Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Transkript

1 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentifikasjon ( sp) Dato: Mandag 8 desember 28 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP3S, Casio FX82 eller TI-3. Løsningsforslag Innhold Forvarming av prosesstrøm 2 2 Statistiske egenskaper for ARMA-prosess 3 3 Noen spørsmål om Kalman-filter 5 4 Minste kvadraters metode 7

2 Forvarming av prosesstrøm (Antall poeng for denne oppgaven er 5+5 = 3).a (5 poeng) Energibalansen for varmeelement. du = dt t m c p, T = m c p, T m c p, T = Q i ha(t T 2 ) = hat + hat 2 + Q i T = ha T + ha T 2 + Q i m c p, m c p, m c p, T = α T + α T 2 + Q i (.) m c p, der α = ha m c p, Energibalansen for prosessmediet. du 2 = dt t m 2c p,2 T 2 = m 2 c p,2 T 2 m 2 c p,2 T 2 = F c p,2 (T i T 2 ) + ha(t T 2 ) T 2 = = hat (F c p,2 + ha)t 2 + F c p,2 T i ha T ( F + m 2 c p,2 m 2 ha m 2 c p,2 )T 2 + F m 2 T i T 2 = α 2 T ( + α 2)T 2 + T i (.2) der α 2 = ha og = m 2 m 2 c p,2 F En kan legge merke til at tidskonstanten er så mange sekund det går for å skifte ut hele massen av prosessmediet. En setter x = [ T T 2 [ T, ẋ = T 2 [ Qi, u = T i (.3) og får da kontinuerlig tilstandsrommodell, på ønsket form uten støyledd, som [ [ α α ẋ = α 2 (α 2 + ) m x + c p, u y = [ x + [ u. Matrisene er da A = [ α α α 2 (α 2 + ) D = [ E = [. B = [ m c p, 2

3 .b (5 poeng) Euler-forover-diskretisering av en kontinuerlig tilstandsrommodell er i læreboka ligninger.9 og.9 side 52. En har da Φ = I + AT og Γ = BT der T er tidssteget. Den diskrete tilstandsrommodellen x(k + ) = Φx(k) + Γu(k) har da Φ = [ [ α α + α 2 (α 2 + ) [ m og Γ = c p, [ α T α T = T T = α 2 T (α 2 + )T. [ m c p, T Støyleddet Ωv(k), der en gjerne har valgt Ω = I 2 og tilpasser variansene for v og v 2 slik at de passer med prosessen, må være med for å ta hensyn til modellfeil og unøyaktigheter som skyldes at modellen er enklere enn virkeligheten. Det er ikke urimelig å tenke seg at inngangstemperaturen kan variere noe, at det kan være varmetap til omgivelsene, og at varmeoverføringen mellom element og mediet ikke er helt nøyaktig. Alle disse forholdene kan variere med tiden, ofte på en ukjent og uforutsigbar måte, og tas gjerne best med i modellen som støy. De her nevnte forhold påvirker hvor store variansene for v og v 2 bør være, det er da ikke urimelig å anta at variansen for v 2 bør være en del større enn variansen for v, alle de nevnte forhold påvirker x men kun ett påvirker x 2 direkte. På den annen side, hvis m 2 er mye større enn m så vil det gi større treghet for x 2 og dermed behov for mindre varians på v 2. Hvis modellen skal brukes med Kalman-filter er Støyleddet Ωv(k) viktig, det brukes som viktigste tuningsparameter for estimatoren, og velges slik at estimatoren blir rask uten å virre for mye.. 2 Statistiske egenskaper for ARMA-prosess (Antall poeng for denne oppgaven er = 3) Vi har x(k) = ax(k ) + e(k) + ce(k ), a <, x(k < ) = (2.) hvor e(k) er en sekvens av normalfordelte, statistisk uavhengige tilfeldige variable. 2.a (5 poeng) I oppgaven har vi gitt m e = E[e(k) =, da får vi m x = E[x(k) = E[ax(k ) + e(k) + ce(k ) (2.2) = ae[x(k ) + E[e(k) + ce[e(k ) = am x + m e + cm e ( a)m x = ( + c)m e (2.3) m x = + c a m e =, siden m e =. (2.4) 3

