7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet
|
|
- Børre Enger
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt diagonaliserbare, og Schur triangularisering: tilleggsstoff (noe kjennskap). Vi fokuserer på det reelle tilfellet; det finnes generaliseringer til det komplekse tilfellet (men med visse endringer). Minner om at to kvadratiske matriser A og B kalles similære dersom det finnes en invertibel matrise S slik at B = S 1 AS. Da har A og B samme egenverdier. Spesielt enkelt er dette hvis S er en ortogonal matrise (dvs. S er n n og kolonnene er ortonormale); da er nemlig S 1 = S T!! 1/19
2 Teorem ( Schur triangulering) Anta at A er en n n matrise med reelle egenverdier λ 1, λ 2,..., λ n (telles med multipl., i en viss rekkefølge). Da finnes en (reell) ortogonal matrise U slik at U T AU = T er øvre triangulær, og der diagonalelementene i T er egenverdiene til A, t ii = λ i (i n). Merk: U T er den transponerte av U. T er en matrise. Bevis: La λ 1 være en egenverdi for A og x 1 en tilhørende reell egenvektor (en slik finnes: ta realdel evt. imaginærdel til en kompleks egenvektor). Kan normalisere så x 1 har lengde 1. Kan da utvide x 1 til en ortonormal basis for IR n (først en basis, så ortogonalitet ved Gram-Schmidt, til slutt normaliser). La U 1 være den ortogonale matrisen med vektorene i denne basisen som kolonner, der x 1 er første kolonne. Da har U1 T AU 1 formen [ ] U1 T λ1 AU 1 = O A 1 2/19
3 der (n 1) (n 1) matrisen A 1 har egenverdier λ 2,..., λ n. (Brukte her ortogonalitet og så på U T 1 (AU 1)). Vi behandler nå A 1 på tilsvarende måte: la x 2 være en reell egenvektor (i IR n 1 ) som hører til λ 2. Kan da finne en ortogonal (n 1) (n 1) matrise U 2 slik at [ U2 T λ2 A 1 U 2 = O A 2 ]. Definer n n matrisen [ 1 O V 2 = O U 2 ]. Lett å se at V 2 er ortogonal, og det er U 1 V 2 også. Får nå λ 1 V2 T U1 T AU 1 V 2 = 0 λ 2. O O A 2 3/19
4 Fortsetter slik og finner ortogonale matriser U i IR (n i+1) (n i+1) (i n 1) og ortogonale matriser V j (j n 1). Matrisen U = U 1 V 1 V n 1 er ortogonal og U T AU er øvre triangulær som ønsket. Schur triangularisering har en rekke anvendelser. Vi skal her bruke dette resultatet til å vise spektralteoremet. 4/19
5 Teorem ( Spektralteoremet) La A være en reell symmetrisk n n matrise. Da har A reelle egenverdier λ 1, λ 2,..., λ n (telles med multipl., i en viss rekkefølge) og det finnes en (reell) ortogonal matrise U slik at U T AU = D der D er diagonalmatrisen med diagonalelementer λ 1, λ 2,..., λ n. Kolonnene i U er n ortonormale egenvektorer som hører til de resp. egenverdiene. Bevis: Start med egenvektorlikningen Ax = λx, der x O og x og λ kan være komplekse. Dermed er ( ) x T Ax = λ x T x. Dessuten x T Ax = x T Ax = x T A x = (x T A x) T = x T A T x = x T Ax som viser at x T Ax er reell. Fra ( ) over ser vi da at egenverdien λ må være reell (idet også x T x er reell). Dette medfører at det finnes en tilhørende reell egenvektor (ved å ta realdelen evt imaginærdelen til en kompleks egenvektor; dette blir en ny egenvektor). 5/19
6 Så A har reelle egenverdier og egenvektorer. Ved Schur triangulering finnes da en ortogonal matrise U slik at U T AU = T der T er øvre triangulær, og har egenverdiene til A på diagonalen. Men da blir T T = (U T AU) T = U T A T U = U T AU = T så T er symmetrisk: da må T være en diagonalmatrise. Kolonnene i U er ortonormale egenvektorer for A, og vi har vist teoremet. Det komplekse tilfelle: Schur triangularisering sier at for enhver kompleks matrise A finnes en unitær matrise U (dvs. Ū T U = I ) slik at Ū T AU = T er øvre triangulær, og T har egenverdiene til A langs diagonalen. 6/19
