13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

Transkript

1 3 Oppsummering til Ch og Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne f (A) når:. (Ekstremt viktig) f (x) e x.. (Mindre viktig) f (x) cos (x) eller sin (x). 3. f (x) ln (x) x osv. I diskret matematikk (teori av differenslikninger) er det veldig viktig å beregne f (A) når:. f (x) x n (n er et vilkårlig helt tall).. f (x) er et polynom. Den generelle løsningen er teoretisk elegant og krever kunnskaper i MAT- (Kompleks analyse). Teorem 3. (Ikke pensum!) La f (z) være en kompleks funksjon analytisk i et område Ω C og la A være en m m matrise (med reelle eller komplekse elementer) slik at dens egenverdier ligger i Ω. La Γ være en lukket enkel kurve som ligger i Ω og avrunder alle egenverdier til A. Da er f (A) f (z) (zi n A) dz. πi Γ Men å beregne f (A) ved hjelp av denne formelen er veldig vanskelig! Det er lettere å beregne f (A) når f er et polynom men problemet er å beregne A n hvis n er et vilkårlig helt tall (eller et konkret stort tall). La oss betrakte et enkelt tilfelle: a a A a a er en matrise og n 5: a a a a 5. Resultatet er så stort at jeg må vise det kolonnevis:. Kolonne nr. : a 5 +4a 3 a a +3a a a a +3a a a +a a a a +a a a +a a a 3 a 4 a +a 3 a a +3a a a +a a a +4a a a a +a a a 3 +a a 3 +3a a a +a a 4 7

2 . Kolonne nr. : a 4 a +a 3 a a +3a a a +a a a +4a a a a +a a a 3 +a 3 a +3a a a +a a 4 a 3 a a +a a a a +a a a +3a a a a +3a a a +4a a a 3 +a 5 For å løse problemet har vi to nøkkelsetninger. Først trenger vi en definisjon: Definisjon 3. (Def. 5..) Gitt to m m matriser A og B. Vi sier at B er similær til A hviss B P AP der P en invertibel m m matrise. La oss skrive dette slik: A B eller A P B. Teorem 3.3 (Ikke pensum ikke gitt i boka) Similæriteten er en ekvivalensrelasjon. Bevis. (kort). A I A.. A P B B P A. ( ) ( ) 3. A P B & B Q C A P Q C. Teorem 3.4 (For f (x) x n se Ex og ovenfor). Hvis A P B er f (A) P f (B).. (Se Ex..7.) Hvis A er en diagonalmatrise λ A λ... λ m så er Bevis. (For f (x) x 5 ) f (A). Gitt B P AP. Da er f (λ ) f (λ )... f (λ m ). B 5 ( P AP ) 5 P AP P AP P AP P AP P AP P AAAAAP P A 5 P. 8

3 . n 4: A 5 λ λ λ 3 λ 4 λ λ λ 3 λ 4 λ λ λ 3 λ 4 λ λ λ 3 λ 4 (λ ) 5 (λ ) 5 (λ 3 ) 5 (λ 4 ) 5 λ λ λ 3 λ 4. Definisjon 3.5 (Def. 5..) En m m matrise A er diagonaliserbar ( diagonalizable) hviss A P D der D er en diagonalmatrise dvs. P AP D λ λ... λ m Vi sier at P diagonaliserer ( diagonalizes) A. Merknad 3.6 Vi sier ofte at A kan diagonaliseres. Eksempel 3.7 (Ex. 5.. og 5..).. Matrisen kan diagonaliseres. La A P 3. Da er P AP 3. Sammenlign med løsningen i boka! 9

4 . Matrisen A 3 5 kan ikke diagonaliseres (se Seksjon 3.5.4). 3. Egenverdier og egenvektorer La oss se nærmere på formelen P AP D λ λ... λ m AP P P AP P D. Hvis matrisen P består av m kolonner er dvs. P c c... c m AP Ac Ac... Ac m P D λ c λ c... λ m c m Ac i λ i c i. Definisjon 3.8 (Def. 5..) En nontriviell (c ) vektor c R m kalles en egenvektor som tilsvarer en egenverdi λ hviss La oss flytte Ac til venstre: Ac λc. λc Ac (λi A) c. Siden λi A er en kvadratisk matrise og c kan ikke λi A være invertibel derfor det (λi A). Vi har faktisk bevist et teorem: Teorem 3.9 (Th. 5..) Tallet λ er en egenverdi til A hviss det tilfredsstiller den karakteristiske likningen ( the characteristic equation) det (λi A). Definisjon 3. (Nedenfor Th. 5..) Polynomet p (λ) det (λi A) λ m + a m λ m a λ + a kalles det karakteristiske polynomet ( the characteristic polynomial) til A.

