Kalmanfilter på svingende pendel

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Kalmanfilter på svingende pendel"

Transkript

1 Kalmanfilter på svingende pendel Rolf Henriksen og Torbjørn Houge Institutt for teknisk kybernetikk NTNU 2005 Vi skal se på hvordan Kalmanfilteret fungerer på et velkjent eksempel, den svingende pendel (figur 1.1a). Vi regner med masseløs snor og all masse konsentrert i ett punkt. Det skal vurderes både et kontinuerlig og et diskret Kalmanfilter, og implementeres i MatLab og Simulink. Først ser vi på modellen til systemet, og oppbygningen av filtrene. Deretter ser vi på simuleringsresultater for filtrene med forskjellige forutsetninger. Alle simuleringer benytter seg av det samme inngangssignalet for å få et best mulig sammenligningsgrunnlag. I tillegg til de to dynamiske filtrene vil vi se på hvordan et filter med konstant filterforsterkning virker på resultatet. Innhold 1 Modellering Kontinuerlig Diskretisering Implementering Utvidet kontinuerlig Kalman-filter Utvidet diskret Kalman-filter Simuleringsresultater Kontinuerlig Kalman-filter Diskret Kalman-filter Konstant filterforsterkning 18 Referanser 21

2 1 1 Modellering P l ϕ e n e t ϕ F l F v ϕ mg (a) Svingende pendel (b) Kreftene som virker på kula Figur 1.1: Modellen vi skal se på l : pendelsnoras lengde ϕ : vinkelutslag fra stabil tilstand m : masse k : luftdempings-konstant g : tyngdeakselerasjon P : snordraget F l : demping pga luftmotstand F v : støykrefter (hovedsakelig vind) e n : enhetsvektor - normalt på kulebanen e t : enhetsvektor - tangent til kulebanen Tabell 1.1: Forklaring på parametre Ved å summere opp kraften på kula og bruke ΣF = ma fra Newtons lov som en funksjon av vinkelutslaget og enhetsvektorene fra figur 1.1b, får vi: ΣF = ( mg sin ϕ F v cos ϕ F l ) e t + ( mg cos ϕ F v sin ϕ + P ) e n ΣF = m ( l ϕe t + l ϕ 2 e n ) Vi ser at hvis vi antar at luftmotstanden kan skrives som F l = kl ϕ vet vi alle leddene for tangentialkomponenten av kraften. Siden vi ikke vet snordraget P kan vi ikke bruke normalkomponenten. Vi setter derfor opp ligningene for tangentialkomponenten på tilstandsromform ved å definere vari-

3 2 1 MODELLERING ablene våre x 1 = ϕ, x 2 = ϕ, w = F v : 1.1 Kontinuerlig ẋ 1 = x 2 (1.1) ẋ 2 = g l sin x 1 k m x ml cos x 1w (1.2) ] x1 x = (1.3) x 2 Den kontinuerlige, ulineære modellen blir: ] ẋ1 ẋ = = ẋ 2 = f(x) + E(x)w x 2 g l sin x 1 k m x ml cos x 1w ] (1.4) y = dx 1 + v = d 0 ] x + v (1.5) = Hx + v Vi definerer paremetrene til å være følgende: g = 9.8 l = 2 k = 0.5 m = 5 d = 1 Prosesstøyen (w) har standardavvik 25, og målestøyen (v) har standardavvik 0.5.

4 1.2 Diskretisering Diskretisering Senere skal vi se på dette systemet med et diskret filter. Vi kan fortsatt bruke en kontinuerlig systemmodell, men må lage en diskret tilnærming til modellen som vi kan bruke i filteret. Til diskretiseringen vleger vi å bruke den forbedrede Euler-metoden (en 2.ordens eksplisitt RK-metode), som beskrevet i Egeland and Gravdahl (2002, kapittel ). Skrevet om til vår notasjon blir det seende slik ut (velger å beholde k 1, k 2 i funksjonene, da det er opplagt at disse er forskjellige fra modellparameteren k). x k+1 = x k + t s 2 (k 1 + k 2 ) = f k (x k ) k 1 = f(x k ) k 2 = f(x k + t s k 1 ) Så setter vi inn ligningene for modellen vår, regner ut og får (alle tilstandene regnes som diskrete, altså menes x 1,k selv om det står x 1 ): x k+1 = ( 1 tsk m ( tsk m ( x 1 + t s t2 s k ) 2 ) x 2 + tsg 2l t 2 s ) 2m x 2 t2 s 2l sin x 1 ( tsk m 1) sin x 1 tsg 2l sin (x 1 + t s x 2 ) (1.6) ] + 2ml cos x 1 t s (( 2lm 1 t sk ) m cos x1 + cos (x 1 + t s x 2 ) ) w = f k (x k ) + E k (x k )w (1.7) y k = Hx k + v (1.8)

