MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen"

Transkript

1 MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall Matriser og vektorer Tupler Fasit 6. Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave

2 Løsningsforslag. Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Oppgave Forord. Oppgavene nedenfor dekker nesten alle typer av oppgaver, som kan gis på eksamen. Prøveeksamenen er stor: den inneholder 4 deloppgaver (abc, abcdefghijk, abcd, 4abcdefg, abc, 6, 7, 8abcd), noen delt opp i enda mindre deloppgaver. Tilsvarende deloppgaver på eksamen vil bli lettere beregningsmessig. Betrakt derfor denne prøveeksamenen som en tredobbel eksamen.. En oppgave om komplekse matriser kan bli inkludert i eksamenen. Oppgave 8 er et typisk eksempel av en slik oppgave. Den ligner oppgave 4 fra eksamenen 6-6, men er litt vanskeligere. OPPGAVE Vi ser på et lineært system Ax b, der: A b 6a 4 4a + 8 a + a a + a., a) Finn determinanten det A. Resultatet er et polynom det A k + k a + k a. Du oppgir radvektoren [k, k, k i feltet a. b) For hvilke a R er systemet konsistent (dvs. at det har løsninger)? Svaret skal være på formen a s, der s er et rasjonalt tall. Du oppgir tallet s i feltet b.

3 c) For hvilke a R har systemet uendelig mange løsninger? Svaret skal være på formen a t, der t er et rasjonalt tall. Du oppgir tallet t i feltet c. Hint: se eksamensoppgaver -6-, -9-, -6- og -9-, samt Exercise.9,.7 og.8. OPPGAVE En del av oppgaven nedenfor er knyttet til Ch. 6 Inner Product Spaces. Vi betrakter vektorer fra R både som kolonnevektorer og radvektorer. Gitt matrisen A 4. 4 Betrakt systemet Ax b der x x x x x 4 x, b Lag en utvidet matrise [ A b, og bruk Gauss-Jordan for å få en annen matrise [ A b slik at A har en redusert trappeform (reduced row echelon form). Denne siste matrisen skal hjelpe deg til å løse alle deloppgaver nedenfor. Merknad. Istedenfor kolonnen b b b b b 4 b b b b 4. i den utvidede matrisen [ A b, kan du bruke en 4 4 identitetsmatrise. a) Finn en basis G (g, g,..., g s ) for radrommet (the row space) row (A). Svaret skal gis i formen av et s-tuppel av radvektorer (som i Seksjon 9.). b) Gitt vektoren u [ 8 4 row (A). Finn koordinatvektoren [u G til u mht basisen G du fant i deloppgave a. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) (u ; u ;...; u s )

4 der u u g + u g u s g s. Hint: hvis du skriver likningen u u g + u g u s g s koordinatvis, får du et system med likninger og s variabler. Du trenger ikke å bruke Gauss- Jordan på nytt for å løse systemet. Hvis du fikk basisen G ved hjelp av Gauss- Jordan, er den allerede god nok til å løse systemet med én gang. c) Finn en ortogonal basis for G (g, g,..., g s) for radrommet (the row space) row (A). Svaret skal gis i formen av et s-tuppel av radvektorer. la Hint: bruk Gram-Schmidt. d) For en vilkårlig kolonnevektor x x x x x 4 x R, T (x) proj row(a) (x) være projeksjonen til vektoren x på underrommet row (A) (orthogonal projection of x on row (A)). T er en lineær operator T : R R, derfor beskrives den som en matriseoperator T (x) Bx, der B er en matrise. Du oppgir matrisen B i svaret. Hint: se Oblig 6, oppgave f. e) Finn en basis J (j, j,..., j u ) for nullrommet (the null space) Null (A). Svaret skal gis i formen av et u-tuppel av kolonnevektorer (som i Seksjon 9.). 4

5 f) Gitt vektoren w 6 Null (A). Finn koordinatvektoren [w J til w mht basisen J du fant i deloppgave e. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) w w... w u der w w j + w j w u j u. Hint: hvis du skriver likningen w w j + w j w u j u koordinatvis, får du et system med likninger og u variabler. Du trenger ikke å bruke Gauss- Jordan på nytt for å løse systemet. Hvis du fikk basisen J ved hjelp av Gauss- Jordan, er den allerede god nok til å løse systemet med én gang. g) Finn en ortogonal basis J (j, j,..., j v) for det ortogonale komplementet row (A) til radrommet (the orthogonal complement of the row space). Svaret skal gis i formen av et v-tuppel av kolonnevektorer. Hint: se Oblig 6, Oppgave b. h) For en vilkårlig kolonnevektor x x x x x 4 x R, la S (x) proj row(a) (x) være projeksjonen til vektoren x på underrommet row (A) (orthogonal projection of x on row (A) ). S er en lineær operator S : R R,

