Oppgaver til seksjon med fasit

Transkript

1 Oppgaver til seksjon.6-. med fasit Oppgaver til seksjon.6. Skriv b som en lineærkombinasjon av a og a når a = ( ( a = og b =.. Skriv b som en lineærkombinasjon av a, a og a når a = a =, a = og b = 5. (. Avgjør om alle vektorer i R n (for relevant n kan skrives som en lineærkombinasjon av vektorene: ( ( a a =, a = b a =, a =, a = 7 c a =. Skriv 7, a =, a = 6 7 som en lineærkombinasjon av.. Bruk gjerne MATLAB som hjelpemiddel. 5. Bruk MATLAB til å skrive..5,.,..5,, som en lineærkombinasjon av, 5 7 6,.75.,,

2 6. Bruk MATLAB til å sjekke om enhver vektor i R kan skrives som en lineærkombinasjon av,, 7,, Avgjør om vektorene er lineært uavhengige: ( ( a, ( ( b, c,, 9 d e,,,, 5 8. Finn en lineært uavhengig delmengde: ( ( ( a,, b,, 8, c,,, 9. Avgjør om mengden er en basis for det relevante rommet R n (i noen av tilfellene lønner det seg å tenke før man regner! ( ( ( a,, b, 5

3 c c ( (,,,. Utvid mengden av vektorer til en basis for det relevante rommet R n : a, b,,. I denne oppgaven er v = ( (, v = a Vis at v og v danner en basis for R. ( ( b Skriv e = og e = som lineærkombinasjoner av v og v. c Forklar hvorfor det finnes nøyaktig én lineæravbildning T : R R slik at T(v = v og T(v = v. d Finn matrisen A til lineæravbildningen T (dvs. -matrisen A slik at T(x = Ax for alle x R. Anta at v, v,..., v k er en mengde av ikke-null vektorer som står normalt på hverandre. Vis at v, v,..., v k er lineært uavhengige. (Hint: Anta at c v +c v + +c k v k = og ta skalarproduktet med v i på begge sider.. Oppgaver til seksjon.7. Vis at matrisene er elementære: ( ( a b c d e (. Skriv som et produkt av elementære matriser.

4 . Skriv. Gjennomfør beviset for setning.7.. som et produkt av elementære matriser. 5. Gjennomfør resten av beviset for setning Gjennomfør beviset for setning.7.5. Oppgaver til seksjon.8. Bruk definisjonen av determinant til å regne ut determinanten til matrisene: a b c. Bruk radoperasjoner til å regne ut determinanten til matrisene: a b c. Regn ut determinanten ved å ekspandere langs velvalgte søyler og rader: a, b, c 7. Bruk MATLAB til å regne ut determinanten til matrisen: a 7 5, b 5. Bevis radtilfellet av lemma Bevis lemma.8. for nedre triangulære matriser. 7. Vis at dersom A er en n n-matrise og r er et tall, så er det(ra = r n det(a. 8. Vis at det(a n = det(a n for alle hele tall n (på høyre side er det det(a som opphøyes i n-te.

5 5 9. Bruk teorem.8.9 til å vise at dersom radene til A er lineært avhengige, så er det(a =. (Hint: Bruk radoperasjoner til å skaffe deg en rad som bare består av nuller. Vis at dette også følger fra teorem.8. og korollar En n n-matrise kalles ortogonal dersom U = U T. Vis at det(u er enten eller -.. I denne oppgaven skal vi bruke følgende notasjon: Dersom A er en n nmatrise og b R n er en søylevektor, så er A i (b matrisen vi får når vi erstatter den i-te søylen til A med b. Vi skal vise at dersom A er inverterbar, så er løsningen x x x =. x n til ligningen Ax = b gitt ved Dette kalles Cramers regel. x i = det(a i(b det(a a Vis at dersom I er n n-identitetsmatrisen, så er det(i i (x = x i. b Vis at AI i (x = A i (b. c Bevis Cramers regel. d Bruk Cramers regel til å løse ligningssystemet Oppgaver til seksjon.9 x y = x y =. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen: ( ( ( a, b, c, ( ( ( 5 d e f. Finn egenverdier og egenvektorene til matrisen: a, b (Hint: Tipp en rot i polynomet,

