Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk"

Transkript

1 Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk Tidligere dette semesteret er det gjennomført et såkalt Tracker-eksperiment i fysikk ved UiA. Her sammenlignes data fra et kast-eksperiment med data fra en tilhørende matematisk modell. Et typisk eksempel vises i figuren nedenfor (fig 1). Fig 1 Ofte får vi (av ulike grunner) et avvik mellom de eksperimentelle verdiene og verdiene fra den matematiske modellen. En av avviksgrunnene ved et slikt kasteksperiment kan være at den matematiske modellen ikke tar høyde for eventuell luftmotstand. Ved UiA utvikler vi visualiserings- og simulerings-verktøyet SimReal. I figuren nedenfor (fig 2) vises tilsvarende data fra et kast-eksperiment med tilhørende matematiske modell vha dette verktøyet. Fig 2 Det kan se ut til at vi kanskje spesielt må ta hensyn til luftmotstand når vi skal utarbeide en matematisk modell som gir en god beskrivelse av et slikt kast. Derfor skal vi i dette simulerings-eksperimentet se litt nærmere på studiet av luftmotstand.

2 En matematisk modell som inkluderer luftmotstand, kan ofte bli for kompleks til at den kan løses med penn og papir. Da kan det ofte være hensiktsmessig (og også nødvendig) å ta i bruk teknologi, numeriske beregnigner og programmering for å løse problemet. I dette programmerings-eksperimentet skal vi se litt nærmere på slike numeriske beregninger i SimReal. Det kreves ingen programmeringserfaring for å delta i dette eksperimentet. Hensikten med eksperimentet er å undersøke i hvilken grad ulike typer simulerings-opplegg kan fungere i fysikk-undervisningen og hvilke eventuelle problemer som oppstår underveis basert på ulike bakgrunn i bruk av teknologi/programmering. Litt teoribakgrunn: Fig 3 Vi tenker oss en partikkel som faller fritt (kun påvirket av tyngdekraften G = mg). Partikkelbevegelsen beskrives ved posisjon s, hastighet v og akselerasjon a som funksjon av tiden t. Newtons 2. lov (F = ma) anvendt på denne partikkelen gir oss følgende: F = ma Newtons 2. lov G = ma Tyngden er den eneste ytre kreften som virker, dvs F = G mg = ma Tyngden G er lik produktet av massen m og tyngdeakselerasjonen g a = g Forkorter m og får a = g Ved fritt fall (partikkelen er påvirket av kun tyngden G = mg) vil altså partikkelen få akselerasjonen g. La oss nå anta at partikkelen i tillegg til tyngden også er påvirket av luftmotstand. La oss i første omgang anta at denne luftmotstanden er proporsjonal med hastigheten (dvs luftmotstanden kan skrives som en konstant c multiplisert med hastigheten v) og motsatt rettet. Bruk av Newtons 2. lov gir oss nå: F = ma Newtons 2. lov G - cv = ma Tyngden G og luftmotand cv er de eneste ytre kraftene som virker mg cv = ma Tyngden G er lik produktet av massen m og tyngdeakselerasjonen g a = g c/m*v Løser ligningen mht akselerasjonen a Av det siste uttrykket ser vi at partikkelens akselerasjon er lik tyngdeakselerasjonen g i startøyeblikket (hastigheten v er lik null), men at akselerasjonen a avtar etter hvert som hastigheten v øker. Når hastigheten blir så stor at luftmotstanden blir like stor som tyngden, så vil partikkelen ikke lenger ha noen akselerasjon (partikkelen vil fortsette med konstant hastighet). Denne maksimale hastigheten blir oppnådd når a = g c/m*v = 0, dvs den maksimale hastigheten er gitt ved v = m/c*g. Med en slik luftmotstandsmodell ser vi altså at akselerasjonen a endrer seg. Vi ser også at akselerasjonen er avhengig av massen m, så det skule indikere at to legemer med ulik masse m ikke faller like fort når vi har luftmotstand (uten luftmotstand vil begge falle likt og ha akselerasjonen g, helt uavhengig av massen m: https://www.youtube.com/watch?v=e43-cfukegs ). Hvis luftmotstanden er proporsjonal med hastigheten slik som i eksemplet ovenfor, så kan problemet løses relativt enkelt med penn og papir (det kan også gjøres hvis luftmotstanden er proporsjonal med kvadratet av hastigheten (se artikkel fra UiO: Men hvis luftmotstanden er et mer sammensatt uttrykk (bl.a. avhengig av hastigheten på en langt mer kompleks måte), så vil bruk av numerisk matematikk og dataverktøy være hensiktsmessig/nødvendig.

