Som forklaring kreves regningene som er gitt ovenfor Når vi har funnet overgangsmatrisen, kan vi bruke matriseteori for å studere situasjonen videre Vi har allerede lært mye om matriser, men i populasjonsdynamikk er det et par matrisebegreper vi enda ikke har møtt og som er veldig viktige Vi må derfor innføre begrepene egenverdier og egenvektorer før vi fortsetter eksemplet med PiggAv, 42 Egenverdier og egenvektorer Det er flere måter å motivere egenverdier og egenvektorer på, men nå som vi holder på med populasjonsdynamikk, bruker vi den innfallsvinkelen Vi er interessert i å studere populasjoner der tilstanden forandres fra generasjon til generasjon ved å multiplisere med samme matrise M for hver gang Hva skjer over tid med denne populasjonen? 6

9 Hvis vi vet initialvektoren u kan vi regne ut u k for alle k ved at u Mu u 2 M(Mu ) M 2 u u k Mu k M(M k u ) M k u Det er ingen sak for en datamaskin å regne ut disse tilstandsvektorene Hvis du har god tid, kan du også gjøre det selv Du kan enten multiplisere M med seg selv nok ganger, og så multiplisere med u eller regne iterativt u Mu, u 2 Mu osv Det siste alternativet er raskest Bemerkning 4 Vi vil bruke n og M n i eksemplene (og oppgavene), mens vi vil bruke k og M k i gjennomgangen av teorien Det skyldes at i eksemplene (og oppgavene) er gjerne M en 2 2- eller en 3 3-matrise, mens i det generelle tifellet er M en n n-matrise, og da kan vi ikke bruke n i M n og u n Dessuten vil vi gjerne bruke n for et naturlig tall så ofte vi kan Tallene n og k er begge vilkårlige naturlige tall Eksempel 49 fortsetter Overgangsmatrisen for MAT-studentene som enten sover eller leser er 6 M 4 Anta nå at det er 3 MAT-studenter og at alle leser første dag (n ), dvs x y 3 Da kan vi for eksempel regne ut x y M x y , så andre dag er det ingen som leser, men alle sover (noe som også stemmer 62

10 med teksten: alle som leser idag, sover imorgen) Videre har vi og x 2 y 2 x 3 y 3 M M x y x 2 y Den tredje dagen er det altså 8 som leser mens 2 sover, og den fjerde dagen er det 72 som leser og 228 som sover Hva skjer med MAT-studentene hvis disse rutinene følges hver dag? Følg med (vi trenger litt mer teori først) Eksempel 4 fortsetter I PiggAv-oppgaven har vi oppgitt at initialvektoren (i 99) er, og dermed kan vi regne ut andel bilis- x y ter som kjører henholdsvis piggfritt og med pigger i årene etter 99 Tilstandsvektorene er gitt ved n Her er tilstandsvektorene for n,, 8 (til 28) regnet ut: n (4) n

11 I eksamensoppgaven er et av spørsmålene følgende: I hvilket år kjører for første gang mer enn 7% av bilistene piggfritt? Andel bilister som kjører piggfritt er gitt av, og vi ser av tabellen at x mens x 7 7, altså er svaret 997 For å regne ut tabell (4), må dere imidlertid regne ganske mye, og selv om dere ikke trenger hele tabellen for å finne svaret her, er det allikevel altfor tidkrevende å bruke denne metoden (også på eksamen!) Da er det fint at det fins andre metoder for å finne svaret på denne oppgaven Samtidig vil disse andre metodene gi oss mye nyttig informasjon som vi ikke ser så lett i tabellen, og som vi vil trenge for å svare på andre typer spørsmål Vi ser nå etter en metode for å gjøre utregningen av M k u enklere Det virker kanskje ikke så naturlig første gang dere ser dette, men hva om det fantes vektorer x, x, som var slik at Mx λx, (42) dvs at det å multiplisere med M er det samme som å multiplisere med en skalar λ R? Bemerkning 42 Det er vanlig å bruke den greske bokstaven λ (leses lambda ) for skalarer i denne sammenhengen Vektorene x som oppfyller (42) vil også oppfylle M k x λ k x (43) Dette ser vi fra følgende regning (husk regnereglene for matriser): M k x M k Mx M k λx λm k x λm k 2 Mx λm k 2 λx λ 2 M k 2 x λ k Mx λ k λx λ k x Det går veldig fort å regne ut λ k x, så vi vil gjerne ha tak i vektorer x som 64

