Del 1: Leksjon Det anbefales å kjøre igjennom denne før dere begynner med oppgaven.

Transkript

1 SO526E Multivariable Reguleringssystemer Øving 5 HiST-AFT aug 29 Pål Gisvold Innlevering: se framdriftsplan Tema: Matlab Identification Toolbox Del 1: Leksjon Det anbefales å kjøre igjennom denne før dere begynner med oppgaven. Vi skal i denne leksjonen bruke Matlab Identification Toolbox til eksperimentell modellering av en prosess ut ifra loggede data av inngangssignal u og utgangssignal y. De loggede data er lagret i ASCII-format på filen prosess.dat. Kopier disse filene til egen katalog før du begynner å jobbe med dem! Verdiene av y og u ligger her som en matrise med 2 tall på hver linje: først verdien av y, dernest verdien av u. Det er en linje pr. sampel. Samplingstida er,1 sek. og det er logget data i 4 min = 24 sek. Det er derfor 241 linjer med data i fila prosess.dat. Leksjonen viser hvordan kombinasjonen av korrelasjonsanalyse, frekvensanalyse og blackbox modellering kan gi en god modell for prosessen vår. Leksjonens innhold: 6.1 Hente og presentere data. Bruk av load, idplot og dtrend. 6.2 Korrelasjonsanalyse. Bruk av covf. 6.3 Diskret impulsrespons. Bruk av cra. 6.4 Frekvensresponsanalyse. Bruk av etfe og getff. 6.5 Black-box modellering. Bruk av arx, armax og th2ff. 6.6 Evaluering av modellen. 6.1 Hente og presentere data. Bruk av load, idplot og dtrend Start opp Matlab og hent inn dataene: >> load prosess.dat >> format compact >> whos Name Size Bytes Class Attributes prosess 241x double De loggede data er nå hentet inn i Matlab i en variabel som har navnet prosess og som vi ser er denne variabelen en 241x2 matrise, dvs 241 rader og 2 kolonner. Den første kolonnen er utgangsdata y mens den andre kolonnen er inngangsdata u.

2 2 Vi bruker kommandoen idplot for å få et raskt overblikk over loggeseriene: >> idplot(prosess) 8 y Time u Time >> y=prosess(:,1); >> u=prosess(:,2); >> mean(y) ans = >> mean(u) ans = Vi ser at både y og u har en middelverdi forskjellig fra null. Disse kan finnes eksakt: Disse middelverdiene må trekkes fra før modelleringen og det gjør vi v,hj.a. dtrend: >> z=dtrend(prosess); >> idplot(z,1:6,.1)

3 3 1 y Time u Time Legg merke til at vi må spesifisere tidsskrittet (samplingstida) for å få riktig tidsskala ved bruk av idplot. 6.2 Korrelasjonsanalyse. Bruk av covf. Funksjonen covf kan benyttes til å finne kovariansfunksjonene. (Det ligger i navnet). Disse blir lagt i en matrise med fire linjer og antall kolonner lik antall samples (tidshorisonten) som vi spesifiserer. De fire dataradene tolkes som følger: 1: Autokovarians for y 2: Krysskovarians uy 3: Krysskovarians yu 4: Autokovarians for u Vi benytter 1 samples, dvs. 1 sek. som tidshorisont for kovariansfunksjonene: >> R=covf(z,1); >> tpos=[:.1:9.9]; >> plot(tpos,r(1,:),tpos,r(4,:),'--') >> grid

4 Cov(y) Cov(u) Nå gjør vi nytte av at Cov uy (τ) = Cov yu (-τ): >> tneg=[:-.1:-9.9]; >> plot(tpos,r(2,:),tneg,r(3,:),'--') >> grid Dette resulterer i følgende plott: Cov(uy) Cov(yu) Nå har vi funnet kovariansene. For å finne korrelasjonene må vi dividere kovariansene med standardavvikene. Disse finner vi enkelt med standardfunksjoner i Matlab:

5 5» vary=var(y) vary =.1328» varu=var(u) varu =.249» sigmay=sqrt(vary) sigmay =.3644» sigmau=sqrt(varu) sigmau =.499 Korrelasjonsanalysen viser: 1. Inngangssignalet er tilnærmet hvit støy. Dette ses tydelig av Covuu. Covyy tyder på et mer deterministisk, mindre stokastisk forløp. Vi har sett begge signalene og vet at dette stemmer. 2. Det er en klar sammenheng mellom u og y. Dette ser vi av Cov uy. Hvor sterk sammenhengen er kan vi få et inntrykk av ved å studere Cov uy og dividere med produktet av standardavvikene for u og y. Funksjonen tyder også på at det er tidsforsinkelse i systemet. 6.3 Diskret impulsrespons, Bruk av cra. Generering av sprangrespons. Bruk av cumsum. Vi bruker samme tidshorisont som før og finner impulsresponsen ved hjelp av cra (CorRelation Analysis):.6 >> g=cra(z,99); >> plot(tpos,g); >> grid Nå har vi fått fram en impulsrespons fra våre stokastiske data og er tilbake til en verden vi kjenner. Her ser vi bl.a. helt tydelig at vi har en tidsforsinkelse på noe under 1 sek. i prosessen Men som vi har vært inne på tidligere er sprangresponsen et mer velegnet signal til å trekke slutninger om systemdynamikken. Det finnes flere måter å gjøre dette på. Vi kunne for eksempel startet opp Simulink, kjørt g inn i en From Workspace blokk gjennom en integrator og tilbake til workspace. Men integrasjonen gjøres mye enklere direkte i Matlab:

