Eksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp)

Transkript

1 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK3, Systemidentikasjon ( sp) Dato: onsdag 23 november 2 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, Citizen SR-27X, HP3S, Casio FX82 eller TI-3. Bokmål Merknader: Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få poeng. Med 24 minutt totalt kan en fornuftig tidsbruk være å bruke ca minutt for hver 5 poeng, da har en 2 minutt til pauser og 2 minutt ekstra. Merk at oppgavene ikke er sortert etter forventet vanskelighetsgrad. Oppgavesettet er på 3 oppgaver, i tillegg er det med noen nyttige formler i del 4 side 9. Oppgavesettet er totalt 9 sider (inkludert denne forsida).

2 Diskretisering av førsteordenssystem (Antall poeng for denne oppgaven er ) En kontinuerlig prosess er gitt med følgende transferfunksjon h(s) = y(s) u(s) = 2 4s + (.).a ( poeng) Prosessen skal diskretiseres med et nullte ordens holdeelement med samplingsintervall T =.5. Bruke eksakt diskretisering. Gi svaret som den tilsvarende diskrete transferfunksjonen h(z) = y(z)/u(z). 2 Lodd som henger i ei fjør (Antall poeng for denne oppgaven er =45) Vi skal her lage en modell for et enkelt fysisk system, et lodd som henger i ei fjør. Virkelige system der tilsvarende modeller kan brukes kan være last som henger i en heisekran og som forsiktig, og passe fort, skal settes ned på et underlag uten at det blir skadelige støt på lasta eller rykk i vaieren. Virkeligheten kan ytterligere kompliseres ved at underlaget ikke er fast men for eksempel et forsyningsskip som gynger på sjøen. Systemet: Figur viser systemet, egentlig modellen av systemet, slik vi har det her. Et lodd henger i ei elastisk snor. Snora går over ei trinse og bort til ei snelle med sveiv. Snora kan rulles opp på snella. Dette gir pådraget til vårt system. Modellen: Modellen er ei forenkling av det fysiske systemet. Den elastiske snora modelleres som ei snor med ei ideell fjør. Både snor, fjør og trinse tenkes som masseløse. Trinsa er uten friksjon. Det er heller ikke demping i modellen på andre måter, så som friksjon eller luftmotstand. Pådraget gis her ved at en sveiver manuelt på snella, dermed har en ikke noen enkel målbar kraft eller ei spenning som en gir inn til en motor. I modellen er pådraget gitt som horisontal forskyvning av et gitt punkt på snora. Loddet har masse kg. Posisjon for loddet angis som høyde der referansepunkt er 4 cm over gulvet, se gur. Referansepunkt for pådraget er tilsvarende, når loddet henger stille 4 cm over gulvet er pådraget null, merk at pådrag er posisjon for det gitte punktet på snora. Vi må også anta at vi har tilstrekkelig kontroll med pådraget slik at vi unngår slakk i snora, og at snora er alltid stram. Fordi snora er masseløs og en har ei fjør i modellen, kan en likevel ha 2

3 r r u r u x 4 2 y m -2-4 golv Figur : Prinsippskisse av et mekanisk system med et lodd som henger i ei fjør. sprang i pådraget. Fritt-fall-akselerasjonen regnes i modellen som g = m/s 2. fjørkonstanten k f er her 25 N/m eller kg/s 2. Nyttig å vite fra fysikken: Krafta fra ei fjør er gitt av Hookes lov F = k f x. (2.) der x er hvor langt fjøra er strukket fra hvilestilling og k f er en konstant gitt for fjøra. For et system er sum av kreftene lik masse ganger akselerasjon. Akselerasjon er den tidsderiverte av farten, og farten er den tidsderiverte av posisjonen, F = ma, Nyttig å vite fra matematikken: Gitt ei 2 2 matrise A = a 2 a = ẍ = v = dv dt, a, da er A 2 = der parameteren a er reell. Videre har vi at e A cos a a = sin a, e AT = a sin a cos a cos at a sin at v = ẋ = dx dt. (2.2). (2.3) a sin at cos at. (2.4) 3