6 derfor beskrives den som en matriseoperator S (x) Mx, der M er en matrise. Du oppgir matrisen M i svaret. i) Finn betingelsen for b for at systemet Ax b er konsistent, dvs. har minst én løsning x. Betingelsen skal oppgis som en radvektor av lengde 4. k b + k b + k b + k 4 b 4, k i R, [k, k, k, k 4 Hint: se på den siste linjen i den utvidede matrisen [ A b. j) Finn en basis H (h, h,..., h t ) for kolonnerommet (the column space) col (A). Svaret skal gis i formen av et t-tuppel av kolonnevektorer (som i Seksjon 9.). k) Gitt vektoren v 4 4 col (A). Finn koordinatvektoren [v H til v mht basisen H du fant i deloppgave d. Svaret skal gis i formen av en kolonnevektor (som i Seksjon 9.) v v... v t der v v h + v h v t h t. 6

7 OPPGAVE Gitt tre vektorer u, v, w i R. Operatoren er gitt ved formelen T : R R T (x) u (v x) der x R, og er kryssproduktet (the cross product). For eksempel, hvis x, er T (x) 8. a) Finn matrisen [T E til operatoren T med hensyn til standardbasisen E (i, j, k), (the matrix for T relative to the base E). Svaret skal oppgis som en matrise., b) Finn en basis for kjernen (the kernel) ker T. Svaret skal gis som et s-tuppel av kolonnevektorer. c) Finn en basis for bildet (the range) R (T ). Svaret skal gis som et t-tuppel av kolonnevektorer. d) Finn en vektor x som tilfredsstiller likningen T (x) w. Svaret skal gis som en kolonnevektor. 7

8 4 OPPGAVE La W M være mengden av antisymmetriske (X T X) matriser. For eksempel, matrisen er antisymmetrisk fordi mens er ikke antisymmetrisk fordi T T W er et underrom i Mat av dimensjon og har en basis G (g, g, g ),,., (du behøver ikke å sjekke at W er et underrom, eller at G er en basis for W ). La V P være rommet av polynomer av grad med standardbasisen Gitt også matrisen La E (, x, x, x ). B U : V W være en lineær transformasjon gitt ved formelen. U (f) f (B) f (B) T. (du behøver ikke å sjekke at U er lineær). For eksempel, hvis f + x x x, 8

9 er f (B) I + B B B + og U (f) (f (B)) (f (B)) T T 6 6. a) Finn matrisen [U G E (i læreboken betegnes som [U G,E ) til transformasjonen U mht basisene E og G. Svaret skal gis som i Seksjon 9.. b) Finn en basis for kjernen (the kernel) til U. Det påminnes om at ker U {v V U (v) }. Svaret skal gis som et s-tuppel (Seksjon 9.) av kolonnevektorer som tilsvarer polynomer på følgende måte: a a + a x + a x + a x a a. a c) Finn en basis for bildet (the range) R (U) til U. Det påminnes om at R (U) {U (v) v V }. Svaret skal gis som et t-tuppel (se Seksjon 9.) av matriser. d) Finn et polynom f slik at U (f)

10 Svaret skal gis som en kolonnevektor a a a, a som tilsvarer polynomet f a + a x + a x + a x. e) La oss betrakte en annen basis G for W : G (g, g, g ),,. Finn overgangsmatrisene (the transition matrices) P G G og P G G (i læreboken betegnes de som P G G og P G G ). f) La oss betrakte en annen basis E for V : E (, + x, x, x + x ). Finn overgangsmatrisene (the transition matrices) P E E og P E E (i læreboken betegnes som P E E og P E E ). g) Finn matrisene til U mht diverse basispar: [U G E, [U G E, og [U G E. Hint: bruk Teorem.7 og Korollar.9 på s. 96 i Kompendium. OPPGAVE Gitt matrisen A a) Finn det karakteristiske polynomet p (λ) til matrisen A. Hvis p (λ) a + a λ + a λ + a λ, skal svaret gis som en radvektor [ a a a a.

11 Merknad. Polynomet skal beregnes som i læreboka, dvs. p (λ) det (λi A). Det er tillatt å bruke metoden som var gitt på forelesningene, men husk å sette minus foran (fordi er et odde tall): p (λ) det (λi A) det (A λi). Du kan også bruke formlene fra Teorem.9 på s. i Kompendium. b) Finn en invertibel matrise P slik at P AP D der D er en diagonalmatrise med voksende diagonalelementene: D λ λ, λ λ λ. λ Både D og P skal oppgis i svaret. Hint: for å finne egenverdiene, bruk Ex.... c) Finn formelen for A m der m er et vilkårlig helt tall. Formelen skal se ut som A m b m B + c m C, der b og c er rasjonale tall, b < c, mens B og C er konstante (dvs. som ikke avhenger av m) matriser. Hint: A m ( P DP ) m P D m P. 6 OPPGAVE Gitt matrisen F Det karakteristiske polynomet q (λ) til matrisen F er lik q (λ) λ 9λ 9λ + 8 (λ + ) (λ ) (λ 9). Matrisen F er ortogonalt diagonaliserbar (hvorfor?). Finn en ortogonal matrise Q slik at Q F Q Q T F Q. 9.

