Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Transkript

1 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: onsdag 24 november 2010 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP30S, Casio FX82 eller TI-30. Bokmål Merknader: Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få 100 poeng. Med 240 minutt totalt kan en fornuftig tidsbruk være å bruke ca 10 minutt for hver 5 poeng, da har en 20 minutt til pauser og 20 minutt ekstra. Merk at oppgavene ikke er sortert etter forventet vanskelighetsgrad. Oppgavesettet er på 4 oppgaver, i tillegg er det med noen nyttige formler i del 5 side 7. Oppgavesettet er totalt 7 sider (inkludert denne forsida).

2 1 Kalman-filter (Antall poeng for denne oppgaven er = 30) Den fullstendige lineære tilstandsrommodellen for en gitt prosess er x(k + 1) = Φ(k)x(k) + Γ(k)u(k) + Ω(k)v(k), (1.1) y(k) = D(k)x(k) + E(k)u(k) + w(k). (1.2) Ved utvikling av Kalmanfilteret er denne imidlertid redusert til x(k + 1) = Φx(k) + v(k), (1.3) y(k) = Dx(k) + w(k). (1.4) Anta at det er n prosesstilstander i modellen, s pådrag og l målinger. 1.a (10 poeng) Forklar hva de ulike symbolene (det vil si matriser og vektorer) i ligningene ovenfor, (1.1) og (1.2), er og hvilken dimensjon de har. 1.b ( = 10 poeng) Nå skal dere forklar hvorfor en kan forenkle slik en har gjort fra ligningene (1.1) og (1.2) til ligningene (1.3) og (1.4). Endringene som er gjort er listet nedenfor: Φ(k) og D(k) har blitt Φ og D. Γ(k) har blitt satt til null (leddet Γ(k)u(k) er fjernet). Ω(k) har blitt satt til identitetmatrisa. E(k) har blitt satt til null. Forklar så de forutsetninger en gjør med hensyn til støy for utledning av Kalman-filter. Forklar så de forutsetninger en gjør med hensyn til initialtilstand for utledning av Kalman-filter. 1.c (5 2 = 10 poeng) Kalmanfilteret sies å være en rekursiv og optimal tilstandsestimator. Det er lineært, forventningsrett og har minimum varians. Hva mener en i denne sammenheng med de fem uthvede ordene/uttrykkene. 2

3 F 1, T i1 F 2, T i2 V 1 Q V 2 T 1 T 2 Flyt, F 1 og F 2, har enhet [cm 3 /s Volum, V 1 og V 2, har enhet [cm 3 Væskene er like (vann) og har samme varmekapasitet c p = 4.2 [J/K g og tetthet ρ = 1 [g/cm 3. F 1, T 1 F 2, T 2 Figur 1: Prinsippskisse av en varmeveksler. 2 Varmeveksler (Antall poeng for denne oppgaven er = 25) En prinsippskisse av en varmeveksler viser i figur 1. En har to tanker som står inntil hverandre, kun adskilt med ei tynn plate som gir god varmeledningsevne mellom de to tankene. Denne varmeoverføringskoeffisienten, som vi her kaller h, er en konstant med enhet [J/(K s), Joule per Kelvin sekund. En Joule er enhet for energi og en har [J = [kg m 2 /s 2. Varmeoverføringen per sekund er da gitt som Q = h(t 1 T 2 ) (2.1) En har forsiktig, altså med ignorerbar tilførsel av energi, omrøring i begge tanker slik at temperaturen er den samme overalt i hver tank. En har en væskeflyt inn og ut av hver tank, henholdsvis F 1 og F 2, begge har enhet [cm 3 /s. Som system kan en betrakte en eller begge flytene som pådrag eller konstanter (her er begge konstanter), og temperaturene på inngangene som konstanter eller pådrag (her er begge pådrag), og temperaturene i tankene, og dermed på utgangene, som tilstander. Tilstandene kan enten måles direkte, eller estimeres, eller begge deler. Temperaturer (og kanskje også flyt) er generelt tidsvarierende, altså funksjoner av t. En har her at begge væskene er vann med spesifikk varmekapasitet c p og tetthet ρ. Volum i tankene er henholdsvis V 1 og V 2. Energiinnholdet i et system i enheten [J er uttrykt som U = m c p T. (2.2) Energiinnholdet til et stoff som strømmer inn/ut av et system i enhetene [J/s 3

4 er tilsvarende uttrykt som u = ρ F c p T (2.3) Videre er en generell energibalanse gitt av: hvor du dt = u inn u ut + Q W (2.4) u inn er energien som blir transportert inn til systemet av massen som kommer inn, [J/s u ut er energien som blir transportert ut av systemet av massen som strømmer ut, [J/s Q er tilført (avgitt hvis negativ) varme, [J/s W er tilført/utført arbeid, her er W = 0 2.a (15 poeng) Ta utgangspunkt i energibalansene for hver tank og utvikle en kontinuerlig tilstandsrommodell for systemet. En lar flytene F 1 og F 2 være konstante, og inntemperaturene T i1 og T i2 være pådragene. Tilstandene er de to temperaturene i tankene (som også er utgangstemperaturene). En tar her ikke med eventuelle målinger eller støy. Skriv den kontinuerlige tilstandsrommodellen for systemet på forma ẋ = Ax + Bu. (2.5) det vil si skriv uttrykkene for A og B. 2.b (10 poeng) Utvikle en diskret tilstandsrommodell som svarer til Euler-forover-diskretisering av modellen funnet i oppgave a. Bruk samplingsintervall T som ikke må forveksles med noen av temperaturene, alle temperaturene har subskript. Skriv den diskrete tilstandsrommodellen på formen det vil si skriv uttrykkene for Φ og Γ. x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) (2.6) 4