6 Phase (degrees) Amplitude >> spr=cumsum(g); >> plot(tpos,spr) >> grid Vi får bekreftet at vi har å gjøre med en tidsforsinkelse. Størrelsen på denne ser vi faktisk tysdeligere på impulsresponsen. Vi ser dessuten at vi har et system av minst 2.orden, en stigetid på ca. 4 sek, komplekse poler (oversving), samt en stasjonær forsterkning på ca. 2 dvs. 6 db. Vi har begynt å få et godt bilde av prosessen. 6.4 Frekvensresponsanalyse. Bruk av etfe og getff. Med FFT-algoritmen (Fast Fourier Transform) kan det det lages algoritmer som estimerer Fouriertransformasjonen til et logget signal. Har man et inngangs- og et utgangssignal vil systemets frekvensrespons være gitt av forholdet mellom disse transformasjonene. Dette er realisert i Matlabs funksjon etfe (Empirical Transfer Function Estimation). Frekvensresponsen er nyttig for oss da systemorden, knekkfrekvenser etc. kommer mye klarere fram enn ved sprangrespons. En begrensning ligger i samplingsteoremet. Våre signaler er samplet med 1Hz dvs. vi kan ikke trekke ut noe informasjon for frekvenser høyere enn 5Hz eller ca rad/sek. Vi kan forvente oss stadig dårligere informasjon jo mer vi nærmer oss denne frekvensen. Vi begynner med å prøve følgende: >> bode(etfe(z)), grid 1 From u1 to y1 Vi får kurvene som vi ser til høyre. Som ventet stopper de ved ca. 3 rad/sek. Dessuten er plottene altfor lite detaljerte til at de sier oss noe særlig. Vi må kunne trekke ut dataene i en forsterkningsfunksjon (A) og en fasefunksjon (v). Dette gjør vi med Matlab-kommandoen getff. Deretter kan vi styre plottefunksjonene sjøl Frequency (rad/s)

7 7 Vi skriver nå følgende: >> h=etfe(z,[],124,.1); >> [w,a,v]=getff(h); >> semilogx(w,2*log1(a)) >> grid Resultatet er vist i plottet til høyre Kommentarer: z: Vår matrise med detrendete inngangs- og utgangsdata. []: Dette skriver du i alle Matlab-funksjonene hvis du vil benytte default-verdier. 124: Antall beregnede punkter i frekvensfunksjonen. Må være potens av 2..1: Samplingstida for våre måledata. w: Frekvens i rad/sek A: Forsterkning gitt som ubenevnt forholdstall. (Vi må sjøl regne om til db.) v: Fasevinkel i grader. Vi plotter nå fasekurven: >> semilogx(w,v), grid Studer plottet. (Det er ikke vist her.) Framgangsmåten nå blir akkurat som med oscilloskopet på laben: Vi justerer aksene slik at vi får forstørret opp det området vi ønsker å studere nærmere: >> axis([ ])

8 8 Amplitude-frekvens karakteristikken på foregående side viser en stasjonær forsterkning på mellom 5 og 1 db og en tydelig knekk ved ca.5 rad/sek. Etter knekken faller amplituden med ca 4 db pr dekade, m.a.o. en 2.ordens prosess. Fase-frekvens karakteristikken (ovenfor) viser at fase faller mye mer enn 18 o etter knekkfrekvensen. Dette underbygger det vi tidligere har antatt; prosessen inneholder en tidsforsinkelse. Vi kunne her ha prøvd oss fram med en transferfunksjon ut fra det vi nå vet om prosessen og tilpasset tidsforsinkelse, knekkfrekvens, dempning og forsterkning ved å sammenlikne frekvensreponsene med den eksperimentelle. Vi skal imidlertid heller bruke det vi nå har fått vite til å finne en god Black-box modell. Se neste avsnitt. 6.4 Black-box modellering. Bruk av arx, armax og th2ff. Vi benytter oss nå av det vi har funnet ved korrelasjons- og frekvensanalysen; vi antar nå at systemet er av 2.orden med en tidsforsinkelse på ntau tidsskritt (.1*ntau sek). Vi prøver oss først med en arx-modell: a1 yk a2 yk 1 a3 yk 2 b1 ntauuk 1 ntau b2 ntauuk 2 ntau så en armax-modell: a1 yk a2 yk 1 a3 yk 2 b1 ntauuk 1 ntau b2 ntauuk 2 ntau c1e k c2ek 1 c3ek 2 der e er hvit støy. Vi tester først med ntau = 5 Parametrene får vi fram ved å bruke present. Denne gir oss A- og B-parametrene (og C- parametrene ved armax) med deres standardavvik som står under parameterverdien. Disse standardavvikene er et mål for usikkerheten i parameterverdiene og sammen med tallene for modellfeilen (Loss fcn og Akaikes FPE) forteller de oss hvor gode resultatene av modelleringen er. >> th=arx(z,[2 2 5]); >> present(th) Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) A(q) = ( ) q^ ( ) q^-2 B(q) = ( ) q^ (+-.127) q^-6 Estimated using ARX from data set z Loss function and FPE Sampling interval: 1

