Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S"

Transkript

1 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S Løsningsforslag Oppgave 1 a. (3p) Her er det enklest å regne i forhold til arbeidspunktet. Ekstra tyngde 1 kg gir ekstra kraft (vekt) G mg 10 N eller kg m/s 2, merk at siden g er i negativ retning får en minustegn. Krafta fra fjøra motvirker ekstra tyngde og har positiv verdi F 10 N, Fjøra strekkes da 40 cm ekstra, det er i negativ retning slik vi har definert det her, x 0.4 m. Fra formel (1) får vi k F/x 10/ b. (2p) Enhet er N/m eller kg/s 2. 1

2 c. (10p) Direkte fra ligningene 8, 9 og 10 får vi: A k 0, B C k, m m D 1 0, E 0. (1) d. (2p) Fra c har vi at A 0 1 a 2 0, der a k/m 5. (2) Det er altså ei matrise på form som gitt i ligning 3 i oppgaven og har egenverdier ±ja, der j 1. Her får vi altså egenverdier ±j k/m ±5j. e. (1p) Vi bør ha T 0.1/ f. (2p) Med samplingsfrekvens 100 Hz blir tidssteget T 1/ g. ( p) Med nullteordens holdeelement og Eulers forovermetode har en x(k + 1) x(k) + T ẋ(k). D og E er som i det kontinuerlige tilfellet. Det gir 1 T Φ I + AT. (3) T k/m Γ BT 0 T k/m , D 1 0, E 0. (4) h. (2p) Med å ta Eulers forovermetode på ligning (9) i oppgaven får vi x 2 (k + 1) T k m x 1(k) + x 2 (k) + T k m u(k) + T k v(k). (5) m Standardavvik for v(k) her er oppgitt til m, med v 2 (k) T k v(k) får m vi da standardavvik for v 2 (k) til σ v2 T k Vi m har da σv m 2. Med matrisa Ω som 2 2 identitetsmatrise har en støyleddet som v1 v1 Ωv Ω. (6) der σ 2 v m 2 og σ 2 v m 2. v 2 v 2 i. (2p) Vi skal her finne egenverdiene λ for matrisa 1 T Φ EF I + AT T k/m (7) 2

3 Subskrift EF står for Eulers forovermetode. Vi har ikke oppgitt løsningen her i oppgaven og må da regne den ut. Fra definisjonen av egenverdier har vi det(λi Φ EF ) 0 (8) ( λ 0 1 T ) det 0 (9) 0 λ T k/m 1 ( λ 1 T ) det 0 (10) T k/m λ 1 (λ 1) 2 + T 2 k/m 0 (11) λ 2 2λ + (1 + T 2 k/m) 0 (12) λ 1 2( 2 ± 4 4(1 + T 2 k/m) ) (13) λ 1 ± T 2 k/m (14) λ 1 ± jt k/m (15) Her har vi k/m 25 og får da egenverdiene λ 1 ± 5T j. j. (4+4p) Eksakt diskretisering gir Φ e AT og A er som i punkt 1c og 1d her i løsningsforslaget, med a k/m 5 som i ligning (2). I oppgaven i ligning (4) er da e AT gitt. Φ e AT cos at a 1 sin at. (16) a sin at cos at med rekkeutvikling har en (merk Φ EF er første ledd for hvert element, til og med T ) Φ e AT 1 1 (at 2 )2 + 1 (at 24 )4 T 1 6 a2 T a4 T 5 a 2 T a4 T a6 T (aT 2 )2 + 1 (at. 24 )4 (17) med tall Φ e AT. (18) Det å finne Γ er kanskje litt vanskeligere. Fra ligning (17) i oppgaven ser en at B + AΓ ΦB altså Γ A 1 (Φ I)B. B er i oppgave 1c funnet til B 0 a 2 T, der a k/m 5. A 1 er gitt i oppgaven og Φ ble nettopp funnet. Vi får 0 a 2 cos at 1 a Γ 1 sin at a sin at cos at 1 a 2. (19) Vi multipliserer sammen de to høgre faktorene først 0 a 2 a sin at 1 cos at Γ 1 0 a 2 (cos at 1) a sin at. (20) 3

