Oppgaver til seksjon med fasit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Oppgaver til seksjon med fasit"

Transkript

1 Oppgaver til seksjon.6-. med fasit Oppgaver til seksjon.6. Skriv b som en lineærkombinasjon av a og a når a = ( ( a = og b =.. Skriv b som en lineærkombinasjon av a, a og a når a = a =, a = og b = 5. (. Avgjør om alle vektorer i R n (for relevant n kan skrives som en lineærkombinasjon av vektorene: ( ( a a =, a = b a =, a =, a = 7 c a =. Skriv 7, a =, a = 6 7 som en lineærkombinasjon av.. Bruk gjerne MATLAB som hjelpemiddel. 5. Bruk MATLAB til å skrive..5,.,..5,, som en lineærkombinasjon av, 5 7 6,.75.,,

2 6. Bruk MATLAB til å sjekke om enhver vektor i R kan skrives som en lineærkombinasjon av,, 7,, Avgjør om vektorene er lineært uavhengige: ( ( a, ( ( b, c,, 9 d e,,,, 5 8. Finn en lineært uavhengig delmengde: ( ( ( a,, b,, 8, c,,, 9. Avgjør om mengden er en basis for det relevante rommet R n (i noen av tilfellene lønner det seg å tenke før man regner! ( ( ( a,, b, 5

3 c c ( (,,,. Utvid mengden av vektorer til en basis for det relevante rommet R n : a, b,,. I denne oppgaven er v = ( (, v = a Vis at v og v danner en basis for R. ( ( b Skriv e = og e = som lineærkombinasjoner av v og v. c Forklar hvorfor det finnes nøyaktig én lineæravbildning T : R R slik at T(v = v og T(v = v. d Finn matrisen A til lineæravbildningen T (dvs. -matrisen A slik at T(x = Ax for alle x R. Anta at v, v,..., v k er en mengde av ikke-null vektorer som står normalt på hverandre. Vis at v, v,..., v k er lineært uavhengige. (Hint: Anta at c v +c v + +c k v k = og ta skalarproduktet med v i på begge sider.. Oppgaver til seksjon.7. Vis at matrisene er elementære: ( ( a b c d e (. Skriv som et produkt av elementære matriser.

4 . Skriv. Gjennomfør beviset for setning.7.. som et produkt av elementære matriser. 5. Gjennomfør resten av beviset for setning Gjennomfør beviset for setning.7.5. Oppgaver til seksjon.8. Bruk definisjonen av determinant til å regne ut determinanten til matrisene: a b c. Bruk radoperasjoner til å regne ut determinanten til matrisene: a b c. Regn ut determinanten ved å ekspandere langs velvalgte søyler og rader: a, b, c 7. Bruk MATLAB til å regne ut determinanten til matrisen: a 7 5, b 5. Bevis radtilfellet av lemma Bevis lemma.8. for nedre triangulære matriser. 7. Vis at dersom A er en n n-matrise og r er et tall, så er det(ra = r n det(a. 8. Vis at det(a n = det(a n for alle hele tall n (på høyre side er det det(a som opphøyes i n-te.

5 5 9. Bruk teorem.8.9 til å vise at dersom radene til A er lineært avhengige, så er det(a =. (Hint: Bruk radoperasjoner til å skaffe deg en rad som bare består av nuller. Vis at dette også følger fra teorem.8. og korollar En n n-matrise kalles ortogonal dersom U = U T. Vis at det(u er enten eller -.. I denne oppgaven skal vi bruke følgende notasjon: Dersom A er en n nmatrise og b R n er en søylevektor, så er A i (b matrisen vi får når vi erstatter den i-te søylen til A med b. Vi skal vise at dersom A er inverterbar, så er løsningen x x x =. x n til ligningen Ax = b gitt ved Dette kalles Cramers regel. x i = det(a i(b det(a a Vis at dersom I er n n-identitetsmatrisen, så er det(i i (x = x i. b Vis at AI i (x = A i (b. c Bevis Cramers regel. d Bruk Cramers regel til å løse ligningssystemet Oppgaver til seksjon.9 x y = x y =. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen: ( ( ( a, b, c, ( ( ( 5 d e f. Finn egenverdier og egenvektorene til matrisen: a, b (Hint: Tipp en rot i polynomet,