7 7.2 Kvadratiske former Funksjoner på R n som er lineærkombinasjoner av ledd av typen xi 2 eller x i x j (der i j) opptrer i mange anvendelser. Disse kalles kvadratiske former. Kvadratiske former på R n kan skrives på formen x T A x der A er en symmetrisk n n matrise. Ved teorien for symmetriske matriser kan vi alltid foreta et ortogonalt variabelskifte som forenkler en gitt kvadratisk form. Et variabelskifte svarer til et bytte av koordinatsystem. Nivåmengder for en kvadratisk form er enkle å beskrive når man velger riktig koordinatsystem. Når n = 2 er nivåkurvene man da får gjerne ellipser eller hyperbler. Skal se til slutt at kvadratiske former (og symmetriske matriser) kan klassifiseres i noen hovedtyper. Disse typene er viktige f.eks. når man studerer stasjonære punkter til reelle funksjoner på R n (ved å se på Hesse-matrisene, jf. MAT1110). 7/19
8 Definition. En kvadratisk form på R n er en funksjon Q : R n R som kan skrives på formen Q(x) = x T A x der A er en symmetrisk n n matrise. [ ] 5 2 Eksempel. La A = og Q(x) = x 2 5 T A x. Da er Q(x) = [ x 1 x 2 ] [ ] [ x1 x 2 ] = [ x 1 x 2 ] [ 5x 1 2x 2 2x 1 + 5x 2 = x 1 (5x 1 2x 2 ) + x 2 ( 2x 1 + 5x 2 ) = 5x 2 1 4x 1 x 2 + 5x 2 2. ] 8/19
9 Eksempel. La Q(x) = a x b x 1x 2 + c x 2 2, x = (x 1, x 2 ) R 2. Da er Q(x) = [ x 1 x 2 ] [ a b/2 b/2 c (ved en enkel utregning). Eksempel. La ] [ x1 x 2 ] = x T [ a b/2 b/2 c Q(x) = a x 2 1 +b x 1 x 2 +c x 2 2 +d x 2 x 3 +e x 2 3 +f x 1 x 3, x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3. ] x Da er Q(x) = [ x 1 x 2 ] x 3 a b/2 f /2 b/2 c d/2 f /2 d/2 e x 1 x 2 x 3. (Sjekk!) 9/19
10 Kvadratiske former tilordnet diagonalmatriser er enkle : La D= diag(d 1, d 2,..., d n ) og Q (y) = y T D y, y R n. Da er Q (y) = d 1 y d 2 y d n y 2 n (sjekkes på tavla). Med enkel menes altså at det finnes ingen kryssledd av typen y i y j med i j. Vi skal nå se at vi kan alltid gjøre om en kvadratisk form til en enkel kvadratisk form uten kryssledd ved et passende variabelskifte. Husk at et variabelskifte svarer til at vi skifter basis (og dermed koordinatsystem): hvis P = [u 1... u n ] er en n n invertibel matrise og vi foretar variabelskiftet y = P 1 x, mao. x = Py så er y koordinatvektoren til x mhp. basisen B = {u 1... u n } (fordi P 1 er koordinatskiftematrisen fra standard basisen til B, jf. avsn. 4.4 og 4.7). 10/19
11 Betrakt en kvadratisk form på R n Q(x) = x T A x der A er en symmetrisk n n matrise. Siden A er symmetrisk vet vi fra avsn. 7.1 at A er ortogonalt diagonaliserbar : det finnes da en ortogonal n n matrise P og en n n diagonalmatrise D = diag(d 1,..., d n ) slik at A = PDP 1 = PDP T (siden P 1 = P T ), og da er P T AP = D. Minner om at kolonnene i P er da en ortonormal basis B for R n bestående av egenvektorer for A tilhørende egenverdiene d 1,..., d n. Vi foretar nå variableskiftet y = P 1 x, mao. x = Py. Vi får da at Q(x) = x T A x = (Py) T A(Py) = y T P T APy = y T Dy. Nå er Q (y) := y T D y en kvadratisk form uten kryssledd! 11/19
12 Vi har dermed vist følgende: Teorem 4. I koordinatsystemet for R n med akser bestemt av en ortonormal egenvektorbasis B for den symmetriske matrisen A, så blir den kvadratiske formen Q(x) = x T Ax gjort om til en kvadratisk form uten kryssledd. Aksene i koordinatsystemet ovenfor kalles ofte hovedaksene (eller prinsipalaksene). [ ] 5 2 Eksempel. La A = og Q(x) = x 2 5 T A x. Man regner lett ut at egenverdiene ] til A er 3 og [ 7, med ] tilhørende, u 2 = [ enhetsegenvektorer u 1 = ] Sett P = [ Variabelskiftet x = Py gir da at og D = diag(3, 7). Q(x) = x T A x = y T Dy = 3y y 2 2 (= Q (y)). 12/19
13 En geometrisk anvendelse For enkelhets skyld ser vi på når n = 2. Betrakt en kvadratisk form på R 2, Q(x) = a x b x 1x 2 + c x 2 2. Hvordan ser nivåkurvene til Q ut? Minner om at nivåkurven til Q svarende til en verdi d R består av alle x = (x 1, x 2 ) i R 2 som er slik at Q(x) = d, mao. som tilfredstiller likningen a x b x 1 x 2 + c x 2 2 = d Vi kan da skifte variabel og gå over til koordinatsystemet angitt i Teorem 4. Likningen ovenfor forenkles da til likningen d 1 y d 2 y 2 2 = d der d 1 og d 2 er egenverdiene til den symmetriske matrisen A tilordnet Q. Kurvene bestemt av denne likningen, og dermed nivåkurvene til Q, lar seg lett beskrive. 13/19
