DESIGN AV KALMANFILTER. Oddvar Hallingstad UniK
|
|
- Karina Lorentzen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DESIGN AV KALMANFILTER Oddvar Hallingstad UniK Hva er et Kalmanfilter? Kalmanfilteret er en rekursiv algoritme som ved å prosessere målinger av inngangen og utgangen av et system og ved å utnytte en matematisk modell av systemet beregner et estimat av systemets tilstand. Det kan vises at under gitte betingelser er Kalmanfilteret en optimal estimator. Hva er Kalmanfilterets styrke? Kalmanfilterets styrke er at det kan veie sammen målinger fra sensorer med forskjellig nøyaktighet og tatt ved ulike tidspunkter. Algoritmen er rekursiv og egner seg godt for implementering på datamaskin. Hva er Kalmanfilterets svakhet? Kalmanfilterets svakhet er at det forutsetter at det fysiske systemet lar seg modellere eksakt med endeligdimensjonale ordinære differensiallikninger, at støyen er hvit og at vi kjenner støyens 1. og 2. ordens moment. Page 1
2 Foredragets innhold Notasjon og nomenklatur Kalmanfilter for lineære systemer Kalmanfilter brukt ved glatting Kalmanfilter for ulineære systemer Suboptimale Kalmanfilter Numeriske metoder Design av Kalmanfilter for kritiske systemer Spiller notasjonen noen rolle? Eksempel hentet fra Schweppes Uncertain dynamic systems x!!n " 1 N " 1" #!!N"x!!N N" " K!N " 1" $ #z!n " 1"! H!N " 1"!!N"x!!N N"$ K!N " 1" #%!N " 1 N"H &!N " 1"%H!N " 1"%!N " 1 N"H &!N " 1" " R!N " 1"&!1 Ekvivalente likninger skrevet med en annen notasjon: x' k"1 #! k x! k x! k # x' k " K k! z k! H k x' k " K k # P' kh T k!h kp' kh T k " R k"!1 Page 2
3 Nomenklatur Filtermodell (S * ) Filtermodellens anslag av system- og støymatrisene isystemet w u Prosess (o.d.l.) x Sensor (a.l) z Kalmanfilter x! x' (Fysisk) System (S) x u w Tilstand Pådrag Prosesstøy z Måling x! Estimert tilstand x' Prediktert tilstand Estimeringstyper x!!t 1 t 2" x!!t 2" x'!t 3" t 1 t 2 t 3 tiden Måleintervallet x!!t 1 t 2" Glatta tilstand x!!t 2" Filtrert tilstand x'!t 3" Prediktert tilstand Page 3
4 Filtermodellen for et kontinuerlig-diskret KF x( # F x " L u " Gw z k # H x k " v k Prosesslikning : alle matriser og pådraget antas kjente Målelikning : målematrisa antas kjent " N x! 0, P! 0 w!t" " N! 0,Q!!t! """ v k " N! 0,R d ", w!t" og v k er ukorrelerte }Middelverdier, spektraltetthesmatrisen og målekovariansmatrisa antas kjente Disse matrisene er vesensforskjellige Hvitstøy Kontinuerlig hvitstøy er ikke fysisk fordi den har uendelig effekt. Den kan likevel brukes til å modellere fysisk støy fordi en kan lage et filter som har hvitstøy på inngangen og som gir det riktige effektspekteret ut Q w!t" Filter y!t" I alle utledninger hvor kontinuerlig hvitstøy er involvert inngår blir den integrert opp. Page 4
5 Optimalitet av Kalmanfilteret Kalmanfilteret kan utledes under flere forskjellige antagelser, bl a: Dersom vi bare kjenner middelverdier og kovarianser til støyprosessene kan det vises at Kalmanfilterlikningene er et minimum variansestimat. Dvs det minimalisere. trace%p! & Dersom støyprosessene er normalfordelte kan det vises at Kalmanfilteret minimaliserer den midlere kvadratiske feilen, dvs den minimaliserer E%! x! x! " T! x! x! " z & Dersom systemet er lineært, men støyprosessene ikke er normalfordelt og vi kjenner sannsynlighetsfordelingene er Kalmanfilteret vanligvis ikke optimalt. Kalmanfilteret for et kontinuerlig-diskret system For den kontinuerlig-diskrete filtermodellen vi viste foran får vi Kalmanfilteret:. x' # F x' " L u, x! k er gitt. P' # FP' " P' F T " GQG T, P! k er gitt Tidsoppdatering x! k # x' k " K k! z k! H k x' k " K k # P' k H T k!h k P' k H kt " R k"!1 Måleoppdatering P! k #!I! K k H k"p' k Page 5