6 6 c. Bruk MATLAB til å finne egenvektorene og egenverdiene til matrisen :.5. a, b. 7..5, c Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A og skriv vektoren x som en lineærkombinasjon av egenvektorer: ( ( a A =, x = 5 ( ( b A =, x = 6 c A =, x = 5. Bruk MATLAB til å finne egenverdien og egenvektorene til matrisen A. Bruk også MATLAB til å skrive vektoren x som en lineærkombinasjon av egenvektorene: a A = b A = 5.5, x = , x = Vis at A og A T har de samme egenverdiene. Har de også de samme egenvektorene? 7. Anta at v er en egenvektor for både A og B. Vis at v er en egenvektor for A + B. 8. Anta at v er en egenvektor for både A og B. Vis at v er en egenvektor for AB. 9. To n n-matriser A og B kalles similære dersom det finnes en matrise P slik at B = P AP. Vis at A og B da har de samme egenverdiene. Finn

7 7 egenvektorene til B uttrykt ved hjelp av P og egenvektorene til A.. Anta at A er en inverterbare matrise og at v er en egenvektor for A med egenverdi λ. Vis at v er en egenvektor for A med egenverdi λ.. Vis at dersom alle søylene i en matrise har samme sum, så er dette tallet en egenverdi for matrisen (Hint: Gjør noen radoperasjoner før du regner ut determinanten til λi n A. Bruk dette til å finne egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 5. Vis at egenverdien til en -matrise ( a b A = c d er λ = a + d ± (a d + bc Bruk denne formelen til å forklare at egenverdiene til en symmetrisk (reell -matrise alltid er reelle.. Anta at P (x = a n x n + a n x n + + a x + a er et polynom og at A er en kvadratisk matrise. Da er P (A matrisen P (A = a n A n + a n A n + + a A + a a Vis at dersom v er en egenvektor for A med egenverdi λ, så er v en egenvektor for P (A med egenverdi P (λ. b Vi lar nå P A være det karakteristiske polynomet til A. Vis at P A (Av = for alle egenverdier v til A. c Vis at dersom A har en basis av egenvektorer, så er P A (A =. (Kommentar: Det viser seg at P A (A = også når A ikke har en basis av egenvektorer. Dette kalles Cayley-Hamiltons teorem. Oppgaver til seksjon.. Finn to følger {x n }, {y n } slik at x n+ = x n + y n y n+ = x n + y n

8 8 når x = 5, y = 5.. Finn funksjonen x(t, y(t slik at og x( =, y( = 6. x (t = x(t + 8y(t y (t = x(t + y(t. (Eksamen i MA, /5 99 I barnehagen har Viktoria og Emil fått hvert sitt glass saft med nøyaktig like mye saft til hver. Viktoria er imidlertid ikke helt fornøyd siden saften til Emil inneholder dobbelt så mye sukker som hennes. Glassene er ikke fullere enn at det går an å helle litt fra det ene over i det andre, og smart som hun er, får Viktoria med Emil på følgende lek: Hun heller 9 av sin saft over i glasset til Emil, ber ham røre godt rundt og så helle den samme mengden saft tilbake i hennes glass slik at de igjen har like mye saft. Blandeprosedyren ovenfor gjentas flere ganger. La x n og y n være sukkermengden i glassene til henholdsvis Viktoria og Emil etter at prosedyren er utført n ganger. a Vis at b La M være matrisen slik at c M n ( x n+ =.9x n +.y n y n+ =.x n +.9y n x n y n z n = 6 n + 8 ( n 8 n 8 ( n n + ( n Finn egenverdiene og egenvektorene til M ( c Skriv som en lineærkombinasjon av egenvektorer for M, og finn. d Hvor mange ganger må blandeprosedyren utføres for at forholdet mellom sukkerinnholdet i Viktorias saft og Emils saft er minst.95?. (Eksamen i MA, /6 997 I denne oppgaven er M = ( a Finn egenverdiene og egenvektorene til M

