Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Stokastiske system og prosesser 2

Transkript

1 Stavanger, 4. august 016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE60 Systemidentifikasjon, 016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. Innhold 1 Stokastiske system og prosesser Stokastiske variabler.1 Sannsynlighetsfordelingsfunksjonen Forventningsverdi Stasjonær prosess Krysskovarians og kovarians Hvit og farget støy 4 4 Stokastiske systemer Stokastiske statiske systemer Stokastiske dynamiske systemer Statistiske egenskaper for ARX-prosess 5 6 Statistiske egenskaper for ARX-prosess 6 Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger. Sentralbord Direkte E-post: karl.skretting@uis.no.

2 1 Stokastiske system og prosesser Del 5 her er ei mye brukt eksamensoppgave med løsningsforslag i del 6. Stokastiske variabler Her er først noen begreper og stikkord. x(k) er her en stokastisk variabel for en bestemt verdi av k. En stokastisk prosess er et sett (en sekvens) av stokastiske variabler {x(k), k = 0, 1,,...}. Prosess og signal er her nært knyttet sammen i et en til en forhold. Prosessen regnes som kilden og gir (ved realisering) ut signalet. Signalet oppfattes oftes som målt og er dermed faktisk (ikke stokastisk). Realisering (utfall) gir en faktisk (reell) verdi x(k), eller {x(k)} for å gjøre tydeligere at det er en stokastisk variabel. En kan ha flere ulike realiseringer: {x(k, ω 1 )}, {x(k, ω )}. Et eksempel er at x(k) er maksimumstemperaturen på Ullandhaug hver måned (månednummer er k), hvert år er da en ny realisering av denne prosessen, (årstall er ω). {x(, ω 1 )}, {x(, ω )}, der står for alle k, er ulike realiseringer av samme prosessen. {x(k 1, }, der står for alle realiseringer ω, er den stokastiske variabelen {x(k 1 )} (for alle mulige realiseringer). Ulike realiseringer av samme stokastiske prosess er ikke like hverandre (men de har ofte visse likheter)..1 Sannsynlighetsfordelingsfunksjonen F (X; k) = P {x(k) X}. (1) P { } er sannsynligheten for at det inni klammene er sant. F ( ) er sannsynlighetsfordelingsfunksjonen (cdf). Argumentet her er stor X for å skille det fra (tilstands)variablen x, x(k).

3 . Forventningsverdi Forventningsverdien defineres ofte ut fra sannsynlighetstetthetsfunksjonen (pdf), f( ), df (X) df (X; k) f(x) =, f(x; k) = () dx dx Forventningsverdien er da definert som m x (k) = E[x(k)] = Xf(X; k)dx = XdF (X; k) (3) Vektorform: x(k) = x 1 (k). x n (k), m x (k) = m x1 (k). m xn (k). (4).3 Stasjonær prosess For en stasjonær prosess har en F (X; k) er tidsuavhengig altså F (X; k 1 ) = F (X; k ) = F (X), k 1, k (5) Forventningsverdien kan nå estimeres med middelverdien av en enkel realisering ˆm x = 1 N N 1 k=0 x(k) (6) For at dette estimatet skal bli godt så må en ofte ha en ganske stor N..4 Krysskovarians og kovarians Definisjon, tilsvarende ADC: (15.7): Cov(x(k + τ), y(k)) = R xy (τ, k) (7) = E [ ( x(k + τ) m x (k + τ) ) (y(k) m y (k) ) T ]. Stasjonære prosesser x og y gir R xy (τ, k 1 ) = R xy (τ, k ) = R xy (τ) (8) x og y er gjerne vektorer, da er R xy ei matrise. 3

4 Hvis y = x får en autokovarians eller bare kovarians, (kun varians brukes helst om stokastiske variabler, ikke så mye for stokastiske prosesser). R xx (τ, k) R x (τ, k) (9) Variansen for et element av den stokastiske prosessen, {x(k)}, (som da er en stokastisk variabel) får en med τ = 0. Cov(x(k), x(k)) = Var(x(k)) = R x (0, k) (10) Når x er en vektor er dette ei (ko)variansmatrise. Det kan nå passe å gå gjennom ei tidligere eksamensoppaven, for eksempel oppgave 3, 1 februar 007 (ARX-prosess). 3 Hvit og farget støy x er en hvit støy prosess hvis m x (k) = 0 og R x (τ, k) = R(k)δ(τ) (11) R(k) er varians for hvit støy, og kan variere med k, selv om den vanligvis er konstant, Farget støy har noe samvariasjon mellom x(k) og x(k + τ) men R x (τ, k) avtar ofte med økende k. Farget støy modelleres ofte ved at hvit støy går gjennom et filter (shaping filter), gjerne et enkelt filter, selv om en også kan ta flere støysignaler som blandes fra ett tidssteg til neste. 4 Stokastiske systemer Stokastiske systemer er system som er påvirket av, eller inneholder, stokastiske variabler eller prosesser (signaler). 4.1 Stokastiske statiske systemer Eksempel y(k) = Mv(k) (1) Der M er en konstant eller ei konstant (forsterknings)matrise. En har da m y (k) = Mm v (k), R y (τ, k) = MR v (τ, k)m T (13) 4