5 3.3 Det karakteristiske polynomet Nedenfor er noen nyttige formler for koeffi sientene til det karakteristiske polynomet. De skal hjelpe dere til å kontrollere resultatene i Oblig Generelle matriser Gitt n n matrisen A a ij. Anta at alle egenverdier til A er reelle. Dette betyr at det karakteristiske polynomet er lik p (t) det (ti A) (t λ ) α (t λ ) α... (t λ k ) α k der I er n n identitetsmatrisen λ i er reelle egenverdier (alle λ i er forskjellige fra hverandre) α i er deres algebraiske multiplisiteter og α + α α k n. Merknad 3. Vanligvis brukes variabelen λ for det karakteristiske polynomet: p (λ) det (λi A) (λ λ ) α (λ λ ) α... (λ λ k ) α k. Vi bruker t i stedet for å skille variabelen t fra egenverdiene λ i (som er konkrete reelle tall). Merknad 3. Det anbefales av praktiske grunn å bruke polynomet til å beregne p (t) det (A ti) p (t) ( ) n p (t) Polynomet p (t) har samme røtter λ i som p (t). Det defineres også egenrom (eigenspaces) og de geometriske multiplisitetene E (λ i ) Null (λ i I A) β i dim (Null (λ i I A)) nullity (λ i I A). Merknad 3.3 Det anbefales av praktiske grunn å bruke matrisene A λ i I i stedet: β i dim (Null (A λ i I)) nullity (A λ i I).

6 En annen form for p (t) er p (t) (t λ ) (t λ )... (t λ n ) der λ i er egenverdiene til A skrevet så mange ganger som deres algebraiske multiplisiteter. Minner også om at trasen til A er lik T r (A) a + a a nn. La p (t) t n + c n t n + c n t n c t + c. Teorem matriser c n T r (A) (λ + λ λ n ) c ( ) n det (A) ( ) n λ λ...λ n. La n og A a a. a a Teorem 3.5 p (t) t + c t + c p (t) c T r (A) (λ + λ ) c det (A) λ λ matriser La n 3 og A a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33. Teorem 3.6 p (t) t 3 + c t + c t + c p (t) c T r (A) (λ + λ + λ 3 ) c a a a a + a a 3 a 3 a 33 + a a 3 a 3 a 33 λ λ + λ λ 3 + λ λ 3 c det (A) λ λ λ 3.

7 matriser (ikke pensum!) La n 4 og A a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44. Teorem 3.7 p (t) t 4 + c 3 t 3 + c t + c t + c p (t) c 3 T r (A) (λ + λ + λ 3 + λ 4 ) c a a a a + a a 3 a 3 a 33 + a a 4 a 4 a 44 + a a 3 a 3 a 33 + a a 4 a 4 a 44 + a 33 a 34 a 43 a 44 λ λ + λ λ 3 + λ λ 4 + λ λ 3 + λ λ 4 + λ 3 λ 4 a a a 3 c a a a 3 a 3 a 3 a 33 + a a a 4 a a a 4 a 4 a 4 a 44 + a a 3 a 4 a 3 a 33 a 34 a 4 a 43 a 44 + a a 3 a 4 a 3 a 33 a 34 a 4 a 43 a 44 (λ λ λ 3 + λ λ λ 4 + λ λ 3 λ 4 + λ λ 3 λ 4 ) c det (A) λ λ λ 3 λ Diagonalisering Nedenfor er oppsummeringen av Th og Vi antar som vanlig at alle egenverdiene er reelle. Teorem 3.8 a) Matrisen A kan diagonaliseres (er diagonaliserbar) hvis og bare hvis det finnes n lineært uavhengige egenvektorer. b) For alle i β i α i. c) Matrisen A kan diagonaliseres hvis og bare hvis β i α i for alle i. d) For å diagonalisere matrisen sett n lineært uavhengige egenvektorer som kolonner i en matrise P og da blir A P DP der D er en diagonalmatrise som inneholder egenverdiene (hver λ i treffes α i ganger) på hoveddiagonalen. e) Hvis alle α i dvs. matrisen har n forskjellige egenverdier er da også β i og matrisen er diagonaliserbar. 3

8 Eksempel 3.9 La A p (t) p(t) 3 t 3 t 3 t 3 t t 4 t t 8t + 48 (t 6) (t ) 3 dvs. λ 6 α λ α 3. Det er klart at β. Det er da lurt å begynne med λ siden β kan bli eller 3. A I. Det er tre frie variable (derfor er β 3) x x 3 x 4. Da kan envher egenvektor x beskrives som x s t u x x x 3 s t s + t + u x 4 u og vi har funnet tre vektorer som danner en basis for egenrommet E (). Fortsetter med λ : 3 A 6I 3 3 G J 3 Det er én fri variabel (derfor er β ) x 4. Da kan envher egenvektor x beskrives som x v x x x 3 v v v x 4 v og vi har funnet én vektor som danner en basis for egenrommet E (6). 4

9 Setter de fire vektorene som kolonner i en matrise P : 4 4 P P P DP A. Vi kan da finne formelen for A m : A m P D m P 4 m m m m m 3 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 3 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 3 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 4 m + 4 6m 3 4 m + 4 6m Eksempel 3. La dvs A p (t) p(t) + 4 6m t t t t. t 4 5t 3 + 9t 7t + (t ) (t ) 3 λ α λ α 3. 5