6 Farget og/eller korrelert måleog prosesstøy Forutsetningene til Kalmanfilteret er da ikke oppfyllt, men en kan få den over på standardformen igjen : 1. Farget prosesstøy: utvid tilstandvektoren 2. Korrelasjon mellom prosess- og målestøy: Kan dekorreleres. I det kontinuerlige tilfellet blir forsterkningen: K # %PH T " GC&R!1 hvor E%w!t" v T!""& # C!t"!!t! "" 3. Dersom en har farget målestøy kan en i visse tilfeller utvide tilstandsvektoren, men generelt kan en lage seg en ny måling hvor en må bruke 2 for å få likningene over på standardform. Antagelsene til Kalmanfilteret er derfor ikke så restriktive som de kan se ut når det gjelder støyantagelsene Stokastisk ekvivalens Gitt de diskrete og kontinuerlige stokastiske prosessene: x k"1 #! k x k ") k u k "* k w k " N! x' 0,P' 0"; w k " N! 0,Q d! kl"; og w k er ukorrelerte x( # F x " L u " Gw " N! x' 0,P' 0"; w!t" " N! 0,Q!!t! """; og w er ukorrelerte Dersom vi krever at middelverdiene og kovariansene utvikler seg likt for de to systemene, dvs at x' k # x'!t k" og P' k # P'!t k " får vi sammenhengene:! #!!t k"1, t k " t ) u k # # tk!!t, ""L u!""d" Får ofte forskjellig dimensjon *Q d* T t # # k"1 tk!!tk"1, ""GQG T! T!t k"1, ""d" Page 6
7 Simulering av kontinuerlig stokastisk system 1. Beregn!!T", )!T" 2. Cholesky-faktoriser P 0 : P 0 # C T 0 C 0 Trekk n standardnormalfordelte tall #,finnså fra : # x! 0 " C T 0 # 3. Cholesky-faktoriser S #*Q d * T : S # C T C; sett *#C T og Q d # I 4. Trekk n standardnormalfordelte tall $ og sett w k # $, beregn så x k"1 #! x k ")u k "*w k Gjenta dette trinnet for k # 0, 1,2, + Det er ikke enkelt å bruke en integrasjonsrutine på et kontinuerlig stokastisk system! Algebraisk ekvivalens Kalmanfilteret har mange algebraisk ekvivalente former for Kalmanfilter likningene 1 x! # x' " K! z! H x' " K # P' H T!HP' H T " R "!1 P! #!I! KH"P' 3 x! # x' " K! z! H x' " P! #!P'!1 " H T R!1 H"!1 K # P! H T R!1 2 x! # x' " K! z! H x' " K # P' H T!HP' H T " R "!1 4 x! # P! P'!1 x' " P! H T R!1 z P! #!P'!1 " H T R!1 H"!1 P! #!I! KH"P'!I! KH" T " KRK T I tillegg har vi formler for informasjonsfilteret, og desentraliserte Kalmanfilter Ŷ # P!!1,!1 Y' # P' Informasjonsmatrisa ŷ # Ŷx!, y' # Y' x' Informasjonstilstanden Page 7
8 Blokkskjema for lineært Kalmanfilter Blokkskjemaet for Kalmanfilteret sammen med systemet det er koblet til: v k w u Prosess x!t" x k H z k - K k System KF prosess x'!t" x' k H x! k Blokkskjema for linearisert Kalmanfilter x( # f! x, u " " Gw Filtermodell! x( # F!t"! x " Gw! z k # H k! x " v k v k w x!t" x z u Prosess k k h!' " -! x! k Kalmanfilter! x'!t" KF prosess x,!t" x, k h!' " x, 0 x! k x'!t" ' x, # f! x,, u " Page 8