4 og vi har egenverdier for A lik ±ja, der j =. Egenverdier for e A er cos a ± j sin a og egenverdier for e AT er cos at ± j sin at. Egenverdier for ei (vilkårlig kvadratisk) matrise A er denert som verdier for λ slik at det(λi A) =. Rekkeutvikling av e x, cos x og sin x er e x = n= n! xn = + x + 2! x2 + 3! x3 + 4! x4 + (2.5) cos x = 2! x2 + 4! x4 6! x6 + (2.6) sin x = x 3! x3 + 5! x5 7! x7 + (2.7) Nå vil vi bruke vår kunnskap fra systemidentikasjon til å nne posisjon og fart for loddet til enhver tid så nøyaktig som mulig, men basert på modellen beskrevet foran og vist i gur. Masse for loddet er nå kg som i utgangspunktet. Vi har tilgjengelig måling avstanden fra golvet. Dessverre er det mye usikkerhet her, men måling antas å være forventningsrett, hvit og Gaussisk og med standardavvik 5 cm. Pådraget har en mer nøyaktig informasjon om, men det er også her en usikkerhet (målestøy), v u, som en antar er forventningsrett, hvit og Gaussisk og med standardavvik 5 mm. Tilstandsrommodellen for systemet i gur er ẋ = x 2 (2.8) ẋ 2 = k f m (u + v u x ) (2.9) y = x + w (2.) x er posisjon for loddet, og x 2 er farten for loddet. v u er her er målefeilen (usikkerheten) for pådraget u. Det sanne pådraget er da egentlig u+v u, der u er eksakt den målte verdien. Det ekstra strekket i fjøra er da gitt ved (u+v u x ). Det normale strekket i fjøra, som på grunn av valgte nullpunkt på enhetene angis som, tilsvarer nøyaktig tyngden av loddet. Vi har ei måling y i modellen, det er tilstanden x som måles, og målestøyen her er w. Varians for w er da (.5m) 2 =.25 m 2. På samme måte har vi at varians for v u er da (.5m) 2 =.25 m 2. På matriseform skrives kontinuerlig tilstandsrommodell for systemet som A = k f /m ẋ = Ax + Bu + Cv u (2.) y = Dx + Eu + w (2.2), B = C =, k f /m D =, E =. (2.3) 4

5 2.a (5 poeng) Finn egenverdiene for det kontinuerlige systemet ovenfor. 2.b (3+2=5 poeng) En håndregel for tidssteget ved diskretisering gir en øvre grense for tidssteget. Hva bør T være i henhold til denne håndregelen? Nå skal vi ha samplingsfrekvens på Hz. Hva blir da tidssteget T? 2.c ( = poeng) Nå skal dere diskretisere den kontinuerlige tilstandsrommodellen ovenfor, ved å bruke nullteordens holdeelement og Eulers forovermetode. En diskret tilstandsrommodell kan skrives på følgende form Gi matrisene Φ, Γ, D og E. x(k + ) = Φx + Γu + v (2.4) y = Dx + Eu + w (2.5) 2.d (5 poeng) Merk at v nå betegner støy og ikke fart. I ligning (2.4) har en v = v v 2 T der v er en prosesstøy som virker på x (posisjon), variansen for denne antas å være svært liten, σv 2 = m 2. v 2 er en prosesstøy som virker på x 2 (farten), denne henger sammen med usikerheten i pådraget, v u i (2.9) og (2.). Finn en begrunnet verdi for varianse for v 2, σv e (5 poeng) Finn egenverdiene for det diskrete systemet (Eulers forovermetode) ovenfor. Dette kan være noe vanskelig siden det er en del regning som må gjøres. 2.f ( poeng) Eksakt diskretisering av en kontinuerlig tilstandsrommodell med nullteordens holdeelement og tidssteg T er gitt ved Φ = e AT (AT )2 = I + (AT ) + + 2! T Γ = e Aτ dτ B = (IT + AT 2 2! (AT )3 3! + A2 T 3 3! +... (2.6) ) +... B. (2.7) Finn Φ og Γ matrisene ved eksakt diskretisering. Sammenlign med verdiene med tilsvarende matriser for Eulers forovermetode. 2.g (5 poeng) Finn egenverdiene for det eksakte diskrete systemet ovenfor. 5

6 Pådraget u = sin(t/).5 u Signalet y(k) = a*y(k ) + b*u(k ) + e(k), støyvarians R=. y t eller k (tidssteg T=), N=5 Figur 2: Pådrag og simulert (virkelig) signal for systemet i oppgaven. 3 Kalmanlter og RLS for parameterestimering (Antall poeng for denne oppgaven er =45) I denne oppgaven har en gitt en prosess som i øving 8 med følgende modell y(k) = a y(k ) + b u(k ) + e(k). (3.) Parametrene a og b antas å være ukjente og tidsvarierende, det vil her si at de plutselig kan gå fra et sett verdier til et annet. For å estimere parametrene θ = a, b T har en tilgjengelig et inngangssignal/pådrag u(k) og et utgangssignal/måling y(k). Hvert signal er 5 sampler. Utgangssignalet ble laget (simulering) ut fra et sinussignal på inngangen og med hvit Gaussisk støy e(k) med varians.. Disse signalene viser i gur 2. 6