4 2.b ( poeng) I oppgaven har vi gitt R e (l) = E[e(k)e(k l) = { σ 2 e l = l Vi kan finne kovariansen, R xe (l) = E[x(k)e(k l), med først å slå fast at støy på framtidige tidspunkt er ukorrelert med signalet nå eller tidligere. Altså R xe (l) = for l <. Videre R xe (l) = E[x(k)e(k l) (2.5) = E[ ( ax(k ) + e(k) + ce(k ) ) e(k l) = E[ax(k )e(k l) + e(k)e(k l) + ce(k )e(k l) = ar xe (l ) + R e (l) + cr e (l ) R xe (l) = for l < (2.6) R xe () = ar xe ( ) + R e () + cr e ( ) = σe 2 (2.7) R xe () = ar xe () + R e () + cr e () = aσe 2 + cσe 2 = (a + c)σe 2 (2.8) R xe (2) = ar xe () + R e (2) + cr e () = a(a + c)σe 2 (2.9) R xe (l) = ar xe (l ) for l 2 (2.) R xe (l) = a l (a + c)σe 2 for l (2.) Oppsummeres dette får en som en skulle vise for l < R xe (l) = E[x(k)e(k l) = σe 2 for l = a l (a + c)σe 2 for l > (2.2) 2.c ( poeng) Variansen til x(k) er R x () = E[x(k)x(k) = σ 2 x. Den finnes med σ 2 x = E[x(k)x(k) = R x () (2.3) = E[ ( ax(k ) + e(k) + ce(k ) )( ax(k ) + e(k) + ce(k ) ) = E[ ax(k )ax(k ) + e(k)ax(k ) + ce(k )ax(k ) +ax(k )e(k) + e(k)e(k) + ce(k )e(k) +ax(k )ce(k ) + e(k)ce(k ) + ce(k )ce(k ) = a 2 R x () + ar xe ( ) + acrxe() +ar xe ( ) + R e () + cr e () +acrxe() + cr e () + c 2 R e () = a 2 σx acσe σe acσe c 2 σe 2 σx 2 = + 2ac + c2 σ a e. 2 2 (2.4) 4

5 2.d (5 poeng) Generelt kan en finne R x (l) R x () = + 2ac + c2 σ 2 a 2 e (2.5) R x (l) = E[x(k)x(k l) = R x ( l) (2.6) = E[ ( ax(k ) + e(k) + ce(k ) ) x(k l) = E[ ax(k )x(k l) + e(k)x(k l) + ce(k )x(k l) = ar x (l ) + R xe ( l) + crxe( l) + 2ac + c2 R x () = ar x () + crxe() = a σ 2 a 2 e + cσe 2 (2.7) R x (2) = ar x () (2.8) R x (l) = R x ( l) = a l ( a( + 2ac + c 2 ) + c ) σ 2 a 2 e l >. (2.9) I siste ligning her står resultatet som en skulle vise. 3 Noen spørsmål om Kalman-filter (Antall poeng for denne oppgaven er = 25) Svar på følgende spørsmål om Kalman-filter (KF). 3.a (5 poeng) Hvorfor ønsker man i det hele tatt å bruke en estimator, for eksempel et KF, til å foreta tilstandsestimering? Fordi direkte måling av tilstander kan være umulig, vanskelig eller dyrt. 3.b (5 poeng) Hva er spesielt for KF? Hva er egenskapene? KF er en optimal lineær estimator. Forsterkningsmatrisen K er tidsvarierende, enklere estimatorer har gjerne tilsvarende matrise fast (stasjonært KF). Litt mer utfyllende svar bør ha med følgende egenskaper for KF Rekursiv: tilstandsestimatet ˆx(k) beregnes ut fra estimatet i forrige tidssteg ˆx(k ). Også andre verdier ved forrige tidssteg kan brukes, her vil det si ˆP (k). Optimal: Det er det best mulige lineære estimatet som estimeres. Hvis støy i tillegg til betingelser i 2f er Gaussisk, det vil si normalfordelt, så er 5

