Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Transkript

1 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: 21 februar 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen Bokmål Merknader: Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få 100 poeng. Med 240 minutt totalt kan en fornuftig tidsbruk være å bruke ca 10 minutt for hver 5 poeng, da har en 20 minutt til pauser og 20 minutt ekstra. Merk at oppgavene ikke er sortert etter forventet vanskelighetsgrad. Oppgavesettet er på 4 oppgaver på 5 sider (inkludert denne forsida). Side 5 er et formelark. 1

2 Oppgave 1 Denne oppgaven teller totalt 55 poeng ( ). På denne sida er en generell beskrivelse av prosessen. På neste side er de 7 deloppgavene. Figuren til høyre viser en laboratorieprosess i form av to væsketanker med pumpe og nivåmåler. Oppgaven her er å estimere den ikke målte tilstandsvariabelen x 1 [cm] som er nivået i tank 1, den øverste tanken. Nivået i tank 2, x 2 [cm], måles. Vi kan først anta at det ikke er støy på denne målinga og at målinga y [V] er direkte proprosjonal med nivået x 2, y = a 2 x 2 + b 2 der a 2 [V/cm] og b 2 [V] er konstanter. Tversnittet i begge tankene er A [cm 2 ]. Pådraget u [V] er ei spenning som gis inn til pumpa. Væskestrømmen gjennom pumpa er da gitt ved q p = K u (u u 0 ), der u 0 er den konstante spenninga som kreves for å holde den vertikale ledningen full av væske. K u [(cm 3 /s)/v] er pumpeforsterkningen. Væska, som her er vann, har samme tetthet overalt, ρ [g/cm 3 ]. q p x 1 Tank 1 0 q 1 x 2 y Tank 2 LT 0 q 2 Stor tank med fast nivå u Utstrømningen fra tank 1 kan skrives som q 1 = K v1 x1, der K v1 [(cm 3 /s)/ cm] er en konstant for ventil 1. Tilsvarende kan utstrømningen fra tank 2 skrives som q 2 = K v2 x2, der K v2 [(cm 3 /s)/ cm] er en konstant for ventil 2. 2

3 Oppgave a For å bestemme de to konstantene for nivåmåleren, a 2 og b 2, så kontrollmåler en nivået på tank 2 på to ulike posisjoner. En får at nivåmåleren gir ut 4 V når væskehøyden er 10 cm og 5 V når væskehøyden er 20 cm. Ut fra dette, bestem de to konstantene for nivåmåleren a 2 og b 2. Utvikle en kontinuerlig tilstandsrommodell for to-tank-systemet. Oppgave c Utvikle en diskret tilstandsrommodell som svarer til Euler-forover-diskretisering av modellen funnet i oppgave b. Skriv den på formen x 1 (k + 1) = f 1 ( ) x 2 (k + 1) = f 2 ( ) y(k) = g( ) Er modellen lineær eller ulineær? Oppgave d Det er litt støy i to-tank-systemet. Det kan være at pumpe- og ventilkonstantene ikke er helt nøyaktig bestemt, eller at de kan variere litt for eksempel på grunn av partikler i væska. Vi vet ellers lite om disse (små) bidragene, og de legges til modellen som prosesstøy som antas å være normalfordelt og med null som middelverdi. Vi har også en liten målestøy, som vi kjenner ganske nøyaktig, den antas å være normalfordelt med middelverdi null og standardavvik σ y = 0.01 [V] (det gir skalaren R = [V 2 ]). Hvilke tuningsparametre kan da brukes for Kalman-filteret for denne prosessen? Oppgave e Kalman-filter er gitt av ligningene (7) til (11) på slutten av oppgavesettet. Forklar hvorfor det for to-tank-systemet her er mer naturlig å bruke et utvidet Kalman-filter (extended Kalman filter). Forklar også hvilke endringer (utvidelser) som gjøres når en utvider Kalman-filteret. Skriv ligningene for det utvidede Kalman-filter. Disse vil svare til ligningene (7) til (11) for vanlig Kalman-filteret, men det er altså noen tillegg og modifikasjoner. Oppgave f Forklar hvordan en initialiserer Kalman-filteret, altså hva en (programmet) må gjøre før hovedløkka startes. Bruk to-tanksystemet som eksempel. Oppgave g Når det er litt støy i systemet så kan Kalman-filter og måling av nivå i tank 2 brukes for å estimere nivå i tank 1. Kunne en like gjerne hatt det omvendt, altså brukt Kalman-filter og måling av nivå i tank 1 til å estimere nivå i tank 2? Forklar hvorfor (ikke). 3

4 Oppgave 2 Denne oppgaven teller totalt 15 poeng. Den kontinuerlige prosessen y(s) u(s) = 2 4s + 1 (1) skal diskretiseres med nullte ordens holdeelement med samplingsintervall T = 0.5. Finn den tilsvarende diskrete transferfunksjonen h(z) = y(z) u(z) (2) Oppgave 3 Denne oppgaven teller totalt 10 poeng (5+5). Følgende er et eksempel på en såkalt ARX-prosess (auto-regressive with exogenous variable): y(k) = ay(k 1) + bu(k 1) (3) a og b er konstanter. Anta at {u(k)} er stasjonær hvit støy med middelverdi null og varians σ 2 u. Oppgave a Beregn forventningsverdien m y. Beregn kovariansen R y (0). Oppgave 4 Noen spørsmål om RLS. Denne oppgaven teller totalt 20 poeng ( ). Oppgave a Hvorfor benyttes glemmefaktor i rekursiv estimering? Hvilken størrelsesorden har glemmefaktoren? Oppgave c Hva vil skje med parameterestimatene hvis glemmefaktoren går mot null? Oppgave d Forklar med ord årsakene til kovarians-eksplosjon. 4

5 Formler og ligninger Noen få utvalgte formler gis her. Diskretisering z-transferfunksjon for kontinuerlige prosesser med nullte ordens sample- og holdeelement på inngangen: [ h(z) = Z L 1 { G(s) s som alternativt kan skrives [ h(z) = (1 z 1 )Z Gir også 2 enkle tranformasjonspar her L(1) = 1 s ( 1 e T s )} t=kt ], (4) L 1 { G(s) s } t=kt ]. (5) og L(e ct ) = 1 s + c. (6) Kalman-filter I vår utledning av Kalman-filteret kom vi fram til følgende ligninger som oppsummerer hovedløkka, det er det som gjøres for hvert tidssteg k. x(k) = Φˆx(k 1) + Γu(k 1) (7) P (k) = Φ ˆP (k 1)Φ T + Q (8) K(k) = P (k)d T (DP (k)d T + R) 1 (9) ˆx(k) = x(k) + K(k)[y(k) Dx(k)] (10) ˆP (k) = (I K(k)D) P (k) (11) Matriser Ei 2 2 matrise har den inverse og determinanten er: det A = ad bc. [ ] a b A = c d [ ] A 1 1 d b = ad bc c a Egenverdier for ei matrise er verdier λ slik at det(λi A) = 0. (12) (13) Partiell derivasjon av en vektor f med hensyn på en vektor av variabler x [ ] [ ] [ ] x1 f1 ( ) f f1 f 1 x =, f = gir x 2 f 2 ( ) x = x 1 x 2. (14) f 2 x 1 f 2 x 2 5