9 Blokkskjema for utvidet Kalmanfilter Blokkskjemaet for Kalmanfilteret med systemet det er koblet til: Filtermodell! x( # F!t"! x " Gw x( # f! x, u " " Gw! z k # H k! x " v k v k w u Prosess x!t" x k h!' " z k - K k! x! k KF prosess x'!t" x' k h!' " x! k ' x' # f! x', u " Suboptimale Kalmanfilter Vi klarer skjelden å modellere prosessen, sensoren og støyene eksakt i et Kalmanfilter. Ofte velger vi bevisst en lavereordens modell for Kalmanfilteret fordi dette kan gi et mer robust filter overfor parametervariasjoner. Det vil for et subotimalt Kalmanfilter være 3 interessante kovariansmatriser: P o P $ P s : Kovariansen til det optimale systemet, dvs dersom S*=S : Kovariansen Kalmanfilteret beregner : Den sanne kovariansen til estimeringsfeilen For disse kovariansene har vi sammenhengene: mens den kovariansen Kalmanfilteret beregner ikke trenger å ha noen sammenheng med den sanne kovariansen : P o % P s P $ & P s Page 9
10 For å undersøke hvordan det suboptimale KF oppfører seg undersøkes statistikken til ê k Dette kan gjøres vha kovarians- eller Monte Carlosimulering i det lineære og vha Monte Carlo-simulering i det ulineære tilfellet v k x! 0 $ w x z k Prosess Sensor Kalmanfilter x! k $ - ê k N Kovariansanalyse Dersom systemet foran er lineært kan vi finne sanne middelverdier og sann kovarians for estimeringsfeilen ê k vha kovarianslikningene. Disse likningene har dimensjon n+n* i det generelle tilfellet. De har samme struktur som de vanlige Kalmanfilterlikningene Monte Carlo simulering Dersom systemet er ulineært må vi gjøre en Monte Carlo simulering for å beregne et anslag av: E# ê k $ og Kov# ê k $ Vi implementer system og Kalmanfilterlikningene på datamaskin, trekker, w k og v k fra de gitte fordelingene og beregner ê k for k # 0, 1, +,M Ved å foreta nye trekninger kan vi generere et sett trajektorer: ê k i, k # 0,1, +,M, i # 1, 2,+, N Page 10
11 Dette gir oss en rekke trajektorer: ê ê 2 ê 1 ê N t k Dersom vi lagrer unna trajektorene kan vi beregne estimatene m! N k # 1 N N ' i#1 ê k i P! k N 1 # ' N N!1 i#1 ê k i! m k N ê k i! m k N T Numeriske metoder Algebraisk ekvivalens sikrer ikke numerisk ekvivalens fordi flyttall har en endelig oppløsning. a "!! a #! a"! " a Tilsvarende skjer ved måleoppdateringen i Kalmanfilteret. Dersom vi får inn en svært god måling vil kovariansen bli kraftig redusert ved at de to ledda på høyre siden er nesten like store: P! k # P' k! P' kh T!HP' kh T " R "!1 HP' k Ved å bruke UD-faktorisering eller en annen kvadratrotalgoritme forbedres de numeriske egenskapene radikalt Page 11
12 Andre numeriske problem forbundet med Kalmanfilteret Beregning av matrise eksponentialfunksjonen Diskretisering av målingen med approksimasjonen Gir ofte dårligere resultat enn tilsvarende Forsøk på bruk av en Runge Kutta metode på den stokastiske differensiallikningen ' x # F x " L u " Gw e F'-t R d # Q d # 1 R -t 1 Q -t Design av Kalmanfilter for kritiske system 1. Sett opp spesifikasjonene for systemet (krav til nøyaktighet) 2. Velg prosessmodell og modeller aktuelle sensorer 3. Bruk et simuleringsprogram med høy numerisk nøyaktighet både mht diskretisering og ordlengde Lag et optimalt KF, dvs bruk S*=S Kjør kovariansanalyse og lag et feilbudsjett for å finne de sensorene som er kritisk mht ytelsen Når spesifikasjonene er oppfyllt må vi ofte foreta en modellreduksjon for å finne et KF som kan tilfredstille kravene til regnehastighet og lagerplass Kjør kovariansanalyse/mont Carlo simuleringer for å se om Kalman-filteret tilfredstiller spesifikasjonene. Page 12