12 7 OPPGAVE Gitt matrisen a b d A c e [ k k k f som inneholder 6 ukjente elementer a, b, c, d, e, f. Det er kjent at A er ortogonal, og at a >, b <, d <. Finn a, b, c, d, e, f (de er rasjonale tall), og oppgi den resulterende matrisen A i svaret. Hint: for å finne a, bruk betingelsen at kolonnen k har lengden ( k ) og at a >. For å finne b og c, bruk betingelsene k, k k, b <. For å finne d, e og f, bruk betingelsene k, k k, k k, d <. Se oppgave 7.7 fra læreboken og eksamensoppgave -9-b. 8 OPPGAVE a) Gitt den komplekse matrisen [ + (a + ) i ( + i) z A i der a R, og z b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er A Hermitsk (A A). Du oppgir radvektoren [a, b, c i svaret., b) Gitt den komplekse matrisen [ 7a + + i ( i) z B 4i 6i,

13 der a R, og z b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er B anti-hermitsk (B B). Du oppgir radvektoren [a, b, c i svaret. c) Gitt den komplekse matrisen [ a 4 C 7 i z i 7 der a R, a >, og z b + ci C. Finn for hvilke verdier av a, b, c er C unitær (C C I). Du oppgir radvektoren [a, b, c i svaret. 7 i, Hint: betrakt de to kolonnene som C består av: C [ k k. Bruk Th. 7..4(d) fra læreboka. Betingelsen k gir to mulige verdier til a. Velg a >. Betingelsen gir verdien til z. k k d) Gitt den komplekse matrisen [ i z D 4 + i i der z b + ci C. Finn for hvilke verdier av b, c er D normal (D D DD ). Du oppgir radvektoren [b, c i svaret.,

14 9 Formatering av svarene 9. Rasjonale tall Alle tall i svarene er enten hele eller rasjonale. Hele tall skal skrives på vanlig måte som,, - osv. Rasjonale tall skal skrives slik: -/ for, 4/7 for 4 7. Merknad. Tall på formen 7 eller 7 er ikke tillatt. Skriv -/ eller 4/7 i stedet. 9. Matriser og vektorer De settes i kvadratiske parenteser. Radene (rows) er separert med semikoloner ; mens elementene i radene er separert med kommaer, for eksempel matrisen 4 4 skal skrives som [,,-/,4;,-/4,,;/,,/,, radvektoren (the row vector) [ 4 skal skrives som [,,-/,4, og kolonnevektoren (the column vector) skal skrives som [;;/. Legg merke til semikoloner istedenfor kommaer! 9. Tupler Tuplene settes i runde parenteser. Leddene separeres med kommaer. For eksempel, hvis en basis G for R består av kolonnevektorer 6 7 G (g, g, g, g 4, g ) 4, 7 8 9,,, 8 9, 4

15 er G et -tuppel, og skal skrives ned som ([; ; ; 4;, [6; 7; 8; 9;, [; ; ; ;, [; ; ; ;, [7; 8; 9; ; ) Merknad 9. Legg merke til at leddene i kolonnevektorene er separert med semikoloner, mens leddene i -tuppelet er separert med kommaer.

16 Fasit. Oppgave a) [4,-4,-4 det A 4 4a 4a. s 9 4, t 6. b) -9/4 c) /6. Oppgave a) G (g, g, g ) ([, [, [ ). Rangen s rank (A), nulliteten t nullity (A). ([,,,,,[,,-,,,[,,,,-) b) [-;;- [u G. c) G (g, g, g ) ([, [ 8 7, [ 48 4 ). ([,,,,,[,,-8,,7,[48,,-,4,-) d) T (x) 6 x + x + 7 x + x x x + x 4 x + x 4 + x 7 x 4 x + 8 x 8 x 4 8 x x + x 8 x x 4 4 x 4 x + x 8 x 4 x x [6/,/,/7,/,4/;/,/,-/4,/,/;/7,-/4,/8,- /8,-/8; /,/,-/8,4/4,-/4;4/,/,-/8,-/4,9/4 x x x x 4 x Bx. 6

17 e) J ([-;;;;,[-;-;;;),. f) [-; [w J [. g) J (j, j ), 6 7. ([-;;;;,[-6;-7;;;) h) S (x) 9 x x 7 x x 4 4 x 7 x x + 4 x x 4 x 4 x 7 x + 8 x + 8 x x 8 x x x x x 8 x x 4 x + 4 x x [9/,-/,-/7,-/,-4/;-/,7/,/4,-/,-/;-/7,/4,/8,/8,/8; -/,-/,/8,99/4,/4;-4/,-/,/8,/4,/4 x x x x 4 x Mx. i) b b + b b 4. [,-/,,-/ eller [,-,,- j) H (h, h, h ) ([;;;,[;;;,[;4;; 4),,

18 k) [6;-;-7 [v H Oppgave a) x x y, z 7x y z 7 T (x) x y + 6z 6 x + y 4z 4 7 [T E A 6. 4 [-7,-,-;-,-,6;-,,-4 x y z, b) er en basis for ker T. ([-;;) c) En basis for bildet R (T ): ([-7;-;-,[-;-;) 7,. d) x y z t t t + t, 8

19 for eksempel: x y z x y z 8,. [-;; eller [-;8;.4 Oppgave a) [U (f) G E [,,,;,-,,-4;,,-,- b) En basis for ker U er 4 (, 4x x + x ).. ([;;;,[;-4;-;) c) En basis for R (U) er G (g, g ),. ([,,-;-,,;,,,[,,;-,,-;,,) d) [;-;-; f ( x x ) + s + t ( 4x x + x ). e) P G G P G G,. 9