3 For å løse et luftmotstand-problem numerisk vha dataverktøy og programmering, skal vi først gå tilbake til definisjon av hastighet og akselerasjon og bevegelsesligningene (se fig 4). Fig 4 I kolonne 1 står oppført definisjon av hastighet v og akselerasjon a (kap 2) som henholdsvis den deriverte av posisjon s og den deriverte av hastighet v. I kolonne 2 står oppført veilovene med posisjon s og hastighet v som funksjon av tiden. Her er s 0 og v 0 henholdsvis posisjon og hastighet ved tiden t = 0. Disse integralene som inngår i kolonne 2 kan vi beregne analytisk hvis akselerasjonen a og hastigheten v som inngår som integrander ikke er for kompliserte. Hvis derimot a og v er relativt komplekse, så kan analytiske løsninger bli vanskelige og av og til umulige slik at vi må benytte numeriske beregninger i stedet. Derfor skal vi nå se litt nærmere på dette sistnevnte. Merk at vi i veilovene i kolonne 2 ikke trenger starte ved tiden t = 0. Vi kan gjerne integrere fra et tidspunkt t 0 (som ikke trenger være lik 0), men da må s 0 og t 0 svare til henholdsvis posisjon og hastighet ved dette tidspunktet t 0. I kolonne 3 har vi tatt hensyn til disse sistnevnte betraktningene hvor vi vha veilovene bestemmer henholdsvis posisjon s og hastighet v ved et tidspunkt t + t uttrykt ved posisjon og hastighet ved et tidligere tidspunkt t. Hvis t nå er liten, så kan vi betrakte akselerasjonen a og hastigheten v (de to integrandene) som tilnærmet konstante i dette intervallet fra t til t + t. Dermed får vi resultatet som er vist i kolonne 4. La oss nå benytte disse betraktningene til å bestemme en sluttposisjon og en slutthastighet ved suksessivt å bestemme en ny posisjon og en ny hastighet uttrykt ved posisjon og hastighet ved et tidligere tidspunkt like før (se fig 5). For eksempel ser vi at s 2 og v 2 ved et tidspunkt t 2 er uttrykt ved posisjon s 1 og v 1 ved tidspunktet t 1 hvor t 2 = t 1 + t. Fig 5 Denne måten å løse problemet på blir jo noe slitsomt siden t må være svært liten og derfor gir oss svært mange beregninger for at sluttresultatet skal bli korrekt. Det er her datateknologi og programmering nå kommer til sin rett, så la oss se litt nærmere på dette.

4 La oss nå gå tilbake til vårt simulerings-eksperiment med luftmotstand og hvor luftmotstanden er proporsjonal ved hastigheten, dvs a = g c/m*v slik som vist i tidligere beregninger. (se fig 6). Fig 6 I fig 6 ser vi beregninger av posisjon og hastighet i steg nr n+ 1 uttrykt ved posisjon og hastighet i steg nr n (foregående steg). Deretter beregnes ny akselerasjon a i steg nr n+1 basert på den nylig beregnede hastigheten v i steg nr n + 1. Slik kan vi nå fortsette steg for steg fra en start-tilstand til en slutt-tilstand. Når vi nå skal programmere dette, må vi løse to problemer. For det første må vi på en eller annen måte få datamaskinen til å forstå at den skal gjenta beregninger steg for steg fra en start-tilstand til en slutt-tilstand. For det andre må vi på en eller annen måte få datamaskinen til å ta vare på alle disse beregnede verdiene for hvert steg. Det første problemet løses enkelt vha en såkalt sløye-teknikk. Datamaskinen har innebygget en klokke. Vi kan sørge for at datamaskinen trigger på denne klokken og be den gjenta beregningene for eksempel ved hvert hundredels sekund. Det andre problemet kan også løses enkelt på følgende måte: Når vi i en datamaskin gjør beregninger med variabler, så vil hvert variabelnavn som vi programmerer inn i datamaskinen representeres ved en fysisk celle i datamaskinens hukommelse. La oss tenke oss at vi har en slik celle kalt x og at denne variabelen har verdien 4. Da ligger tallet 4 lagret i den datamaskincellen som har navnet x. La oss nå tenke oss at vi ønsker å øke denne variabel-verdien med 3, dvs vi ønsker å plassere et nytt tall i cellen x og som er 3 større enn den verdien som i øyeblikket befinner seg i cellen x. Da skriver vi følgende kommando: x = x + 3 I matematikken er jo et slikt uttrykk selvmotsigende fordi vi kan trekke fra x på begge sider (dvs fjerne x på begge sider) og vi sitter igjen med ligningen 0 = 3, og dette er jo feil. I programmering av en datamaskin derimot, så betyr likhetstegnet noe annet. Ligningen ovenfor tolker nemlig datamaskinen på følgende måte: På venstre side foran likhetstegnet står nevnt variabelen x. Da forstår datamaskinen at x skal få en ny verdi, nemlig lik den verdien som står på høyre side av likhetstegnet. På høyre side står det x + 3. Siden x i øyeblikket har verdien 4, så vil høyresiden bli lik 7. Oppsummert: Ligningen x = x + 3 tolker datamaskinen som at x skal få ny verdi, nemlig lik den nåværende verdien 4 pluss 3, dvs den nye verdien vil bli 7. Hvis vi nå lar datamaskinen gjennomføre denne beregningen fortløpende 4 ganger, så blir verdiene til x fortløpende lik 7, 10, 13 og 17 (øker med 3 for hvert steg), dvs vi ender opp med at x har fått verdien 17.