12 oppfyller (42) Før vi går igang med den jakten, la oss ta et par eksempler for å vise at slike vektorer fins: Eksempel 43 Hvis vi lar M være matrisen har vi at (sjekk!) M M 2 4 2, så for denne matrisen kan vi oppfylle (42) med x Eksempel 44 La M være matrisen Da har vi at (sjekk!) M M Denne matrisen oppfyller dermed (42) med x, (44) og λ 2 (45) 6 3 og λ Så var det jakten på de spesielle vektorene Som vi så i eksemplene ovenfor, vil disse vektorene naturlig tilhøre noen spesielle λ-er (skalarer), og vi vil jakte på λ-ene først: Betingelsen (42) gir opphav til et lineært likningssystem, og for å få systemet på en form vi kjenner, skriver vi: λx λix 65

13 Vi har altså multiplisert med identitetsmatrisen I Husk at det har vi lov til uten at den forandrer noe som helst (husk regneregler for matriser; I fungerer som tallet ) Da får vi at betingelsen (42) gir oss Mx λix eller (M λi)x (46) Vi har altså fått et homogent likningssystem (46) og bruker nå Bemerkning 34 og Teorem 3: Vi har enten én eller uendelig mange løsninger, dvs for å oppfylle (42), må vi ha det(m λi) Uansett hva λ er har vi alltid én løsning, nemlig x, men den er ikke interessant i dette tilfellet, så for å finne de λ-ene som gir uendelig mange x-er, løser vi likningen det(m λi) (47) I problemene vi skal regne på vil (47) bli en andre- eller tredjegradslikning med λ som ukjent (Generelt gir dette en polynomial likning der λ er den ukjente Vi skal definere ordet polynom i neste kompendium) De skalarene λ som passer inn i likningen (47) kalles egenverdiene til matrisen M Navnet kommer av at de er egne, dvs spesielle, for hver matrise Likningen (47) kalles den karakteristiske likningen til matrisen M Hvis vi har en 2 2-matrise M vil denne likningen gi en andregradslikning i λ: La m m 2 M Da får vi m 2 m 22 det(m λi) m λ m 2 m 22 λ m 2 66

14 som gir (m λ)(m 22 λ) m 2 m 2 λ 2 λ(m + m 22 ) + m m 22 m 2 m 2 Bemerkning 45 Når vi løser en andregradslikning kan vi få ingen, én eller to løsninger (så lenge vi jobber med de reelle tallene) Hvis matrisen M er n n, vil (47) ha høyst n forskjellige løsninger, og i de tekstoppgavene vi vil møte, vil vi få nøyaktig n forskjellige løsninger, dvs vi har nøyaktig n forskjellige egenverdier Husk at vi konsentrerer oss om tilfellene der n er 2 eller 3 Eksempel 46 I Eksempel 43 hadde vi matrisen M 2 4 og påsto at λ 2 er en egenverdi for M Vi finner alle egenverdiene til M ved å regne ut det(m λi), dvs λ det(m λi) 2 4 λ ( λ)(4 λ) + 2 λ2 5λ + 6 Andregradslikningen λ 2 5λ + 6 har løsningsmengde {2, 3}, dvs at M har to egenverdier, λ 2 eller λ 3 Vi oppsummerer begrepet egenverdi og definerer begrepet egenvektor: Definisjon 47 Egenverdiene til matrisen M er de tallene λ slik at Mx λx (48) for vektorer x Vektorene x kalles egenvektorene tilhørende egenverdien λ 67

15 En egenverdi λ har alltid uendelig mange tilhørende egenvektorer, nemlig sx for alle mulige valg av skalarer s der x er en egenvektor for λ Legg merke til at nullvektoren ikke er en egenvektor per definisjon Eksempel 43 fortsetter Regningen (44) viser at λ 2 er en egenverdi for M med tilhørende egenvektor Vi kan også sjekke at alle vektorer på formen s der s R og s er egenvektorer tilhørende egenverdien λ 2 Når vi skal finne alle egenvektorene tilhørende de ulike egenverdiene, må vi løse likningssystemet (48) La oss ta et eksempel Eksempel 48 Vi skal nå regne ut alle egenvektorer til matrisen M 2 4 og dermed se at det vi påsto i Eksempel 43 stemmer Egenverdiene til M regnet vi ut i Eksempel 46 til å være lik 2 eller 3 For hver egenverdi finner vi de tilhørende egenvektorene: λ 2: Vi skal ha oppfylt x x y y som gir oss likningssystemet { { x y 2x 2x + 4y 2y x y x + y Dette systemet består egentlig bare av én likning, x y Vi setter x s, 68