20 4e_P_G_Gprime: [,,;,,;,,- 4e_P_Gprime_G: [,-,;,,;,,- f) P E E P E E,. 4f_P_E_Eprime: [,,,;,,,;,,,;,,, 4f_P_Eprime_E: [,-,,;,,,;,,,-;,,, g) [U G E [U G E [U G E 9 4, g_U_Gprime_E: [,,,9;,-,,-4;,,, 4g_U_G_Eprime: [,,,6;,-,,-4;,,-,-6 4g_U_Gprime_Eprime: [,,,;,-,,-4;,,,6.,. Oppgave a) [-,-,-, p (λ) λ λ + λ. b) D P.,

21 b_d: [-,,;,-,;,, b_p: [,,;,,;,, c) A m ( ) m 4??? c_b: -??? c_c: c_b: [-,,4;-,,;-,, c_c: [4,-,-4;,-,-;,-,- + m Oppgave Q [-/,/,/;-/,/,-/;/,/,/..7 Oppgave 4 A. [/,-4/,-/;/,-/,/;-/,-/,/.8 Oppgave a) a, z i, [ + i A i. [-/,7/,7/ b) a 7, z i, [ i 4i B 4i 6i.

22 [-/7,4/9,-/9 c) a 7, [/7,8/7,-/7 d) b 8 7, c 7, [ C i i i 7 7 i. b, c 4, [ i 4i D 4 + i i. [,-4

23 Løsningsforslag. Oppgave A b 6a 4 4a + 8 a + a a + a., a) det A blokk-diagonal 6a 4 4a + 8 ( 6a) (9 + 4a) 4 4a 4a. Vi skriver [4,-4,-4 i feltet a. bc) Setter sammen koeffi sientmatrisen og vektoren b: 6a 4 a + A a 4a + 8 a + a. Systemet Ax b har en entydig løsning Matrisen er invertibel det A ( 6a) (9 + 4a) a 9 4, 6.. Hvis a 9 4, blir den utvidede matrisen slik: og systemet er inkonsistent. G J. Hvis a 6, blir den utvidede matrisen slik: 6 4 G J. 7 74,,

24 og x x x x 4 t t t dvs. systemet vil ha uendelig mange løsninger. 4. Endelig: s 9 4, t 6. Du skriver -9/4 i feltet a, og /6 i feltet b.. Oppgave A 4 4 La oss lage den utvidede matrisen som består av matrisen A og kolonnevektorene b b b b, v 4. b 4 4 Man kan sette en 4 4 identitetsmatrisen I 4 istedenfor b, men vi inkluderer begge deler (både b og I 4 ). Bruker deretter Gauss-Jordan: b 4 b b 4 G J 4 b 4 4 G J., b + 4b b b 8b + b b + b b 4 7 b b + b b 4 a) De tre første radene i den reduserte matrisen A gir en basis for radrommet: G (g, g, g ) ([, [, [ ). Rangen s rank (A), nulliteten t nullity (A). Vi skriver ([,,,,,[,,-,,,[,,,,-) i feltet a. b) La u [ 8 4 u g + u g + u g u [ + u [ + u [ [ u u u u u u + u u.. 4

25 og Det er klart at Vi skriver [-;;- i feltet b. La oss kontrollere resultatet: u, u, u [u G [ + [ [ [ 8 4 u.. c) La oss bruke Gram-Schmidt: G (g, g, g ) ([, [, [ ). g g [, g g g g g g g [ [ [ T [ [ T [ [ [ [ 8 7. Vi kan bruke i stedet. g [ 8 7 [ 8 7 g g g g g g g g g g g g [ [ [ T [ [ T [ [ [ T 8 7 [ [ [ T [ [ ( ) ( 7 ) [ 8 7 4

26 Vi kan bruke g 4 [ 48 4 i stedet. Endelig: G (g, g, g ) [ [ 48 4 ([, [ 8 7, [ 48 4 ). Vi skriver ([,,,,,[,,-8,,7,[48,,-,4,-) i feltet c. d) La oss finne projeksjonen (se Th. 6..4a). Vi skal skrive vektorer g i både radvis og kolonnevis: T (x) x g g g g + x g g g T x x x x 4 g + x g g g g x [ [ T T x x x 8 x 4 x 7 [ [ T T x 48 x x x 4 4 x [ [ T ( x + x + ) x + + ( x + 4 x 8 x + 7 x 48 4 ) 8 7 6

27 6 ( + 4 x + 8 x 48 x + 4 x 4 ) 74 x x + x + 7 x + x x x + x 4 x + x 4 + x 7 x 4 x + 8 x 8 x 4 8 x x + x 8 x x 4 4 x 4 x + x 8 x 4 x x Vi skriver [6/,/,/7,/,4/;/,/,-/4,/,/;/7,-/4,/8,- /8,-/8; /,/,-/8,4/4,-/4;4/,/,-/8,-/4,9/4 i feltet d. dvs. e) Siden nullity (A), består basisen J av to vektorer J (j, j ). Å finne basisen er det samme som å løse systemet Ax. x s og x t er frie variable, og x s t x x x 4 s t s t s + t, x t J,. Vi skriver ([-;;;;,[-;-;;;) i feltet e. x x x x 4 x Bx. f) La 6 w w j + w j w + w w w w w w w w. 7