9 9 I resten av oppgaven skal vi studere en modell for hvordan en ufarlig infeksjonssykdom sprer seg i en befolkning. Vi deler befolkningen i to grupper de som er immune for sykdommen og de som er mottagelige for smitte. De fleste som nylig har hatt sykdommen vil være immune, men mange vil miste immuniteten etter som tiden går. I modellen ønsker vi å studere hvor mange som er immune, og hvor mange som er mottagelige for smitte etter,,,,... år. Vi lar y n være antall immune etter n år og x n antall mottagelige ved samme tidspunkt. Vi har følgende observasjoner: Av dem som er immune et år, vil 9 fortsatt være immune år senere, 9 vil være døde og resten vil være mottagelige for smitte. Av dem som er mottagelige for smitte et år, vil halvparten være immune år senere, 9 vil være døde og resten vil være mottagelige for smitte. I løpet av en -årsperiode vil befolkningen få et tilskudd pga. fødsel og innvandring. Dette tilskuddet er 6 av befolkningstallet ved begynnelsen av perioden, og ved slutten av perioden vil av de nye individene være immune og resten mottagelige for smitte. b Vis at ( xn+ y n+ = M ( xn y n c Anta at x = 8 millioner og at y = milloner. Finn x n og y n. d Etter som tiden går vil prosentdelen av immune nærme seg en grense. Hva er denne grensen? 5. (Eksamen i MA, /6 996 En oljemilliardær bestemmer seg for å satse på turisme. Hun kjøper hytter på fjellet. Hyttene leies ut for ett år av gangen. Hytteeieren finner ut at 8% av hyttene som er leid ut ett år, også er leid ut året etter, mens 7% av hyttene som er tomme ett år, også er tomme neste år. La x n være antall utleide og y n antall tomme hytter i år n. a Finn en matrise M slik at ( xn+ y n+ = M ( xn y n b Ett år er 55 hytter utleid. Hvor mange var utleid året før? c Finn egenverdiene og egenvektorene til M. Det første året (år er halvparten av hyttene leid ut mens resten står tomme. d Finn x n og y n.

10 e Det første året er nettofortjenesten pr. utleid hytte kroner, mens utgiftene forbundet med en tom hytte er kroner. På grunn av elde og slitasje øker utgiftene for tomme hytter med % per år, mens nettofortjenesten for utleide hytter ligger stabilt på kroner i året. La P n være nettofortjeneste i år n, dvs. inntekter minus utgifter. Finn P n uttrykt ved n og begrunn at hytteeieren etter hvert taper penger. 6. (Eksamen i MA, 9/ 996, litt tilpasset Det var engang en bestand av biller som levde i en gammel verneverdig trebygning. Vi deler billebestanden inn i tre aldersgrupper: nyfødte ( uker gamle, voksne ( uke gammel og gamle ( uker gamle. La x n, y n, z n være henholdsvis antall nyfødte, voksne og gamle biller ved tiden t = n, der tiden regnes i uker. Vi antar at alle billene som er nyfødte en uke, overlever til uken etter, men at bare halvparten av de voksne billene overlever til neste uke, og at ingen gamle biller lever en uke til. En voksen bille gir i gjennomsnitt opphav til nye biller som blir født uken etter, mens en gammel bille i gjenomsnitt gir opphav til nye biller som blir født uken etter. a Finn en matrise M slik at x n+ y n+ = M z n+ b Finn egenverdiene og egenvektoree til M. c Anta at det er nyfødte, ingen voksne og 6 gamle biller i trebygningen ved t =. Hvor mange biller er det i hver aldersgruppe n uker senere? 7. (Eksamen i MA, /6 99, litt tilpasset I en by finnes det tre aviser, en skandaleavis A, en rimelig seriøs avis B og en svært seriøs avis C. I løpet av fem år skjer det følgende forandringer: Avisene A og C får et antall nye kjøpere (som ikke har kjøpt noen avis tidligere tilsvarende % av det antall kjøpere de hadde ved starten av perioden, mens avis C får en tilvekst av nye kjøpere på %. % av leserne av avis A slutter med A og går over til B. % av leserne av B slutter med B og går over til A og en annen gruppe på % går over til C. % av kjøperne av C slutter med C og begynner å kjøpe B. Ellers beholder alle kjøperne sin gamle avis. La x n, y n, z n være salgstallene for henholdsvis avis A, B og C i året 5n, for n =,,.... a Finn en matrise M slik at x n+ y n+ = M z n+ x n y n z n x n y n z n