13 4. I et simuleringsprogram hvor KF er implementert med de diskretiseringsalgoritmene og den ordlengden som vil bli brukt: Kjør kovariansanalyse/mont Carlo simuleringer for å se om Kalman-filteret tilfredstiller spesifikasjonene. 5. Kjør om mulig HW-in-the-loop simuleringer for å test KF sammen med den HW som vil bli brukt. Page 13
Kalmanfilter på svingende pendel
Kalmanfilter på svingende pendel Rolf Henriksen og Torbjørn Houge Institutt for teknisk kybernetikk NTNU 2005 Vi skal se på hvordan Kalmanfilteret fungerer på et velkjent eksempel, den svingende pendel
DetaljerTilstandsestimering Oppgaver
University College of Southeast Norway Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Grunnlag... 3 1.1 Statistikk og Stokastiske systemer... 3 1.2
DetaljerTTK4180 Stokastiske og adaptive systemer. Datamaskinøving 2 - Parameterestimering
Institutt for teknisk kybernetikk Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 27.10.98 EWR TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer Datamaskinøving 2 - Parameterestimering Tid og sted: -Utdeling av
DetaljerTilstandsestimering Oppgaver
Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks 203,
DetaljerDato: fredag 14 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen. 1 Diskret tilstandsrommodell 2. 2 Stående pendel 4
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: fredag 4 desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:
DetaljerDato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamen i MIK130, Systemidentifikasjon
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: 21 februar 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen Bokmål
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentifikasjon ( sp) Dato: Mandag 8 desember 28 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte
DetaljerEksamen i MIK130, Systemidentifikasjon
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: Fredag 4. desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen
DetaljerEksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: onsdag 24 november 2010 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: Mandag 8 desember 2008 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:
DetaljerKalmanfilter HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24
Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Faculty of Technology, Postboks 203, Kjølnes ring 56, N-3901 Porsgrunn,
DetaljerMIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004
MIK-130 Systemidentifikasjon Løsningsforslag eksamen 28 mai 2004 Oppgave 1 a Energibalanse: Endring i energi = sum av tilført energi - sum av avgitt energi. Her får en da for vannet E t = (m vc pv T v
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. med Kalman-filter og RLS.
Stavanger, 9. august 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.
DetaljerUniversity College of Southeast Norway. Kalmanfilter HANS-PETTER HALVORSEN,
University College of Southeast Norway HANS-PETTER HALVORSEN, 2016.11.01 http://home.hit.no/~hansha Forord Dette dokumentet tar for seg grunnleggende modellbasert regulering over temaet. Noen forenklinger
Detaljer6 Modellering av smelteovn Modellering Tilstandsromform Diskretisering Observerbarthet Tidssteg...
Stavanger, 28. mai 2019 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2019. Innhold 6 Modellering av smelteovn. 1 6.1 Modellering............................. 1 6.2 Tilstandsromform..........................