10 Det er klart at β. Det er da lurt å begynne med λ siden β kan bli eller A I G J. Det er to frie variable (derfor er β < 3 α ) x 3 x 4. Da kan envher egenvektor x beskrives som x s t x x x 3 s t s s + t x 4 t og vi har funnet kun to vektorer som danner en basis for egenrommet E (). Vi kan godt finne én vektor (siden α β ) som danner en basis for E (). Hvis vi samler de tre (+) vektorene ser vi at fi ikke har nok egenvektorer til å bygge en basis for R 4. Konklusjon: matrisen kan ikke diagonaliseres. 3.5 Andre eksempler 3.5. Ex og λ : A p (t) det 3 8 x x 3 t 8 t 4 A + I 8 t (t + ) (t 3). G J t.. λ 3: A 3I 8 4 x t x t. G J Endelig: P D 3 P AP 3 8 6

11 A n ( P DP ) n P D n P 3.5. Ex n 3 n ( ) n ( ) n A n ( ) 3 n + 3 n. ( ) n Det er ikke tillatt å bruke kolonneoperasjoner i dette kurset unntatt for å beregne determinanter. t t p (t) det t det t t t det t t 4 7t 8 t det. t 4 7t 8 t t 3 8t + 7t 4. Nedenfor Ex er det beskrevet en metode hvordan å finne heltallsløsninger λ til den karaktersitiske likningen t 3 8t + 7t 4. Siden λ 4 kan λ være ± ±4. λ 4 passer: dvs. λ 4 λ 3 ± 3. t 3 8t + 7t 4 (t 4) ( t 4t + ) Oppgave 3. Undersøk om A kan diagonaliseres uten å finne egenvektorer Ex og 5..5 A 3 p (t) (t ) (t ). λ α β : A I x y z t t t t G J t. 7

12 λ α β?: A I x s y r r z s β. G J + s r + s P P AP P 3 D. Finner nå A n : A n ( P DP ) n P D n P P n n n n n n n + n n + n n n n n n n n n n n + n P. Hvis n 3 er A Ex. 5.. Matrisen A 3 5 8

13 kan ikke diagonaliseres. p (t) det t t 3 5 t (t ) (t ). Siden den algebraiske multiplisiteten til λ 3 er lik er det lurt å sjekke λ først: A I G J 3 5 x x x 3 t Den geometriske multiplisiteten Derfor kan ikke A diagonaliseres! t. dim E () dim (Null (A I)) <. 3.6 Oppsummering til Ch. 8.5 Minner en viktig formel fra Ch. 8.5: Teorem 3. (Th. 8.5.) Hvis T er en operator dvs. V W og vi har to basiser G og H så er T H T H H P H G T G G P G H P H G T G P G H P T G P der P P G H Ex utvidet T : P P B ( x x ) f a + bx + cx T (f) c + (a + b + c) x + (a + 3c) x c a T (f) B a + b + c b a + 3c 3 c T B 3. 3 f B 9

14 La G (g g g 3 ) ( + x + x + x x ) P B G P G B (P B G ) n T G T n G n n T n B P B G T n G P G B n n n n n + n n + n n n n n n n n n n + n. T 3 G T 3 P B B G P G B Et komplisert eksempel La oss betrakte to basiser for P 3 : E(standard) ( x x x 3) G ( + x x + x x + x 3 x 3) og la T : P 3 P 3 være en operator gitt ved formelen T (f) f (x) + f ( x).

15 Da er T () + T (x) x + ( x) x + T ( x ) (x) + ( x) 5x x + T ( x 3) (x) 3 + ( x) 3 7x 3 + 3x 3x +. Matrisen til T mht standardbasisen blir da: A T E La oss beregne overgangsmatrisene P E G P G E Vi får da matrisen til T mht basisen G: T G P G E T E P E G La oss undersøke om operatoren kan diagonaliseres: t p (t) p (t) t 3 5 t 3 (t ) (t ) (t 5) (t 7) 7 t dvs. vi nar fire forskjellige egenverdier: λ λ λ 3 5 λ 4 7

16 derfor kan operatoren diagonaliseres. Vi kan finne fire lineært auvhengige egenvektorer: Setter dem som kolonner i en matrise P : 6 P 3 3. La D P DP λ λ λ 3 λ A Til slutt betrakt en ny basis for P 3 : H (h h h 3 h 4 ) ( + x 6 x + x 3 x + 3 ) x + x 3.

17 Hva blir matrisen T H? T (h ) ( + x) + ( + x) + x λ h T (h ) H T (h ) + λ h T (h ) H T (h 3 ) T (h 4 ) ( 6 ) ( (x) + (x) + 6 5x 5 x λ 3h 3 T (h 3 ) H ( 3 (x) + 3 ) (x) + (x) 3 + 7x 3 + x 7x + λ 4h 4 T (h 4 ) H ) ( x) + ( x) 5 ( 3 ( x) + 3 ) ( x) + ( x) 3. 7 Endelig: T B 5 7 D. 3