Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4
|
|
- Gabriel Patrick Bråthen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /4-6/4 Øyvind Ryan April, 00 Oppgave 4.8. a Bytt om første og andre rad. b Legg til ganger rad til rad. c Bytt om første og andre rad. d Legg til ganger rad til rad. e Gang rad med 4. Oppgave 4.8. Radreduksjon gir II+I 0 II 0 I II 0 0 Her er det brukt tre radoperasjoner. Deres matriser er i samme rekkefølge E = 0 0, E = 0 Matrisene til de tilsvarende inverse radoperasjonene er E 0 =, E 0 = 0 Setter vi sammen disse i motsatt rekkefølge får vi 0 0 = 0, E = 0, E = 0 0..
2 Oppgave 4.8. Vi radreduserer: 0 0 II+I II III III/4 I II,I III Setter vi sammen de inverse radoperasjonene i motsatt rekkfølge får vi at A = E E E E 4 E, der 0 0 E = E = E = E 4 = E = Oppgave 4.9. a 0 = = + + = =. Oppgave 4.9. a Vi radreduserer: 0 A = II 0 0 0
3 III II = B. Den siste matrisen B er triangulær, så determinanten er produktet av diagonalelementene se teorem Her blir dette detb = 9. Blant de andre radoperasjonene er det bare operasjonen hvor vi ganger rad to med som forandrer determinanten. Regner vi oss tilbake ved hjelp av teorem blir derfor 9 = detb = deta, som gir deta = 9. Oppgave 4.9. a Ekspander langs andre rad: = + 7 = 7 6 =. b Ekspander langs andre søyle: = + 4 = = 0. c Vi ekspanderer langs den raden/kolonnen som har est nuller. Her er dette rad : = = Begge underdeterminantene ekspanderer vi nå langs tredje søyle her nner vi en null i begge tilfellene: = = = = 4. Oppgave ra får vi ved å gange hver rad med r. Ved å gange en rad med r blir determinanten også ganget med r. Siden vi gjør dette n ganger er detra det samme som r n ganger det A.
4 Oppgave Anta at vi ved induksjon har vist at deta n = deta n. Vi bruker setning 4.9.4: deta n+ = deta n A = deta n deta = deta n deta = deta n+. Dermed holder også utsagnet for n +. Induksjonsbeviset er fullført i og med at formelen er opplagt for n =. Oppgave Anta at radene til A er lineært uavhengige. Kall radene for a,..., a n. det nnes da en relasjon x a + x n a n = 0, der ikke alle x'ene er null. Anta at x i 0. Deler vi med x i i likningen over får vi en likning på formen y a + + y i a i + a i + y i+ a i+ + + y n a n = 0, der y j = xj x i. I A legger vi derfor y ganger rad til rad i, y ganger rad til rad i, osv. På grunn av likningen over vil da rad i bli 0, og da blir også determinanten 0. Dette følger også fra teorem og korollar slik: Radene i A svarer til kolonnene i A T. Siden deta = deta T så holder det å vise resultatet når kolonnene i matrisen er lineært avhengige. I så fall er ikke alle søyler pivot-søyler, og dermed er ikke matrisen inverterbar. Da gir teorem at deta = 0. Oppgave Anta U = U T. Da er U T U = I n. Tar vi determinanten på begge sider får vi = deti n = detu T U = detu T detu = detu detu = detu, hvor vi har brukt at detu = detu T korollar Vi ser da at detu =, eller detu =. Oppgave 4.9. a Jeg viser dette på to måter: Fra korollar vet vi at deti i x = deti i x T. I i x T kan vi få fra identitetsmatrisen ved å legge til multiple av alle andre rader til rad i etter at vi har ganget kolonne i med x i. denne