16 så y s, og får løsninger x y s der s R, s, som er egenvektorene tilhørende λ 2 λ 3: Vi skal nå finne x og y som oppfyller x y x y Vi får likningssystemet { { x y 3x 2x + 4y 3y 2x y 2x + y, som gir én likning, x y Vi setter y s, så x s (husk at det fins 2 2 mange parameterfremstillinger av samme mengde), og får løsninger x y s 2 der s R, s, som er egenvektorene tilhørende λ 3 (sjekk det!) Bemerkning 49 Vi skal også kunne finne egenverdier og egenvektorer for 3 3-matriser (som kan bli gitt i eksamensoppgaver) Da vil vi få en tredjegradslikning, som i våre problemer vil ha tre forskjellige løsninger For å finne disse tre løsningene, vil dere på en eller annen måte få oppgitt et hint om en av løsningene Vi skal se eksempler på dette i oppgavene Tilbake til populasjonsdynamikk, og hvorfor egenverdier og egenvektorer er så nyttige: Ved Bemerkning 45 antar vi at vi jobber med n n-matriser M slik at M har nøyaktig n forskjellige egenverdier Vi ønsket en enklere metode for å regne ut M k u, og vi er nå veldig nærme å få oppfylt dette ønsket: Fra (43) er det nå enkelt å regne ut M k x 69

17 når x er en egenvektor tilhørende λ, siden vi da har Mx λx, og altså M k x λ k x Initialvektoren u vil imidlertid ikke være en egenvektor, så trikset nå blir derfor å skrive u ved hjelp av egenvektorer, dvs at hvis x,, er n forskjellige egenvektorer til M tilhørende (henholdsvis) egenverdiene λ,, λ n, vil vi finne skalarer a,, a n slik at u a x + + a n (49) Da får vi en enklere metode for å regne ut M k u ved å bruke regnereglene for matriser: M k u M k (a x + + a n ) a M k x + + a n M k (4) a λ k x + + a n λ k n Vi har sett at en egenverdi alltid har uendelig mange tilhørende egenvektorer Vi plukker ut en av egenvektorene for hver egenverdi Det er gjerne en som er opplagt å bruke, nemlig den som står foran parameteren i vår valgte parameterfremstilling Bemerkning 42 Det er viktig å merke seg at det er langt fra alle matriser som har nok egenverdier og egenvektorer til at vi får oppfylt (49) For eksempel har matrisen 3 2 M 2 kun som egenverdi med tilhørende egenvektorer s der s R, s Det viktigste å merke seg er imidlertid at for de matrisene vi vil møte i forbindelse med populasjonsdynamikk vil vi få vårt ønske (49) oppfylt! For å finne a i -ene i (49), får vi igjen et lineært system som må løses, denne 7

18 gangen med a,, a n som de ukjente variablene, og vi ser på et eksempel 2 Eksempel 48 fortsetter La oss si at vi ønsker å skrive vektoren 3 ved hjelp av egenvektorer for matrisen M i Eksempel 48 For hver av de to egenverdiene 2 og 3 plukker vi ut en egenvektor, så for λ 2 velger vi 2 egenvektoren, mens for λ 3 bruker vi Vi skal altså finne tall a og b slik at 2 3 a + b 2 Det gir likningssystemet { 2 a 2 b 3 a + b som gir a 7 og b (mange måter å regne ut dette på), altså er (sjekk det!) 2 Hvis vi ønsker å regne ut M n, får vi følgende regning 3 2 M n M n 2 (7 + ) 3 7M n + M n n + 3 n n 5 3 n 7 2 n + 3 n 2 7

