MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2

Transkript

1 MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave Oppgave Formatering av svarene Rasjonale tall Matriser og vektorer Tupler Merknader 1. Hver student får sin egen variant av obligen. Variantene er like vanskelige. 2. Før du leverer besvarelsen, les Seksjon 4 om hvordan du formaterer svarene.. Les gjerne eksemplene fra Seksjon. 1

2 1 OPPGAVE Beregn determinanten det A til en 4 4 matrise A som avhenger av en parameter λ. Determinanten det A blir da et polynom av grad 2: det A = F (λ) = f 0 + f 1 λ + f 2 λ 2. Du oppgir radvektoren i svaret. For eksempel, hvis [f 0, f 1, f 2 F (λ) = λ 2, vil svaret bli [-17,0,5. Hint: for å unngå divisjon med uttrykk som inneholder λ, flytt først alle radene med λ nedover. Bruk Gauss for å redusere matrisen til en blokktriangulær matrise (Kompendium, Definisjon 4.4) med blokkene 1 1, 1 1, og 2 2, og bruk Teorem 4.5. Det er mulig (men anbefales ikke!) å bruke én av kolonneoperasjoner (å bytte to kolonner for å flytte kolonnene med λ til høyre). Husk å endre fortegnet foran determinanten hvis du bytter to kolonner! 2 OPPGAVE Gitt 6 radvektorer v 1, v 2, v, v 4, w, u R 4. La V = span (v 1, v 2, v, v 4 ) R 4 være spennet av vektorene v i (the subspace spanned by v i ). a) Tuppelet G = (v 1, v 2, v, v 4 ) er lineært avhengig. Finn en ikke-triviell lineær kombinasjon av v i som er lik 0: a 1 v 1 + a 2 v 2 + a v + a 4 v 4 = 0. Svaret oppgis som en radvektor a = [ [ a 1 a 2 a a For eksempel, hvis 1 2 v v 2 4v + 11v 4 = 0, 2

3 vil svaret bli [1/2,0,-4,11. b) Beskriv w som en lineær kombinasjon av vektorene v i : w = d 1 v 1 + d 2 v 2 + d v + d 4 v 4. Svaret oppgis som en radvektor d = [ d 1 d 2 d d 4. c) Finn en basis G = (g 1, g 1,..., g k ) for underrommet V. Svaret oppgis som et k-tuppel (se Subseksjon 4.) av radvektorer. For eksempel, hvis svaret er G = ([ , [ ), skal det skrives som ([1,-1,0,0,[1,0,2,). Legg merke til runde parenteser rundt tuppelet, kvadratparenteser rundt vektorene, kommaene mellom vektorene (slik betegnes et tuppel) og kommaene mellom koordinatene (fordi tuppelet består av radvektorer). d) Finn koordinatvektoren [u G = h = [ h 1 h 2... h k til vektoren u mht basisen G (the coordinate vector of u relative to the base G). Svaret oppgis som en radvektor. Hint: alle vektorer i oppgaven er skrevet som radvektorer. Det er lurt å konvertere (dvs. å transponere, beregne the transpose, Def i boka) noen av dem til kolonneform.

4 Eksempler.1 Oppgave 1 La A = λ λ La oss beregne determinanten det A på den samme måten som i Eks. 4.2 i Kompendium. Vi skal unngå å dele med uttrykk med λ, og derfor flytter slike uttrykk nedover. Det er lurt også å flytte radene med ±1 oppover for å unngå brøker. Husk å sette minus foran determinanten når du bytter to rader. 1. det A = λ λ (bytter rad nr. 1 og 2) = 1 λ λ 2 (setter felles multiplum 1 fra rad nr 1 foran de terminanten) = 1 λ λ 2 (bruker radoperasjon nr tre ganger) = λ λ λ 18 7 Metode 1: Vi har allerede fått en øvre blokk-triangulær matrise med to blokker 1 1 og, derfor, i følge Teorem 4.5 fra Kompendium, er determinanten lik det A = 1 λ λ 18 7 = = ((λ 1) (λ 4) ( 1) ( 5λ) + ( 5) ( λ 5) ( 18)) (( 5) (λ 4) ( 5λ) + ( 18) ( 1) (λ 1) + 1 ( λ 5) 7) = 4λ 2 + 6λ 48. Svaret som skal skrives i feltet for f, blir da [-48,6,-4. 4