5 .La oss nå se hvordan vi programmerer den partikkelen som faller fritt (kun påvirket av tyngden, ingen luftmotstand), se fig 7: Fig 7 Et dataprogram deles ofte opp i ulike moduler (blokker). Ovenfor vises en slik blokk, kalt en function. Navnet på funksjonen er move_particle1 (dette navnet er fritt valgbart). Denne blokken starter med det reserverte ordet function etterfulgt av det fritt valgbare funksjons-navnet som her er move_particle. Deretter følger en parentes som inneholder parameteren t (tiden). Denne funksjonen blir kalt opp 100 ganger i sekundet og for hvert kall kommer tiden t inn som en parameter. For hver gang funksjonen kalles opp beregnes ny hastighet (her kalt v1) lik starthastigheten v10 (her lik null) pluss akselerasjonen a1 (som her er lik g = 9.81 m/s 2 ) og ny posisjon (her kalt y1) lik startposisjonen y10 pluss starthastigheten v10 multiplisert med tiden t pluss ½ multiplisert med akselerasjonen a1 (som her er lik g) multiplisert med kvadratet av tiden t. Vi har altså brukt de velkjente bevegelsesligningene fra kap 2. Hvert statement (kommando til datamaskinen) avsluttes med et semikolon. Bakerst på hver linje (med grønn farge) står en kort kommentar (her bevegelsesligningene). Slike kommentarer er kun beregnet for programmerere (for at programmet skal bli enklere å lese), datamaskinen forsøker ikke å tolke slike kommentarer. Kvadratet av t kan vi skrive som t*t, men i eksemplet ovenfor er benyttet en innebygget matematikkfunksjon pow som finnes i matematikk-biblioteket kalt Math. Denne funksjonen har to parametre, den første er grunntallet (her t), den andre er eksponenten (her 2). Vi skriver altså Math.pow(t,2). I vårt eksperiment skal du nå skrive inn tilsvarende nødvendige statement for partikkel nr 2. Nedenfor (fig 8) vises denne funksjonen (foreløpig tom) kalt move_particle2. Også denne funksjonen kalles automatisk opp hundre ganger i sekundet. Fig 8 Statementene som skal skrives inn svarer til følgende tilordninger (fig 9): Fig 9 Gjeldende posisjon til partikkel nr 2 skal kalles y2, gjeldende hastighet v2 og gjeldende akselerasjon a2. Konstantene g, c og m har samme navn som vist ovenfor. Det korte tidsintervallet skal ha navn dt. Etter at disse er testkjørt skal vi lage mer kompliserte uttrykk for luftmotstand og testkjøre disse. Oppgavene vil bli utdelt når eksperimentet starter.

6 Ved start av dette simulerings-eksperimentet vil dere se følgende skjermbilde (fig 10): Fig 10 Til venstre vises simuleringsprogrammet med to partikler som faller vertikalt. Partikkelen lengst til venstre (rød) simulerer et fritt fall (kun påvirket av tyngden). Partikkelen ved siden av til høyre (blå) er i tillegg til tyngden utsatt for luftmotstand. Fortløpende verdier for posisjon, hastighet og akselerasjon, samt grafer og vektorer vises. Til høyre vises programkoden for denne simuleringen. Dere skal programmere inn de statementene som er nødvendige for å simulere luftmotstand (se blå pil). Dere skal teste ut ulike modeller for luftmotstand og studere likheter/ulikheter mellom disse. Simuleringene og programmeringen utføres vha kun en browser (Google Chrome). Google Chrome har en meget avansert programmerings-editor. Når endringer i programkoden er utført, trykkes lagring (ctrl+s). Deretter trykkes refresh i browseren og simuleringen kan kjøres på nytt. Med en gang koden er lagret (ctrl+s), så er denne simuleringen tilgjengelig på internett og kan kjøres umiddelbart på PC, laptop, tablet, mobiltlf, TV,. På neste side vises en kort oppsummering. Lykke til med simulerings-eksperimentet!

7 Oppsummering: Teori Simulering / Programmering Bjørn Olav Hogstad Per Henrik Hogstad NTNU UiA

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving?

Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving? Gjør dette hjemme 6 #8 Kan vi forutse en pendels bevegelse, før vi har satt den i sving? Skrevet av: Kristian Sørnes Dette eksperimentet ser på hvordan man finner en matematisk formel fra et eksperiment,

Detaljer

TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014

TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014 TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Øving 6 1 Teori a) Hva er 2-komplement? b) Hva er en sample innen digital

Detaljer

Fysikkmotorer. Andreas Nakkerud. 9. mars Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk

Fysikkmotorer. Andreas Nakkerud. 9. mars Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk 9. mars 2012 Vektorer: posisjon og hastighet Posisjon og hastighet er gitt ved ( ) x r = y Ved konstant hastighet har vi som gir likningene v= r = r 0 + v t x =

Detaljer

Newtons (og hele universets...) lover

Newtons (og hele universets...) lover Newtons (og hele universets...) lover Kommentarer og referanseoppgaver (2.25, 2.126, 2.136, 2.140, 2.141, B2.7) Newtons 4 lover: (Gravitasjonsloven og Newtons første, andre og tredje lov.) GL: N I: N III:

Detaljer

Kollisjon - Bevegelsesmengde og kraftstøt (impuls)

Kollisjon - Bevegelsesmengde og kraftstøt (impuls) Institutt for fysikk, NTNU FY11 Mekanisk fysikk, høst 7 Laboratorieøvelse Kollisjon - Bevegelsesmengde og kraftstøt (impuls) Hensikt Hensikten med øvelsen er å studere elastiske og uelastiske kollisjoner

Detaljer

FY0001 Brukerkurs i fysikk

FY0001 Brukerkurs i fysikk NTNU Institutt for Fysikk Løsningsforslag til øving FY0001 Brukerkurs i fysikk Oppgave 1 a Det er fire krefter som virker på lokomotivet. Først har vi tyngdekraften, som virker nedover, og som er på F

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Obligatorisk numerikkøving. Innleveringsfrist: Søndag 13. november kl

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Obligatorisk numerikkøving. Innleveringsfrist: Søndag 13. november kl TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2016. Obligatorisk numerikkøving. Innleveringsfrist: Søndag 13. november kl 23.9. Volleyball på kvartsirkel Kvalitativ beskrivelse φ f r+r N Mg R Vi er

Detaljer

Ubestemt integrasjon.

Ubestemt integrasjon. Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04

Detaljer

Læreplan i Programmering og modellering - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram

Læreplan i Programmering og modellering - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram 2.12.2016 Læreplan i - programfag i studiespesialiserende utdanningsprogram Formål Programmering er et emne som stadig blir viktigere i vår moderne tid. Det er en stor fordel å kunne forstå og bruke programmering

Detaljer

Løsningsforslag til øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.

Løsningsforslag til øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Lørdagsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 27. Veiledning: 29. september kl 12:15 15:. Løsningsforslag til øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Oppgave 1 a) C. Elektrisk

Detaljer

2 Om statiske variable/konstanter og statiske metoder.

2 Om statiske variable/konstanter og statiske metoder. Litt om datastrukturer i Java Av Stein Gjessing, Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Innledning Dette notatet beskriver noe av det som foregår i primærlageret når et Javaprogram utføres.

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon

Newtons lover i én dimensjon Newtons lover i én dimensjon.01.014 Interessert å være studentrepresentant for YS-MEK kurset? ta kontakt med meg. YS-MEK 1110.01.014 1 Bok på bordet Gravitasjon virker på boken om den ligger på bordet

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon

Newtons lover i én dimensjon Newtons lover i én dimensjon 6.01.017 YS-MEK 1110 6.01.017 1 Hva er kraft? Vi har en intuitivt idé om hva kraft er. Vi kan kvantifisere en kraft med elongasjon av en fjær. YS-MEK 1110 6.01.017 Bok på bordet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: mars 017 Tid for eksamen: 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Matematikk og fysikk RF3100

Matematikk og fysikk RF3100 DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Øving 20. mars 2015 Tidsfrist: 7.april 2015, klokken 23.55 Onsdag 25. mars kom det til en ekstraoppgave: Oppgave 4. Denne kan du velge å gjøre istedenfor oppgave 3. Det

Detaljer

Kapittel august Institutt for geofag Universitetet i Oslo. GEO En Introduksjon til MatLab. Kapittel 2.