7 3.a ( poeng) Forklar hvordan en kan sette opp et Kalmanlter (klargjøre eller initialisere det) for å bruke Kalmanlteret for parameterestimering. Få med hva tilstandene i Kalmanlteret er, hva alle de brukte matrisene er (også størrelsene) og hvordan de (kan) initialiseres. Få også med hva tuniningsparametrene er og forklar hvordan de brukes. 3.b ( poeng) Figur 3 viser parameterestimatene når en bruker Kalmanlter for estimering. Her har en satt tuningsmatrisa Q til ei 2 2 diagonalmatrise der hvert av elementene langs hoveddiagonalen har fått verdi.. Skisser i tilsvarende gur hvordan parameterestimatene blir hvis verdiene langs hoveddiagonalen i Q matrisa settes til.? (3 p) Skisser i tilsvarende gur hvordan parameterestimatene blir hvis verdiene langs hoveddiagonalen i Q matrisa settes til? (3 p) Forklar kort hvorfor det blir som det blir. (4 p) 3.c (5 poeng) Figur 4 viser forsterkningsfaktorene når en bruker Kalmanlter for estimering. Forklar kort hvordan de blir for de to tilfellene i spørsmål b, altså med større Q (.), og med mindre Q (). 3.d (5 poeng) Forklar nå hvordan ligningene for steg k = 2, 3,... blir for Kalmanlteret for parameterestimering. De `vanlige' ligningene for Kalmanlter er med på vedlagte formelark, side 9. Skriv gjerne Matlab-kode her. 3.e ( poeng) Forklar forskjeller (og likheter) mellom RLS og Kalmanlter for parameterestimering. Få tydelig med forskjellen mellom tuningsmatrisa Q og glemmefaktoren λ. I begge algoritmene brukes ei P matrise på tilsynelatende samme måte, forklar hvordan de likevel har ulike utgangspunkt (ulike denisjoner). Hvilke fordeler eller ulemper har RLS i forhold til Kalmanlter. Skriv ligningene for RLS tilsvarende lingningene for Kalmanlteret i oppgave d. 3.f (5 poeng) I modellen i ligning 3. antar en hvit (Gaussisk) støy, e(k). Nå skal en anta at en har farget støy, og modellen endres da til y(k) = a y(k ) + b u(k ) + e(k) + c e(k ). (3.2) Forklar kort hvordan Kalmanlteret nå kan endres for å også estimere den nye parameteren c. Kan RLS brukes i dette tilfellet med farget støy? 7

8 Kalman filter initiell Q =., a og a estimert Kalman filter, b og b estimert Figur 3: Parameterestimatene for spørsmål b. De virkelige verdiene er som rette linjer og kunne blitt tegnet med linjal. De estimerte verdiene går mer opp og ned. 2 Kalman filter, K (k) Kalman filter, K 2 (k) Figur 4: Forsterkningsfaktorene for kjøringen med Q =. I 2. 8

9 4 Formler og ligninger Diskretisering z-transferfunksjon for kontinuerlige prosesser med nullteordens sample- og holdeelement på inngangen: h(z) = ( z )Z L { G(s) s } t=kt. (4.) Tranformasjonspar, δ( ) er enhetsimpuls og u( ) er enhetssteg. L { e at} = s a (n )! s n L { δ(t a) } = e as L { u(t a) } = e as (s a) 2 s L{} = s, L{t} = s 2 og generelt L{t n } = L { te at} = Z { δ(k) } = Z { δ(k n) } = z n Z { a k u(k) } = z z a Z { ka k u(k) } = az (z a) 2 Z { k 2 a k u(k) } = az(z + a) (z a) 3 Kalman-lter I vår utledning av Kalman-lteret kom vi fram til følgende ligninger som oppsummerer hovedløkka, det er det som gjøres for hvert tidssteg k. x(k) = Φˆx(k ) + Γu(k ) (4.2) P (k) = Φ ˆP (k )Φ T + Q (4.3) K(k) = P (k)d T (DP (k)d T + R) (4.4) ˆx(k) = x(k) + K(k)y(k) Dx(k) (4.5) ˆP (k) = (I K(k)D) P (k) (4.6) Matriser Ei 2 2 matrise og den inverse er a b A = c d, A = ad bc d b c a. (4.7) Determinanten er: det(a) = ad bc. Egenverdier for ei matrise er verdier λ slik at det(λi A) =. Derivasjon x = x x 2 d d sin x = cos x dx f ( ), f = f 2 ( ) dx gir cos x = sin x (4.8) f f f x = x x 2. (4.9) f 2 x f 2 x 2 9