28 Det er klart at w, w, [w J [. Vi skriver [-; i feltet f. g) Vi vet (Th ) at row (A) Null (A), derfor er J, en basis for det ortogonale komplementet row (A). For å finne en ortogonal basis, bruker vi Gram-Schmidt: j j, j J j j j j j T T ( )

29 Vi kan bruke i stedet. Endelig: j 6 7 J (j, j ), Vi skriver ([-;;;;,[-6;-7;;;) i feltet g. h) La oss finne projeksjonen (se Th. 6..4a). x x x x 4 x T T S (x) x j j j j + x j j j j ( x x + ) x 9 + x x 7 x x 4 4 x 7 x x + 4 x x 4 x 4 x 7 x + 8 x + 8 x x 8 x x x x x 8 x x 4 x + 4 x x x x x x 4 x 6 7 T T ( + 8 x x 4 8 x + 4 x 4 + ) 4 x x x x x 4 x 6 7 Mx. Vi skriver [9/,-/,-/7,-/,-4/;-/,7/,/4,-/,-/;-/7,/4,/8,/8,/8; -/,-/,/8,99/4,/4;-4/,-/,/8,/4,/4 9

30 i feltet h. Merknad. Begge matrisene, M og C er symmetriske. Merknad. Sammenlign de to matrisene! Finnes det noen relasjon mellom dem? i) Det siste elementet i kolonne nr. 6 (eller de siste elementene i kolonnene nr. 7-) gir oss betingelsen for b for at systemet Ax b er konsistent: b b + b b 4. Vi skriver [,-/,,-/ i feltet i. stedet. Vi kunne godt skrive [,-,,- i j) Kolonnene nr, og 4 i den opprinnelige matrisen danner en basis for kolonnerommet: H (h, h, h ),, 4. 4 Vi skriver ([;;;,[;;;,[;4;; 4) i feltet j. k) Se på den siste kolonnen i den reduserte matrisen: 6 7. Den siste elementet er lik, derfor v virkelig tilhører kolonnerommet. De tre resterende elementene gir koordinatene mht basisen H: 6 [v H. 7 Vi skriver [6;-;-7 i feltet k.

31 . Oppgave u, v, w T (x) u (v x) a) Hvis er T (x) 7x y z x y + 6z x + y 4z x x y z x y z, x y z, y + z x + z x y dvs. der og A [T E A T T A 7 6 4, Vi skriver [-7,-,-;-,-,6;-,,-4 i feltet a. Lag den utvidede matrisen som består av A, kolonne a b b c og/eller identitetsmatrisen I, og kolonne w 9 9, 4.

32 og bruk Gauss-Jordan: 7 a 9 6 b 9 G J 4 c 4 G J 8b 6c b + 6 c 8 6 a b c. b) For å finne en basis for kjernen ker T, løs systemet Ax. z t er en fri variabel: x t y t t, z t dvs. er en basis for ker T. Vi skriver ([-;;) i feltet b. c) Kolonnene nr. og i den opprinnelige matrisen gir en basis for bildet R (T ): 7,. Vi skriver ([-7;-;-,[-;-;) i feltet c. d) Løser systemet Ax w: x t y t z t + t. Det er uendelig mange løsninger, for eksempel: x t, y z, t, x y z t t + t 8. Vi skriver [-;; eller [-;8; (eller en vektor som tilsvarer en annen verdi av t) i feltet d.

33 La oss kontrollere svarene: Oppgave G (g, g, g ) W M., V P, E (, x, x, x ). B U : V W,. U (f) f (B) f (B) T.,. a) Løsning. f a + a x + a x + a x, f (B) a I + a B + a B + a B a + a a a a + a a a a a + + a 4a a a a a 4a a + a + 4a + a a + a + a a + 4a a + a + a a + a + a + a a + a a + 8a 4a + 4a a + a U (f) U ( a + a x + a x + a x ) f (B) f (B) T + a a a 4a a a a 8a 4a.

34 dvs. a + 4a + a a + a + a a + 4a a + a + a a + a + a + a a + a a + 8a 4a + 4a a + a a + 4a + a a + a + a a + 4a a + a + a a + a + a + a a + a a + 8a 4a + 4a a + a [U (f) G a + a + a a 4a a a a a a a + 4a a + a a + a + a a 4a a a [U (f) G E 4 4 Vi skriver [,,,;,-,,-4;,,-,- i feltet 4a. Løsning. [U () G [ I I T G [U (x) G [ B B T G, G G. T. [ U ( x ) G [ B ( B ) T G T G G, a a a a T, G, T G 4

35 4 4 T Setter de 4 kolonnene i matrisen [ U ( x ) G [ B ( B ) T G [U (f) G E G G 4. T G b) Vi tar i betrakning matrisen fra deloppgave 4d, og setter sammen matrisen [U (f) G E, kolonnen a b c (eller identitetsmatrisen I ; vi setter begge), og kolonnen Bruker Gauss-Jordan: a 4 4 b c 6 La a a a a G G J Null ([U (f) G E ). a og a er frie variable. Det er klart at a s a a 4t t s a t + t 4 b c a + b + c 4..