5 4 2 IMPLEMENTERING 2 Implementering 2.1 Utvidet kontinuerlig Kalman-filter Siden dette er et ulineært system må vi bruke det utvidede Kalman-filteret. Ligningene for utvidet kontinuerlig Kalman-filter er beskrevet i Henriksen (1998, ligning ) og Fossen (2002, tabell 6.1). Her brukes sistnevnte notasjon. Med informasjonen vi har om systemet får vi da ligningene: ˆx = f(ˆx) + K (y Hˆx) (2.1) ] ( ˆx = 2 g l sin ˆx 1 k m ˆx + K y d 0 ] ]) ˆx 1 (2.2) 2 ˆx 2 Ṗ = = T f x T P + P f x T 0 1 g l cos ˆx ml cos ˆx 1 k m + EQE T KRK T (2.3) ] 0 g P + P l cos ˆx ] 1 1 k m (2.4) ] Q 0 1 ml cos ˆx 1 ] KRK T K = PH T R 1 (2.5) Disse ligningene blir lagt inn i MatLab som funksjoner, og deretter inn i Simulink-diagrammer som i figur 2.1: (a) Oversikt over systemet (b) Implementering av filteret Figur 2.1: Implementering av Kalman-filter for et kontinuerlig system I systemet legger vi inn at standardavvikene for støyen er 25 for prosesstøyen og 0.5 for målestøyen. Vi bruker " Band limited white noise" -blokker i Simulink for å generere hvit støy, og så ganger vi med standardavviket for å få det riktig. Disse blokkene må få en samplingstid, da de ikke kan være kontinuerlige, så vi setter begge til 100Hz oppdateringsfrekvens. Ved å stille inn Simulink til å beregne med variabel steglengde blir dette det nærmeste vi kommer et kontinuerlig system. I filterligningene må vi sette inn et estimat av kovariansene, Q og R. Estimatene kommer vi tilbake til senere, men de ideelle kovariansene setter vi til å være kovariansen til støyen i systemet, altså: R 0 = Q 0 = 25 2

6 2.2 Utvidet diskret Kalman-filter Utvidet diskret Kalman-filter La oss så se på tilfellet hvis målingene er diskret, og vi skal bruke en datamaskin for å filtrere signalet (noe vi vanligvis gjør). Kalman-filteret var opprinnelig laget diskret, så vi er interessert i å se på hvordan det fungerer for systemet vårt. Vi må bruke det utvidere filteret, siden systemet er ulineært. For å sette det opp bruker vi det samme systemet som for det kontinuerlige tilfeller, men legger på et 0.-ordens holdeelement på utgangen av målingen. Målingen samples med 10Hz. Fra Henriksen (1998, ligning ) og Fossen (2002, tabell 6.5) får vi ligningene for filteret og prediktoren. Ved å putte inn informasjonen vi har om systemet (linearisert og diskretisert med samplingstid t s ), får vi: Filtrering ˆx k = x k + K k (y k H k x k ) (2.6) = x k + K k ( yk d 0 ] x k ) ˆP k = (I K k H k ) P k (I K k H k ) T + K k RK k (2.7) = ( ]) ( ]) T I K k d 0 Pk I Kk d 0 + Kk RK k K k = P k H T ( k Hk P k H T k + R) 1 ] ( ] ) d ] 1 d = P k d 0 Pk + R 0 0 (2.8) Prediksjon x k+1 = Φ kˆx k P k+1 = Φ k ˆP k Φ T k ml Φ k = f k = x T k 1 t 2 s g ( t 2 s kg 2l cos x ) 1 2ml tsg 2l ] Q 0 1 ml cos x 1 tsg 2l cos (x 1 + t s x 2 ) ] ( 1 tsk k t s t2 s k 2m ( tsk ) 2 ) m t2 s g 2l cos (x 1 + t s x 2 ) ] (2.9) (2.10) (2.11) Disse ligningene blir lagt inn i MatLab som funksjoner, og deretter inn i Simulink-diagrammer som i figur 2.2:

7 6 2 IMPLEMENTERING (a) Oversikt over systemet (b) Implementering av filteret (c) Implementering av prediktoren Figur 2.2: Implementering av Kalman-filter for et diskret system

8 7 3 Simuleringsresultater Alle simuleringene ble gjennomført med de samme kovariansene og initialtilstandene. Først ble det sett på filterets egenskaper med de teoretisk ideelle kovariansmatrisene. Deretter ble det sett på endringer i kovariansen til både støyen og estimatet. Disse verdiene ble simulert: 1 R= R 0 Q= Q 0 P= P 0 2 R= R Q= Q 0 P= P 0 3 R= R Q= Q 0 P= P 0 4 R= R 0 40 Q= Q 0 40 P= P 0 5 R= R 0 Q= Q 0 P= P Tabell 3.1: Kovarianser brukt for simuleringer Figur 3.1: Målesignal For å forenkle beregningen, og siden systemet ikke har noen regulering, kan vi gjøre en gjennomkjøring og logge systemets tidsforløp, og bruke det samme forløpet på alle filtrene. Vi velger å gjøre det, og får tidsforløpet som i figur 3.1. Dette er målesignalet som alle filtrene kommer til å bruke, og vi ser at det har en del støy.

9 8 3 SIMULERINGSRESULTATER 3.1 Kontinuerlig Kalman-filter Ved å simulere systemet beskrevet i kapittel 2.1 får vi resultatene som følger i dette kapittelet. (c) Filterforsterkning (d) Kovarians element (1,1) og (2,2) Figur 3.2: Simuleringsresultater fra 1 i tabell 3.1

10 3.1 Kontinuerlig Kalman-filter 9 (c) Filterforsterkning (d) Kovarians element (1,1) og (2,2) Figur 3.3: Simuleringsresultater fra 2 i tabell 3.1 Vi ser at hvis estimatet av målestøyens kovarians er for lite, vil estimatet følge målingen i alt for stor grad. Estimatoren regner med at målestøyen er neglisjerbar i frohold til prosesstøyen.

11 10 3 SIMULERINGSRESULTATER (c) Filterforsterkning (d) Kovarians element (1,1) og (2,2) Figur 3.4: Simuleringsresultater fra 3 i tabell 3.1 Når kovariansen til målingen er estimert for stor, vil estimatoren nesten ikke legge vekt på målingen, og bruke sin egen prediksjon i mye større grad enn før. Filterforsterkningen blir konstant ganske raskt, og holder seg lav.

12 3.1 Kontinuerlig Kalman-filter 11 (c) Filterforsterkning (d) Kovarians element (1,1) og (2,2) Figur 3.5: Simuleringsresultater fra 4 i tabell 3.1 Når kovariansmatrisene til begge støykildene endres med samme forhold (multiplisert med 40), ser vi at det ikke innvirker på estimatet i stor grad. Det vi derimot ser er at kovariansen til estimatet får vesentlig høyere verdier.

13 12 3 SIMULERINGSRESULTATER (c) Filterforsterkning (d) Kovarians element (1,1) og (2,2) Figur 3.6: Simuleringsresultater fra 5 i tabell 3.1 Når vi antar mindre usikkerhet i begynnelsestilstandene ser vi at estimatoren bruker noe tid på å svinge seg inn, da den trenger litt tid på å " oppdage" at den estimerer feil.

14 3.2 Diskret Kalman-filter Diskret Kalman-filter Ved å simulere systemet beskrevet i kapittel 2.2 får vi resultatene som følger i dette kapittelet. (c) Filterforsterkning (d) Kovarians element (1,1) og (2,2) Figur 3.7: Simuleringsresultater fra 1 i tabell 3.1

15 14 3 SIMULERINGSRESULTATER (c) Filterforsterkning (d) Kovarians element (1,1) og (2,2) Figur 3.8: Simuleringsresultater fra 2 i tabell 3.1

16 3.2 Diskret Kalman-filter 15 (c) Filterforsterkning (d) Kovarians element (1,1) og (2,2) Figur 3.9: Simuleringsresultater fra 3 i tabell 3.1

17 16 3 SIMULERINGSRESULTATER (c) Filterforsterkning (d) Kovarians element (1,1) og (2,2) Figur 3.10: Simuleringsresultater fra 4 i tabell 3.1

18 3.2 Diskret Kalman-filter 17 (c) Filterforsterkning (d) Kovarians element (1,1) og (2,2) Figur 3.11: Simuleringsresultater fra 5 i tabell 3.1 Vi observerer at for alle tilfellene virker det diskrete filteret på samme måte som det kontinuerlige, hvis vi ser bort fra at det naturlig nok får en begrenset oppdateringsfrekvens. I dette eksempelet er det diskretisert med en 2.ordens metode, men det er skjelden nødvendig å bruke en så nøyaktig diskretisering. I de aller fleste tilfeller vil Eulers metode være god nok. En annen måte å bedre nøyaktigheten på er å øke samplingsfrekvensen.