5 Metode 2: Vi kan forenkle den siste determinanten ved å addere rad nr. 2 ganger 5 til rad nr. 1 og rad nr. 2 ganger 7 til rad nr.. Bytter deretter rader nr. 2 og : λ λ 18 7 = 8λ λ 0 12λ 2 7λ 46 0 = 8λ λ 0 12λ 2 7λ 46 0 Den siste matrisen er en nedre blokk-triangulær matrise med blokker 2 2 og 1 1, derfor er determinanten lik 8λ λ 12λ 2 7λ 46 det [ 1 = ( 4λ 2 + 6λ 48 ) ( 1) = 4λ 2 +6λ 48. Merknad.1 Det er mulig å bruke kolonneoperasjoner for determinanter. Kolonneoperasjoner generelt anbefales ikke. La oss tillate kun denne operasjonen: bytt to kolonner og sett minus foran determinanten. Se Metode nedenfor: Metode : bytter kolonner nr. 1 og, og bruk radoperasjoner etterpå: λ det A = 5λ 18 7 = 5 1 λ 1 1 λ 4 λ λ = 1 λ 4 λ λ λ 1 λ 4 λ 5 = 0 5λ 8λ λ 46 12λ 2 = ( 1) 5λ 8λ λ 46 12λ 2 = 4λ2 + 6λ Oppgave 2 Anta at v 1 = [ 8, v 2 = [ , v = [ , v 4 = [ 2 2 2, w = [ , u = [ La oss sette vektorene som kolonner i en matrise [ A = (v 1 ) T (v 2 ) T (v ) T (v 4 ) T (w) T (u) T = T = =

6 La oss utføre Gauss-Jordan på denne siste matrisen. Vi prøver å unngå brøker så lenge som mulig! Gauss r 2 r 2 + r r r + 4r 2 r 4 r 4 + 9r 2 Jordan r 1 r 1 11r r 2 r 2 r r 2 r 2 r 1 r r r 1 r 4 r 4 r 1 r r = [ c 1 c 2 c c 4 y z r 4 r 4 r r 1 r 1 15r 2 r 1 r 2 r 2 r 2 r Det er klart at c 4 = 12c 1 + c 2 4c, eller 12c 1 + c 2 4c c 4 = 0. I følge Teorem 6.1(1) fra Kompendium, er 12 (v 1 ) T + (v 2 ) T 4 (v ) T (v 4 ) T = 0, derfor Vi har funnet 12v 1 + v 2 4v v 4 = 0. a = [ a 1 a 2 a a 4 = [ , 6

7 og vi skal skrive [-12,,-4,-1 i feltet 2a. Siden y = 24c 1 + 7c 2 6c = 24c 1 + 7c 2 6c + 0c 4, er, i følge Teorem 6.1(2) fra Kompendium, og w = 24v 1 + 7v 2 6v + 0v 4, d = [ d 1 d 2 d d 4 = [ Vi skal skrive [-24,7,-6,0 i feltet 2b. Det er klart at G = (c 1, c 2, c ) danner en basis for V = span (c 1, c 2, c ) = span (c 1, c 2, c, c 4 ). I følge Teorem 6.1(6) fra Kompendium, danner G = (v 1, v 2, v ) en basis for V = span (v 1, v 2, v, v 4 ) = span (v 1, v 2, v ). Vi skal da skrive ([,-8,,,[6,-18,11,6,[-5,11,0,-5) i feltet 2c. Endelig, siden z = 10c 1 + ( 4) c 2 + c, er, i følge Teorem 6.1(2), Koordinatvektoren er lik og vi skal skrive [10,-4, i feltet 2d. u = 10v 1 + ( 4) v 2 + v. (u) G = (z) G = [ 10 4, 7

8 4 Formatering av svarene 4.1 Rasjonale tall Alle tall i svarene er enten hele eller rasjonale. Hele tall skal skrives på vanlig måte som 120, 0, -22 osv. Rasjonale tall skal skrives slik: -2/ for 2, 45/17 for Merknad. Tall på formen eller 2 17 er ikke tillatt. Skriv -2/ eller 45/17 i stedet. 4.2 Matriser og vektorer De settes i kvadratiske parenteser. Radene (rows) er separert med semikoloner ; mens elementene i radene er separert med kommaer, for eksempel matrisen skal skrives som [1,2,-/11,4;0,-5/4,5,0;11/5,,1/2,2, radvektoren (the row vector) [ skal skrives som [1,2,-/11,4, og kolonnevektoren (the column vector) skal skrives som [1;0;11/5. Legg merke til semikoloner istedenfor kommaer! 4. Tupler Tuplene settes i runde parenteser. Leddene separeres med kommaer. For eksempel, hvis en basis G for R 5 består av kolonnevektorer G = (g 1, g 2, g, g 4, g 5 ) = 4, 7 8 9, , 1 1 1, ,

9 er G et 5-tuppel, og skal skrives ned som ([1; 2; ; 4; 5, [6; 7; 8; 9; 0, [11; 12; 1; 0; 0, [1; 1; 1; 1; 1, [17; 18; 19; 20; 0) Merknad 4.1 Legg merke til at leddene i kolonnevektorene er separert med semikoloner, mens leddene i 5-tuppelet er separert med kommaer. Hvis vi betrakter R n som mengden av radvektorer, skal en basis også bestå av kolonner, f. eks. G = (g 1, g 2, g, g 4, g 5 ) = ([ 1 2 4, [ , [ , [ ) er en basis for R 4. Denne basisen skal skrives ned som ([1, 2,, 4, [6, 7, 8, 9, [11, 12, 1, 0, [1, 1, 1, 1) Legg merke til kommaer som separerer både vektorer i tuppelet, og elementer i vektorer. 9