36 Oversetter tilbake til P -språket: en basis for ker U er (, 4x x + x ). Vi skriver ([;;;,[;-4;-;) i feltet 4b. c) Bildet R (U) tilsvarer kolonnerommet til [U (f) G E. En basis for kolonnerommet består av kolonnene nr. og :,. Oversetter tilbake til matriser: en basis for R (U) er G (g, g ),. Vi skriver ([,,-;-,,;,,,[,,;-,,-;,,) i feltet 4c. d) U (f) Den siste kolonnen i den trappeformede matrisen sier at den generelle løsningen til systemet er a a a + s + t 4. a Vi kan velge s og t selv. Hvorfor ikke å sette s t : a a a, a og det ønskelige polynomet er Vi skriver [;-;-; i feltet 4d. Den generelle løsningen er x x.. f ( x x ) + s + t ( 4x x + x ). 6

37 La oss kontrollere resultatet: B B U ( x x ) U () I I T T T ,, 4B B + B 4 U ( 4x x + x ) + T., U (( x x ) + s + t ( 4x x + x )) + s + t e) G (g, g, g ), P G G [[g G, [g G, [g G P G G,,.. Vi skriver [,,;,,;,,- i feltet 4e_P_G_Gprime og [,-,;,,;,,- i feltet 4e_P_Gprime_G. f) 7

38 E (, + x, x, x + x ). P E E [ [ E, [ + x E, [ x E, [ x + x E P E E Vi skriver [,,,;,,,;,,,;,,, i feltet 4f_P_E_Eprime og [,-,,;,,,;,,,-;,,, i feltet 4f_P_Eprime_E. g) [U G E P G G [U G E [U G E [U G E P E E [U G E P G G [U G E P E E , ,, Vi skriver [,,,9;,-,,-4;,,, i feltet 4g_U_Gprime_E, [,,,6;,-,,-4;,,-,-6 i feltet 4g_U_G_Eprime, og [,,,;,-,,-4;,,,6 i feltet 4g_U_Gprime_Eprime.. Oppgave A

39 a) p (λ) a + a λ + a λ + a λ. a det A det a tr (A), a Vi skriver [-,-,-, i feltet a. b) P AP D p (λ) λ λ + λ. λ λ λ, 8 9,, λ λ λ. Siden a, er det bare 4 muligheter for egenverdiene (dvs. røttene til p (λ)): ± og ±. Det er enkelt å sjekke at og er to egenverdier. Siden er den resterende egenverdien tr (A) λ + λ + λ, ( ). Derfor er diagonalmatrisen D. Vi skriver [-,,;,-,;,, i feltet b_d. La oss finne egenvektorer:. λ, : A + I x x x s + t s t s G J + t,, s + t. 9

40 . λ : A I x x x t t t t G J, t., Setter de tre egenvektorene som kolonner i matrisen P : P, 8 6 P AP D. Vi skriver [,,;,,;,, i feltet b_p. c) A m b m B + c m C. A m ( P DP ) m P D m P P ( ) m ( ) m m ( ) m ( ) m m P 4 m ( ) m ( ) m m 4 ( ) m 4 m m ( ) m ( ) m m ( ) m m m ( ) m ( ) m m ( ) m m ( ) m 4 + m 4 4 ( ) m B + m C. Vi skriver - i feltet c_b, i feltet c_c, [-,,4;-,,;-,, i feltet c_b, og [4,-,-4;,-,-;,-,- i feltet c_c. 4

41 La oss kontrollere resultatet (f. eks. for m 7): ( ) 7 4 A m (( ) m B + m C) Oppgave F q (λ) λ 9λ 9λ + 8 (λ + ) (λ ) (λ 9). La oss finne egenvektorene:. λ :. λ : F + I x x x F I x x x t t t t t t t t G J G J,, t., t.,. λ 9: F 9I x x x t t t t G J, t., 4

42 De tre vektorene,, danner en ortogonal basis for R, men vi trenger en ortonormal basis. La oss normalisere vektorene, og sette dem som kolonner i matrisen:,,, Q Vi skriver [-/,/,/;-/,/,-/;/,/,/ i feltet d. La oss kontrollere resultatet: QQ T dvs. Q er en ortogonal matrise. Q T AQ T T, 9..7 Oppgave A a b d c e f AA T I, a >, b <, d <. [ k k k, Fiiner a: 4

43 k a k k, a +, a 4, a, siden a >. Finner b: k k, b c, b + c + 9, b c, k k, ( c ) ( + c +, ) 4 c + c + 6 9, 4 c + c + 7 9, Løsningen [ b 6 7, c 4 7 forkastes, siden b <, derfor b 4, c. Finner d, e og f. Vi kan godt løse systemet k k, k k, 4