siste operasjonen forandrer determinanten med x i, mens ingen av de andre operasjonene forandrer determinanten. Siden deti = så blir deti i x = deti i x T = x i. Den andre måten å vise dette på er å ekspandere determinanten langs søyle i. Det er lett å se at "underdeterminant" j har søyle j lik 0 når j i. Disse determinantene blir derfor 0. "Underdeterminant" i er lik I n, som gir determinant. Determinanten blir derfor +i x i +i x i 0 + i+i x i + i++i x i n+i x n 0 = x i. 4
5 b Det er klart at hvis j i, så er søyle j i AI i x identisk med søyle j i A i b, som igjen er identisk med søyle j i A. Dette følger direkte fra denisjonen av matrisemultiplikasjon, og siden søyle j i I i x bare har en ener i søyle j på rad j, med 0 alle andre steder. Vi trenger derfor kun se på søyle i: Søyle i i A i b er b per denisjon. Søyle i i I i x er x. denisjon. Derfor er søyle i i AI i x lik Ax, og dette er b per Dermed har vi vist at de to matrisene er identiske, siden alle søylene er like. c Fra a og b har vi at deta i b = detai i x = deta deti i x = detax i. Deler vi med deta på begge sider får vi at x i = detaib deta. d Vi har A =, b = 4 4 4, A b = 4, A b = 4. Vi ser at slik at x = detab deta Oppgave 4.0. deta = 8 + = deta b = 6 6 = deta b = 4 4 = 8, = =, x = detab deta = 8 = 8. a detλi A = λ λ = λ = λ 4λ + = 0. Bruker vi andregradsformelen får vi at λ = 4± 6 er derfor λ =, λ =. = 4± = ±. Egenverdiene Egenvektoren v for λ = : Vi må løse Av = v, eller I Av = 0. Den utvidede matrisen for dette systemet er Likningen for den første raden sier at x = y, slik at v = er en egenvektor for λ =.
6 Egenvektoren v for λ = : Vi må løse Av = v, eller I Av = 0. Den utvidede matrisen for dette systemet er Likningen for den første raden sier at x = y, slik at v = er en egenvektor for λ =. b detλi A = λ 4 λ = λ 4 = λ λ = 0. Bruker vi andregradsformelen får vi at λ = ± 4+ er derfor λ =, λ =. = ±4 Egenvektoren v for λ = : Vi må løse Av = v, eller Dette kan også skrives x + 4y = x x + y = y. x + 4y = 0 x + y = 0. = ±. Egenverdiene Vi ser at vi kan velge y fritt, og at x = y. Velger vi y = får vi egenvektoren x v = =. y Egenvektoren v for λ = : Vi må løse Av = v, eller Dette kan også skrives x + 4y = x x + y = y. x + 4y = 0 x y = 0. Vi ser at vi kan velge y fritt, og at x = y. Velger vi y = får vi egenvektoren x v = =. y c detλi A = λ 4 λ = λ 4λ = λ 6λ + = 0. Bruker vi andregradsformelen får vi at λ = 6± 6 0 er derfor λ =, λ =. = 6±4 Egenvektoren v for λ = : Matrisen til I A blir 0 0 = ±. Egenverdiene Vi ser at vi kan velge y fritt, og at x = y. Velger vi y = får vi egenvektoren x v = =. y 6
7 Egenvektoren v for λ = : Matrisen til I A blir 0 0 Vi ser at vi kan velge y fritt, og at x = y. Velger vi y = får vi egenvektoren x v = =. y Oppgave 4.0. a Det karakteristiske polynomet blir λ 4 λ 0 0 λ Vi ser at egenverdiene er 0,, 4. = λ λ 4 λ = λ λ 4 = λ λλ 4. Egenvektor for λ = 0: Vi ser at v = 0 0I A = er en egenvektor Egenvektor for λ = : I A = Vi ser at v = er en egenvektor. 7