19 18 4 KONSTANT FILTERFORSTERKNING 4 Konstant filterforsterkning For et filter som skal gå som en del av et reguleringssystem, eller et sted der vi ikke har mye regnekraft tilstede, velger vi som regel å bruke et enklere filter, der prediktoren er erstattet med å bruke en konstant filterforsterkning. Denne kan vi regne ut ved å regne ut hva forsterkningen blir etter at systemet har gått en stund og nådd en stasjonær tilstand. Ut i fra ligningene brukt i 2.1 kan vi regne ut forsterkningen når Ṗ = 0. Da får vi verdier for P og K. Vi ender da opp med filterligningene (disse er også beskrevet i Fossen (2002, ligning )): ˆx = f(ˆx) + K (y Hˆx) (4.1) K = P H T R 1 (4.2) Kovariansmatrisen P kan finnes ved å regne ut løsningen på Riccati-ligningen f(x) x T f(x) P + P x=0 x T T x=0 + E(x = 0)QE(x = 0) T P H T R 1 HP = 0 (4.3) Til å regne ut filterforsterkning bruker vi funksjonen lqe i MatLab. Vi får da samtidig regnet ut den stasjonære kovariansmatrisen. Ved å regne ut disse verdiene for tilfellene som er satt opp i tabell 3.1 kan en utvidet tabell settes opp (P 0 er utelatt, siden den ikke benyttes): ] R= R 0 Q= Q 0 K = 1.90 ] R= R Q= Q 0 K = 44.4 ] R= R Q= Q 0 K = 0.01 ] R= R 0 40 Q= Q 0 40 K = 1.90 ] P = ] P = ] P = ] P = Tabell 4.1: Filterforsterkninger og stasjonære kovarianser Det observeres at selv om forholdet mellom støy-kovariansene er det samme i tilfellene 1 og 4, og derfor filterforsterkningen blir den samme, blir kovariansmatrisen P vesentlig høyere. Ved å gange begge støy-kovariansene med 40, vil kovariansen til signalet øke med det samme forholdet.

20 19 Figur 4.1: Simuleringsresultater fra 1 i tabell 4.1 Figur 4.2: Simuleringsresultater fra 2 i tabell 4.1

21 20 4 KONSTANT FILTERFORSTERKNING Figur 4.3: Simuleringsresultater fra 3 i tabell 4.1

22 REFERANSER 21 Figur 4.4: Simuleringsresultater fra 4 i tabell 4.1 I alle 4 tilfellene viser det seg at filteret klarer seg nesten like bra som i det dynamiske tilfellet. Det er kun i starten av simuleringen at det har litt problemer med å følge signalet, og det tar litt lengre tid før det følger skikkelig. Dette er forståelig, siden det for det dynamiske filteret tar litt tid før forsterkningen blir tilnærmet stasjonær. Det vises også klart at de forskjellige gjettingene på støyens kovarians får det samme effekt her som med det dynamiske filteret. Referanser Olav Egeland and Jan Tommy Gravdahl. Modeling and Simulation for Automatic Control. Marine Cybernetics, Thor I. Fossen. Marine Control Systems. Marine Cybernetics, 1st edition, Rolf Henriksen. Stokastiske systemer, august 1998.