Kapittel august Institutt for geofag Universitetet i Oslo. GEO En Introduksjon til MatLab. Kapittel 2. Institutt for geofag Universitetet i Oslo 28. august 2012 Kommandovinduet Det er gjennom kommandovinduet du først og fremst interagerer med MatLab ved å gi datamaskinen kommandoer når >> (kalles prompten

Detaljer

Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )

Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( ) Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker

Detaljer

Matematikk og fysikk RF3100

Matematikk og fysikk RF3100 DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Løsningsforslag 16. mars 2015 Tidsfrist: 23. mars 2015 klokken 14.00 Oppgave 1 Her skal vi se på hvordan man kan sikte seg inn på stridsvogner i bevegelse. Ved t = 0 befinner

Detaljer

Notat 2, ST Sammensatte uttrykk. 27. januar 2006

Notat 2, ST Sammensatte uttrykk. 27. januar 2006 Notat 2, ST1301 27. januar 2006 1 Sammensatte uttrykk Vi har sett at funksjoner ikke trenger å bestå av annet enn ett enkeltuttrykk som angir hva funksjonen skal returnere uttrykkt ved de variable funksjonen

Detaljer

Matlab-tips til Oppgave 2

Matlab-tips til Oppgave 2 Matlab-tips til Oppgave 2 Numerisk integrasjon (a) Velg ut maks 10 passende punkter fra øvre og nedre del av hysteresekurven. Bruk punktene som input til Matlab og lag et plot. Vi definerer tre vektorer

Detaljer

Fysikkolympiaden 1. runde 27. oktober 7. november 2008

Fysikkolympiaden 1. runde 27. oktober 7. november 2008 Norsk Fysikklærerforening i samarbeid med Skolelaboratoriet Universitetet i Oslo Fysikkolympiaden 1. runde 27. oktober 7. november 2008 Hjelpemidler: Tabell og formelsamlinger i fysikk og matematikk Lommeregner

Detaljer

Emnebeskrivelse og emneinnhold

Emnebeskrivelse og emneinnhold Emnebeskrivelse og emneinnhold Knut STUT 11. mars 2016 MAT-INF1100 Kort om emnet Naturlige tall, induksjon og løkker, reelle tall, representasjon av tall i datamaskiner, numerisk og analytisk løsning av

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 5. desember 2011. Tid for eksamen: 9:00 13:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde

Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde Uke 45, 2012 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler. Instruksjoner:

Detaljer

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:

Detaljer

2 Om statiske variable/konstanter og statiske metoder.

2 Om statiske variable/konstanter og statiske metoder. Gaustadbekkdalen, januar 22 Litt om datastrukturer i Java Av Stein Gjessing, Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Innledning Dette notatet beskriver noe av det som foregår i primærlageret når

Detaljer

Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover.

Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Kathrin Flisnes 19. september 2007 Bevegelsesmengde ( massefart ) Når et legeme har masse og hastighet, viser det seg fornuftig å definere legemets bevegelsesmengde

Detaljer

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii) 1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.

Detaljer

Det du skal gjøre i denne oppgava er først å sette opp bakgrunnen til spillet og så rett og slett å få firkanter til å falle over skjermen.

Det du skal gjøre i denne oppgava er først å sette opp bakgrunnen til spillet og så rett og slett å få firkanter til å falle over skjermen. Tetris Introduksjon Processing Introduksjon Lag starten på ditt eget tetris spill! Det du skal gjøre i denne oppgava er først å sette opp bakgrunnen til spillet og så rett og slett å få firkanter til å

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

HAVBØLGER. Her skal vi gjennomgå den enkleste teorien for bølger på vannoverflaten:

HAVBØLGER. Her skal vi gjennomgå den enkleste teorien for bølger på vannoverflaten: HAVBØLGER Her skal vi gjennomgå den enkleste teorien for bølger på vannoverflaten: Airy teori, også kalt lineær bølgeteori eller bølger av første orden Fremstillingen her vil temmelig nøyaktig følge kompendiet

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK)

TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK) 1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK) Introduksjon til programmering i Matlab Rune Sætre satre@idi.ntnu.no 3 Læringsmål og pensum Mål Lære om programmering og hva et program er Lære om hvordan

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

Løsning, gruppeoppgave om corioliskraft og karusell, oppgave 7 uke 15 i FYS-MEK/F 1110 våren 2005

Løsning, gruppeoppgave om corioliskraft og karusell, oppgave 7 uke 15 i FYS-MEK/F 1110 våren 2005 1 Løsning, gruppeoppgave om corioliskraft og karusell, oppgave 7 uke 15 i FYS-MEK/F 1110 våren 2005 Oppgaven lød: To barn står diamentralt i forhold til hverandre ved ytterkanten på en karusell med diameter

Detaljer

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han

Detaljer

Løsningsforslag oppgave 1: En måte å løse oppgave på, er å først sette inn tall for de eksogene variable og parametre, slik at vi får

Løsningsforslag oppgave 1: En måte å løse oppgave på, er å først sette inn tall for de eksogene variable og parametre, slik at vi får Steinar Holden, oktober 29 Løsningsforslag til oppgave-sett Keynes-modeller Oppgave Betrakt modellen: () Y C (2) C Y >, < < der Y er BNP, C er konsum, og er realinvesteringer. Y og C er de endogene variable,

Detaljer

Mars Robotene (5. 7. trinn)

Mars Robotene (5. 7. trinn) Mars Robotene (5. 7. trinn) Lærerveiledning Informasjon om skoleprogrammet Gjennom dette skoleprogrammet skal elevene oppleve og trene seg på et teknologi og design prosjekt, samt få erfaring med datainnsamling.