9 9 >> th=armax(z,[ ]); >> present(th) Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = B(q)u(t) + C(q)e(t) A(q) = ( ) q^ ( ) q^-2 B(q) = ( ) q^ ( ) q^-6 C(q) = ( ) q^ ( ) q^-2 Estimated using ARMAX from data set z Loss function and FPE Sampling interval: 1 Vi ser at armax-modellen gir de laveste verdiene for modellfeil og standardavvik. Vi skal nå se hvilken verdi av ntau som gir de laveste verdier. Til dette bruker vi FPE-indeksen som er element (2,1) i th-matrisen. (Du får mer informasjon om dette ved å skrive help theta i Matlab.) Vi har altså bestemt oss for en armax-modell. Det gjenstår å finne den beste verdien for ntau. ntau =5 gir fpe =, Vi vet at tidsforsinkelsen ligger omkring denne verdien (ntau = 5). Vi prøver oss fram og finner: ntau = 6 gir fpe =, ntau = 7 gir fpe =, ntau = 8 gir fpe =, Vi ser at for ntau = 7 får vi den laveste verdien på FPE. Da gjenstår det å finne en armax-modell med riktig forsinkelse ntau = 7. >> th=armax(z,[ ]); >> present(th) Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = B(q)u(t) + C(q)e(t) A(q) = ( ) q^ ( ) q^-2 B(q) =.4841 ( ) q^ e-6 (+-.291) q^-8 C(q) = ( ) q^ ( ) q^-2 Estimated using ARMAX from data set z Loss function and FPE Sampling interval: 1 Dette gir den diskrete modellen mellom u og y. I armax modellen er støyen trukket fra: y 1,949 y,9515 y,4841 u 6,325 1 u 6 k k 1 k 2 k 7 k 8

10 1 Evaluering av modellen Vi skal nå se hvor god modellen er. Men først overfører vi den diskrete modellen til en kontinuerlig modell som transferfunksjon: >> [teller,nevner]=d2cm([ e-6],[ ],.1) teller = nevner = Den kontinuerlige modell blir altså: y s, 25s,5, 5s 1 1, 5s h s e e 2 e u s s,5s, 25 2s s,5 1 2s 4s,7s,7s,7s La oss til slutt simulere modellen med det virkelige inngangssignalet u og sammenlikne det simulerte utgangssignalet, ysim med det virkelige y: >> [ttau,ntau]=pade(.7,3); >> telh=conv(teller,ttau); >> nevh=conv(nevner,ntau); >> t=[:.1:24]; >> ysim=lsim(telh,nevh,u,t); >> plot(t,y,t,ysim,'--') >> grid

11 11 Figuren viser den virkelige responsen y heltrukket. Den stiplete responsen ysim fik vi ved å simulere samme inngangssignal på vår modell. Avviket i begynnelsen skyldes at vi ikke har riktig startverdi for ysim. Fra ca. 25 sek og utover ser vi at y og ysim stemmer meget godt overens. Vi har altså kommet fram til en meget god modell!!

12 12 Del 2: Oppgavetekst I/O data for et varmluftsrør (som dere kanskje kjenner fra labkjøring grunnkurs) foreligger på fil. Finn en så god modell som mulig for varmluftsrøret ut fra disse I/O data. Finn både en diskret og kontinuerlig modell. Dataene ligger på fil: dryer2.mat Kopier fila til egen katalog. Fila foreligger på Matlabs eget formet og kan hentes inn i Workspace med kommandoen: load dryer2. Dataene er lagret som to kolonnevektorer: utgangen y2, og inngangen u2. Tidsskrittet for de to måleseriene er,8 sek. Retningslinjer: Modellen bør stemme rimelig bra med de faktiske data, og her kan dere sjekke punktet om modellevaluering i leksjonen. Modellen bør være så enkel som mulig dvs. vi foretrekker en lineær modell framfor en ulineær modell, en 2.ordens framfor en 4.ordens osv. Det gjelder å velge den minste kompleksiteten som trengs for å beskrive prosessen bra. Hvor strenge krav som stilles til modellen kommer an på hva den skal brukes til. Skal modellen brukes til simulering stilles store krav til nøyaktighet, mindre krav til enkelhet. Skal modellen brukes til reguleringsteknisk analyse, settes større krav til enkelhet og desto mindre krav til nøyaktighet.