4 med rekkeutvikling har en (merk Γ EF er ledd til og med T ) 1 cos at 1 Γ (at 2 )2 1 (at 24 )4 + a sin at a 2 T 1 6 a4 T a6 T 5 + med tall Γ 1 cos at a sin at (21). (22) Fra rekkeutviklingen ser en at differansen mellom Φ e AT og Φ EF I + AT er alle ledd der T er med med grad 2 eller høyere. Dette gjelder også for Γ og Γ EF. k. (2p) Egenverdiene for Φ e AT er gitt i oppgaven som cos at ± j sin at. l. (3p) Et systems stabilitetsegenskaper kan defineres ut fra dets impulsrespons slik Asymptotisk stabilt system, lim k y δ (k) 0. Alle polene i det kontinuerlige systemet ligger i venstre halvplan, negativ reell del. Alle polene i det diskrete systemet ligger strengt innenfor enhetssirkelen. Marginalt stabilt system, 0 lim k y δ (k). En eller flere (ikke multiple) poler i det kontinuerlige systemet ligger på den imaginære akse, de andre i venstre halvplan. En eller flere (ikke multiple) poler i det diskrete systemet ligger på enhetssirkelen, de andre innenfor. Ustabilt system, lim k y δ (k) En eller flere poler i det kontinuerlige systemet ligger i høyre halvplan, positiv reell del. En eller flere poler i det diskrete systemet ligger utenfor enhetssirkelen. m. (2p) Det kontinuerlige systemet satt opp i 1c eller systemet med eksakt diskretisering satt opp i 1j er følgelig marginal stabilt. En impuls på pådraget vil gi vedvarende svingninger på loddet, og de vil ikke dempes. n. (2p) Systemet diskretisert med Eulers forovermetode har egenverdier (det vil si poler) utenfor enhetssirkelen, se svar for 1i, og er følgelig ustabilt. I en modell implementert på denne måten vil en impuls på pådraget gi svingninger som etter hvert vokser til uendelig amplitude. Dette er samme hvor liten T er, (så sant en da ikke får numeriske avrundinger som virker andre veien). o. (3p) Et sant fysisk system er som det kontinuerlige system, bare at en vil ha med en eller annen form for demping også. Dermed vil et fysisk system satt opp som i oppgaven være stabilt. 4

5 Oppgave 2 a. (10 p) Stikkordspreget forklaring, mer detaljert i boka. x(k) og x(k + 1) er tilstandene ved tidssteg k og k + 1. Dimensjon er n 1. u(k) er pådrag ved tidssteg k. Dimensjon er s 1. v(k) er prosesstøy ved tidssteg k. Dimensjon er n 1. y(k) er måling ved tidssteg k. Dimensjon er l 1. w(k) er målestøy ved tidssteg k. Dimensjon er l 1. Φ(k) er transisjonsmatrisen ved tidssteg k. Dimensjon er n n. Γ(k) er pådragsmatrisen ved tidssteg k. Dimensjon er n s. Ω(k) er forstyrrelsesmatrisen ved tidssteg k. Dimensjon er n n. D(k) er målematrisen ved tidssteg k. Dimensjon er l n. E(k) er direktekoplingsmatrisen ved tidssteg k, den er ofte 0. Dimensjon er l s. b. (1 p) Φ(k) og D(k) har blitt Φ og D fordi de ikke er tidsvarierende, eller gjerne mer presist at det ikke betyr noe ved utledingen om det er tidsvarierende. Vi kan da innføre Φ(k) og D(k) igjen når vi har resultatet, det vil si ligningene som kan implementeres. c. (2 p) Γ(k) har blitt satt til null (leddet Γ(k)u(k) er fjernet). Dette kan gjøres fordi en kan dele tilstanden i en deterministisk del, og en stokastisk del, x(k) x d (k) + x s (k). x(k + 1) Φ(k)x(k) + Γ(k)u(k) + Ω(k)v(k), (23) x d (k + 1) + x s (k + 1) Φ(k) ( x d (k) + x s (k) ) + Γ(k)u(k) + Ω(k)v(k).(24) Dermed kan en skrive x d (k + 1) Φ(k)x d (k) + Γ(k)u(k) (25) x s (k + 1) Φ(k)x s (k) + Ω(k)v(k). (26) For utledning av Kalmanfilteret ser en kun på stokastisk del i siste ligning, den deterministiske delen har ingen stokastiske element og trenger ikke estimeres. Den kan bestemmes eksakt. d. (1 p) Ω(k) har blitt satt til identitetmatrisa. Dette kan gjøres ved å anta at de ulike støykomponenter er uavhengige og at hver virker på kun en av tilstandene. Variansen for støy må da ofte justeres. e. (1 p) E(k) har blitt satt til null. Som sagt over har en ofte ikke denne med i systemet i det hele. Og om den er med kan den tas bort her med tilsvarende resonnement som i 2c. f. (4 p) Vi antar at støyen, v(k) og w(k), har forventningsverdi (middelverdi) null Ev(k) 0, Ew(k) 0, (27) 5