5 3 Stokastisk oppgave med Grjotgard (Antall poeng for denne oppgaven er = 20) Den dugende instrumentingeniøren Grjotgard har fått i oppgave å lage til et oppsett for løpende måling av tilstanden til en industriell prosess, se figur 2. Tilstandsvariabelen for denne prosessen er et differensialtrykk. Vi tenker oss dette bygd opp av et middeltrykk overlagret en trykkvariasjon x(k) [m(illi)bar. x(k) har variansen σ 2 x og har altså null middelverdi. Industriell prosess x(k) C w(k) y(k) + Sensor Figur 2: Måling av prosesstilstand Grjotgard får tak i en sensor med skaleringskoeffisient C og med normalfordelt og tilfeldig målestøy w(k) [mbar. Målestøyen er ukorrelert med x(k). Middelverdien til målestøyen kan settes lik null siden målingen y(k) er presist kalibrert. Variansen til w(k) er σ 2 w. (Det er vanlig i datablad på sensorer å oppgi en presisjon ±p der en har at p = 2σ w. For normalfordelte variable er det da rundt 95% sannsynlig at den virkelege prosesstilstanden ligger innenfor den målte verdi ±p.) 3.a (10 poeng) Finn et uttrykk for kovariansmatrisen til (tilstands)vektoren [ x z =. y 3.b (5 poeng) Finn korrelasjonskoeffisienten ρ xy = Rxy. Kommenter. RxxRyy 3.c (5 poeng) Sensoren har presisjonen p = 2σ w = 1 mbar. Standardavviket for variasjonene av prosesstilstanden er σ x = 3 mbar, og C = 1. Oppdragsgiveren til Grjotgard krever en korrelasjon på minst 99% mellom prosesstilstand og måling. Hva blir korrelasjonen her? 5

6 4 Dobbelintegrator (Antall poeng for denne oppgaven er = 25) Diskretisering av tilstandsrommodell (TRM) er å gå fra den kontinuerlige TRM til den diskrete TRM som vist her ẋ = Ax + Bu y = Dx + Eu x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) y(k) = Dx(k) + Eu(k) (4.1) Eksakt diskretisering med nullteordens holdeelement gir følgende sammenheng Γ = T 0 Φ = e AT = L 1{ (si A) 1} t=t (4.2) e Aτ dτ B = L 1 {(si A) 1 1 s B } t=t (4.3) Gitt følgende tidskontinuerlige modell for en dobbelintegrator: der K er en konstant. ÿ = Ku (4.4) 4.a (5 poeng) Forklar hvordan en går fra differensialligningen (4.4) til en kontinuerlige TRM med matrisene A, B, D og E som nedenfor A = [ [ 0, B = K D = [ 1 0, og E = 0. 4.b (10 poeng) Finn matrisene Φ og Γ i den diskrete TRM med eksakt diskretisering og nullteordens holdeelement. Samplingsintervallet (tidssteget) er T [sek. 4.c (10 poeng) Finn z-transferfunksjonen, h(z) = y(z) u(z) for systemet med eksakt diskretisering. Hint: h(z) kan kanskje enklest finnes med å ta z-transformasjon av diskret TRM, men den kan også finnes ved å gå via s-transferfunksjonen, som igjen kan finnes fra differensialligningen (4.4). 6

7 5 Formler og ligninger Diskretisering z-transferfunksjon for kontinuerlige prosesser med nullteordens sample- og holdeelement på inngangen: [ h(z) = (1 z 1 )Z L 1 { G(s) s } t=kt. (5.1) Tranformasjonspar, δ( ) er enhetsimpuls og u( ) er enhetssteg. L { e at} = 1 s a (n 1)! s n 1 L { δ(t a) } = e as L { u(t a) } = e as (s a) 2 s L{1} = 1 s, L{t} = 1 s 2 og generelt L{t n 1 } = L { te at} = Z { δ(k) } = 1 Z { δ(k n) } = z n Z { a k u(k) } = z z a Z { ka k u(k) } = az (z a) 2 Z { k 2 a k u(k) } = az(z + a) (z a) 3 Kalman-filter I vår utledning av Kalman-filteret kom vi fram til følgende ligninger som oppsummerer hovedløkka, det er det som gjøres for hvert tidssteg k. x(k) = Φˆx(k 1) + Γu(k 1) (5.2) P (k) = Φ ˆP (k 1)Φ T + Q (5.3) K(k) = P (k)d T (DP (k)d T + R) 1 (5.4) ˆx(k) = x(k) + K(k)[y(k) Dx(k) (5.5) ˆP (k) = (I K(k)D) P (k) (5.6) Matriser Ei 2 2 matrise og den inverse er [ a b A = c d, A 1 = 1 ad bc [ d b c a. (5.7) Determinanten er: det(a) = ad bc. Egenverdier for ei matrise er verdier λ slik at det(λi A) = 0. Derivasjon x = [ x1 x 2 d d sin x = cos x dx [ f1 ( ), f = f 2 ( ) dx gir cos x = sin x (5.8) [ f f1 f 1 x = x 1 x 2. (5.9) f 2 x 1 f 2 x 2 7