6 6 c. Bruk MATLAB til å finne egenvektorene og egenverdiene til matrisen :.5. a, b. 7..5, c Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A og skriv vektoren x som en lineærkombinasjon av egenvektorer: ( ( a A =, x = 5 ( ( b A =, x = 6 c A =, x = 5. Bruk MATLAB til å finne egenverdien og egenvektorene til matrisen A. Bruk også MATLAB til å skrive vektoren x som en lineærkombinasjon av egenvektorene: a A = b A = 5.5, x = , x = Vis at A og A T har de samme egenverdiene. Har de også de samme egenvektorene? 7. Anta at v er en egenvektor for både A og B. Vis at v er en egenvektor for A + B. 8. Anta at v er en egenvektor for både A og B. Vis at v er en egenvektor for AB. 9. To n n-matriser A og B kalles similære dersom det finnes en matrise P slik at B = P AP. Vis at A og B da har de samme egenverdiene. Finn

7 7 egenvektorene til B uttrykt ved hjelp av P og egenvektorene til A.. Anta at A er en inverterbare matrise og at v er en egenvektor for A med egenverdi λ. Vis at v er en egenvektor for A med egenverdi λ.. Vis at dersom alle søylene i en matrise har samme sum, så er dette tallet en egenverdi for matrisen (Hint: Gjør noen radoperasjoner før du regner ut determinanten til λi n A. Bruk dette til å finne egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 5. Vis at egenverdien til en -matrise ( a b A = c d er λ = a + d ± (a d + bc Bruk denne formelen til å forklare at egenverdiene til en symmetrisk (reell -matrise alltid er reelle.. Anta at P (x = a n x n + a n x n + + a x + a er et polynom og at A er en kvadratisk matrise. Da er P (A matrisen P (A = a n A n + a n A n + + a A + a a Vis at dersom v er en egenvektor for A med egenverdi λ, så er v en egenvektor for P (A med egenverdi P (λ. b Vi lar nå P A være det karakteristiske polynomet til A. Vis at P A (Av = for alle egenverdier v til A. c Vis at dersom A har en basis av egenvektorer, så er P A (A =. (Kommentar: Det viser seg at P A (A = også når A ikke har en basis av egenvektorer. Dette kalles Cayley-Hamiltons teorem. Oppgaver til seksjon.. Finn to følger {x n }, {y n } slik at x n+ = x n + y n y n+ = x n + y n

8 8 når x = 5, y = 5.. Finn funksjonen x(t, y(t slik at og x( =, y( = 6. x (t = x(t + 8y(t y (t = x(t + y(t. (Eksamen i MA, /5 99 I barnehagen har Viktoria og Emil fått hvert sitt glass saft med nøyaktig like mye saft til hver. Viktoria er imidlertid ikke helt fornøyd siden saften til Emil inneholder dobbelt så mye sukker som hennes. Glassene er ikke fullere enn at det går an å helle litt fra det ene over i det andre, og smart som hun er, får Viktoria med Emil på følgende lek: Hun heller 9 av sin saft over i glasset til Emil, ber ham røre godt rundt og så helle den samme mengden saft tilbake i hennes glass slik at de igjen har like mye saft. Blandeprosedyren ovenfor gjentas flere ganger. La x n og y n være sukkermengden i glassene til henholdsvis Viktoria og Emil etter at prosedyren er utført n ganger. a Vis at b La M være matrisen slik at c M n ( x n+ =.9x n +.y n y n+ =.x n +.9y n x n y n z n = 6 n + 8 ( n 8 n 8 ( n n + ( n Finn egenverdiene og egenvektorene til M ( c Skriv som en lineærkombinasjon av egenvektorer for M, og finn. d Hvor mange ganger må blandeprosedyren utføres for at forholdet mellom sukkerinnholdet i Viktorias saft og Emils saft er minst.95?. (Eksamen i MA, /6 997 I denne oppgaven er M = ( a Finn egenverdiene og egenvektorene til M