6 og at sekvensene v(k) og w(k) er ukorrelerte med hverandre (R vw (τ, k) er en n l matrise) Ev(k + τ)w T (k) R vw (τ, k) 0, (28) og støyen er hvit, det vil si uavhengig av tidligere verdier, Ev(k + τ)v T (k) R v (τ, k) δ(τ)r v (0, k) Q(k) Q, (29) Ew(k + τ)w T (k) R w (τ, k) δ(τ)r w (0, k) R(k) R. (30) Q og R er da autokovariansmatriser for prosesstøy v(k) og målestøy w(k) henholdsvis. g. (1 p) Vi skal også ha at initialtilstanden x(0) skal være en hvit stokastisk variabel med forventningsverdi Ex(0) m 0. h. (2 p) rekursiv: tilstandsestimatet ˆx(k) beregnes ut fra estimatet i forrige tidssteg ˆx(k 1). Også andre verdier ved forrige tidssteg kan brukes, her vil det si ˆP (k). i. (2 p) optimal: Det er det best mulige estimatet som estimeres. Andre metoder vil ikke gi bedre estimat. Betingelse er i tillegg til de nevnt i 2f at støy skal være Gaussisk, det vil si normalfordelt. Med best mener en her forventningsrett og minimum varians, se nedenfor. j. (2 p) lineær: Estimatoren skal være en lineær kombinasjon av (estimat av) forrige tilstand og nye målinger. Altså ˆx(k) K(k) ˆx(k 1) + K(k) y(k) (31) Der K(k) og K(k) er n n og n l matriser der elementene velges fritt slik at estimatet blir optimalt. k. (2 p) forventningsrett: Det vil si at forventningsverdien til estmatet er lik sann verdi av estimatet, selv om vi ikke kjenner sann verdi kan vi likevel lage estimatoren slik at den er forventningsrett. Altså: Eˆx(k) x(k). l. (2 p) og minimum varians. Varians for estimeringsavviket, x(k) x(k) ˆx(k), minimeres. Når det er flere tilstander blir dette at n i1 σ2 i minimeres, og der σi 2 E( x i x i (k)) 2. Oppgave 3 a. (6 p) Ligning k, k {1, 2, 3}, i ligningssytemet for LS-estimatet er y(k) θ + e(k) (32) der θ, vi bruker θ her og ikke Θ siden det kun er en parameter, er den ene parameteren vi estimerer, og e(k) er målefeilen (støy). Altså har en her, for 6

7 alle k, at φ(k) φ T (k) 1. Et ligningssystem med k 3 ligninger er (vi skriver ikke k for enkelhets skyld) y(1) e(1) 1 e(1) Y y(2) θ + e(2) 1 θ + e(2) Φθ + e. (33) y(3) e(3) 1 e(3) Alternativ kan en ha samme system uten e, Y Φθ. b. (4 p) Ved å løse ligningssytemet får en LS-estimatet, løsning er gitt i lingning (23) i oppgaven. Siden Φ T, har vi Φ T og Φ T Φ , (Φ T Φ) 1 1/3, Φ T Y y(1) + y(2) + y(3) 81. Løsningen er ˆθ (Φ T Φ) 1 Φ T Y 1/ Det er altså, ikke overraskende, det samme som gjennomsnittet av målte verdier. c. (2 p) Vi har gitt ˆθ(k 1) 26, P (k 1) 0.05, φ(k) 1, og y(k) 28. med λ 0.98 får vi Fra ligning (24) i oppgaven K(k) Fra ligning (25) i oppgaven ɛ(k) Fra ligning (26) i oppgaven θ(k) Fra ligning (27) i oppgaven P (k) ( ) 0.05/ d. (2 p) Vi har gitt ˆθ(k 1) 26, P (k 1) 0.05, φ(k) 1, og y(k) 28. med λ 0.9 får vi Fra ligning (24) i oppgaven K(k) Fra ligning (25) i oppgaven ɛ(k) Fra ligning (26) i oppgaven θ(k) Fra ligning (27) i oppgaven P (k) ( ) 0.05/ e. (2 p) Vi ser at med den laveste λ så oppdaterer estimatet seg mer mot målingen til for hvert seg. Det er fordi lavere glemmefaktor gjør at en legge noe mindre vekt på de eldre (forrige steg) ligninger enn for den aller siste ligningen. En kan også legge merke til at P (k) K(k), dette er jo siden φ(k) 1 og ved utledning av RLS fant vi P (k)φ(k) K(k) (ligning 26 og 55 i utlending av RLS). f. (2 p) Med φ(k) 1 og når en setter ligning 24 inn i ligning 27 i oppgaven får en P (k) 1 P (k 1) P (k 1) λ som gir P (k) P (k 1) P (k 1). P (k 1)+λ λ P (k 1)+λ λ P (k 1)+λ Ved stasjonærtilstand har en at P (k + 1) P (k) P s altså P s P s som P s+λ gir P s 1 λ. g. (2 p) Stasjonærverdi for K(k) kan finnes ved å sette P s inn i ligning (24) i oppgaven. K s Ps 1 λ 1 λ. P s +λ 1 λ+λ 7

