Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Transkript

1 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: Mandag 8 desember 2008 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP30S, Casio FX82 eller TI-30. Bokmål Merknader: Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få 100 poeng. Med 240 minutt totalt kan en fornuftig tidsbruk være å bruke ca 10 minutt for hver 5 poeng, da har en 20 minutt til pauser og 20 minutt ekstra. Merk at oppgavene ikke er sortert etter forventet vanskelighetsgrad. Oppgavesettet er på fire oppgaver, i tillegg er det med noen nyttige formler i del 5 side 6. Oppgavesettet er totalt 6 sider (inkludert denne forsida).

2 F, T i Q i c p,2 m 2 T 2 ha c p,1 m 1 T 1 F, T 2 Figur 1: Prinsippskisse av system for forvarming av prosesstrøm. 1 Forvarming av prosesstrøm (Antall poeng for denne oppgaven er = 30) En prinsippskisse av system for forvarming av prosesstrøm viser i figur 1. En har en tank som prosessmediet strømmer gjennom, tanken er alltid full. I tanken står et varmeelement som får tilført energi, elektrisk generert varme. Dette varmeelementet er pådragsorganet og har masse m 1 kg, temperatur T 1 K og spesifikk varmekapasitet c p,1 J/K kg. Effektpådraget er Q i J/s. Prosessmediet har masse m 2 kg, temperatur T 2 K og spesifikk varmekapasitet c p,2 J/K kg. Varmeoverføringskoeffisienten, h, mellom pådragsorganet og prosessmediet er konstant, det samme er arealet A, slik at varmeoverføringen (per sekund) er en konstant ha J/K s multiplisert med temperaturdifferansen. Strømningsmengde, F, har enhet kg/s og antas her å være konstant. Temperatur for prosessmediet inn er T i K og den antas også å være konstant i denne omgang. En har omrøring av prosessmediet i tanken slik at temperaturen er den samme overalt i tanken. Enhet J/K s er Joule per Kelvin sekund. En Joule er enhet for energi og en har J = kg m 2 /s 2. Energiinnholdet i et system i enheten J er uttrykt som U = m c p T. (1.1) Energiinnholdet til et stoff som strømmer inn/ut av et system i enhetene J/s er tilsvarende uttrykt som u = F c p T (1.2) 2

3 Videre er en generell energibalanse gitt av: hvor du dt = u inn u ut + Q W (1.3) u inn er energien som blir transportert inn til systemet av massen som kommer inn, J/s u ut er energien som blir transportert ut av systemet av massen som strømmer ut, J/s Q er tilført (avgitt hvis negativ) varme, J/s W er utført arbeid. 1.a (15 poeng) Tilstandene er de to temperaturene, T 1 og T 2. Målingen er av utgangstemperaturen, T 2, og det er noe målestøy. Pådraget er Q i, og her er det også hensiktsmessig å regne inngangstemperaturen som et pådrag. Ta utgangspunkt i energibalansene for prosessmediet og varmeelementet og utvikle en kontinuerlig tilstandsrommodell for systemet. Skriv den kontinuerlige tilstandsrommodellen, uten å ta med støyledd, på forma det vil si skriv uttrykkene for matrisene. ẋ = Ax + Bu, y = Dx + Eu. (1.4) 1.b (15 poeng) Utvikle en diskret tilstandsrommodell som svarer til Euler-forover-diskretisering av modellen funnet i oppgave a. Bruk samplingsintervall T som ikke må forveksles med noen av temperaturene, alle temperaturene har subskript. Skriv den diskrete tilstandsrommodellen på formen x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) + Ωv(k) (1.5) det vil si skriv uttrykkene for Φ og Γ. Kommenter også kort hva en oppnår med å ta med leddet Ωv(k) her, hva påvirker hvor stort eller lite dette leddet bør være? 3