9 9 I resten av oppgaven skal vi studere en modell for hvordan en ufarlig infeksjonssykdom sprer seg i en befolkning. Vi deler befolkningen i to grupper de som er immune for sykdommen og de som er mottagelige for smitte. De fleste som nylig har hatt sykdommen vil være immune, men mange vil miste immuniteten etter som tiden går. I modellen ønsker vi å studere hvor mange som er immune, og hvor mange som er mottagelige for smitte etter,,,,... år. Vi lar y n være antall immune etter n år og x n antall mottagelige ved samme tidspunkt. Vi har følgende observasjoner: Av dem som er immune et år, vil 9 fortsatt være immune år senere, 9 vil være døde og resten vil være mottagelige for smitte. Av dem som er mottagelige for smitte et år, vil halvparten være immune år senere, 9 vil være døde og resten vil være mottagelige for smitte. I løpet av en -årsperiode vil befolkningen få et tilskudd pga. fødsel og innvandring. Dette tilskuddet er 6 av befolkningstallet ved begynnelsen av perioden, og ved slutten av perioden vil av de nye individene være immune og resten mottagelige for smitte. b Vis at ( xn+ y n+ = M ( xn y n c Anta at x = 8 millioner og at y = milloner. Finn x n og y n. d Etter som tiden går vil prosentdelen av immune nærme seg en grense. Hva er denne grensen? 5. (Eksamen i MA, /6 996 En oljemilliardær bestemmer seg for å satse på turisme. Hun kjøper hytter på fjellet. Hyttene leies ut for ett år av gangen. Hytteeieren finner ut at 8% av hyttene som er leid ut ett år, også er leid ut året etter, mens 7% av hyttene som er tomme ett år, også er tomme neste år. La x n være antall utleide og y n antall tomme hytter i år n. a Finn en matrise M slik at ( xn+ y n+ = M ( xn y n b Ett år er 55 hytter utleid. Hvor mange var utleid året før? c Finn egenverdiene og egenvektorene til M. Det første året (år er halvparten av hyttene leid ut mens resten står tomme. d Finn x n og y n.

10 e Det første året er nettofortjenesten pr. utleid hytte kroner, mens utgiftene forbundet med en tom hytte er kroner. På grunn av elde og slitasje øker utgiftene for tomme hytter med % per år, mens nettofortjenesten for utleide hytter ligger stabilt på kroner i året. La P n være nettofortjeneste i år n, dvs. inntekter minus utgifter. Finn P n uttrykt ved n og begrunn at hytteeieren etter hvert taper penger. 6. (Eksamen i MA, 9/ 996, litt tilpasset Det var engang en bestand av biller som levde i en gammel verneverdig trebygning. Vi deler billebestanden inn i tre aldersgrupper: nyfødte ( uker gamle, voksne ( uke gammel og gamle ( uker gamle. La x n, y n, z n være henholdsvis antall nyfødte, voksne og gamle biller ved tiden t = n, der tiden regnes i uker. Vi antar at alle billene som er nyfødte en uke, overlever til uken etter, men at bare halvparten av de voksne billene overlever til neste uke, og at ingen gamle biller lever en uke til. En voksen bille gir i gjennomsnitt opphav til nye biller som blir født uken etter, mens en gammel bille i gjenomsnitt gir opphav til nye biller som blir født uken etter. a Finn en matrise M slik at x n+ y n+ = M z n+ b Finn egenverdiene og egenvektoree til M. c Anta at det er nyfødte, ingen voksne og 6 gamle biller i trebygningen ved t =. Hvor mange biller er det i hver aldersgruppe n uker senere? 7. (Eksamen i MA, /6 99, litt tilpasset I en by finnes det tre aviser, en skandaleavis A, en rimelig seriøs avis B og en svært seriøs avis C. I løpet av fem år skjer det følgende forandringer: Avisene A og C får et antall nye kjøpere (som ikke har kjøpt noen avis tidligere tilsvarende % av det antall kjøpere de hadde ved starten av perioden, mens avis C får en tilvekst av nye kjøpere på %. % av leserne av avis A slutter med A og går over til B. % av leserne av B slutter med B og går over til A og en annen gruppe på % går over til C. % av kjøperne av C slutter med C og begynner å kjøpe B. Ellers beholder alle kjøperne sin gamle avis. La x n, y n, z n være salgstallene for henholdsvis avis A, B og C i året 5n, for n =,,.... a Finn en matrise M slik at x n+ y n+ = M z n+ x n y n z n x n y n z n