11 b Finn egenverdiene og egenvektorene til M. c Finn x n, y n, z n uttrykt ved x, y, z og n. Vis at forholdet mellom salgstallene nærmer seg grenser som er uavhengig av starttilstanden. x Finn k = lim n y n yn og k = lim n n zn. 8. To fiskeslag lever i samme innsjø. Fiskeslag II er avhengig av fiskeslag I for å opprettholde bestanden. Dersom x(t er antall fisk av slag I ved tiden t, og y(t er antall fisk av slag II ved tiden t, regner vi at x (t =.x(t.y(t y (t =.x(t.y(t a Vis at egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ( er λ =., λ =., v =, v =. ( x(t b La r(t = y(t tilfredsstiller differensialligningene (.... og skriv r(t = c (tv + c (tv. Vis at c og c c (t =.c (t c (t =.c (t c Anta at x( = 5 og y( =. Finn x(t og y(t. Hvordan går det med forholdet x(t y(t mellom antall fisk av slag I og antall fisk av slag II når t blir stor? d Bruk MATLAB til å plotte x(t og y(t i samme koordinatsystem. 9. (Eksamen i MA, / 99 To arter, et rovdyr og et byttedyr, lever i samme område. La x(t være antall rovdyr og y(t antall byttedyr ved tiden t (t måles i år. Anta at x( = 5, y( =. Vi skal betrakte to enkle modeller for x(t og y(t. a I den første modellen antar vi at x og y tilfredsstiller x (t = x(t + y(t y (t = x(t + y(t Hva blir x(t og y(t i dette tilfellet (husk at e a+ib = e a (cos b+i sin b? b I den andre modellen antar vi at x og y tilfredsstiller Hva blir x(t og y(t da? x (t = x(t + y(t y (t = x(t y(t

12 c Observasjonene våre tyder på at det på et visst tidspunkt ikke er flere byttedyr igjen. Hvilken modell passer med disse observasjonene? Hvor mange måneder tar det ifølge modellen før dette skjer? I den andre modellen vil antall rovdyr og antall byttedyr etter hvert stabilisere seg seg på visse verdier. Bestem disse verdiene.. En by har nettopp innført et system med bysykler der man kan låne en sykkel fra et sykkelstativ og levere den fra seg ved et annet (eller ved det samme om man bare skal en tur i nærområdet. Foreløpig har byen stativer som vi kaller X, Y, Z, U. Myndighetene er interessert i å undersøke lånemønsteret for syklene, og har derfor en månedlig undersøkelse av hvor de forskjellige syklene befinner seg. Denne undersøkelsen viser at av de syklene som befant seg i stativ X en måned, befinner % seg i X måneden etter, % befinner seg i Y, % i Z og % i U, mens % er ute av drift fordi de enten er forsvunnet eller inne til vedlikehold. Tilsvarende tall for syklene som opprinnelig var i Y, Z og U, fremgår av tabellen nedenfor. Utgangspunkt Prosentfordeling neste måned i X i Y i Z i U ute av drift X % % % % % Y % % % % % Z % % 5% 5% % U % % % % % I forbindelse med undersøkelsen får hvert stativ påfyll med nye/reparerte sykler. Påfyllet tilsvarer 5% av antall sykler som står i stativet. a La x n, y n, z n, u n være antall sykler i henholdsvis X, Y, Z, U rett etter den n-te undersøkelsen (og rett etter påfyllet av nye/reparerte sykler. Forklar at x n+ =.6x n +.5y n +.5z n +.5u n y n+ =.x n +.6y n +.z n +.u n z n+ =.x n +.y n +.875z n +.u n u n+ =.5x n +.y n +.875z n +.u n b Skriv en m-fil som gitt x, y, z, u returnerer x n, y n, z n, u n for n fra til 5. c Velg x = y = z = u =, og bruk MATLAB til å tegne følgene {x n }, {y n }, {z n }, {u n } i samme koordinatsystem. d Lag en ny MATLAB-figur der du plotter følgene { }, {.7 z n { n u }, { n } i samme koordinatsystem..7 n.7 n x n y n },.7 n