Dato: fredag 14 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen. 1 Diskret tilstandsrommodell 2. 2 Stående pendel 4

Dato: fredag 14 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen. 1 Diskret tilstandsrommodell 2. 2 Stående pendel 4 DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: fredag 4 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: Fredag 4. desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: 21 februar 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen Bokmål

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: Mandag 8 desember 2008 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk. Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk. Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentifikasjon ( sp) Dato: torsdag 6 desember Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte

Detaljer

Tilstandsestimering Oppgaver

Tilstandsestimering Oppgaver Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks 203,

Detaljer

DESIGN AV KALMANFILTER. Oddvar Hallingstad UniK

DESIGN AV KALMANFILTER. Oddvar Hallingstad UniK DESIGN AV KALMANFILTER Oddvar Hallingstad UniK Hva er et Kalmanfilter? Kalmanfilteret er en rekursiv algoritme som ved å prosessere målinger av inngangen og utgangen av et system og ved å utnytte en matematisk

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK3, Systemidentikasjon ( sp) Dato: onsdag 23 november 2 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun

Detaljer

Tilstandsestimering Oppgaver

Tilstandsestimering Oppgaver University College of Southeast Norway Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Grunnlag... 3 1.1 Statistikk og Stokastiske systemer... 3 1.2

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentifikasjon ( sp) Dato: Mandag 8 desember 28 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte

Detaljer

MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004

MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004 MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004 Oppgave 1 a Energibalanse: Endring i energi = sum av tilført energi - sum av avgitt energi. Her får en da for vannet E t = (m vc pv T v

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. med Kalman-filter og RLS.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. med Kalman-filter og RLS. Stavanger, 9. august 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp)

Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentikasjon ( sp) Dato: onsdag 23 november 2 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: tirsdag 17 desember 2013 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: onsdag 24 november 2010 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

7 Tilstandsestimering for smelteovn.

7 Tilstandsestimering for smelteovn. Stavanger, 9. august 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Detaljer

SLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren)

SLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren) Høgskolen i Telemark Avdeling for teknologiske fag SLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren) EMNE: EE4209 Modellbasert regulering LÆRERE Kjell - Erik Wolden og Hans - Petter Halvorsen KLASSE(R): 2IA DATO:

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksaen i MIK130, Systeidentifikasjon (10 sp) Dato: Torsdag 17 deseber 2009 Lengde på eksaen: 4 tier Tillatte hjelpeidler:

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for ata- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemientikasjon (10 sp) Dato: Manag 15 esember 2014 Lenge på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemiler: Kun

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Stokastiske system og prosesser 2

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Stokastiske system og prosesser 2 Stavanger, 4. august 016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE60 Systemidentifikasjon, 016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Detaljer

c;'1 høgskolen i oslo

c;'1 høgskolen i oslo I c;'1 høgskolen i oslo lemne: I I Gruppe(r) Kvbem~ti!

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Kalmanfilter HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24

Kalmanfilter HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Faculty of Technology, Postboks 203, Kjølnes ring 56, N-3901 Porsgrunn,

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4 Stavanger, 13. august 2013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 2013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 1 En kort oppsummering. 1 2 Adaptiv

Detaljer

Tilstandsestimering Løsninger

Tilstandsestimering Løsninger Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Løsninger HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks

Detaljer

Artikkelserien Reguleringsteknikk

Artikkelserien Reguleringsteknikk Finn Haugen (finn@techteach.no) 18. november, 2008 Artikkelserien Reguleringsteknikk Dette er artikkel nr. 7 i artikkelserien Reguleringsteknikk: Artikkel 1: Reguleringsteknikkens betydning og grunnprinsipp.

Detaljer

Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving?

Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving? Gjør dette hjemme 6 #8 Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving? Skrevet av: Kristian Sørnes Dette eksperimentet ser på hvordan man finner en matematisk formel fra et eksperiment,

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. Stavanger, 7. november 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Detaljer

DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE. Forfatter: Atle Gjengedal (signatur forfatter)

DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE. Forfatter: Atle Gjengedal (signatur forfatter) DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE Studieprogram/spesialisering: Kybernetikk/signalbehandling Vårsemesteret, 2009 Åpen / Konfidensiell Forfatter: Atle Gjengedal (signatur forfatter)

Detaljer

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon

Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for elektroteknikk og databehandling Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Mandag 28. november 2005 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

1 Tidsdiskret PID-regulering

1 Tidsdiskret PID-regulering Finn Haugen (finn@techteach.no), TechTeach (techteach.no) 16.2.02 1 Tidsdiskret PID-regulering 1.1 Innledning Dette notatet gir en kortfattet beskrivelse av analyse av tidsdiskrete PID-reguleringssystemer.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Tirsdag 5 desember 205 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100

Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 2014 (oppdatert April 2016) 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor

Detaljer

Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24. Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics

Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24. Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Faculty of Technology, Postboks 203, Kjølnes ring 56,