8 Egenvektor for λ = 4: Vi ser at v = 0 I A = er en egenvektor b Vi regner ut detλi A = λ λ λ λ λ + λ = λ + λ = λ λ λ + + λ + 4 λ = λ λ 4λ +. Her er det fort gjort å sjekke at λ = er en rot. For å nne de andre røttene kan vi gjøre polynomdivisjon med λ jeg anbefaler å repetere dette, se feks. Kalkulus side 7. Denne polynomdivisjonen gir λ λ 6, slik at λ λ 4λ + = λ λ λ 6 = λ λ + λ, hvor vi har funnet de to siste røttene ved hjelp formelen for løsning av andregradslikningen. Egenverdiene er derfor λ =, λ =, λ =. Egenvektoren v for λ = : Vi må løse I Av = 0. Matrisen for dette likningssystemet er Vi ser at y kan velges fritt, z = 0, og at x = y. Velger vi y = får vi egenvektoren 0. Egenvektoren v for λ = : Vi må løse I Av = 0. Matrisen for dette 8
9 likningssystemet er Vi ser at z kan velges fritt. Setter vi z = 4 får vi egenvektoren 4 Egenvektoren v for λ = : Vi må løse I Av = 0. Matrisen for dette likningssystemet er Vi ser at z kan velges fritt. Setter vi z = får vi egenvektoren 4. c Vi regner ut detλi A = = λ λ λ λ 4 + λ λ λ + = 4λ 4 + λ λ + λ = λ λ = λλ λ +. Egenverdiene er derfor λ =, λ = 0, λ =. Egenvektoren v for λ = : Vi må løse I Av = 0. Matrisen 9
10 for dette likningssystemet er / 0 / II+ +I III / /II I / II 0 / / 0 / / / / / + / 0 +. Vi ser at z kan velges fritt, og at x = /+ /z, y = +z. Velger / / vi z = får vi egenvektoren. Egenvektoren v for λ = 0: Vi må løse Av = 0. Matrisen for dette likningssystemet er Vi ser at z kan velges fritt, og at x = z, y = z. Velger vi z = får vi egenvektoren. Egenvektoren v for λ = : Vi må løse I Av = 0. Matrisen for 0
11 dette likningssystemet er / 0 II / I 0 / + / 0 III /+ /II I+ /+II / 0 0 / + / / 0 0 / / 0. Vi ser at z kan velges fritt, og at x = /+ /z, y = + z. Velger vi z = får vi egenvektoren / + / +. Oppgave a Det karakteristiske polynomet til A er λ λ + 4 = λ λ 6 = λ + λ. Egenverdiene er derfor λ =, λ =. Egenvektor for λ = : Vi ser derfor at v = I A = er en egenvektor. Egenvektor for λ = : I A = Vi ser derfor at v = er en egenvektor.
12 For å skrive den gitte vektoren som en lineær kombinasjon av egenvektorer må vi radredusere Vi ser derfor at vi kan skrive x = v + v. c Vi regner ut detλi A = λ λ + 0 λ + = λ + λ + λ = λ + λ + λ = λ + λ + λ. hvor vi har brukt formelen for løsningen av andregradslikningen. Vi ser at λ =, λ =, λ =. Egenvektor for λ = : Matrisen til likningssystemet I Ax = 0 er Vi ser at z kan velges fritt og at den generelle egenvektoren har formen z 0 z. Velger vi z = får vi egenvektoren v = 0. Egenvektor for λ = : Matrisen til likningssystemet I Ax = 0 er Vi ser at z kan velges fritt, og at den generelle egenvektoren har formen z 6 z. Velger vi z = får vi egenvektoren v = 6. z
13 Egenvektor for λ = : Matrisen til likningssystemet I Ax = 0 er Vi ser at z kan velges fritt, og at den generelleegenvektoren har formen z 0 z. Velger vi z = får vi egenvektoren v = 0. For å skrive x som en lineær kombinasjon av egenvektorene må vi radredusere den utvidede matrisen: Vi kan altså skrive x = v + v v. Oppgave Det karakteristiske polynomet til A er λ λ 4 = λ 7λ + 6 = λ 6λ. Egenverdiene er derfor λ =, λ = 6. Egenvektor for λ = : 4 I A = Vi ser derfor at v = Egenvektor for λ = 6: 6I A = 0 0. er en egenvektor med lengde Vi ser derfor at v = er en egenvektor med lengde.