13 e Gjenta plottingen i c og d, men bruk starttilstanden x =, y =, z =, u =. Ser du et mønster? Eksperimenter gjerne med andre startverdier. f La w n = x n y n z n u n være fordelingen av sykler den n-te måneden. Forklar at w n+ = Aw n der A er matrisen A = Forklar også hvorfor w n = A n w g Bruk MATLAB til å vise at matrisen A ovenfor har fire egenverdier λ, λ, λ, λ med tilhørende egenvektorer v, v, v, v. Sørg for å ordne rekkefølgen slik at λ er egenverdien med størst tallverdi. (NB: MATLAB gir av og til egenvektorer der alle komponentene er negative. For å få en egenvektor som er greiere å arbeide med, kan du da bare fjerne alle minustegnene i denne vektoren. h Vis at egenvektorene v, v, v, v til A danner en basis for R, dvs. at de er lineært uavhengige og utspenner hele R (bruk gjerne MATLAB. i Velg w = og skriv denne vektoren som en lineærkombinasjon av v, v, v, v (bruk gjerne MATLAB. Finn A n w lim n λ n Sammenlign med resultatene i oppgave c og d. Hva regner du med å få dersom du velger en annen starttilstand w?

14 Oppgaver til seksjon.. En matrise kalles skjevtsymmetrisk dersom A T = A. Vis at alle egenvediene til en skjevtsymmetrisk matrise er imaginære (dvs. at de er komplekse tall på formen z = ib.. En kvadratisk matrise U kalles ortogonal dersom U = U T. Vis at dersom λ er en (reell eller kompleks egenverdi for U, så er λ =. (Hint: Anta at v er en egenvektor med egenverdi λ, og regn ut Uv Uv på to forskjellige måter.. Anta at A er en mengde vektorer i R n. Vis at H = {x R n x a = for alle a A} er et underrom av R n. H kalles det ortogonale komplementet til A.. Anta at A er en m n-matrise. Vis at H = {x R n Ax = } er et underrom av R n. H kalles nullrommet eller kjernen til A. 5. Anta at A er en m n-matrise. I denne oppgaven er H = {y R n det finnes en x R n slik at Ax = y} a Vis at H er et underrom av R m. H kalles søylerommet eller bilderommet til A. b Vis at H = Sp(a, a,..., a n der a, a,..., a n er søylene il A. 6. Anta at H og H er underrom av R n. a Vis at H = H H også er et underrom av R n. (Husk at snittet H H består av de vektorene som er med i både H og H. b Vis ved et eksempel at H = H H ikke alltid er et underrom av R n. (Husk at unionen H H består av de vektorene som er med i minst én av mengdene H og H. 7. Anta at H og H er underrom av R n. Vi lar H + H = {u + u u H, u H } dvs. at H + H består av alle elementene i R n som kan skrives som en sum av et element i H og et element i H. a Vis at H + H er et underrom av R n