Detaljer

datatyper Hva er programmering? Variabler og Informasjonsteknologi 2 Kompetansesemål

datatyper Hva er programmering? Variabler og Informasjonsteknologi 2 Kompetansesemål Variabler og datatyper Gløer Olav Langslet Sandvika VGS Høst 2012 Informasjonsteknologi 2 Hva er programmering? Når du skal bake en kake følger du gjerne en oppskrift. Først er det beskrevet hva kaken

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: Tirsdag, 3. juni 2014 Tid for eksamen: kl. 9:00 13:00 Oppgavesettet omfatter 6 oppgaver på 4 sider

Detaljer

Beregninger i ingeniørutdanningen

Beregninger i ingeniørutdanningen Beregninger i ingeniørutdanningen John Haugan, Høyskolen i Oslo og Akershus Knut Mørken, Universitetet i Oslo Dette notatet oppsummerer Knuts innlegg om hva vi mener med beregninger og Johns innlegg om

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 0 Eksamensdag: 3 juni 205 Tid for eksamen: 4:30 8:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg: Formelark Tillatte

Detaljer

Brukerveiledning digital eksamen via WISEflow

Brukerveiledning digital eksamen via WISEflow Brukerveiledning digital eksamen via WISEflow. For å kunne gjennomføre en skriftlig skoleeksamen i WISEflow, må du ha installert en egen browser i forkant. Du logger deg på via https://uia.wiseflow.dk.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Vektorstørrelser (har størrelse og retning):

Vektorstørrelser (har størrelse og retning): Kap..1. Kinematikk Posisjon: rt () = xtx () + yt () y + zt () z Hastighet: v(t) = dr(t)/dt = endring i posisjon per tid Akselerasjon: a(t) = dv(t)/dt = endring i hastighet per tid Vektorstørrelser (har

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 22 mars 2017 Tid for eksamen: 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Løsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A

Løsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A Løsningsforslag, Øving MA Brukerkurs i Matematikk A Læreboka s. 9-95 8. Anta at en endring i biomasse B(t) vei, t [, ], følger ligningen for t. d B(t) = cos ( ) πt 6 (a) Tegn grafen til d B(t) som funksjon

Detaljer

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

Utførelse av programmer, funksjoner og synlighet av variabler (Matl.)

Utførelse av programmer, funksjoner og synlighet av variabler (Matl.) Utførelse av programmer, funksjoner og synlighet av variabler (Matl.) Av Jo Skjermo (basert på Alf Inge Wang sin versjon om JSP). 1. Utførelse av kode i kommando/kalkulatormodus Et dataprogram består oftest

Detaljer

Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP

Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP Utførelse av programmer, metoder og synlighet av variabler i JSP Av Alf Inge Wang 1. Utførelse av programmer Et dataprogram består oftest av en rekke programlinjer som gir instruksjoner til datamaskinen

Detaljer

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett.

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett. Norgestur Introduksjon Bli med på en rundreise i Norge! Vi skal lage et spill hvor du styrer et helikopter rundt omkring et kart over Norge, mens du prøver å raskest mulig finne steder og byer du blir

Detaljer

LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2

LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2 LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2 Vi tar siste runde om (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Skal oppsummere algoritmen. Se på noen detaljer. Noen kombinatorisk anvendelser

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Løsningsforslag Obligatorisk oppgave 1 i FO340E

Løsningsforslag Obligatorisk oppgave 1 i FO340E Løsningsforslag Obligatorisk oppgave i FO340E 0. februar 2009 Det er nt om dere har laget gurer hvor kreftene er tegnet inn, selv om det er utelatt i dette notatet av praktiske årsaker. En oppgave kan

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

Kap. 6+7 Arbeid og energi. Energibevaring.

Kap. 6+7 Arbeid og energi. Energibevaring. TFY4145/FY11 Mekanisk fysikk Størrelser og enheter (Kap 1) Kinematikk i en, to og tre dimensjoner (Kap. +3) Posisjon, hastighet, akselerasjon. Sirkelbevegelse. Dynamikk (krefter): Newtons lover (Kap. 4)

Detaljer

Notat 2, ST januar 2005

Notat 2, ST januar 2005 Notat 2, ST1301 25. januar 2005 1 Sammensatte uttrykk Vi har sett at funksjoner ikke trenger å bestå av annet enn ett enkeltuttrykk som angir hva funksjonen skal returnere uttrykkt ved de variable funksjonen

Detaljer

6.201 Badevekt i heisen

6.201 Badevekt i heisen RST 1 6 Kraft og bevegelse 27 6.201 Badevekt i heisen undersøke sammenhengen mellom normalkraften fra underlaget på et legeme og legemets akselerasjon teste hypoteser om kraft og akselerasjon Du skal undersøke