Dato: fredag 14 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen. 1 Diskret tilstandsrommodell 2. 2 Stående pendel 4

Dato: fredag 14 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen. 1 Diskret tilstandsrommodell 2. 2 Stående pendel 4 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: fredag 4 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp)

Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentikasjon ( sp) Dato: onsdag 23 november 2 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: tirsdag 17 desember 2013 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: Fredag 4. desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentifikasjon ( sp) Dato: Mandag 8 desember 28 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte

Detaljer

MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004

MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004 MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004 Oppgave 1 a Energibalanse: Endring i energi = sum av tilført energi - sum av avgitt energi. Her får en da for vannet E t = (m vc pv T v

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: onsdag 24 november 2010 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk. Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk. Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentifikasjon ( sp) Dato: torsdag 6 desember Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: 21 februar 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen Bokmål

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK3, Systemidentikasjon ( sp) Dato: onsdag 23 november 2 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: Mandag 8 desember 2008 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DE EKNISK - NAURVIENSKAPELIGE FAKULE Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Onsdag 4 desember 206 Lengde på eksamen: 4 timer illatte hjelpemidler: Kun standard

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksaen i MIK130, Systeidentifikasjon (10 sp) Dato: Torsdag 17 deseber 2009 Lengde på eksaen: 4 tier Tillatte hjelpeidler:

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Stokastiske system og prosesser 2

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Stokastiske system og prosesser 2 Stavanger, 4. august 016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE60 Systemidentifikasjon, 016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4 Stavanger, 13. august 2013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 2013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 1 En kort oppsummering. 1 2 Adaptiv

Detaljer

Tilstandsestimering Oppgaver

Tilstandsestimering Oppgaver University College of Southeast Norway Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Grunnlag... 3 1.1 Statistikk og Stokastiske systemer... 3 1.2

Detaljer

Kalmanfilter på svingende pendel

Kalmanfilter på svingende pendel Kalmanfilter på svingende pendel Rolf Henriksen og Torbjørn Houge Institutt for teknisk kybernetikk NTNU 2005 Vi skal se på hvordan Kalmanfilteret fungerer på et velkjent eksempel, den svingende pendel

Detaljer

4.1 Diskretisering av masse-fjær-demper-system. K f m. x m u m y = x 1. x m 1 K d. Dette kan skrives på matriseform som i oppgaven med 0 1 A =

4.1 Diskretisering av masse-fjær-demper-system. K f m. x m u m y = x 1. x m 1 K d. Dette kan skrives på matriseform som i oppgaven med 0 1 A = Stavanger, 5. september 08 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE60 Systemidentifikasjon, 08. Innhold 4 Løsningsforslag og kommentarer, noen regneoppgaver. 4. Diskretisering av masse-fjær-demper-system...........

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for ata- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemientikasjon (10 sp) Dato: Manag 15 esember 2014 Lenge på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemiler: Kun

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) Dato: Fredag 15 desember 2017 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. med Kalman-filter og RLS.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. med Kalman-filter og RLS. Stavanger, 9. august 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for elektroteknikk og databehandling Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Mandag 28. november 2005 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. Stavanger, 7. november 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. 1 Adaptiv filtrering 2.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. 1 Adaptiv filtrering 2. Stavanger, 23. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Parameterestimering med LS og RLS 2

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Parameterestimering med LS og RLS 2 Stavanger, 3 november 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016 Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning

Detaljer

2 Utledning av Kalman-filter Forventningsrett estimator Kovariansmatriser Minimum varians estimator... 9

2 Utledning av Kalman-filter Forventningsrett estimator Kovariansmatriser Minimum varians estimator... 9 Stavanger, 3. august 2018 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2018. Innhold 1 Tilstands- og parameterestimering med Kalman-filter 2 1.1 Observerbarhet...........................