11 b Finn egenverdiene og egenvektorene til M. c Finn x n, y n, z n uttrykt ved x, y, z og n. Vis at forholdet mellom salgstallene nærmer seg grenser som er uavhengig av starttilstanden. x Finn k = lim n y n yn og k = lim n n zn. 8. To fiskeslag lever i samme innsjø. Fiskeslag II er avhengig av fiskeslag I for å opprettholde bestanden. Dersom x(t er antall fisk av slag I ved tiden t, og y(t er antall fisk av slag II ved tiden t, regner vi at x (t =.x(t.y(t y (t =.x(t.y(t a Vis at egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ( er λ =., λ =., v =, v =. ( x(t b La r(t = y(t tilfredsstiller differensialligningene (.... og skriv r(t = c (tv + c (tv. Vis at c og c c (t =.c (t c (t =.c (t c Anta at x( = 5 og y( =. Finn x(t og y(t. Hvordan går det med forholdet x(t y(t mellom antall fisk av slag I og antall fisk av slag II når t blir stor? d Bruk MATLAB til å plotte x(t og y(t i samme koordinatsystem. 9. (Eksamen i MA, / 99 To arter, et rovdyr og et byttedyr, lever i samme område. La x(t være antall rovdyr og y(t antall byttedyr ved tiden t (t måles i år. Anta at x( = 5, y( =. Vi skal betrakte to enkle modeller for x(t og y(t. a I den første modellen antar vi at x og y tilfredsstiller x (t = x(t + y(t y (t = x(t + y(t Hva blir x(t og y(t i dette tilfellet (husk at e a+ib = e a (cos b+i sin b? b I den andre modellen antar vi at x og y tilfredsstiller Hva blir x(t og y(t da? x (t = x(t + y(t y (t = x(t y(t

12 c Observasjonene våre tyder på at det på et visst tidspunkt ikke er flere byttedyr igjen. Hvilken modell passer med disse observasjonene? Hvor mange måneder tar det ifølge modellen før dette skjer? I den andre modellen vil antall rovdyr og antall byttedyr etter hvert stabilisere seg seg på visse verdier. Bestem disse verdiene.. En by har nettopp innført et system med bysykler der man kan låne en sykkel fra et sykkelstativ og levere den fra seg ved et annet (eller ved det samme om man bare skal en tur i nærområdet. Foreløpig har byen stativer som vi kaller X, Y, Z, U. Myndighetene er interessert i å undersøke lånemønsteret for syklene, og har derfor en månedlig undersøkelse av hvor de forskjellige syklene befinner seg. Denne undersøkelsen viser at av de syklene som befant seg i stativ X en måned, befinner % seg i X måneden etter, % befinner seg i Y, % i Z og % i U, mens % er ute av drift fordi de enten er forsvunnet eller inne til vedlikehold. Tilsvarende tall for syklene som opprinnelig var i Y, Z og U, fremgår av tabellen nedenfor. Utgangspunkt Prosentfordeling neste måned i X i Y i Z i U ute av drift X % % % % % Y % % % % % Z % % 5% 5% % U % % % % % I forbindelse med undersøkelsen får hvert stativ påfyll med nye/reparerte sykler. Påfyllet tilsvarer 5% av antall sykler som står i stativet. a La x n, y n, z n, u n være antall sykler i henholdsvis X, Y, Z, U rett etter den n-te undersøkelsen (og rett etter påfyllet av nye/reparerte sykler. Forklar at x n+ =.6x n +.5y n +.5z n +.5u n y n+ =.x n +.6y n +.z n +.u n z n+ =.x n +.y n +.875z n +.u n u n+ =.5x n +.y n +.875z n +.u n b Skriv en m-fil som gitt x, y, z, u returnerer x n, y n, z n, u n for n fra til 5. c Velg x = y = z = u =, og bruk MATLAB til å tegne følgene {x n }, {y n }, {z n }, {u n } i samme koordinatsystem. d Lag en ny MATLAB-figur der du plotter følgene { }, {.7 z n { n u }, { n } i samme koordinatsystem..7 n.7 n x n y n },.7 n