Detaljer

Krefter, Newtons lover, dreiemoment

Krefter, Newtons lover, dreiemoment Krefter, Newtons lover, dreiemoment Tor Nordam 13. september 2007 Krefter er vektorer En ting som beveger seg har en hastighet. Hastighet er en vektor, som vi vanligvis skriver v. Hastighetsvektoren har

Detaljer

Et lite oppdrag i bakgrunnen

Et lite oppdrag i bakgrunnen Et lite oppdrag i bakgrunnen Under pultene på bakerste rad er det klistret post-it lapper med to tall skrevet på Regn ut summen av to nederste tall, skriv denne summen under de andre tallene, og send lappen

Detaljer

Matematikk og fysikk RF3100

Matematikk og fysikk RF3100 DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Øving 16. mars 2015 Tidsfrist: 23. mars 2015 klokken 14.00 Oppgave 1 Her skal vi se på hvordan man kan sikte seg inn på stridsvogner i bevegelse. Ved t = 0 befinner vi

Detaljer

Norsk informatikkolympiade runde

Norsk informatikkolympiade runde Norsk informatikkolympiade 2015 2016 1. runde Sponset av Uke 46, 2015 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.

Detaljer

AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 4: Fysikken i astrofysikk, del 1

AST1010 En kosmisk reise. Forelesning 4: Fysikken i astrofysikk, del 1 AST1010 En kosmisk reise Forelesning 4: Fysikken i astrofysikk, del 1 Innhold Mekanikk Termodynamikk Elektrisitet og magnetisme Elektromagnetiske bølger Mekanikk Newtons bevegelseslover Et legeme som ikke

Detaljer

Enkel Keynes-modell for en lukket økonomi uten offentlig sektor

Enkel Keynes-modell for en lukket økonomi uten offentlig sektor Forelesningsnotat nr 3, januar 2009, Steinar Holden Enkel Keynes-modell for en lukket økonomi uten offentlig sektor Notatet er ment som supplement til forelesninger med sikte på å gi en enkel innføring

Detaljer

Norsk informatikkolympiade runde. Sponset av. Uke 46, 2015

Norsk informatikkolympiade runde. Sponset av. Uke 46, 2015 Norsk informatikkolympiade 2015 2016 1. runde Sponset av Uke 46, 2015 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.

Detaljer

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER Tensorer har vi allerede møtt i form av skalarer (tall) og vektorer. En skalar kan betraktes som en tensor av rang null (en komponent), mens en vektor er en tensor av rang

Detaljer

Velkommen til MEK1100

Velkommen til MEK1100 Velkommen til MEK1100 Matematisk institutt, UiO MEK1100 FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2015 Foreleser: Karsten Trulsen Øvingslærere: Diako Darian og Tormod Landet MEKANIKK = LÆREN OM BEVEGELSE OG KREFTER

Detaljer

Fy1 - Prøve i kapittel 5: Bevegelse

Fy1 - Prøve i kapittel 5: Bevegelse Fy1 - Prøve i kapittel 5: Bevegelse Løsningsskisser Generelt: Alle svar skal avrundes korrekt med samme antall gjeldende siffer som er gitt i oppgaven. Alle svar skal begrunnes: - Tekst/figur/forklaring

Detaljer

Løsningsforslag til øving 3

Løsningsforslag til øving 3 Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003 Elektromagnetisme Vår 2009 Løsningsforslag til øving 3 Oppgave a) C V = E dl = 0 dersom dl E b) B På samme måte som et legeme med null starthastighet faller i gravitasjonsfeltet

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si

Detaljer

Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5

<kode> Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Emnebeskrivelse 1 Emnenavn og kode Grunnleggende matematikk for ingeniører 2 Studiepoeng 10 studiepoeng 3 Innledning Dette er det ene av

Detaljer

Velkommen til MEK1100

Velkommen til MEK1100 Velkommen til MEK1100 Matematisk institutt, UiO MEK1100 FELTTEORI OG VEKTORANALYSE Våren 2016 Foreleser: Karsten Trulsen Øvingslærere: Susanne Støle Hentschel (2 grupper), Lars Magnus Valnes (2 grupper),

Detaljer

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 22. september, 2016 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 6/10-2016, kl. 14:30 i Devilry Obligatoriske oppgaver («obliger») er en sentral del av MAT-INF1100 og er utmerket trening i å

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47. Oppgaver til seminaret 25/11

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47. Oppgaver til seminaret 25/11 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 47 Avsn. 7.1: 1, 11 På settet: S.1, S.2, S.3, S.4 Oppgaver til seminaret 25/11 Oppgaver til gruppene uke 48 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 6.6 3 Avsn. 6.7 3, 7 Avsn.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Kanter, kanter, mange mangekanter