4 2 Statistiske egenskaper for ARMA-prosess (Antall poeng for denne oppgaven er = 30) Følgende er et eksempel på en ARMA-prosess: x(k) = ax(k 1) + e(k) + ce(k 1), a < 1, x(k < 0) = 0 (2.1) hvor e(k) er en sekvens av normalfordelte, statistisk uavhengige tilfeldige variable der Ee(k) = 0 { σ 2 R e (l) = Ee(k)e(k l) = e l = 0 0 l 0 Vi kan regne prosessen for stasjonær i det området vi ser på her, det vil si Ef(x(k)) = Ef(x(k l)). 2.a (5 poeng) Vis at middelverdien til x(k) er null. 2.b (10 poeng) Vis at R xe (l) = Ex(k)e(k l) = 0 for l < 0 σe 2 for l = 0 a l 1 (a + c)σe 2 for l > 0 (2.2) 2.c (10 poeng) Finn variansen til x(k), altså σ 2 x = R x (0) = Ex 2 (k). 2.d (5 poeng) Vis at R x (l) = R x ( l) = a l 1( a(1 + 2ac + c 2 ) 1 a 2 + c ) σ 2 e l > 0. (2.3) 3 Noen spørsmål om Kalman-filter (Antall poeng for denne oppgaven er = 25) Svar på følgende spørsmål om Kalman-filter (KF). 3.a (5 poeng) Hvorfor ønsker man i det hele tatt å bruke en estimator, for eksempel et KF, til å foreta tilstandsestimering? 4

5 3.b (5 poeng) Hva er spesielt for KF? Hva er egenskapene? 3.c (5 poeng) Hva er et utvidet KF og hva skiller det fra et augmentert KF? 3.d (5 poeng) Kovariansmatrisene for prosesstøy og for målestøy er viktige i et KF. Hvilken funksjon har de, og hvordan påvirker forholdet mellom dem forsterkningsmatrisen K? 3.e (5 poeng) Tegn et blokkskjema for et KF. Få med hvilke signaler som er på de ulike linjer i blokkskjema. Hint: Blokkene som inngår er matrisene i ligningene, Φ, Γ, D og K, samt pluss og minus og forsinkelse. 4 Minste kvadraters metode (Antall poeng for denne oppgaven er = 15) 4.a (5 poeng) Modellen brukt for minste-kvadraters-metode (Least squares eller bare LS) er: Forklar hva de ulike symboler her betyr (står for). y(k) = ϕ T (k)θ + e(k). (4.1) 4.b (5 poeng) For å kunne estimere parametrene Θ må en sette opp et ligningssystem som kompakt kan skrives: Y (k) = Φ(k)Θ (4.2) LS-estimatet av parametrene finnes med ˆΘ(k) = Φ T (k)φ(k) 1 Φ T (k)y (k). (4.3) Forklar hva de ulike symboler her (begge ligningene) betyr (står for). 4.c (5 poeng) Hva menes med at LS estimatet er konsistent? 5

6 5 Formler og ligninger Diskretisering z-transferfunksjon for kontinuerlige prosesser med nullte ordens sample- og holdeelement på inngangen: h(z) = Z L 1 { G(s) s som alternativt kan skrives h(z) = (1 z 1 )Z Tranformasjonspar L { e at} = 1 s a ( 1 e T s )} t=kt, (5.1) L 1 { G(s) s L{1} = 1 s, L{t} = 1 s 2 og generelt L{t n 1 } = L { te at} = } t=kt. (5.2) (n 1)! s n 1 L { δ(t a) } = e as L { u(t a) } = e as (s a) 2 s Kalman-filter I vår utledning av Kalman-filteret kom vi fram til følgende ligninger som oppsummerer hovedløkka, det er det som gjøres for hvert tidssteg k. x(k) = Φˆx(k 1) + Γu(k 1) (5.3) P (k) = Φ ˆP (k 1)Φ T + Q (5.4) K(k) = P (k)d T (DP (k)d T + R) 1 (5.5) ˆx(k) = x(k) + K(k)y(k) Dx(k) (5.6) ˆP (k) = (I K(k)D) P (k) (5.7) Matriser Ei 2 2 matrise og den inverse er a b A = c d, A 1 = 1 ad bc d b c a. (5.8) Determinanten er: det A = ad bc. Egenverdier for ei matrise er verdier λ slik at det(λi A) = 0. Derivasjon x = x1 x 2 d d sin x = cos x dx, f = f1 ( ) f 2 ( ) gir dx cos x = sin x (5.9) f f1 f 1 x = x 1 x 2. (5.10) f 2 x 1 f 2 x 2 6