Detaljer

Båtsimulering med diskret Kalmanfilter TTK4115 Lineær systemteori

Båtsimulering med diskret Kalmanfilter TTK4115 Lineær systemteori NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for teknisk kybernetikk Båtsimulering med diskret Kalmanfilter TTK4115 Lineær

Detaljer

Tilstandsestimering Løsninger

Tilstandsestimering Løsninger University College of Southeast Norway Tilstandsestimering Løsninger HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Grunnlag... 3 1.1 Statistikk og Stokastiske systemer... 3 1.2

Detaljer

Modellering og regulering av sirkulært opphengt invertert multipendel

Modellering og regulering av sirkulært opphengt invertert multipendel Modellering og regulering av sirkulært opphengt invertert multipendel Øyvind Bjørnson-Langen Master i teknisk kybernetikk Oppgaven levert: Desember 2007 Hovedveileder: Amund Skavhaug, ITK Norges teknisk-naturvitenskapelige

Detaljer

Simulering i MATLAB og SIMULINK

Simulering i MATLAB og SIMULINK Simulering i MATLAB og SIMULINK Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 13. november 2004 1 2 TechTeach Innhold 1 Simulering av differensiallikningsmodeller 7 1.1 Innledning...

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt. MEMSgyromatriser. Masteroppgave. Tomas Sandmo

UNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt. MEMSgyromatriser. Masteroppgave. Tomas Sandmo UNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt MEMSgyromatriser Masteroppgave Tomas Sandmo 30. mai 2011 Forord Denne rapporten representerer den siste delen av det to-årige masterstudiet i Elektronikk og datateknologi

Detaljer

Litt generelt om systemidentifikasjon.

Litt generelt om systemidentifikasjon. Stavanger, 29. juni 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.

Detaljer

University College of Southeast Norway. Kalmanfilter HANS-PETTER HALVORSEN,

University College of Southeast Norway. Kalmanfilter HANS-PETTER HALVORSEN, University College of Southeast Norway HANS-PETTER HALVORSEN, 2016.11.01 http://home.hit.no/~hansha Forord Dette dokumentet tar for seg grunnleggende modellbasert regulering over temaet. Noen forenklinger

Detaljer

University College of Southeast Norway. Observer HANS-PETTER HALVORSEN.

University College of Southeast Norway. Observer HANS-PETTER HALVORSEN. University College of Southeast Norway HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Forord Dette dokumentet tar for seg modellbasert regulering over temaet s og tilstandsestimering. Noen forenklinger

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 29. mars 2007 Tid for eksamen: 09.00 2.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: INF 3470 / INF 4470 Digital Signalbehandling

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a

Detaljer

Lineær analyse i SIMULINK

Lineær analyse i SIMULINK Lineær analyse i SIMULINK Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 20.12 2002 1 2 Lineær analyse i SIMULINK Innhold 1 Innledning 7 2 Kommandobasert linearisering av modeller 9

Detaljer

Computer Problem 1 TTK 4190 NavFart

Computer Problem 1 TTK 4190 NavFart Computer Problem 1 TTK 419 NavFart Frode Efteland efteland@stud.ntnu.no 3 mars 24 Innhold 1 Oppgave 1 - DSRV 4 1.1 a)forwardspeedmodell... 5 1.1.1 Simulinkmodell... 6 1.1.2 Matlabplott... 7 1.1.3 Resultat...

Detaljer

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. 1 Adaptiv filtrering 2.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. 1 Adaptiv filtrering 2. Stavanger, 23. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold

Detaljer

Simuleringsalgoritmer

Simuleringsalgoritmer Simuleringsalgoritmer Finn Aakre Haugen, dosent Høgskolen i Telemark 14. september 2015 1 Innledning 1.1 Hva er simulering? Simulering av et system er beregning av tidsresponser vha. en matematisk modell

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DE EKNISK - NAURVIENSKAPEIGE FAKUE Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i EE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Fredag 3 mars 207 engde på eksamen: 4 timer illatte hjelpemidler: Kun standard

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Løsningsforslag Dataøving 2

Løsningsforslag Dataøving 2 TTK45 Reguleringsteknikk, Vår 6 Løsningsforslag Dataøving Oppgave a) Modellen er gitt ved: Setter de deriverte lik : ẋ = a x c x x () ẋ = a x + c x x x (a c x ) = () x ( a + c x ) = Det gir oss likevektspunktene

Detaljer

Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk

Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk Tidligere dette semesteret er det gjennomført et såkalt Tracker-eksperiment i fysikk ved UiA. Her sammenlignes data fra et kast-eksperiment med data fra en tilhørende

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20). Econ 130 HG mars 017 Supplement til forelesningen 7. februar Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.0). Regel 5.19 sier at summer, Y X1 X X

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: mai 2002 IN 155 Digital Signalbehandling Tid for eksamen: 6. mai 9.00 21. mai 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8

Detaljer

Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1.

Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1. FYS2130 Våren 2008 Noen presiseringer mhp Diskret Fourier Transform. Relevant for oblig 1. Vi har på forelesning gått gjennom foldingsfenomenet ved diskret Fourier transform, men ikke vært pinlig nøyaktige

Detaljer

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4 3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Oppgave 1 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f(x) = 2xe

Detaljer

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av

Detaljer

Dokking av AUV ved bruk av feiltilstandskalmanfilter

Dokking av AUV ved bruk av feiltilstandskalmanfilter Dokking av AUV ved bruk av feiltilstandskalmanfilter Kristine Elisabeth Aas Herje Master i kybernetikk og robotikk Innlevert: juni 217 Hovedveileder: Edmund Førland Brekke, ITK Medveileder: Are B. Willumsen,

Detaljer

Systemidentifikasjon Oppgaver

Systemidentifikasjon Oppgaver University College of Southeast Norway Systemidentifikasjon Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Innledning... 3 2 Minste kvadraters metode... 4 3 Validering...

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF3440/4440 Signalbehandling Eksamensdag: 11. desember 006 Tid for eksamen: 15.30 18.30 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE. Forfatter: Duy Viet Nguyen (signatur forfatter)

DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE. Forfatter: Duy Viet Nguyen (signatur forfatter) DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE Studieprogram/spesialisering: Automatisering og signalbehandling Vårsemesteret, 2017 Åpen / Konfidensiell Forfatter: Duy Viet Nguyen (signatur forfatter)

Detaljer

Radar målfølging. Jan Sigurd Karlsen. Master i teknisk kybernetikk. Biveileder(e): Øivind Ødeskaug, Kongsberg Defence and Aerospace AS

Radar målfølging. Jan Sigurd Karlsen. Master i teknisk kybernetikk. Biveileder(e): Øivind Ødeskaug, Kongsberg Defence and Aerospace AS Radar målfølging Jan Sigurd Karlsen Master i teknisk kybernetikk Oppgaven levert: Juni 2008 Hovedveileder: Tor Engebret Onshus, ITK Biveileder(e): Øivind Ødeskaug, Kongsberg Defence and Aerospace AS Norges

Detaljer

Systemidentifikasjon Oppgaver

Systemidentifikasjon Oppgaver Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Systemidentifikasjon Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.03.16 Faculty of Technology, Postboks

Detaljer

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være

Detaljer

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får

Detaljer

Punktestimator. STK Bootstrapping og simulering - Kap 7 og eget notat. Bootstrapping - eksempel Hovedide: Siden λ er ukjent, bruk ˆλ:

Punktestimator. STK Bootstrapping og simulering - Kap 7 og eget notat. Bootstrapping - eksempel Hovedide: Siden λ er ukjent, bruk ˆλ: Punktestimator STK00 - Bootstrapping og simulering - Kap 7 og eget notat Geir Storvik 8. april 206 Trekke ut informasjon om parametre fra data x,..., x n Parameter av interesse: θ Punktestimator: Observator,

Detaljer

Pålitelighet og ytelse i informasjons- og kommunikasjonssystem

Pålitelighet og ytelse i informasjons- og kommunikasjonssystem Pålitelighet og ytelse i informasjons- og kommunikasjonssystem Grunnlag Peder J. Emstad Poul E. Heegaard Bjarne E. Helvik Komplett utgave pr. 1999-11-25 Institutt for telematikk NTNU Innhold Forord...

Detaljer

Del 1: Leksjon Det anbefales å kjøre igjennom denne før dere begynner med oppgaven.