13 e Gjenta plottingen i c og d, men bruk starttilstanden x =, y =, z =, u =. Ser du et mønster? Eksperimenter gjerne med andre startverdier. f La w n = x n y n z n u n være fordelingen av sykler den n-te måneden. Forklar at w n+ = Aw n der A er matrisen A = Forklar også hvorfor w n = A n w g Bruk MATLAB til å vise at matrisen A ovenfor har fire egenverdier λ, λ, λ, λ med tilhørende egenvektorer v, v, v, v. Sørg for å ordne rekkefølgen slik at λ er egenverdien med størst tallverdi. (NB: MATLAB gir av og til egenvektorer der alle komponentene er negative. For å få en egenvektor som er greiere å arbeide med, kan du da bare fjerne alle minustegnene i denne vektoren. h Vis at egenvektorene v, v, v, v til A danner en basis for R, dvs. at de er lineært uavhengige og utspenner hele R (bruk gjerne MATLAB. i Velg w = og skriv denne vektoren som en lineærkombinasjon av v, v, v, v (bruk gjerne MATLAB. Finn A n w lim n λ n Sammenlign med resultatene i oppgave c og d. Hva regner du med å få dersom du velger en annen starttilstand w?

14 Oppgaver til seksjon.. En matrise kalles skjevtsymmetrisk dersom A T = A. Vis at alle egenvediene til en skjevtsymmetrisk matrise er imaginære (dvs. at de er komplekse tall på formen z = ib.. En kvadratisk matrise U kalles ortogonal dersom U = U T. Vis at dersom λ er en (reell eller kompleks egenverdi for U, så er λ =. (Hint: Anta at v er en egenvektor med egenverdi λ, og regn ut Uv Uv på to forskjellige måter.. Anta at A er en mengde vektorer i R n. Vis at H = {x R n x a = for alle a A} er et underrom av R n. H kalles det ortogonale komplementet til A.. Anta at A er en m n-matrise. Vis at H = {x R n Ax = } er et underrom av R n. H kalles nullrommet eller kjernen til A. 5. Anta at A er en m n-matrise. I denne oppgaven er H = {y R n det finnes en x R n slik at Ax = y} a Vis at H er et underrom av R m. H kalles søylerommet eller bilderommet til A. b Vis at H = Sp(a, a,..., a n der a, a,..., a n er søylene il A. 6. Anta at H og H er underrom av R n. a Vis at H = H H også er et underrom av R n. (Husk at snittet H H består av de vektorene som er med i både H og H. b Vis ved et eksempel at H = H H ikke alltid er et underrom av R n. (Husk at unionen H H består av de vektorene som er med i minst én av mengdene H og H. 7. Anta at H og H er underrom av R n. Vi lar H + H = {u + u u H, u H } dvs. at H + H består av alle elementene i R n som kan skrives som en sum av et element i H og et element i H. a Vis at H + H er et underrom av R n