Detaljer

SLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren)

SLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren) Høgskolen i Telemark Avdeling for teknologiske fag SLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren) EMNE: EE4209 Modellbasert regulering LÆRERE Kjell - Erik Wolden og Hans - Petter Halvorsen KLASSE(R): 2IA DATO:

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Oppgave 1 Oljeleting a) Siden P(A

Detaljer

Tilstandsestimering Oppgaver

Tilstandsestimering Oppgaver Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks 203,

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Side av 5 fra matriseteori har vi at en symmetrisk matrise alltid er ortogonalt diagonaliserbar. Det vil si at X kan skrives på formen X = M M (6) der

Side av 5 fra matriseteori har vi at en symmetrisk matrise alltid er ortogonalt diagonaliserbar. Det vil si at X kan skrives på formen X = M M (6) der Side av 5 Norges teknisk- naturvitenskapelige universitet Institutt for teknisk kybernetikk SIE38 Stokastiske og adaptive systemer Fasit til ving Oppgave Gitt at den stokastiske vektoren v er normalfordelt

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2018

TMA4240 Statistikk Høst 2018 TMA4240 Statistikk Høst 2018 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 5 Dette er andre av tre innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere pensum

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

Utfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010

Utfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0 Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

6 Modellering av smelteovn Modellering Tilstandsromform Diskretisering Observerbarthet Tidssteg...

6 Modellering av smelteovn Modellering Tilstandsromform Diskretisering Observerbarthet Tidssteg... Stavanger, 28. mai 2019 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2019. Innhold 6 Modellering av smelteovn. 1 6.1 Modellering............................. 1 6.2 Tilstandsromform..........................

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)

EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205) Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren 93064 EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA TMA405 Fredag 5 desember

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold

Detaljer

c;'1 høgskolen i oslo

c;'1 høgskolen i oslo I c;'1 høgskolen i oslo lemne: I I Gruppe(r) Kvbem~ti!

Detaljer

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DE EKNISK - NAURVIENSKAPEIGE FAKUE Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i EE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Fredag 3 mars 207 engde på eksamen: 4 timer illatte hjelpemidler: Kun standard

Detaljer

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden. Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar

Detaljer

Ridge regresjon og lasso notat til STK2120

Ridge regresjon og lasso notat til STK2120 Ridge regresjon og lasso notat til STK2120 Ørulf Borgan februar 2016 I dette notatet vil vi se litt nærmere på noen alternativer til minste kvadraters metode ved lineær regresjon. Metodene er særlig aktuelle

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Sara Martino a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 994 03 330, b 962 09 710 Eksamensdato: 28. november 2018 Eksamenstid

Detaljer

DESIGN AV KALMANFILTER. Oddvar Hallingstad UniK

DESIGN AV KALMANFILTER. Oddvar Hallingstad UniK DESIGN AV KALMANFILTER Oddvar Hallingstad UniK Hva er et Kalmanfilter? Kalmanfilteret er en rekursiv algoritme som ved å prosessere målinger av inngangen og utgangen av et system og ved å utnytte en matematisk

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Tirsdag 5 desember 205 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00

EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal 73593534/41645376 EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF5045 NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF5045 NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Faglig kontakt under eksamen: Syvert P. Nørsett 7 59 5 45 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG SIF545 NUMERISK LØSNING

Detaljer

TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer. Datamaskinøving 2 - Parameterestimering

TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer. Datamaskinøving 2 - Parameterestimering Institutt for teknisk kybernetikk Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 27.10.98 EWR TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer Datamaskinøving 2 - Parameterestimering Tid og sted: -Utdeling av

Detaljer

Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk

Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik

Detaljer

Kapittel 6 Stabilitetsanalyse Oppgave 6.1 Stabilitetsegenskap for transferfunksjoner

Kapittel 6 Stabilitetsanalyse Oppgave 6.1 Stabilitetsegenskap for transferfunksjoner Figur 30: Oppgave 5.2: Frekvensresponsen fra T i til T for regulert system Kapittel 6 Stabilitetsanalyse Oppgave 6. Stabilitetsegenskap for transferfunksjoner Bestem stabilitetsegenskapen for følgende