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Fysisk Institutt. 3 D Banegenerator. Masteroppgave. Peshko Majidian
UNIVERSITETET I OSLO Fysisk Institutt 3 D Banegenerator Masteroppgave Peshko Majidian 15. desember 2014 I II Forord Denne oppgaven er formulert og utgitt av Universitetssenteret på Kjeller (UNIK) høsten
DetaljerUniversity College of Southeast Norway. Observer HANS-PETTER HALVORSEN.
University College of Southeast Norway HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Forord Dette dokumentet tar for seg modellbasert regulering over temaet s og tilstandsestimering. Noen forenklinger
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.
Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas.
Stavanger, 26. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt. MEMSgyromatriser. Masteroppgave. Tomas Sandmo
UNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt MEMSgyromatriser Masteroppgave Tomas Sandmo 30. mai 2011 Forord Denne rapporten representerer den siste delen av det to-årige masterstudiet i Elektronikk og datateknologi
DetaljerSLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren)
Høgskolen i Telemark Avdeling for teknologiske fag SLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren) EMNE: EE4209 Modellbasert regulering LÆRERE Kjell - Erik Wolden og Hans - Petter Halvorsen KLASSE(R): 2IA DATO:
DetaljerDET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk. Løsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentifikasjon ( sp) Dato: torsdag 6 desember Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte
DetaljerObserver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24. Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics
Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Faculty of Technology, Postboks 203, Kjølnes ring 56,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Fysisk institutt. Analyse av Treghets- navigasjons Systemer. Masteroppgave. (30 studiepoeng) Petter Moagi Lefoka
UNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt Analyse av Treghets- navigasjons Systemer Masteroppgave (30 studiepoeng) Petter Moagi Lefoka 21. Mai 2013 Forord Denne oppgaven er en del av min mastergrad elektronikk
DetaljerTilstandsestimering Løsninger
Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Løsninger HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks
DetaljerMatematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s. 1. Oppgave 1
Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s AR2-modell: Oppgave X t φ X t φ 2 X t 2 Z t Antas å være kausal slik at X t ψ j Z t j er ukorrelert med Z t+,
DetaljerEksamen i ELE620, Systemidentifikasjon (10 sp)
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemidentifikasjon (10 sp) Dato: tirsdag 17 desember 2013 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:
DetaljerTilstandsestimering Løsninger
University College of Southeast Norway Tilstandsestimering Løsninger HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Grunnlag... 3 1.1 Statistikk og Stokastiske systemer... 3 1.2
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt. Modellering av MEMStreghetssensorer. et navigasjonssystem. Masteroppgave. Christian Horn
UNIVERSITETET I OSLO Fysisk institutt Modellering av MEMStreghetssensorer i et navigasjonssystem Masteroppgave Christian Horn 26. mai 2015 Modellering av MEMS-treghetssensorer i et navigasjonssystem Christian
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
Detaljer0 M. Z w Z q w M w M q q. M D G b 1 s
US Navy s Deep Submergence Rescue Vehicle Oppgave 1 - DSRV DSRV kinematisk bevegelseslikninger x ucos wsin ż usin wcos q Dynamiske likninger for heave og pitch # m Z w Z q w M w I y M q q Z w Z q w M w
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4
Stavanger, 13. august 2013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 2013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 1 En kort oppsummering. 1 2 Adaptiv
DetaljerEksamen i ELE620, Systemidentikasjon (10 sp)
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for ata- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemientikasjon (10 sp) Dato: Manag 15 esember 2014 Lenge på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemiler: Kun
Detaljer7 Tilstandsestimering for smelteovn.
Stavanger, 9. august 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.
Stavanger, 7. november 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.
DetaljerEksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger Faglig kontakt under eksamen: Anton Evgrafov Tlf: 4503 0163 Eksamensdato: 06. juni 2016 Eksamenstid (fra
DetaljerLøsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge
Løsning til eksamen i IA32 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge Eksamensdato: 24. 207. Varighet 5 timer. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@usn.no). Løsning til oppgave a (5%).