15 5 b Vis at dim(h + H = dim(h + dim(h dim(h H 8. I denne oppgaven skal vi se på en annen måte å formulere spektralteoremet på. Vi antar A er en en symmetrisk n n-matrise, at u, u,..., u n er en ortonormal basis av egenvektorer og at λ, λ,..., λ n er de tilhørende egenverdiene. Vi lar U være matrisen med u, u,..., u n som søyler, og vi lar D være diagonalmatrisen D = λ... λ λ n a Hvis at U er en ortogonal matrise, dvs. at U = U T. b Vis at dersom y = U T x, så er x = y u + y u + + y n u n c Forklar at Ax = UDU T x for alle x R n d Forklar at A = U T DU. e Vis følgende alternative versjon av spektralteoremet: En kvadratisk matrise B er symmetrisk hvis og bare hvis det finnes en ortogonal matrise V og en diagonalmatrise E slik at B = V T EV. f Vis at reultatet i e medfører spektralteoremet slik vi har formulert det i setning... Fasit Fasit til seksjon.6. b = a + a. b = ( a + a + ( a. a Ja, b Nei, c Ja. Koeffisientene er x = 9, x = 7 9, x = 7, x = 7 5. Koeffisientene er: x =.7, x =.78, x =.795, x =.. 6. Ja

16 6 7. a Ja, b Nei, c Nei, d Ja., e Ja. 8. a F.eks. vektor og, b F.eks de tre første, c F.eks. vektor, og 9. a Nei (for mange elementer, b Nei (for få elementer, c Ja, d Ja. a Legg f.eks. til b Legg f.eks. til. b e = v + v, e = v v, d ( Fasit til seksjon.7 ( ( (.. Fasit til seksjon.8. a, b-5, c -7. a 9, b -9, c -9.a, b, c -. d x = 5, y = 8 5 Fasit til seksjon.9 ( (. a λ =, λ =, v =, v = ( ( b λ =, λ =, v =, v = ( ( c λ = 5, λ =, v =, v =

17 d λ =, v = ( ( e λ = +, λ =, v = ( f λ = + i, λ = i, v = + i. a λ =, λ =, λ =, v = b λ =, λ =, λ =, v = c λ =, λ = 5, λ = 5, v = (, v = ( i, v =, v =, v =, v = 5, v =. a Egenverdier λ =, λ =, egenvektorer v = lineærkombinasjon x = 5 v 5 v b Egenverdier λ = 5, λ =, egenvektorer v = lineærkombinasjon x = v + v, v = ( ( 5 5 c Egenverdier λ =, λ =, λ =, egenvektorer v =, v = , v = (, v = (, v =, lineærkombinasjon x = v + v + v (, men ikke for A T. 6. Egenvektorene er vanligvis ikke de samme. Vektoren ( egenvektor for matrisen A =,,, v = er f.eks. en 9. Egenverdiene til B er på formen v = P u der u er en egenvektor for A.. λ = 5, λ =, λ =, v = 5 8, v =, v =

18 8 Fasit til seksjon.. x n = n + 6 ( n, y n = n ( n. x(t = e5t e t, y(t = e5t + e t. b Egenverdiene er λ = og λ =.8. Egenvektorer: v = (. ( ( ( ( ( (.8 c = + (, M n n = + (.8 n d ganger.a Egenverdier λ = 9 8, λ = 8, egenvektorer v = ( c x n = 5 ( 9 8 millioner. d 5% 5. a M = b 5 n + ( 8 ( c λ =, λ =, v = ( (., v =, v = n, yn = 5 ( 9 n ( 8 n 8 der xn og y n er målt i ( (, v = d x n = 6 ( n, y n = + ( n e P n = 6 (6.5 n.6. n. (.55 n 6. a M = b Egenverdier λ =, λ =, egenverdier v = c x n y n z n = 7. a M = 6 n + 8 ( n 8 n 8 ( n n + ( n.... 8, v =

