6 Modellering av smelteovn Modellering Tilstandsromform Diskretisering Observerbarthet Tidssteg...

Transkript

1 Stavanger, 28. mai 2019 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, Innhold 6 Modellering av smelteovn Modellering Tilstandsromform Diskretisering Observerbarthet Tidssteg Modellering av smelteovn. Man skal i denne øvingen modellere en liten smelteovn. Deretter skal modellen diskretiseres. Denne diskrete modellen skal så brukes i øving 7 med en tilstandsestimator basert på et generelt Kalman-filter. Vi skal utvikle en tilstandsestimator for temperaturen i en ovn som består av en smelte, kanskje ei blanding med mye aluminium. Vi antar at smelten er aggressiv mot konvensjonelle temperatursensorer (f.eks. PT100 element), og at disse vil ha redusert levetid under kontinuerlig bruk. Eneste tilgjengelige kontinuerlige måling er kjølevannstemperaturen til ovnen. En prinsippskisse av ovnen er gitt i figur 1. Når det gjelder notasjon må en her være påpasselig med T -ene. En bruker T både for temperaturer og for tidssteg, det skal gå fram av sammenhengen eller forklarende tekst hva som menes med symbolet. For temperatur er T -en oftest med subskript, for tidssteget alltid uten. Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger. Sentralbord Direkte E-post: karl.skretting@uis.no.

2 Q s T i F kv F kv T s m s c p,s h Areal m kv c p,kv hvor: T s - temperatur i smelten [K] (tilstand1/måling1) - Kjølevannstemperatur [K] (tilstand2/måling2) T i - Temperatur på kjølevann inn [K] c p,s - Spesifikk varmekapasitet i smelte [J/K kg] c p,kv - Spesifikk varmekapasitet i kjølevann [J/K kg] h Areal (h A ) - Produktet av varmeoverføringskoeffisient og areal mellom smelte og kjølevann [J/K s] Q s - Effektpådrag i smelten [J/s] F kv - flow av kjølevann [kg/s] m kv - mengde kjølevann i kappen [kg] m s - mengde smelte [kg] Figur 1: Prinsippskisse av smelteovn. 2

3 6.1 Modellering Oppgave: Utvikle energibalansene, dvs. differensialligning for temperaturene i smelten og kjølevannet. Tips: Energiinnholdet i et system i enheten [J] er uttrykt som U = m c p T (1) Energi-innholdet til et stoff som strømmer inn i/ut av et system i enhetene [J/s] er tilsvarende uttrykt som u = F c p T (2) En modell av varmetransport i enhetene [J/s] gjennom en vegg som i eksempelet her er gitt av Q = h Areal (T 1 T 2 ) = h A (T 1 T 2 ) (3) Inkluder i modellen følgende støyledd: v 1 prosess-støy som virker på smeltetemperaturen T s, det vil si legges til T s (merk prikk for tidsderivert). v 2 prosess-støy som virker på kjølevannstemperaturen, det vil si legges til T kv (merk prikk for tidsderivert). w målestøy som virker på måleinstrumentet Disse har E(v 1 ) = E(v 2 ) = E(w) = 0. Videre er en generell energibalanse gitt av: hvor du dt = u inn u ut + Q W (4) u inn er energien som blir transportert inn til systemet av massen som kommer inn, [J/s] u ut er energien som blir transportert ut av systemet av massen som strømmer ut, [J/s] Q er tilført varme, [J/s] W er utført arbeid, her er W = 0 I utviklingen av modell benytt følgende antagelser: 3

4 mengden kjølevann er konstant, dvs. kjølekappen er hele tiden full av vann varmekapasiteten til kjølevann og smelte er konstant (varierer ikke med temperatur) ideell blanding i kjølevann og smelte mengden smelte er konstant ingen tilsats eller uttak av smelte 6.2 Tilstandsromform Sett modellen opp på tilstandsromform (finn matrisene) ẋ = Ax + Bu + Cv y = Dx + w (5) Anta at vi har 2 pådrag, Q s og T i (mao. så har vi f.eks. en varmeveklser foran kjølevannsinntaket til reaktoren som vi kan styre temperaturen inn med). Tips: A matrisen vil bli: A = [ ha m sc p,s h A m kv c p,kv ( h A m sc p,s h A m kv c p,kv ) + F kv m kv ] (6) Følgende data er gitt om prosessen: h = 40 [J/Ksm 2 ] Areal = 10 [m 2 ] h A = h Areal = 400 [J/Ks] c p,s = 890 [J/Kkg] c p,kv = 4186 [J/Kkg], tilsvarer vann Q s = [J/s] = 300 [kw ] T i = ( = 278) [K] T s = ( = 1083) [K] = ( = 350) [K] 4

5 u = [ Qs T i prosesstøy [ ] v1 v = ] v 2 System: x = [ Ts ]. målestøy w y + Figur 2: Skisse av systemet. F kv = 1 [kg/s] m kv = 2000 [kg] m s = 5000 [kg] h er i utgangspunktet en ukjent konstant som må estimeres for å kunne nytte modellen til ren tilstandsestimering. Vi antar at h er konstant over hele det aktuelle arbeidsområdet for prosessen og kan derfor estimeres vhja. en vanlig minste kvadraters metode evt. et augmentert (utvidet) Kalman-filter. Estimeringen vil en lettest kunne realisere ved å variere Q s i tilstrekkelig grad mens man tar opp tidsserier av, T s og Q s. Vi regner nå parameterestimeringen for gjort, og har da funnet h = 40 [J/Ksm 2 ]. Vi antar at denne ikke vil variere med tiden. Systemet viser i figur 2. Oppgave 6.2.a Skriv uttrykkene for de fire matrisene A, B, C og D i ligning 5, og tallverdiene en får når parametrene har verdier som over. Bruk tre tellende desimaler. Oppgave 6.2.b Hva må pådraget Q s være for å holde smeltetemperaturen stabil på 1083 K med konstant kjøling (T i = 278 K, og F kv = 1 [kg/s]). Oppgave 6.2.c Hva er temperaturen på kjølevannet da? 5

6 6.3 Diskretisering Diskretisering i Matlab gjøres ved at dere først uttrykke systemet på tilstandsromform, funksjonen ss (state-space). Merk at input er matrisene i kontinuerlig tilstandsrommodell, se hjelpetekst (dokumentasjon) for ss. Deretter kan tilstandsrommodellen diskretiseres med c2d der dere i tillegg til det kontinuerlige systemet gir inn tidssteget og metode, zoh. Merk at vi ikke trenger (og dermed heller ikke bruker) støymatrisa C i den kontinuerlige tilstandsrommodellen ligning 5 i oppgaven og at direktekoblingsmatrisa, E, er null. Skriv matrisene Φ, Γ for T = 30 sekund, og T = 2 minutt. Støymatrisa Ω trenger en ikke finne for varierende tidssteg T. Den kontinuerlige prosesstøyen vil integreres opp til den diskrete prosesstøyen på et eller annet vis, men en kan gjerne enklere vurdere/estimere (eller gjette) den diskrete støyen enn den kontinuerlige. Merk at større tiddsteg gjerne vil gi større (diskret) prosesstøy fra steg til steg. 6.4 Observerbarthet Er systemet observerbart? 6.5 Tidssteg Hvor stort kan tidssteget være men slik at en likevel ikke regner med at det gir problemer. 6