6 KF-estimatet det beste av alle mulige estimat. Med best mener en her forventningsrett og minimum varians, se nedenfor. Lineær: Estimatoren skal være en lineær kombinasjon av (estimat av) forrige tilstand og nye målinger. Altså ˆx(k) = K(k) ˆx(k ) + K(k) y(k) (3.) Der K(k) og K(k) er n n og n l matriser der elementene velges fritt slik at estimatet blir optimalt. Forventningsrett: Det vil si at forventningsverdien til estmatet er lik sann verdi av estimatet, selv om vi ikke kjenner sann verdi kan vi likevel lage estimatoren slik at den er forventningsrett. Altså: E[ˆx(k) = x(k). Minimum varians: Varians for estimeringsavviket, x(k) = x(k) ˆx(k), minimeres. Når det er flere tilstander blir dette at n i= σ2 i minimeres, og der σi 2 = E[( x i x i (k)) 2. 3.c (5 poeng) Hva er et utvidet KF og hva skiller det fra et augmentert KF? Et utvidet (extended) KF er et KF for ulineært system. En har da en fortløpende linearisering av systemet. KF implementeringen er da utvidet med flere steg for hver iterasjon. Læreboka side 332 (mot vanlig KF side 38). Et augmentert KF er i utgangspunktet et vanligt KF, men systemet er utvidet slik at en har med flere tilstander enn i det opprinnelige systemet. Nye tilstander er gjerne ukjente parametre i systemet. Dette fører ofte også til ulineært system og dermed også behov for utvidet KF. 3.d (5 poeng) Kovariansmatrisene for prosesstøy og for målestøy er viktige i et KF. Hvilken funksjon har de, og hvordan påvirker forholdet mellom dem forsterkningsmatrisen K? Kovariansmatrisene for prosesstøy, Q, og for målestøy, R, er tuningsparametre i KF. Ofte settes R fast, i henhold til virkelig målestøy, og diagonalelementene i Q brukes som tuningsparametre. Disse justeres til å gi tilstrekkelig raskt og glatt estimat. Er R stor og Q liten så er estimatoren treg og glatt. Er R liten og Q stor så er estimatoren rask og gjerne med mye virring. 3.e (5 poeng) Tegn et blokkskjema for et KF. Få med hvilke signaler som er på de ulike linjer 6

7 i blokkskjema. Hint: Blokkene som inngår er matrisene i ligningene, Φ, Γ, D og K, samt pluss og minus og forsinkelse. Figur 9.27 side 37 i læreboka. 4 Minste kvadraters metode (Antall poeng for denne oppgaven er = 5) 4.a (5 poeng) Modellen brukt for minste-kvadraters-metode (Least squares eller bare LS) er: y(k) = ϕ T (k)θ + e(k). (4.) De ulike symboler her er: y(k) målingen (utgangsverdien) i tidssteg k. ϕ(k) regresjonsvektoren der elementene er ett eller flere av: nåværende eller tidligere inngangsverdier, tidligere utgangsverdier (målinger), eller estimerte verdier for tidligere støy. Θ er parametervektoren med de ukjente parametrene som skal estimeres. e(k) er støy, eventuelt med tillegg av modellfeil, for steg k. 4.b (5 poeng) For å kunne estimere parametrene Θ må en sette opp et ligningssystem som kompakt kan skrives: Y (k) = Φ(k)Θ (4.2) LS-estimatet av parametrene finnes med ˆΘ(k) = [Φ T (k)φ(k) Φ T (k)y (k). (4.3) De ulike symboler her er: Y (k) er en vektor med målingene fram til og med steg k, det vanlige er gjerne å ha siste måling først slik at Y T (k) = [y(k), y(k ), y(k 2),. Φ(k) er ei matrise der linje i er ϕ T (k + i). Matrisa har like mange linjer som det er element i Y (k) og like mange kolonner som element i Θ. 7

8 Θ er parametervektoren med de ukjente parametrene som skal estimeres. Legg merke til at denne ikke varierer med tidssteget k. ˆΘ(k) er (minste kvadraters) estimat av parametervektoren basert på målinger til og med steg k. Legg merke til at denne varierer med tidssteget k. 4.c (5 poeng) LS-estimatet er konsistent, som betyr at estimatet går mot den sanne verdien når antall observasjoner går mot uendelig. Det er da forventningsrett (unbiased) og variansen går mot null. Konsistent er altså noe mer enn forventningsrett. Se læreboka side