14 Det følger fra korollar her er matrisen vår symmetrisk at D = M T AM, der 0 D = 0 6 M =. Oppgave Anta λ er en egenverdi for A. Da er 0 = detλi A = detλi A T = detλi A T. Fra dette følger det at λ er en egenverdi for A T også, slik at de to matrisene har de samme egenverdiene. Det er ingen grunn til at de to matrisene skulle ha de samme egenvektorene: Egenvektorene nner vi ved å løse likningssystemene til matrisene λi A og λi A T, og dette er to vidt forskjellige systemer. Oppgave Hvis v er egenvektor for både A og B nnes det tall λ, λ slik at Av = λ v, Bv = λ v. men da er A + Bv = Av + Bv = λ v + λ v = λ + λ v, slik at v også er en egenvektor for A + B, med tilhørende egenverdi λ + λ. Oppgave Hvis v er en egenvektor for både A og B nnes det λ, λ slik at Av = λ v, Bv = λ v. Men da er ABv = Aλ v = λ Av = λ λ v. Dermed er v en egenvektor for AB og, med tilhørende egenverdi λ λ. Matlab-kode % Oppgave a det[7 - -4; - 4 ; 0 4 ; 4 - ; 4-0] % Oppgave b det[ ; - 4; 4-4 -; - -; 0-4] % Oppgave 4.0. a [V,D]=eig[ - 0.; - ; - ] % Oppgave 4.0. b [V,D]=eig[ 0.4 0; ; 4. -.] % Oppgave 4.0. c [V,D]=eig[ - - 4; - - ; - -8 ; ] 4
15 % Oppgave 4.0. a A=[ - 4; 0 4;. - 4]; [V,D]=eigA rref[v [0.;.4; -.4]] % Oppgave 4.0. b A=[ ;..4 -.; ; ]; [V,D]=eigA rref[v [-.;.4; 0.04; 4.]] Python-kode from numpy import * from MAT0lib import * # Oppgave a print linalg.det[[7,-,,,-4],[,,-,4,],[,0,4,,],[4,,,-,],[,4,-,,0]] # Oppgave b print linalg.det[[,,,,],[-,,,,4],[,4,-4,,-],[,-,,,-],[,0,,-,4]] from numpy import * from MAT0lib import * # Oppgave 4.0. a V,D=linalg.eig[[,-,0.],[,-,],[,-,]] print V print D # Oppgave 4.0. b V,D=linalg.eig[[,0.4,0],[-.4,7.,0.0],[4.,,-.]] print V print D # Oppgave 4.0. c V,D=linalg.eig[[,-,-,4],[-,,-,],[-,,-8,],[-4,,6,4]] print V print D from numpy import * from MAT0lib import * # Oppgave 4.0. a A=matrix[[,-,4],[0,,4],[.,-,4]] V,D=linalg.eigA print V print D print rrefhstackv,matrix[[0.],[.4],[-.4]] # Oppgave 4.0. b A=matrix[[.,-0.,.,],[.,,.4,-.],[.,-.,0.,7],[-,.,-.,.]] V,D=linalg.eigA
16 print V print D print rrefhstackv,matrix[[-.],[.4],[0.04],[4.]] 6
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerLøsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at
Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 379 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar 05 Oppgave. (A) Vi leser av at A = 3 5, B = ( 0 5 ), C = 0 5 9 og har dermed at π x = Ax + BT =
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
DetaljerDeterminanter til 2 2 og 3 3 matriser
Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =
DetaljerR: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og
EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerRepetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerRegneregler for determinanter
Regneregler for determinanter E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 6. oktober, 2010 Triangulær matriser En kvadratisk matrise A = [a ij ] kalles øvre/nedretriangulær hvis a ij = 0 når i >
DetaljerInverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009
Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b
DetaljerForelesning i Matte 3
Forelesning i Matte 3 Determinanter H. J. Rivertz Institutt for matematiske fag 1. februar 008 Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære radoperasjoner Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære
DetaljerRepetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid:
EKSAMEN EMNE: MA6 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): 5 Antall oppgaver: Antall vedlegg:
DetaljerOppgaver til seksjon med fasit
Oppgaver til seksjon.6-. med fasit Oppgaver til seksjon.6. Skriv b som en lineærkombinasjon av a og a når a = ( ( a = og b =.. Skriv b som en lineærkombinasjon av a, a og a når a = a =, a = og b = 5. (.