Detaljer4.1 Diskretisering av masse-fjær-demper-system. K f m. x m u m y = x 1. x m 1 K d. Dette kan skrives på matriseform som i oppgaven med 0 1 A =
Stavanger, 5. september 08 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE60 Systemidentifikasjon, 08. Innhold 4 Løsningsforslag og kommentarer, noen regneoppgaver. 4. Diskretisering av masse-fjær-demper-system...........
DetaljerForelesning 7. mars, 2017
Forelesning 7. mars, 2017 AVSNITT 5.1 Eksempel: Miljøkonturer AVSNITT 5.2 Forventningen til en funksjon av flere variable Kovariansen mellom to variable Eksempel: Miljøkonturer Miljøvariable som karakteriserer
DetaljerSimulering i MATLAB og SIMULINK
Simulering i MATLAB og SIMULINK Av Finn Haugen (finn@techteach.no) TechTeach (http://techteach.no) 13. november 2004 1 2 TechTeach Innhold 1 Simulering av differensiallikningsmodeller 7 1.1 Innledning...
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerUtfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerSTK Oppsummering
STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerBåtsimulering med diskret Kalmanfilter TTK4115 Lineær systemteori
NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for teknisk kybernetikk Båtsimulering med diskret Kalmanfilter TTK4115 Lineær
DetaljerSTE 6146 Digital signalbehandling. Løsningsforslag til eksamen avholdt
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet EL/RT STE 6146 Digital signalbehandling Løsningsforslag til eksamen avholdt 06.02.03 Oppgaver 1. Forklar hva som er
DetaljerOptimalregulering av lineært-kvadratisk-gaussisk system (LQG-regulering/H 2 -regulering) Oddvar Hallingstad
Optimalregulering av lineært-kvadratisk-gaussisk system (LQG-regulering/H 2 -regulering) Oddvar Hallingstad 22. april 2001 Kapittel 4 Kapittel 4: Kommentar: 4.1 : Dette notatet bygger på : Ching-Fang Lin
DetaljerEksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp)
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK3, Systemidentikasjon ( sp) Dato: onsdag 23 november 2 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun
DetaljerNumerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m
Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning
DetaljerKort overblikk over kurset sålangt
Kort overblikk over kurset sålangt Kapittel 1: Deskriptiv statististikk for en variabel Kapittel 2: Deskriptiv statistikk for samvariasjon mellom to variable (regresjon) Kapittel 3: Metoder for å innhente
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Eksamensdato: 19.5.211 Varighet/eksamenstid: Emnekode: 5 timer EDT24T Emnenavn: Signalbehandling 1 Klasse(r): 2EE Studiepoeng: 1 Faglærer(e): Håkon Grønning
DetaljerFYS våren Linjetilpasning. Alex Read Universitetet i Oslo Fysisk institutt
FYS150 - våren 019 Linjetilpasning Alex Read Universitetet i Oslo Fysisk institutt Mål Studere en alternativ linjetilpasning der vi kjenner usikkerheten per målepunkt σ i (i stedet for å hente denne usikkerheten
DetaljerNORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER
NORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER SIE 3080 STOKASTISKE OG ADAPTIVE SYSTEMER Oddvar Hallingstad 0. februar 00 Vi skal her utlede noen nyttige formler for arbeidet med kovariansmatriser
DetaljerTMA4265 Stokastiske prosesser ST2101 Stokastisk simulering og modellering
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Øyvind Bakke Telefon: 73 9 8 26, 99 4 673 TMA426 Stokastiske prosesser ST2 Stokastisk
DetaljerDEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK
INNHOLD 1 INNLEDNING 15 1.1 Parallelle verdener........................... 18 1.2 Telle gunstige.............................. 20 1.3 Regneverktøy og webstøtte....................... 22 1.4 Oppgaver................................
DetaljerPrøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene
Detaljer2 Utledning av Kalman-filter Forventningsrett estimator Kovariansmatriser Minimum varians estimator... 9
Stavanger, 3. august 2018 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2018. Innhold 1 Tilstands- og parameterestimering med Kalman-filter 2 1.1 Observerbarhet...........................
DetaljerKap. 5: Numeriske løsningsmetoder
MEK4510 p. 3 Kap. 5: Numeriske løsningsmetoder Tidsintegrasjon for problemer med én frihetsgrad Analytisk løsning av differensiallikningen for enkle problemer Fourier-analyse for generelle, periodiske
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. 1 Adaptiv filtrering 2.
Stavanger, 23. juni 2017 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2017. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes canvas. Innhold
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Parameterestimering med LS og RLS 2
Stavanger, 3 november 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, 2016 Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. 1 Stokastiske system og prosesser 2
Stavanger, 4. august 016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE60 Systemidentifikasjon, 016. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning.
DetaljerEKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 4 EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Tid: Tirsdag 07.03.2006, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLøsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge
Løsning til eksamen i IA3112 Automatiseringsteknikk ved Høgskolen i Sørøst- Norge Eksamensdato: 30.11 2016. Varighet 5 timer. Vekt i sluttkarakteren: 100%. Emneansvarlig: Finn Aakre Haugen (finn.haugen@hit.no).
DetaljerSTE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 3 STE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag Tid: Fredag 20.04.2007, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn
DetaljerAnalyse og Design av Kalmanfilter. Mohammad Hashmatullah Khan Studieretning: Teknisk Kybernetikk Universitetet i Oslo
Analyse og Design av Kalmanfilter Mohammad Hashmatullah Khan Studieretning: Teknisk Kybernetikk Universitetet i Oslo mohamhas@ulrik.uio.no 17. desember 2007 2 Sammrag For å lette arbeidet med å designe
DetaljerForelesning 7: Store talls lov, sentralgrenseteoremet. Jo Thori Lind
Forelesning 7: Store talls lov, sentralgrenseteoremet Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Estimering av variansen 2. Asymptotisk teori 3. Store talls lov 4. Sentralgrenseteoremet 1.Estimering
DetaljerComputer Problem 1 TTK 4190 NavFart
Computer Problem 1 TTK 419 NavFart Frode Efteland efteland@stud.ntnu.no 3 mars 24 Innhold 1 Oppgave 1 - DSRV 4 1.1 a)forwardspeedmodell... 5 1.1.1 Simulinkmodell... 6 1.1.2 Matlabplott... 7 1.1.3 Resultat...
DetaljerECON2130 Obligatorisk Oppgave
201303 ECON2130 Obligatorisk Oppgave Oppgave 1 Vi lar være uavhengige og normalfordelte,, setter og ønsker å vise at og at den teoretiske korrelasjonskoeffisienten mellom og er. Vi betrakter her en standard
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Eksamen i: ECON30 Statistikk UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 03.06.06 Sensur kunngjøres: 4.06.06 Tid for eksamen: kl. 09:00 :00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i MIK130, Systemidentikasjon (10 sp)
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Løsningsforslag Eksamen i MIK3, Systemidentikasjon ( sp) Dato: onsdag 23 november 2 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte
DetaljerNumerisk lineær algebra
Numerisk lineær algebra Arne Morten Kvarving Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology 29. Oktober 2007 Problem og framgangsmåte Vi vil løse A x = b, b, x R N,
DetaljerEksamen i MIK130, Systemidentifikasjon (10 sp)
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksaen i MIK130, Systeidentifikasjon (10 sp) Dato: Torsdag 17 deseber 2009 Lengde på eksaen: 4 tier Tillatte hjelpeidler:
DetaljerControl Engineering. State-space Models. Hans-Petter Halvorsen
Control Engineering State-space Models Hans-Petter Halvorsen Dataverktøy MathScript LabVIEW Differensial -likninger Tidsplanet Laplace 2.orden 1.orden Realisering/ Implementering Reguleringsteknikk Serie,
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling
DetaljerEksamen i MIK130, Systemidentifikasjon
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Jarle Tufto Tlf: 99 70 55 19 Eksamensdato: 3. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00
DetaljerEksamen i STK4500 Vår 2007
Eksamen STK4500 Vår 2007 Prosjektoppgave. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Utlevering fredag 15. juni kl. 09.00. Innlevering mandag 18. juni kl. 15.00. Oppgaven skal innen fristen leveres pr.