Detaljer

Fasit for tilleggsoppgaver

Fasit for tilleggsoppgaver Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT0 STATISTISKE METODER VARIGHET: TIMER DATO:. NOVEMBER 00 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV OPPGAVER PÅ 7 SIDER HØGSKOLEN

Detaljer

år i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 alder x i 37 38 39 40 41 42 43 44 45 tid y i 45.54 41.38 42.50 38.80 41.26 37.20 38.19 38.05 37.45 i=1 (x i x) 2 = 60, 9

år i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 alder x i 37 38 39 40 41 42 43 44 45 tid y i 45.54 41.38 42.50 38.80 41.26 37.20 38.19 38.05 37.45 i=1 (x i x) 2 = 60, 9 TMA424 Statistikk Vår 214 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II Oppgave 1 Matlabkoden linearreg.m, tilgjengelig fra emnets hjemmeside, utfører

Detaljer

y(t) t

y(t) t Løsningsforslag til eksamen i TE 559 Signaler og Systemer Høgskolen i Stavanger Trygve Randen, t.randen@ieee.org 3. mai 999 Oppgave a) Et tidsinvariant system er et system hvis egenskaper ikke endres med

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1100 Statistiske metoder og dataanalyse 1 - Løsningsforslag Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Oppgave 1 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f(x) = 2xe

Detaljer

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere

Detaljer

EKSAMEN I TMA4245 Statistikk

EKSAMEN I TMA4245 Statistikk Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Turid Follestad (98 06 68 80/73 59 35 37) Hugo Hammer (45 21 01 84/73 59 77 74) Eirik

Detaljer

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE STA «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Rute.

EKSAMENSOPPGAVE STA «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Rute. Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1001. Dato: Tirsdag 26. september 2017. Klokkeslett: 09 13. Sted: Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler: «Tabeller og formler i statistikk»

Detaljer

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner

Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1 Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30 18.00. Oppgavesettet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet

Detaljer

EKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Håvard Rue 73 59 35 20 Håkon Tjelmeland 73 59 35 20 Bjørn Kåre Hegstad 73 59 35 20

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: August 2014 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2014 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 1. september 2018 Antall sider: 11

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2014 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 1. september 2018 Antall sider: 11 Løsningsforslag Eksamen S, våren 014 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 1. september 018 Antall sider: 11 Finner du matematiske feil, skrivefeil, eller andre typer feil? Dette dokumentet er open-source,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si

Detaljer

Tilstandsestimering Løsninger

Tilstandsestimering Løsninger University College of Southeast Norway Tilstandsestimering Løsninger HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Grunnlag... 3 1.1 Statistikk og Stokastiske systemer... 3 1.2

Detaljer

Eksamen i fag TFY 4305 Ikkelineær dynamikk Onsdag 30. november 2005 Tid: 15.00 19.00

Eksamen i fag TFY 4305 Ikkelineær dynamikk Onsdag 30. november 2005 Tid: 15.00 19.00 Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fsikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Mrheim Telefon: 93653 eller 9 7 51 72 Eksamen i fag TFY 435 Ikkelineær dnamikk Onsdag

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 464 32 506, b 962 09 710 Eksamensdato: 23. mai 2018 Eksamenstid

Detaljer

Eksamensoppgåve i ST0103 Brukarkurs i statistikk

Eksamensoppgåve i ST0103 Brukarkurs i statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST0103 Brukarkurs i statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (frå til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatne

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Oppgave 1 Oppgave 11.5 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 11.21 fra læreboka. Oppgave

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.008. Løsningsforslag til eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. mai 008 kl. 0900-1400 Vi har ligningen der α er

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON30 Statistikk UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 03.06.06 Sensur kunngjøres: 4.06.06 Tid for eksamen: kl. 09:00 :00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper

Detaljer

Tilstandsestimering Løsninger

Tilstandsestimering Løsninger Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Løsninger HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks

Detaljer

OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 6 SIDER MERKNADER: Alle deloppgaver vektlegges likt.

OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 6 SIDER MERKNADER: Alle deloppgaver vektlegges likt. EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) OPPGAVESETTET

Detaljer

Da vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X

Da vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X Me me me me metallic hvit 4.4: Tilnærming til normalfordeling Tilnærming til normalfordeling: binomisk og Poisson kan tilnærmes v.h.a. normalfordeling under bestemte forhold (ved "mange" delforsøk/hendelser)

Detaljer