19 Hvis vi for eksempel setter n 8, får vi at Hva skjer i det lange løp for lineære sammenhenger? Vi kan nå fortsette vår analyse av populasjonsdynamikkproblemer La oss fullføre PiggAv-oppgaven og samtidig bruke dette eksemplet til å vise hvordan vi kan svare på det tilbakevendende spørsmålet Hva skjer med populasjonene våre ettersom tiden går? Eksempel 4 fortsetter Eksamensoppgaven starter med følgende oppgave (før vi får all teksten om bilistene): 9 27 La M 73 Vis at egenverdiene til M er og 63 og finn de tilhørende egenvektorene Vi vet nå hvordan vi skal gjøre dette Vi må løse likningen det(m λi), som gir andregradslikningen λ 2 63λ+63 (sjekk!) Da får vi løsninger λ 63 ± ± 37 2 som var det vi skulle vise Vi finner så egenvektorene: { 63 λ : 72

20 Vi skal oppfylle x y x y Det gir likningssystemet { { 9x + 27y x x + 73y y x + 27y x 27y, som gir én likning, x 27y Vi setter y s, så x 27s og får egenvektorene x 27 s y der s R, s Tilsvarende regning (gjør det!) for λ 63 gir egenvektorene x s y der s R, s Hvis vi nå skal løse oppgaven: I hvilket år kjører for første gang mer enn 7% av bilistene piggfritt, regner vi ikke ut tabellen (4), men skriver initialvektoren ved hjelp av egenvektorer, dvs vi finner a og b slik at 27 a + b Husk å passe på rekkefølgen du velger på egenverdiene; den må nå følges resten av oppgaven, slik at tilhørende egenvektorer og egenverdier følger hverandre! For å finne a og b får vi et likningssystem som før, men med tilnærmede løsninger denne gangen (problemer fra virkeligheten får gjerne tilnærmede svar) Sjekk at vi får a 27 og b 73, dvs

21 Dermed kan vi finne et uttrykk for bruke til å løse oppgaven Vi får M n, som vi kan 27 M n M n ( ) 27 27M n + 73M n n + 73 (63) n 73 73(63) n (63) n Vi har altså andel som kjører piggfitt i år n etter 99 gitt ved 73 73(63) n (4) og andel som kjører med pigg i år n etter 99 gitt ved (63) n (42) For å svare på oppgaven, skal vi løse > 7, så vi får 73 73(63) n > 7 Hvis vi rydder i denne ulikheten, får vi (husk å snu ulikhet når vi multipliserer med et negativt tall): (63) n < 3 73 En slik likning kan vi løse ved å ta logaritmen (fra 2MX) på hver side: ln((63) n ) < ln( 3 73 ) 74

22 Da kan vi bruke en av regnereglene for logaritmer og få n ln(63) < ln( 3 73 ) Siden ln til et tall mindre enn er negativt, får vi n > ln( 3 73 ) ln(63) Til slutt bruker vi kalkulator på uttrykket på høyresiden og får n > 69, dvs n 7, og svaret er 997 Når tiden går og n vokser, ser vi av uttrykket (4), andel bilister som kjører piggfritt, aldri vil overstige 73% med disse antagelsene Ettersom tiden går ser vi også at populasjonen vil stabilisere seg, og oppnå en likevekt eller en grenseverdi Dette skyldes at (63) n går mot når n vokser mot uendelig (når tiden går) Definisjon 42 Hvis vi oppnår en stabil tilstand for populasjonen, kalles denne tilstanden for likevektstilstanden, og skrives u (leses u-uendelig, så kanskje vi heller skulle ha valgt v for vektoren) Matematisk skriver vi lim u k u, k som leses grenseverdien av tilstandsvektoren når k går mot uendelig er lik likevektstilstanden Dette gjelder altså når grenseverdien eksisterer, dvs vi får en vektor når vi lar k gå mot Når grenseverdien blir en vektor, sier vi også at grenseverdien konvergerer (Det er et ord som er brukt i noen eksamensoppgaver) Viktig! Når vi har skrevet initialvektoren ved hjelp av egenvektorer bruker vi (4) til å få et uttrykk for M k u Siden M k u u k, har vi fått et uttrykk for tilstanden til hver av underpopulasjonene ved tiden k Fra 75