DetaljerSystemidentifikasjon Oppgaver
Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Systemidentifikasjon Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.03.16 Faculty of Technology, Postboks
DetaljerForelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling
Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling Wilcoxon Signed-Rank Test I uke, bruker vi Z test eller t-test for hypotesen H:, og begge tester er basert på forutsetningen om normalfordeling
DetaljerDET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE. Forfatter: Atle Gjengedal (signatur forfatter)
DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE Studieprogram/spesialisering: Kybernetikk/signalbehandling Vårsemesteret, 2009 Åpen / Konfidensiell Forfatter: Atle Gjengedal (signatur forfatter)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerArtikkelserien Reguleringsteknikk
Finn Haugen (finn@techteach.no) 18. november, 2008 Artikkelserien Reguleringsteknikk Dette er artikkel nr. 7 i artikkelserien Reguleringsteknikk: Artikkel 1: Reguleringsteknikkens betydning og grunnprinsipp.
DetaljerUke 6: Analyse i frekvensdomenet
Uke 6: Analyse i frekvensdomenet Jo Inge Buskenes Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF3470/4470, høst 2011 2/26 Dagens temaer Fra forrige gang Frekvensrespons funksjonen Fourier rekker og
Detaljer(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].
FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2017) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)
DetaljerEKSAMEN I TMA4240 Statistikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Henning Omre (909 37848) Mette Langaas (988 47649) EKSAMEN I TMA4240 Statistikk 18.
DetaljerEksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger Faglig kontakt under eksamen: Anton Evgrafov Tlf: 4503 0163 Eksamensdato: 30. mai 2017 Eksamenstid (fra
DetaljerNotat 3 - ST februar 2005
Notat 3 - ST1301 1. februar 2005 1 Simulering fra modell Når vi skal analysere et gitt konkret innsamlet datasett vil vi gjøre dette med utgangspunkt i en statistisk modell. Vi kan si at en slik statistisk
DetaljerLP. Kap. 17: indrepunktsmetoder
LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder simpleksalgoritmen går langs randen av polyedret P av tillatte løsninger et alternativ er indrepunktsmetoder de finner en vei i det indre av P fram til en optimal løsning
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerSystemidentifikasjon Oppgaver
University College of Southeast Norway Systemidentifikasjon Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Innledning... 3 2 Minste kvadraters metode... 4 3 Validering...
DetaljerLøsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B
Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling
DetaljerDagens temaer. 3 domener. Tema. Time 4: z-transformasjonen. z-dometet; ett av tre domener. Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470
Dagens temaer Time 4: z-transformasjonen Andreas Austeng@ifi.uio.no, INF3470 z-dometet; ett av tre domener z-transformasjonen; definisjon og egenskaper Ifi/UiO September 2009 H(z); systemfunksjonen og
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
Andreas Mhre April 15 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 13 Oppgave 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) E(XY) = - E(X ) X og Z er uavhengige, så
DetaljerGeneralisering til mange klasser - feilrettingsmetodene
Mange klasser Generalisering til mange klasser - feilrettingsmetodene Kesslers konstruksjon - omskriving av c-klasseproblemet til et toklasseproblem. Her innføres en sammensatt vektvektor a og et sett
Detaljer