Side av 5 fra matriseteori har vi at en symmetrisk matrise alltid er ortogonalt diagonaliserbar. Det vil si at X kan skrives på formen X = M M (6) der

Transkript

1 Side av 5 Norges teknisk- naturvitenskapelige universitet Institutt for teknisk kybernetikk SIE38 Stokastiske og adaptive systemer Fasit til ving Oppgave Gitt at den stokastiske vektoren v er normalfordelt med middelverdi v og kovariansmatrise V. Fra sannsynlighetsteori har vi da at hvis x = Pv + b () der P er en konstant matrise og b er en konstant vektor så er også x normalfordelt og middelverdien til x er x = P v + b () og kovariansmatrisen er X = PVP (3) (Dette er f. eks. utledet i "Introduction to random signals and applied kalman filtering" s Jeg legger ut kopi av disse sidene i boksen utenfor D38) Vi ser direkte fra dette at om v er normalfordelt med middelverdi og kovariansmatrise V = I som gitt i oppgaven, og x er gitt som ovenfor så blir x normalfordelt med middelverdi x = P v + b = b (4) Det vilsiatvikan skrive x = Pv + x. Kovariansmatrisen blir da X = PVP = PIP = PP : (5) Det som nå gjenstår å vise er at hvis vi har en gitt kovariansmatrise X kan vi alltid skrive X på formen X = PP og dermed kan vi uttrykke x på formen ovenfor. Vi ser rett fra definisjonen av kovariansmatrisen at den er en symmetrisk matrise, og

2 Side av 5 fra matriseteori har vi at en symmetrisk matrise alltid er ortogonalt diagonaliserbar. Det vil si at X kan skrives på formen X = M M (6) der er en diagonal matrise med egenverdiene til X på diagonalen og M er en ortogonal matrise (dvs. kolonnevektorene har lengde og er ortonormale.) For en ortogonal matrise er M = M slik at X = M M: (7) Det er også mulig å vise at en kovariansmatrise alltid er positiv semidefinitt, og for en positiv semidefinitt p p p matrise er p alle egenverdiene positive eller. Derfor kan vi skrive =. = diag( ; p ; :::: p n ), en diagonalmatrise med roten av egenverdiene langs p diagonalen. Setter vi dette inn i formelen for og desskuten bruker (p )=( ) (en diagonalmatrise er symmetrisk) får vi p p pm pm X = M M = (8) Vi ser nå at med P = pm blir X = PP og vi kan da sette x = P v + x (9) som gir nsket middelverdi og kovariansmatrise når v ο N(;I). Oppgave Siden den totale sannsynligheten alltid er må ha en konstant sannsynlighetstetthet lik p ( ) = i intervallet [; ] (og utenfor dette intervallet) x t = A sin(!t + ) der er konstant men tilfeldig er et såkalt deterministisk tilfeldig signal. har en tilfeldig verdi, men hvis vi f rst har bestemt verdien til for et signal så kjenner vi alle framtidige verdier. En prosess er ergodisk om de statistiske egenskapene blir de samme enten vi tar ensemble-forventningsverdi eller forventningsverdien når vi midler over et tidsintervall og lar lengden på tidsintervallet gå mot uendelig.

3 Side 3 av 5 Ensemble-forventningsverdien til x t ( ) er gitt ved E(x t ( )) = = p ( )x t ( ) d () A sin(!t + ) d = A [ cos(!t + ] = A ( cos(!t +) + cos(!t)) = ids-forventningsverdien er gitt ved lim! x t (t) dt!!! A sin(!t + ) dt ()» A! cos(!t + ) ( A cos(! + ) + A!! cos ) siden telleren er begrenset mens nevner går mot uendelig når!. (Vi kunne alternativt integrert fra - til og delt på. Det gir samme resultat.) Vi vil også ha at autokorrellasjonsfunksjonen blir den samme enten vi tar ensembleforventningsverdien eller tids-forventningsverdien. ar vi ensemble-forventningsverdi fårviautokorrellasjonsfunksjonen = ' xx (fi )=E [x(t)x(t + fi )] = A sin(!t + )A sin(!t +!fi + ) d () ut fra at med x(t)x(t + fi ) = f ( ) får vi E(f ( )) = R f ( )p( ) d og at integrasjonen bare trenger gå over det intervallet der sannsynlighetstettheten p( ) er ulik. For å utf re denne integrasjonen manuelt kan vi bruke sin a sin b = cos(a b) cos(a + b) (3) som finnes ved å legge sammen uttrykkene for cos(a b) og cos(a + b). Vi har her

4 Side 4 av 5 a =!t + og b =!t +!fi +. Dette gir ' xx (fi ) cos(!fi) cos(!t +!fi + ) d (4)»cos(!fi) + sin(!t +!fi + ) cos(!fi) + cos(!fi) sin(!t +!fi) sin(!t +!fi) ar vi så tids-forventningsverdien får vi ' xx (fi )! A! A! A! A sin(!t + )A sin(!t +!fi + ) dt (5) cos(!fi) cos(!t +!fi + ) dt»cos(!fi) t! sin(!t +!fi + ) cos(!fi) sin(! +!fi + ) + sin(!fi + )!! cos(!fi) (6) Autokorrellasjonen blir også den samme enten vi bruker ensemble-forventningsverdi eller tids-forventningsverdi for å regne den ut. Siden variansen er ff = ' xx () blir også variansen (og dermed standardavviket ff) den samme ved begge utregningsmåtene. Når også forventningsverdien for prosessen blir den samme ved begge utregnings måtene som vi viste f rst har vi en. ordens ergodisk prosess. Oppgave 3 Dette er eksempel. i "Introduction to random signals an kalman filtering". En gaussisk fordeling er fullstendig karakterisert ved middelverdien og kovariansmatrisen. Fra uttrykket for autokorrelasjonsfunksjonen ser vi at lim fi! ' xx(fi )= (7) Dette impliserer at middelverdien til prosessen er. x(t+ fi ) blir helt ukorrelert med x(t) bare hvis prosessen ikke inneholder noen periodisk komponent (dvs heller ikke

5 Side 5 av 5 en konstant). Når middelverdien til x(t) er null er også middelverdiene til x,x og x 3 null. Sett x = [x x x 3 ]. Kovariansmatrisen til sannsynlighetsfordelingen til x blir P = E (x x)(x x) = E xx (8) 4 E(x ) E(x x ) E(x x 3 3 ) = E(x x ) E(x ) E(x x ) 5 = 4 ' xx () ' xx (:5) ' xx 3 () ' xx (:5) ' xx () ' xx (:5) 5 E(x 3 x 3 ) E(x 3 x ) E(x 3 x ) ' xx () ' xx (:5) ' xx () 3 = 5 4 e e e e e e Sannsynlighetsfordelingen for x er nå gitt ved den generelle formelen for normalfordeling p x xx3 (x ;x ;x 3 )= e () 3 jp j [x P x] (9)