Kanter, kanter, mange mangekanter Kanter, kanter, mange mangekanter Nybegynner Processing PDF Introduksjon: Her skal vi se på litt mer avansert opptegning og bevegelse. Vi skal ta utgangspunkt i oppgaven om den sprettende ballen, men bytte

Detaljer

TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK)

TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK) 1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs (ITGK) Introduksjon til programmering i Matlab Rune Sætre satre@idi.ntnu.no 2 Læringsmål og pensum Mål Lære om programmering og hva et program er Lære å designe

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva

Detaljer

Pilotprosjekt i faglig bruk av IKT i sivilingeniørutdannelsen: «Numerisk fysikk»

Pilotprosjekt i faglig bruk av IKT i sivilingeniørutdannelsen: «Numerisk fysikk» Pilotprosjekt i faglig bruk av IKT i sivilingeniørutdannelsen: «Numerisk fysikk» Emnet/emnene «Fysikk»: Et av de store «fellesemnene» på Gløshaugen. Tas av (nesten) alle siving studentene. Emner som vil

Detaljer

Du betyr en forskjell. (Fritt etter foredrag av Brynhild Farbrot)

Du betyr en forskjell. (Fritt etter foredrag av Brynhild Farbrot) Du betyr en forskjell (Fritt etter foredrag av Brynhild Farbrot) Dere foreldre, er like viktige som undervisningen. Gi barnet ditt allsidig erfaringer fra dagliglivet. Barn som har et godt begrepsinnhold

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Steg 1: Streken. Steg 2: En hoppende helt. Sjekkliste. Sjekkliste. Introduksjon. Hei der! Hoppehelt

Steg 1: Streken. Steg 2: En hoppende helt. Sjekkliste. Sjekkliste. Introduksjon. Hei der! Hoppehelt Hei der! Hoppehelt Ser ut som dette er ditt første besøk, vil du ha en omvisning? Ekspert Scratch PDF Introduksjon Hoppehelt er litt inspirert av musikkspillet Guitar Hero. I Hoppehelt skal man kontrollere

Detaljer

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av

Detaljer

Litt om Javas håndtering av tall MAT-INF 1100 høsten 2004

Litt om Javas håndtering av tall MAT-INF 1100 høsten 2004 Litt om Javas håndtering av tall MAT-INF 1100 høsten 2004 13. september 2004 En viktig del av den første obligatoriske oppgaven er å få erfaring med hvordan Java håndterer tall. Til å begynne med kan dette

Detaljer

Fysikkonkurranse 1. runde 6. - 17. november 2000

Fysikkonkurranse 1. runde 6. - 17. november 2000 Norsk Fysikklærerforening Norsk Fysisk Selskaps faggruppe for undervisning Fysikkonkurranse 1. runde 6. - 17. november 000 Hjelpemidler: Tabeller og formler i fysikk og matematikk Lommeregner Tid: 100

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2010

Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2010 Side av Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek våren Oppgave (Denne oppgaven teller dobbelt) Ole og Mari vil prøve om lengdekontraksjon virkelig finner sted. Mari setter seg i sitt romskip og kjører forbi Ole,

Detaljer

Skilpadder Introduksjon Python PDF

Skilpadder Introduksjon Python PDF Skilpadder Introduksjon Python PDF Introduksjon: I denne modulen skal vi lære et programmeringsspråk som heter Python. Personen som laget det kalte det opp etter sitt favorittprogrammet på TV: Monthy Pythons

Detaljer

Løsningsforslag til øving 3: Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover.

Løsningsforslag til øving 3: Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Lørdagsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2007. Veiledning: 22. september kl 12:15 15:00. Løsningsforslag til øving 3: Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Oppgave 1 a)

Detaljer

ST1301 Bioberegninger - Introduksjon

ST1301 Bioberegninger - Introduksjon ST1301 Bioberegninger - Introduksjon Jarle Tufto 11. januar 2005 1 Om kurset Innenfor en del retninger av statistikk og biologifaget er behovet for programmeringsferdigheter relativt store. I forbindelse

Detaljer

Løsning til øving 1 for FY1004, høsten 2007

Løsning til øving 1 for FY1004, høsten 2007 Løsning til øving 1 for FY1004, østen 2007 1 Oppgave 4 fra læreboka Modern Pysis, 3 utgave: a Bruk Stefan Boltzmanns lov kalt Stefans lov i boka til å regne ut total utstrålt effekt pr areal for en tråd

Detaljer

Eksempler på felter. Til orientering. MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren Matematisk Institutt, UiO. Eksempler Mek1100

Eksempler på felter. Til orientering. MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren Matematisk Institutt, UiO. Eksempler Mek1100 Eksempler på felter Til orientering Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Velkommen til MEK1100 Forelesere: Bjørn Gjevik og Geir Pedersen Øvingslærere: Odin Gramstad,

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 + 9 2 + 10 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36

Detaljer