14 Anta f.eks. at d 1, d 2 og d alle er forskjellig fra 0. Da har vi at hvis d 1, d 2 (og d) alle har samme fortegn så blir kurven en ellipse hvis d 1, d 2 har motsatt fortegn så blir kurven en hyperbel. Eksempel. Betrakt likningen 5 x1 2 4 x 1x x2 2 = 48, mao. [ ] Q(x) = 48 der Q(x) = x T 5 2 A x med A =, som i 2 5 forrige eksempel. I koordinatsystemet bestemt av egenvektorbasisen for A vi fant da, blir likningen omgjort til 3 y y 2 2 = 48, altså til y y 2 2 ( 48/7 ) 2 = 1 som er likningen for en ellipse (se fig. 3(a) s. 476). 14/19
15 Eksempel. Betrakt likningen 3 x x 1x x2 2 = 2, mao. [ ] 3 5 Q(x) = 2 der Q(x) = x T A x med A =, 5 3 Man regner lett ut at egenverdiene ] til A er 8 og [ -2, med ] tilhørende, u 2 = [ enhetsegenvektorer u 1 = ] Sett P = [ Variabelskiftet x = Py gjør da likningen Q(x) = 2 om til likningen 8 y y 2 2 = 2, dvs. y 2 1 (1/2) 2 y 2 2 = 1. Dette er likningen for en hyperbel (som skisseres på tavla). 15/19
16 Klassifikasjon av kvadratiske former Motivasjon. La Q(x) = x T Ax være en kvadratisk form på R 2. Det er enkelt å sjekke at O = (0, 0) er et stasjonært punkt for Q, dvs. Q x 1 (0, 0) = Q x 2 (0, 0) = 0. Et naturlig spørsmål er derfor : hva slags stasjonært punkt er O? (Se fig. 4, s. 460). Merk at Q(O) = 0. Definition. En kvadratisk form Q på R n kalles positiv definit dersom Q(x) > 0 for alle x O. (Da er O et min. punkt for Q). negativ definit dersom Q(x) < 0 for alle x O. (Da er O et maks. punkt for Q). indefinit dersom Q(x) antar både positive og negative verdier. (Da vil O være et sadelpunkt for Q). 16/19
17 Merk : man sier også at Q er positiv semidefinit dersom Q(x) 0 for alle x, negativ semidefinit dersom Q(x) 0 for alle x. Teorem 5 Kvadratiske former og egenverdier. La A være en n n symmetrisk matrise. Den kvadratiske formen Q(x) = x T Ax på R n er positiv definit alle egenverdiene til A er positive, negativ definit alle egenverdiene til A er negative, indefinit A har både positive og negative egenverdier. Merk : tilsvarende gjelder det at Q er positiv semidefinit alle egenverdiene til A er ikkenegative, negativ semidefinit alle egenverdiene til A ikkepositive, 17/19
18 Bevis-skisse. Ved å benytte Teorem 4 kan vi betrakte istedet Q (y) = d 1 y d n y 2 n der d 1,..., d n er egenverdilisten til A. Ved å studere fortegnet til dette uttrykket er det rimelig opplagt at påstandene i teoremet er sanne. Eksempel. La Q(x) = 5 x1 2 4 x 1x x2 2 [ ]. 5 2 Siden A = har egenverdiene 3 og 7, som begge er 2 5 positive, så er Q positiv definit. (Dermed er (0, 0) et min. punkt for Q). Eksempel. La Q(x) = 3 x x 1x x2 2 [ ]. 3 5 Siden A = har egenverdiene 8 og -2, så er Q indefinit. 5 3 (Dermed er (0, 0) et sadelpunkt for Q). 18/19
19 Eksempel. La Q(x) = x1 2 4 x 1x 2 + x x 2x 3 + x x 1x Da er Q(x) = x T Ax der A = Vi har sett tidligere (jf. forrige forelesning) at egenverdiene til A er 3 og -3. Dermed er Q indefinit. Merk: Samme terminologi brukes til å klassifisere symmetriske matriser som kvadratiske former: en symmetrisk matrise A kalles positiv definit dersom den tilhørende kvadratiske formen er positiv definit, osv. Teorem 5 har da en tilsvarende formulering for symmetriske matriser. [ ] 5 2 F.eks. er A = positiv definit (jf. tidl. eksempel) /19
Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former
Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =
DetaljerVi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på
Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske
DetaljerA 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:
5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Detaljer16 Ortogonal diagonalisering
Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen
Detaljer6.5 Minste kvadraters problemer
6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerR: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og
EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Haust 2011
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Haust Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap. 6., s. 7 u v = ( 7)+( 5) ( 4)+( ) 6 = u = +( 5) +( ) = v
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Matlab-utskrift (1 side).
UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Examination in: MAT 2 Lineær algebra Day of examination: 9. desember 2. Examination hours: 4.3 8.3. This problem set consists of 6 pages.
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerForelesning 14 Systemer av dierensiallikninger
Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som
DetaljerLøsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
DetaljerDiagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1
Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
DetaljerØving 5 Diagonalisering
Øving 5 Diagonalisering En matrise A er diagonaliserbar dersom den er similær med en diagonalmatrise, dvs. det eksisterer en invertibel matrise P og diagonal matrise D slik at P.D.P -1. I øving 4 lærte
DetaljerMinste kvadraters løsning, Symmetriske matriser
Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
Detaljer12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)
Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
DetaljerEmne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser
Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerNotat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger
Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
Detaljer13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5
3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne
Detaljer5.6 Diskrete dynamiske systemer
5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets
Detaljer= 3 11 = = 6 4 = 1.
MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i MA22/MA622 Lineær algebra med anvendelser våren 29 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerEKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
DetaljerRom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012.
Rom og lineæritet Erik Bédos Matematisk Institutt, UiO 202. Lineær algebra er et viktig redskap i nær sagt alle grener av moderne matematikk. De fleste emnene i matematikk på masternivå bygger på en forståelse
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
DetaljerMA1202/MA S løsningsskisse
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0/MA0 0S løsningsskisse Rettet. august 0 Oppgave a) Vi finner det karakteristiske polynomet, λ 0 λ λ λ λ detλi A) λ 0 λ λ
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt
Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerEksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
DetaljerLøsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at
Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 379 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar 05 Oppgave. (A) Vi leser av at A = 3 5, B = ( 0 5 ), C = 0 5 9 og har dermed at π x = Ax + BT =
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon:
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat 4 Lineær algebra Dato: Torsdag 4 juni 25 Tid: Kl 9: 3: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller Oppgavesettet
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
Detaljera) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er matrisen inverterbar når v T u 1.
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Oppgave 1 a) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er
Detaljer6 Determinanter TMA4110 høsten 2018
6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til
Detaljer6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen
6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av et indreprodukt rom V. Man kan starte med en vanlig basis for W og konstruere en ortogonal basis for W. Ønskes det en
DetaljerMAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerMAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse
MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt
DetaljerGenerelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU
Generelle teoremer og definisjoner MA1201 Lineær Algebra og Geometri - NTNU Lærebok: Anton, H & Rorres, C: Elementary Linear Algebra, 11 utgave Jonas Tjemsland 26 april 2015 4 Generelle vektorrom 41 Reelle
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerEksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
DetaljerKapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer
Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9
Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /4-6/4 Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no April, 00 Oppgave 4.8. a Bytt om første og andre rad. b Legg til ganger rad til rad. c Bytt om første og andre rad. d Legg til
DetaljerUniversitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!
Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3 Faglig kontakt under eksamen: Markus Szymik Tlf: 411 16 793 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)
EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerLP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former
LP. Leksjon 5 Kapittel 5: dualitetsteori motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former 1 / 26 Motivasjon Til ethvert LP problem (P) er det knyttet et
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet
DetaljerOBLIG 2 - MAT 1120 Høsten 2005
> with(linearalgebra): with(linalg):with(plots): Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving 6 9..7 Anta at en populasjon er delt inn i tre aldersklasser, og at %
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF-MAT 3370 Lineær optimering Eksamensdag: 3. juni 2008 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerEmne 9. Egenverdier og egenvektorer
Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller
Detaljer3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. 4 (1+3) Det er 12 deloppgaver (1abc, 2abcd, 3abc, 4ab) Andrei Prasolov
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat-004 Lineær algebra Dato: Torsdag. juni 207 Klokkeslett: 09.00-3.00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator,
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
Detaljer