44 og velge deretter løsningen som tilfredsstiller betingelsene d + e + f, d <. Men det er lettere å bruke kryssproduktet: d e f t t ±. 4 t t t, Siden er d + e + f, ( ) ( ) ( ) t + t + t, t, t (fordi d < ), og Endelig: d e f. 4 A Vi skriver [/,-4/,-/;/,-/,/;-/,-/,/ i feltet 6a...8 Oppgave a) A [ + (a + ) i ( + i) z i der z b + ci C. [ A + i (a + ) i (A T ) ( + i) z, [ i (a + ) + i ( i) z. Det er klart at a +, a, 44

45 og ( + i) z + i, z + i + i 7 + 7i ( + i) ( i) ( + i) ( i) i. A [ + (a + ) i ( + i) z i [ + i. i [ ( ( ) ) ( + + i ( + i) i) i Du oppgir [-/,7/,7/ i svaret. b) B der a R, og z b + ci C. B (B T ) [ 7a + + i ( i) z 4i 6i [ 7a + + i 4i ( i) z 6i, [ 7a + i + 4i ( + i) z 6i. Det er klart at og 7a +, a 7, ( i) z 4i, z 4i i i. B [ 7a + + i ( i) z 4i 6i [ i 4i. 4i 6i [ ( ) ( i ( i) 4 4i 6i 9 9 i) Du oppgir [-/7,4/9,-/9 i svaret. c) [ a 4 C 7 i z i i [ k k,

46 der a R, a >, og z b + ci C. Siden k, er ( a 4 ) ( 7 i a + 4 ) ( 7 i ) ( 7 i 7 8 ) 7 i a ,, Siden er ( a 4 ) 7 i a , a 89 7 >. ( z + k k, ( i ) ( 7 i ) i ), z i, z z i i 8 ( i Du oppgir [/7,8/7,-/7 i svaret i, ) i. d) der z b + ci C. D [ i z 4 + i i, [ D i + 4 i (D T ), z + i [ [ DD i z i + 4 i 4 + i i z + i [ zz + i z + iz, i z iz [ [ [ D i + 4 i i z D z + i 4 + i i z + iz z iz zz +. 46

47 og Siden DD D D, er zz z, Endelig: D DD DD i z + iz z + iz, z ( i) + i, z + i 4i. i [ i 4i, 4 + i i [ [ [ i 4i + i 4 i, 4 + i i + 4i + i [ [ [ + i 4 i i 4i, + 4i + i 4 + i i og D er normal. Du oppgir [,-4 i svaret. 47

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Øving 5 Diagonalisering

Øving 5 Diagonalisering Øving 5 Diagonalisering En matrise A er diagonaliserbar dersom den er similær med en diagonalmatrise, dvs. det eksisterer en invertibel matrise P og diagonal matrise D slik at P.D.P -1. I øving 4 lærte

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer

Øving 4 Egenverdier og egenvektorer Øving Egenverdier og egenvektorer En egenvektor til en matrise A er løsning av likningen A.x = Λ x hvor Λ er en konstant. Det betyr at virkningan av å multiplisere en matirse med en vektor gir en ny vektor

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

Løsningsforslag. Vedlegg C: Kapittel 2. e) Ingen løsning. f) Flere løsninger: x = 4 + 2t, y = t. c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1

Løsningsforslag. Vedlegg C: Kapittel 2. e) Ingen løsning. f) Flere løsninger: x = 4 + 2t, y = t. c) x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1 Vedlegg C: Løsningsforslag Kapittel. a x =, y = 3 b x =, y = 0 cx =, y = 5 d x =, y = 3 e Ingen løsning. f Flere løsninger: x = 4 + t, y = t. a x = 7, x = 6, x 3 = bx =, x =, x 3 = c x =, x = 3, x 3 =.3

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 Innlevering: Senest fredag 30 oktober, 2009, kl1430, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7 etasje NHA) Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering

Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering Kap. 5 og Notat 2 Oppsummering Vi lar A være en reell n n matrise, med mindre noe annet sies. x R n er en egenvektor for A tilh. egenverdien λ R betyr at A x = λ x og x 0. Hvis A er triangulær, er egenverdiene

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02 Leting på nettet 3 MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET Eskilstuna 5 september 02 Som så ofte når det gjelder spektakulære tekniske anvendelser, og spesielt når det gjelder verktøyene på nettet,

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995 Løsningsforslag eksamen STE 638 Geometrisk modellering 9/8 995. a) Vi skal bestemme hvilke av avbildningene/transformasjonene som er homeomorfier. f 4 6 Determinanten til matrisen er lik, dvs at den har

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109 Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 Lars Sydnes, NITH 26. november 2013 I. GAUSS-ELIMINASJON 2x + 3y + z = 1 2x + 5y z = 1 4x + 7y + 4z = 3 x + 3/2 y + 1/2 z = 1/2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 x + 2z = 2 y z

Detaljer

INF1300 Relasjonsalgebra og SQL, mengder og bager. Lysark for forelesning v. 2.1

INF1300 Relasjonsalgebra og SQL, mengder og bager. Lysark for forelesning v. 2.1 INF1300 Relasjonsalgebra og SQL, mengder og bager. Lysark for forelesning v. 2.1 Dagens temaer Relasjonsalgebraen Renavning Algebra Heltallsalgebra Klassisk relasjonsalgebra Mengdeoperatorer Union Snitt