DetaljerA 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:
5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerForelesning 14 Systemer av dierensiallikninger
Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
Detaljer12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)
Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er
DetaljerKapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer
Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).
UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: 4.3 8.3. This problem set consists of 6 pages.
Detaljer13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5
3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
Detaljer2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 06 Anbefalte øvingsoppgaver fra boken: 9.3 : 53, 6, 64, 7, 75. Det er bare oppgaven under
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi
Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
DetaljerLineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning
Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerObligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA121/MA621 Høsten 216 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 2.3 1 b) c) d) 1 3 1 1 3 1 A I 2
DetaljerMAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8
MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) August 2010 Innføring i Matlab for dere som ikke har brukt det før Vi skal lære følgende ting i Matlab: Elementære operasjoner Denere
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerOBLIG 2 - MAT 1120 Høsten 2005
> with(linearalgebra): with(linalg):with(plots): Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Haust 2011
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk 3 Haust 0 Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap 5, s 7-73 5 Eigenrommet som svarar til λ = 5 er det
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 4.8 Teorem 16 s. 282: y k+n + a 1 y k+n 1 + + a n 1 y k+1 + a n y k = z k har alltid en løsning
DetaljerMAT1110 Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim
MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 ) Det første vi gjør er å lage et diagram over spillet, for å få en oversikt over spillets gang. Hver gang vi i andre runde kommer
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerGenerelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11.
Generelle teoremer og denisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H. & Rorres, C.: Elementary Linear Algebra, 11. utgave Jonas Tjemsland 19. november 2014 1 Lineære likningssystemer
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerMatriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009
Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen
DetaljerLO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005
TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerMAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016
MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker
Detaljera) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er matrisen inverterbar når v T u 1.
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Oppgave 1 a) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1
MA000 Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 06 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at B = A ved å vise at AB = BA = I. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen AB vist (du må vise at BA gir det samme). ( )
DetaljerDiagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1
Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
Detaljer= 3 11 = = 6 4 = 1.
MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
Detaljer7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet
7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Detaljer6 Determinanter TMA4110 høsten 2018
6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til
DetaljerØving 4 Egenverdier og egenvektorer
Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor
DetaljerOppgave 1. e rt = 120e. = 240 e
Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerEksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand
Detaljer1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =
Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF5009 MATEMATIKK 3 Bokmål Man
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Mandag. desember Oppgave a) Karakteristisk polynom er + = ;
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerØving 3 Determinanter
Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er
DetaljerLØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF500 0. august 00 Oppgave 5 +6 ( 4 +6)0 dvs. at vi har en rot 0 og 4 røtter av
DetaljerLineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
DetaljerElementær Matriseteori
Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start
DetaljerMatriser og Kvadratiske Former
Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene
DetaljerForelesning 10 Cramers regel med anvendelser
Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er
Detaljer6 Numeriske likningsløsere TMA4125 våren 2019
6 Numeriske likningsløsere TMA415 våren 019 Andregradslikningen kan vi løse med formelen a + b + c 0 b ± b 4ac a Men i mange anvendelser dukker det opp likninger ikke kan løses analytisk Et klassisk eksempel
Detaljertma4110 Matematikk 3 Notater høsten 2018 Øystein Skartsæterhagen Morten Andreas Nome Paul Trygsland
tma4 Matematikk Notater høsten 8 Øystein Skartsæterhagen Morten Andreas Nome Paul Trygsland Innhold Introduksjon ii Lineære likningssystemer Gausseliminasjon 4 Vektor- og matriselikninger 8 4 Matriser
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
DetaljerGauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon
DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,
Detaljer