5 4. Stokastiske dynamiske systemer Eksempel med et system på tilstandsromform, og uten pådrag, x(k + 1) = Φx(k) + Ωv(k) (14) y(k) = Dx(k) + w(k) (15) der v og w er stokastiske, gjerne hvit støy, der vi har gitt m v (k) og R v (τ, k) = Q(k)δ(τ) og m w (k) og R w (τ, k) = R(k)δ(τ). Vi skriver Q i stedet for Q(k) og R i stedet for R(k). Vi lar målestøyen w være hvit og ukorrelert med v og x. Litt regning med forventningsoperatoren viser da Hvis m v (k) = 0 m x (k + 1) = E[x(k + 1)] = E[Φx(k) + Ωv(k)] (16) = ΦE[x(k)] + ΩE[v(k)] = Φm x (k) + Ωm v (k) (17) m x (k + 1) = Φm x (k) = Φ m x (k 1) =... = Φ k+1 m x (0) (18) Når systemet er stabilt har Φ egenverdier innefor enhetssirkelen og lim n Φ n = 0, altså lim k m x (k) = 0. Kovarians P x (k) R x (0, k) blir P x (k + 1) = E[ ( x(k + 1) m x (k + 1) )( x(k + 1) m x (k + 1) ) T ] (19) = = ΦP x (k)φ T + ΩQΩ T (0) 5 Statistiske egenskaper for ARX-prosess (Antall poeng for denne oppgaven er 0) En har gitt følgende prosess: y(k) = ay(k 1) + bu(k 1) (1) a og b er konstanter. Anta at pådraget {u(k)} er stasjonær stokastisk hvit støy med middelverdi null og varians σ u. Beregn forventningsverdien m y. Beregn kovariansen R y (0) = E{ ( y(k) m y ) }. Finn transferfunksjonen h(z). 5

6 6 Statistiske egenskaper for ARX-prosess (Antall poeng for denne oppgaven er = 0) En har gitt følgende prosess: y(k) = ay(k 1) + bu(k 1) () a og b er konstanter, {u(k)} er stasjonær stokastisk hvit støy med middelverdi null og varians σ u 6.a (5 poeng) Vi får m y = E[y(k)] = E[ ay(k 1) + bu(k 1)] (3) = ae[y(k 1)] + be[u(k 1)] = am y + bm u (4) (1 + a)m y = bm u (5) m y = b 1 + a m u = 0, siden m u = 0. (6) 6.b (10 poeng) Dette er ei generell løsning for noen stokastiske egenskaper for prosessen. Siden signalene er stasjonære er de stokastiske egenskapene uavhengige av tidssteget k. Siden u(k) er hvit støy har en R u (l) = E{u(k)u(k l)} = { σ u når l = 0 0 når l 0 (7) Siden middelverdiene er null, m u = 0 og m y = 0, har en videre R y (l) = E{[y(k) m y ][y(k l) m y ]} = E{y(k)y(k l)} = R y ( l) (8) og for krysskovariansen har en R uy (l) = E{u(k)y(k l)} = E{u(k + l)y(k)} (9) R yu (l) = E{y(k)u(k l)} = R uy ( l) (30) R uy (l) = E{u(k)y(k l)} = 0, når l 0 (31) Siste ligning her er satt opp fordi en har at inngang u(k) kun kan påvirke senere verdier av y. Vi finner nå R yu (1) = R uy ( 1) = E{y(k)u(k 1)} = E{y(k + 1)u(k)} (3) = E{ ay(k)u(k) + bu(k)u(k)} = ar yu (0) + br u (0) = b σ u 6

7 Videre kan en (om en ønsker) finne R yu () = E{y(k)u(k )} (33) = E{ ay(k 1)u(k ) + bu(k 1)u(k )} = ar yu (1) + br u (1) = abσu Generelt har en da R yu (l) = R uy ( l) = { 0 når l 0 ( a) l 1 b σu når l > 0 (34) Vi finner nå R y (0) R y (0) = E{[y(k) m y ] } = E{y (k)} (35) = E{[ ay(k 1) + bu(k 1)] } = E{[a y (k 1) aby(k 1)u(k 1) + b u (k 1)]} = a E{y (k 1)} abe{y(k 1)u(k 1)} + b E{u (k 1)} = a R y (0) abr uy (0) + b R u (0) = a R y (0) + b σu Dette løses med hensyn på R y (0) og gir Vi finner nå R y (1) = R y ( 1) (1 a )R y (0) = b σu R y (0) = b 1 a σ u. (36) R y (1) = E{y(k)y(k 1)} (37) Videre kan en (om en ønsker) finne Generelt har en da = E{ ay(k 1)y(k 1) + bu(k 1)y(k 1)} a b = ar y (0) + br uy (0) = 1 a σ u R y () = E{y(k)y(k )} (38) = E{ ay(k 1)y(k ) + bu(k 1)y(k )} = ar y (1) + br uy (1) = a b 1 a σ u R y (l) = R y ( l) = ( a) l b 1 a σ u. (39) 7

8 6.c (5 poeng) Transferfunksjonen h(z) = y(z)/u(z) finner en ved å ta z-transformasjonen av hvert ledd y(z) = az 1 y(z) + bz 1 u(z) (40) (1 + az 1 )y(z) = bz 1 u(z) (41) h(z) = y(z) u(z) = bz az = b 1 z + a. (4) 8