15 5 b Vis at dim(h + H = dim(h + dim(h dim(h H 8. I denne oppgaven skal vi se på en annen måte å formulere spektralteoremet på. Vi antar A er en en symmetrisk n n-matrise, at u, u,..., u n er en ortonormal basis av egenvektorer og at λ, λ,..., λ n er de tilhørende egenverdiene. Vi lar U være matrisen med u, u,..., u n som søyler, og vi lar D være diagonalmatrisen D = λ... λ λ n a Hvis at U er en ortogonal matrise, dvs. at U = U T. b Vis at dersom y = U T x, så er x = y u + y u + + y n u n c Forklar at Ax = UDU T x for alle x R n d Forklar at A = U T DU. e Vis følgende alternative versjon av spektralteoremet: En kvadratisk matrise B er symmetrisk hvis og bare hvis det finnes en ortogonal matrise V og en diagonalmatrise E slik at B = V T EV. f Vis at reultatet i e medfører spektralteoremet slik vi har formulert det i setning... Fasit Fasit til seksjon.6. b = a + a. b = ( a + a + ( a. a Ja, b Nei, c Ja. Koeffisientene er x = 9, x = 7 9, x = 7, x = 7 5. Koeffisientene er: x =.7, x =.78, x =.795, x =.. 6. Ja

16 6 7. a Ja, b Nei, c Nei, d Ja., e Ja. 8. a F.eks. vektor og, b F.eks de tre første, c F.eks. vektor, og 9. a Nei (for mange elementer, b Nei (for få elementer, c Ja, d Ja. a Legg f.eks. til b Legg f.eks. til. b e = v + v, e = v v, d ( Fasit til seksjon.7 ( ( (.. Fasit til seksjon.8. a, b-5, c -7. a 9, b -9, c -9.a, b, c -. d x = 5, y = 8 5 Fasit til seksjon.9 ( (. a λ =, λ =, v =, v = ( ( b λ =, λ =, v =, v = ( ( c λ = 5, λ =, v =, v =

17 d λ =, v = ( ( e λ = +, λ =, v = ( f λ = + i, λ = i, v = + i. a λ =, λ =, λ =, v = b λ =, λ =, λ =, v = c λ =, λ = 5, λ = 5, v = (, v = ( i, v =, v =, v =, v = 5, v =. a Egenverdier λ =, λ =, egenvektorer v = lineærkombinasjon x = 5 v 5 v b Egenverdier λ = 5, λ =, egenvektorer v = lineærkombinasjon x = v + v, v = ( ( 5 5 c Egenverdier λ =, λ =, λ =, egenvektorer v =, v = , v = (, v = (, v =, lineærkombinasjon x = v + v + v (, men ikke for A T. 6. Egenvektorene er vanligvis ikke de samme. Vektoren ( egenvektor for matrisen A =,,, v = er f.eks. en 9. Egenverdiene til B er på formen v = P u der u er en egenvektor for A.. λ = 5, λ =, λ =, v = 5 8, v =, v =

18 8 Fasit til seksjon.. x n = n + 6 ( n, y n = n ( n. x(t = e5t e t, y(t = e5t + e t. b Egenverdiene er λ = og λ =.8. Egenvektorer: v = (. ( ( ( ( ( (.8 c = + (, M n n = + (.8 n d ganger.a Egenverdier λ = 9 8, λ = 8, egenvektorer v = ( c x n = 5 ( 9 8 millioner. d 5% 5. a M = b 5 n + ( 8 ( c λ =, λ =, v = ( (., v =, v = n, yn = 5 ( 9 n ( 8 n 8 der xn og y n er målt i ( (, v = d x n = 6 ( n, y n = + ( n e P n = 6 (6.5 n.6. n. (.55 n 6. a M = b Egenverdier λ =, λ =, egenverdier v = c x n y n z n = 7. a M = 6 n + 8 ( n 8 n 8 ( n n + ( n.... 8, v =

19 b λ =, λ = + v = c x n y n x n d k = = (x z, k =, λ =, v =, v = + ( + n ( (x + z + +( n ( (x + z y y 8. c x(t = 6 e.t e.t, y(t = e.t e.t 9. a x(t = 5e t (cos t + sin t, y(t = 5e t ( cos t sin t b x(t = 5 75e t, y(t = e t c Modell a gir y(t = når tan t =, dvs. etter ca.. år. Modellen i b gir grenseverdier 5 og 65.. En utvidet versjon av denne oppgaven ligger på med løsningsforslag på 9,