23 disse uttrykkene kan vi ofte finne likevektstilstanden til populasjonen (dersom denne eksisterer), som er et viktig begrep i problemene vi vil løse Det sier oss jo nettopp hva som skjer med populasjonen ettersom tiden går Noen ganger ønsker vi også å sammenligne likevektstilstandene til underpopulasjonene, for eksempel finne likevektsforholdet mellom to underpopulasjoner x k og y k Det er gitt ved x k lim k y k Vi skal se et eksempel på det i eksemplet med MAT-studentene etter at vi har avsluttet PiggAv-eksemplet: Eksempel 4 fortsetter I PiggAv-oppgaven blir likevektstilstanden x y lim n lim n 73 73(63) n (63) n 73 27, siden leddene (63) n blir forsvinnende små når n vokser Vi kan si at under våre antagelser vil populasjonen av bilister i Oslo konvergere mot likevektstilstanden i favør andel bilister som kjører piggfritt Det var ikke Samferdselsetaten i Oslo fornøyd med, og innførte altså PiggAv for å endre på antagelsene! Det gjorde at vi fikk opp andel bilister som kjører piggfritt fra 72% i 24 til 762% i 25, 87% i 26 og 85% i 27 (tall fra Samferdselsetaten) Eksempel 49 fortsetter La oss til slutt se hva som skjer med MAT- studentene hvis sove- og leserutinene i Eksempel 49 følges hver dag Med andre ord, la oss finne likevektstilstanden til populasjonen av MAT- studenter gitt antagelsene våre Overgangsmatrisen er 6 M, 4 76

24 og vi finner først egenverdiene til M med tilhørende egenvektorer: Vi løser likningen λ 6 det(m λi) 4 λ, som gir andregradslikningen λ 2 4λ 6 (sjekk) Da får vi løsninger λ 4 ± ± 6 2 { 6, så M har egenverdier 6 og Vi finner egenvektorene: λ 6: Vi skal oppfylle 6 4 x y 6 x y Det gir likningssystemet { { 6y 6x x + 4y 6y x + y x + y, dvs vi har én likning, x y Vi setter x t, så y t og får egenvektorene x y t der t R, t Tilsvarende regning (gjør det!) for λ gir egenvektorene der s R, s x y s For å finne likevektstilstanden, må vi finne et uttrykk for u n og se hva 6 77

25 som skjer med denne vektoren når n går mot uendelig Trikset er altså å skrive initialvektoren ved hjelp av egenvektorer, dvs vi må finne a og b slik at 3 6 a + b Dette gir et likningssystem med løsning a 875 og b 875 (sjekk det!), dvs Dermed kan vi finne et uttrykk for M n, som vi kan bruke for å finne likevektstilstanden til MAT-studentene Vi får 3 6 M n M n ( ) 6 875M n + 875M n n ( 6) n ( 6) n ( 6) n Vi har altså antall MAT-studenter som leser ved dag n gitt ved ( 6) n og antall som sover ved dag n gitt ved ( 6) n Siden ( 6) n blir forsvinnende lite når n går mot uendelig, får vi likevekt- 78

26 stilstanden x y lim n lim n ( 6) n ( 6) n , dvs at populasjonen av 3 MAT-studenter stabiliserer seg (under våre antagelser) på 375% som leser og 625% som sover Likevektsforholdet mellom de som leser og de som sover er gitt ved ( 6) n lim lim n n ( 6) 25 n Vi merker oss at vi ikke har tilnærmet noen tall i denne oppgaven (siden dette ikke er et problem fra virkeligheten!) Vi tar også med et (oppkonstruert) eksempel med tre underpopulasjoner for å vise hva slags regninger vi får i dette tilfellet: Eksempel 422 Vi ser fortsatt på en populasjon av 3 matematikk-studenter, men som nå kan være i en av tre ulike tilstander: jeg leser, jeg sover eller jeg gjør noe annet (enn å lese eller å sove) Vi antar at studentene følger følgende rutiner hver dag: Av de som leser idag vil 25% lese imorgen også, mens 25% vil sove og 5% vil gjøre noe annet imorgen Av de som sover idag, vil halvparten lese imorgen og den andre halvparten vil gjøre noe annet imorgen Alle de som gjør noe annet idag vil sove imorgen La oss finne likevektstilstanden til disse matematikkstudentene hvis vi starter med tilstanden der alle gjør noe annet La være antall som leser ved dag n, la være antall som sover, og z n være antall studenter som gjør noe annet ved dag n Da har vi følgende figur (tegn selv også!): 79