Del 1: Leksjon Det anbefales å kjøre igjennom denne før dere begynner med oppgaven. SO526E Multivariable Reguleringssystemer Øving 5 HiST-AFT aug 29 Pål Gisvold Innlevering: se framdriftsplan Tema: Matlab Identification Toolbox Del 1: Leksjon Det anbefales å kjøre igjennom denne før dere

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

Repetisjon: LTI-systemer

Repetisjon: LTI-systemer Forelesning, 11. mars 4 Tilhørende pensum er 6.1-6.4 i læreboken. repetisjon av FIR-filtre frekvensresponsen til et FIR-filter beregne utgangen fra FIR-filtret ved hjelp av frekvensresponsen steady-state

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE Njål Gulbrandsen / Ole Meyer /

EKSAMENSOPPGAVE Njål Gulbrandsen / Ole Meyer / Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: 21.2.2017 Klokkeslett: 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Fire A4-sider (to dobbeltsidige

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt. Modellering av MEMStreghetssensorer. et navigasjonssystem. Masteroppgave. Christian Horn

UNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt. Modellering av MEMStreghetssensorer. et navigasjonssystem. Masteroppgave. Christian Horn UNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt Modellering av MEMStreghetssensorer i et navigasjonssystem Masteroppgave Christian Horn 26. mai 2015 Modellering av MEMS-treghetssensorer i et navigasjonssystem Christian

Detaljer

9 + 4 (kan bli endringer)

9 + 4 (kan bli endringer) Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 29. april 25 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) 2x 3 4/x dx b) c) 2 5

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: mars 017 Tid for eksamen: 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Eksamensdato Fag Dato: 11.12.14 \\hjem.hist.no\pgis\mine dokumenter\backup\fag\reguleringsteknikk\2014\eksamen\lx2014des_korrigert.wpd HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVD. FOR INGENIØR OG NÆRINGSMIDDELFAG INSTITUTT

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 29. november 1993. Tid for eksamen: 09.00 15.00. Oppgavesettet

Detaljer

TMA Matlab Oppgavesett 2

TMA Matlab Oppgavesett 2 TMA4123 - Matlab Oppgavesett 2 18.02.2013 1 Fast Fourier Transform En matematisk observasjon er at data er tall, og ofte opptrer med en implisitt rekkefølge, enten i rom eller tid. Da er det naturlig å

Detaljer

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen

Detaljer

Stabilitetsanalyse i MATLAB og LabVIEW

Stabilitetsanalyse i MATLAB og LabVIEW Stabilitetsanalyse i MATLAB og LabVIEW Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 21.12 2002 1 2 TechTeach Innhold 1 Stabilitetsanalyse i MATLAB og LabVIEW 7 1.1 MATLAB... 7 1.1.1

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 9 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].

(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2017) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)

Detaljer

Fysikkmotorer. Andreas Nakkerud. 9. mars Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk

Fysikkmotorer. Andreas Nakkerud. 9. mars Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk 9. mars 2012 Vektorer: posisjon og hastighet Posisjon og hastighet er gitt ved ( ) x r = y Ved konstant hastighet har vi som gir likningene v= r = r 0 + v t x =

Detaljer

3UDNWLVN DQYHQGHOVH DY ')7

3UDNWLVN DQYHQGHOVH DY ')7 TE6146 ignalbehandling 3UDNWLVN DQYHQGHOVH DY ')7,QWURGXNVMRQ Kjenner DFT og FFT for effektiv numerisk beregning av DFT. Finnes ferdige funksjoner for FFT- algoritmer implementert i C/C og andre programmeringsspråk.

Detaljer

TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer. Datamaskinøving 1 - Tilstandsestimering

TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer. Datamaskinøving 1 - Tilstandsestimering Institutt for tenis yberneti Norges tenis-naturvitensapelige universitet 28.09.98 EWR TTK4180 Stoastise og adaptive systemer Datamasinøving 1 - Tilstandsestimering Tid og sted: -Utdeling av oppgave: 3.

Detaljer

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)

Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp) DE EKNISK - NAURVIENSKAPELIGE FAKULE Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentikasjon (0 sp) Dato: Onsdag 4 desember 206 Lengde på eksamen: 4 timer illatte hjelpemidler: Kun standard

Detaljer

Forkunnskapskrav. Hva handler kurset om. Kontaktinformasjon. Kurset er beregnet på en student som kan

Forkunnskapskrav. Hva handler kurset om. Kontaktinformasjon. Kurset er beregnet på en student som kan Velkommen til INF4, Digital signalbehandling Hilde Skjevling (Kursansvarlig) Svein Bøe (Java) INSTITUTT FOR INFORMATIKK Kontaktinformasjon E-post: hildesk@ifi.uio.no Telefon: 85 4 4 Kontor: 4 i 4.etasje,

Detaljer

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning.

Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Stavanger, 6. august 013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 5.1 Implementering av IIR filter....................

Detaljer