EKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid:

Transkript

1 EKSAMEN EMNE: MA6 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): 5 Antall oppgaver: Antall vedlegg: Tillatte hjelpemidler er: Godkjent kalkulator Formelsamling KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG Om eksamen Mellomregninger Ta med mellomregninger og begrunnelser som er relevante for MA-6 slik at det er tydelig for sensor at du kjenner hele gangen i regningen Mellomregninger som tilhører andre fag er det ikke nødvendig å ta med Er du i tvil om mellomregningen tilhører pensum i MA-6, ta den med Formler Når du bruker formler i overgangene dine bør du skrive hvilken formel du har brukt

2 Oppgaver Lineær algebra (a) Oppgave: Løs følgende ligningssystem ved å bruke augmentert matrise og radoperasjoner Ta med og indikér samtlige radoperasjoner Fasit: x x = x + x 5x = x + x = Bytter rad og Trekker rad fra rad Legger ganger rad til rad Legger rad til rad Deler rad på og deler rad på Legger 5 ganger rad til rad Trekker ganger rad fra rad x = x = + x = x =, x =, x =

3 (b) Oppgave: B = Finn determinanten til B, og gjør tydelig hvilken metode du bruker Hva sier determinanten til matrisen om hvorvidt B er inverterbar? Fasit: = 6 (uansett hvilken metode du bruker) Siden B, er B inverterbar (c) Oppgave: C = Finn C Vis alle trinn i utregningen, inkludert eventuelle radoperasjoner Sett b = Bruk det du fant ut over til å løse C x = b Fasit: Setter opp augmentert matrise [AI ] og radreduserer til vi har [I A ]: Trekk rad fra rad, og deretter rad fra rad A = x = C b = Trekk rad fra rad, og deretter rad fra rad =

4 (d) Oppgave: D = 6 Du får vite at D i Finn en basis for Col D ii La B være basisen for Col D som du fant i oppgaven over, og la x være den kolonnevektoren i matrisen D Finn koordinatvektoren [ x] B til x med hensyn på basisen B iii Finn en basis for Nul D Fasit: i Basisen for Col D finner vi ved at vi finner pivot-kolonnene til D Vi ser av matrisen D er ekvivalent med at det er og kolonne Altså er B ColD =, 6 ii kolonnevektor [ ] er den andre vektoren i B ColD, så [ x] B = (Hvis man ikke ser dette med en gang er det selvfølgelig også [ ] x helt rett å regne ut x = ved å løse ligningssystemet ) x + x x 6 = 6 iii Basis for Nul D: Vi setter opp augmentert matrise [D ] Først: [D ] Vi leser av, og får x + x + x = x + x x = x er fri er fri x

5 x = x x x = x + x x = x x = x x x x x B NulD = = x x x + x x, x = x + x (e) Oppgave: Finn x ved hjelp av Cramers regel: (Her er s en ukjent konstant du ikke skal finne) [ ] [ ] s e πs s x = Fasit: x = x = x = e πs s s s s e πs s s ] [ e πs s s + e πs s + = e πs s s + = e πs s s + = e πs s + = e πs s + (Fler oppgaver på neste side) 5

6 Tilhørende stoff (a) Oppgave: Finn alle verdier av z Skriv på formen z = a + ib: z = 8 Fasit: z = 8 e i z = +kπ i 8 e (k =,,, ) +kπ i = e e i e = i π e i π = = (b) Oppgave: Løs e i 6π e i π e i π e i π i i y n y n + y n = ; y =, y = Fasit: Vi setter opp karakteristisk ligning: r r + = som har dobbel rot r = Da får vi generell løsning y n = C n + Dn n = C + Dn Vi setter inn for verdiene for n =, : y = : C + D = y = : C + D = som har løsning C =, D = Svaret blir da y n = 6

7 (c) Oppgave: Vis at utsagnene og (p (q p)) q q er logisk ekvivalente Fasit: Merk først hva vedlagte tabell sier om sannhetsverdien til p q Vi konstruerer på grunnlag av det følgende tabell: p q q p p (q p) (p (q p)) q Vi ser at sannhetsverdiene er de samme i kolonnen for q og kolonnen for (p (q p)) q [ ] (d) Oppgave: H = i Finn egenverdiene til H ii Finn egenrommene til hver av egenverdiene til H Fasit: i Vi løser H λi = : λ λ = som gir oss ( λ)( λ) =, som vi lett ser har løsninger λ = og λ = ii Vi løser for hver av egenverdiene: λ = : Vi må løse (H I ) x = : ([ ] [ ]) x = [ ] x = som gir oss augmentert matrise [ ] [ ] 7

8 som vi kan lese av x = x er fri [ x = t ] λ = : Vi må løse (H I ) x = : ([ ] [ ]) x = [ ] x = som gir oss augmentert matrise [ ] [ som vi kan lese av x + x = x er fri ] x = x x = x [ ] x = t 8

9 Noen formler DeMoivres formel z = r(cos θ + i sin θ) = z n = r n (cos nθ + i sin nθ) Komplekse røtter De n n te røttene til z = r(cos θ + i sin θ) er ( ( w k = r θ n cos n + kπ ) ( θ + i sin n n + kπ )) n k =,,, n Determinant og invers til -matriser [ a b A = c d ], det A = a c b d = ad bc A = [ det A d c b a ] Rangformelen rang A + dim Nul A = n Logikk Operasjon Logisk Uttrykk Ordbruk Negasjon p, p ikke p Konjunksjon p q p og q Disjunksjon p q p eller q Implikasjon p q hvis p så q Ekvivalens p q p hvis og bare hvis q

10 p q p q p q p q p q Løsning til Generell Løsning til r + br + c = x n+ + bx n+ + cx n = Konstanter r, r R, r r x n = Cr n + Dr n C, D R r R, r x n = Cr n + Dnr n C, D R r, r C x n = Cr n + C r n C C x n = Eρ n cos(nθ) + F ρ n sin(nθ) ρ = r, θ = arg(r),e, F R Table : Løsning til karakteristisk likning - løsning til differenslikning Differenslikninger (Over har vi brukt r til å betegne modulus av et komplekst tall Her bruker vi r i den karakteristiske likningen, hvor r også kan være et komplekst tall For modulus bruker vi da den greske bokstaven for r: ρ)