19 b λ =, λ = + v = c x n y n x n d k = = (x z, k =, λ =, v =, v = + ( + n ( (x + z + +( n ( (x + z y y 8. c x(t = 6 e.t e.t, y(t = e.t e.t 9. a x(t = 5e t (cos t + sin t, y(t = 5e t ( cos t sin t b x(t = 5 75e t, y(t = e t c Modell a gir y(t = når tan t =, dvs. etter ca.. år. Modellen i b gir grenseverdier 5 og 65.. En utvidet versjon av denne oppgaven ligger på med løsningsforslag på 9,

Tidligere eksamensoppgaver

Tidligere eksamensoppgaver Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere ekamensoppgaver innenfor temaet lineær algebra gitt i tilsvarende kurs som MAT1001 ved UiO. Utvalget er gjort med hensyn

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001 Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

= 3 11 = = 6 4 = 1.

= 3 11 = = 6 4 = 1. MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.

MA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =. MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1

Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving 6 9..7 Anta at en populasjon er delt inn i tre aldersklasser, og at %

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =

1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A = Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06 Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.

Detaljer

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet 7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt

Detaljer

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer

Kapittel 3. Mer om egenverdier og egenvektorer. 3.1 Komplekse n-tupler og vektorer Kapittel 3 Mer om egenverdier og egenvektorer I neste kapittel skal vi lære å løse systemer av difflikninger. Da vil vi trenge egenverdier og egenvektorer, og selv om vi skal løse reelle problemer, vil

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til! Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Fasit MAT102 juni 2016

Fasit MAT102 juni 2016 Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).

Detaljer

Basis, koordinatsystem og dimensjon

Basis, koordinatsystem og dimensjon Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Tidligere eksamensoppgaver

Tidligere eksamensoppgaver Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet differenslikninger, og noen om komplekse tall, gitt ved UiO. Den første oppgaven gir

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 Innlevering: Senest fredag 30 oktober, 2009, kl1430, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7 etasje NHA) Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser

Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

MAT1110 Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim

MAT1110 Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim MAT Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 ) Det første vi gjør er å lage et diagram over spillet, for å få en oversikt over spillets gang. Hver gang vi i andre runde kommer

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009

Inverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009 Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 04 Løsningsforslag. Eksamen 6. mai Løsning: Oppgave a) dy dx y y y )y ) : gy), så likevektsløsningene

Detaljer

Examples plotting. Øyvind Ryan

Examples plotting. Øyvind Ryan Examples plotting Øyvind Ryan 19. februar 2013 Example 0.1. Vi skal tegne grafen til f (x, y) = x 3 4y 2 over rektangelet x [ 3,3], y [ 5,5]. Vi lager først en oppdeling av de to intervallene vi er interessert

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011 Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk 3 Haust 0 Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap 5, s 7-73 5 Eigenrommet som svarar til λ = 5 er det

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Rom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012.

Rom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012. Rom og lineæritet Erik Bédos Matematisk Institutt, UiO 202. Lineær algebra er et viktig redskap i nær sagt alle grener av moderne matematikk. De fleste emnene i matematikk på masternivå bygger på en forståelse

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

V2012 MAT1110. Joakim Myrvoll Johansen PENSUM. Pensum fra boka

V2012 MAT1110. Joakim Myrvoll Johansen PENSUM. Pensum fra boka PENSUM MAT1110 V2012 Pensum fra boka Joakim Myrvoll Johansen Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Innhold Pensum fra Flervariabel analyse

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:

Detaljer

Bytte om to rader La Matlab generere en tilfeldig (4 4)-matrise med heltallige komponenter mellom 10 og 10 ved kommandoen Vi skal underske hva som skj

Bytte om to rader La Matlab generere en tilfeldig (4 4)-matrise med heltallige komponenter mellom 10 og 10 ved kommandoen Vi skal underske hva som skj velse 2: Egenskaper ved determinanter av Klara Hveberg I denne velsen skal vi bruke Matlab til a studere hva elementre radoperasjoner gjr med determinanten til en matrise. Deretter skal vi se pa determinanten

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2

MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene

Detaljer