27 lese 25% sove % annet 25% 5% 5% z n 5% Vi summerer bidragene på figuren og får (sjekk!) z n z n som gir overgangsmatrise Dessuten har vi oppgitt at M x y z For å finne likevektstilstanden, finner vi først egenverdiene til M Likningen 3 det(m λi) gir likningen λ λ λ 25 (sjekk!) Dette er en tredjegradslikning i λ For å finne løsningene (egenverdiene) for hånd uten å måtte prøve seg frem, vil man gjerne få oppgitt en 8

28 tilleggsopplysning I dette tilfellet får du vite at λ er en av løsningene (tenk litt på hvorfor λ er en egenverdi) Det betyr at vi har λ λ λ 25 (λ )(aλ 2 + bλ + c) (43) (tenk på hvorfor) Hvis vi multipliserer ut parentesene på høyresiden i (43) og sammenligner koeffisientene med venstresiden får vi a b 75 c 25, (sjekk!) og når vi løser andregradslikningen λ 2 75λ 25, ender vi opp med egenverdiene λ 5 og λ 25 (i tillegg til λ, som ble oppgitt) (sjekk!) Så kommer jakten på de tilhørende egenvektorene Vi finner egenvektorene tilhørende λ på følgende måte: Vi må finne vektorer v slik at Mv v Det gir likningen (med x, y, z som komponentene til v) 25 5 x 25 y 5 5 z x y z som videre gir likningssystemet L : L 2 : L 3 : 25x + 5y x 25x + z y 5x + 5y z L : 75x + 5y L 2 : 25x y + z L 3 : 5x + 5y z Likning L gir y 5x, og setter vi det inn i L 2 og L 3, får vi L 2 : 25x+z og L 3 : 25x z, dvs L 2 og L 3 gir en likning med to ukjente, og vi 8

29 må innføre en parameter for å finne løsningene til systemet (Vi kunne også ha brukt Gauss-Jordan-eliminasjon) Vi setter x s og får Dermed får vi egenvektorer s 5 25 x s y 5s z 25s der s R og s Tilsvarende regninger for de andre egenverdiene (gjør dem!) gir at λ 5 har tilhørende egenvektorer s 5 der s R og s 5 og λ 25 har tilhørende egenvektorer s der s R og s For å finne likevektstilstanden til populasjonen av 3 matematikk- studenter som følger rutinene vi har oppgitt, skriver vi nå initialvektoren som en lineær kombinasjon av egenvektorer: 3 a 5 + b 5 + c

30 Det gir likningssystemet a + b + c 5a 5b c 25a + 5b 3 med løsning a 8, b 4 og c 48 (sjekk!), dvs Dermed kan vi finne et uttrykk for z n M n 3, som vi kan bruke for å finne likevektstilstanden til matematikk-studentene: 83

31 Vi får M n 3 M n( ) M n 5 + 4M n 5 48M n 25 8 () n ( 5) n 5 48 ( 25) n ( 5) n 48( 25) n 2 6( 5) n + 48( 25) n + 2( 5) n Nå kan du for eksempel sjekke at x y z som stemmer med rutinene vi har oppgitt ved Vi har altså at antall matematikk-studenter som leser ved dag n er gitt 3, ( 5) n 48 ( 25) n, antall som sover ved dag n er gitt ved 2 6 ( 5) n + 48 ( 25) n 84

32 og antall som gjør noe annet ved dag n er gitt ved + 2 ( 5) n Siden ( 5) n og ( 25) n blir forsvinnende små størrelser når n går mot uendelig, får vi likevektstilstanden x y z lim n z n lim n ( 5) n 48 ( 25) n 2 6 ( 5) n + 48 ( 25) n + 2 ( 5) n dvs at populasjonen av 3 matematikk-studenter stabiliserer seg (under våre antagelser) på 8 som leser, 2 som sover og som gjør noe annet (Fortsatt pene tall) 8 2, 44 Nå skal du kunne definisjonene av: tilstandsvektor, initialvektor, overgangsmatrise, egenverdi, egenvektor, karakteristisk likning til en matrise, likevektstilstand forklare hva populasjonsdynamikk dreier seg om, herunder gjøre rede for begreper og antagelser som inngår finne overgangsmatrisen til et populasjonsdynamikkproblem ut fra gitt tekst og bruke matriseteori til å løse oppgaver i populasjonsdynamikk ha muligheten til å få A på eksamensoppgaver i temaet lineære likningssystemer, vektorer og matriser i MAT 85