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 10

Løsningsforslag ST2301 Øving 10 Løsningsforslag ST2301 Øving 10 Kapittel 5 Exercise 6 Hva er innavlskoeffisienten for individ I i følgende stamtre? Svar: Her er det best å bruke en annen metode enn løkkemetoden. Slektskapskoeffisientmetoden

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0 Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL)

EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : Tirsdag 6. desember 2011. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Adm. bygget, Aud. max. eller B154. Tillatte hjelpemidler : Alle

Detaljer

Justering til gyldig korrelasjonsmatrise

Justering til gyldig korrelasjonsmatrise Absolute difference between original and adjusted matrix (major, with weights)...2.3.4.5.85.45.6 -.2. -. -.4.6.4.4.3.7 -.7 -.7. -.4.5.72.45 -.4 -.79.85.34.3 -.8.8.4 -. -.4..4.9.5 -.9 -.7 -.4 -.9.64.8.53.2

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Øvingsforelesning TDT4105 Matlab

Øvingsforelesning TDT4105 Matlab Øvingsforelesning TDT4105 Matlab Øving 2. Pensum: Funksjoner, matriser, sannhetsuttrykk, if-setninger. Benjamin A. Bjørnseth 8. september 2015 2 Innhold Funksjoner Matriser Matriseoperasjoner Sannhetsuttrykk

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 17, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Flervariabel analyse med lineær algebra

Flervariabel analyse med lineær algebra Flervariabel analyse med lineær algebra av Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Matematisk institutt og Senter for matematikk for anvendelser (CMA) Universitetet i Oslo Revidert versjon for vårsemesteret 2009

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Det viktigste dataelementet som MATLAB benytter, er matriser, som også gjerne betegnes arrays.

Det viktigste dataelementet som MATLAB benytter, er matriser, som også gjerne betegnes arrays. Kapittel 5 Matriseoperasjoner Det viktigste dataelementet som MATLAB benytter, er matriser, som også gjerne betegnes arrays. I det etterfølgende vil begrepet vektor bli benyttet enkelte steder som betegnelse

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(.

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(. Algebra Algebra blir ofte referert til som bokstavregning, selv om man nok mister noe av det helhetlige bildet ved å holde seg til en slik oppfatning. Vi velger her å ta med ting som likningsløsning og

Detaljer

EKSAMEN RF5100, Lineær algebra

EKSAMEN RF5100, Lineær algebra Side av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF500, Lineær algebra Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4. oktober 04 Emneansvarlig: Lars Sydnes

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008

For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 ITERERTE LINEÆRE REKURSJONER OG SCHUBERT REGNING For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008 1. Adjunksjon av røtter 1.1 Notasjon. La A være en ring. For en A-algebra B betrakter vi Hom A (B, A) som en

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra

11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra TFY4250/FY2045 Tillegg 11 - Harmonisk oscillator og dreieimpuls operatoralgebra 1 TILLEGG 11 11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra I Tillegg 3 er den harmoniske oscillatoren gitt en

Detaljer

MAT 1110 V-06: Løsningsforslag til Oblig 1

MAT 1110 V-06: Løsningsforslag til Oblig 1 MAT V-6: Løsningsforslag til Oblig Oppgave : a) Antall sykler i stativet X rett før påfyllingen i måned n + er lik 4% av antall sykler i X måneden før, pluss % av antall sykler i Y måneden før, pluss %

Detaljer

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z

KOMPLEKSE TALL. hvor x og y er reelle tall. x = Re z og y = Im z KOMPLEKSE TALL. Innledning og definisjoner Mengden av komplekse tall danner en utvidelse av den reelle tallmengden. Denne utvidelsen skjer ved at vi innfører en ny størrelse (et tall) i som er slik at

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt) EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 17. 1.013 Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet som ønsker videreutdanning

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Del 1 - Uten hjelpemidler

Del 1 - Uten hjelpemidler Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgaveteksten til del 1 ligger i: http://www.ulven.biz/r1/heldag/r1_hd_100516.docx (Oppgaveteksten til del er inkludert i dette dokumentet.) Oppgave 1 f x 3x 1 x 1 x (Husk: x

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 2MX. Privatistar/Privatister. AA6516 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 2MX. Privatistar/Privatister. AA6516 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Matematikk 2MX Privatistar/Privatister 8. desember 2004 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Oppgåva

Detaljer

MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver

MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver MATEMATIKK FOR ØKONOMER (3. avdeling) Eksamensoppgaver Sosialøkonomisk institutt 22 Forord Dette heftet er beregnet på studenter som forbereder seg til eksamen i kurset Matematikk for økonomer i 3. avdeling.

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Dagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes.

Dagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Dagens tema Dagens tema C-programmering Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Adresser og pekere Parametre Vektorer (array-er) Tekster (string-er) Hvordan ser minnet

Detaljer

Korteste vei problemet (seksjon 15.3)

Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k

Detaljer

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen MAT1100 Pensum fra Kalkulus KAP3 KOMPLEKSE TALL 3.1

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

v : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn

Detaljer

En studentassistents perspektiv på ε δ

En studentassistents perspektiv på ε δ En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve

Detaljer