Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. med Kalman-filter og RLS.

Transkript

1 Stavanger, 9. august 2016 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE620 Systemidentifikasjon, Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside, og for øvinger brukes It s learning. Innhold 8 Løsningsforslag. Parameterestimering med Kalman-filter og RLS Simulering Kalmanfilter RLS Kalmanfilter og farget støy Løsningsforslag. Parameterestimering med Kalman-filter og RLS. I tillegg til dette dokumentet legges m-fila ov8.m ut på fagets hovedside. Alle figurer er til slutt i dette løsningsforslaget. Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger. Sentralbord Direkte E-post: karl.skretting@uis.no.

2 8.1 Simulering Simulering ble gjort som gitt i oppgaven. Deretter laget jeg figuren med pådrag u og resultat y, figur Kalmanfilter Figur 2 viser ˆθ for aktuelt tidsrom.+ Det ser ut til at det blir for høye estimater for sample 300 til 750, men andre kjøringer gir ulike resultat så det er nok bare slik det blir akkurat her. Vi får ulike resultat alt etter hvordan støyen er, altså ulike verdier for state. Figur 3 viser en annen støy. Med flere ulike kjøringer kan det virke som om parameterestimatene virkelig er forventningsrette. Kalman-forsterkningene viser i figur 4. Setter nå Q ini = 0 og kjører estimering igjen, resultater i figur 5 og figur 6. Nå går Kalman-forsterkningene etter hvert mot null, men langsomt og med sinussvingninger. Dette gir parameterestimater som er glatte og etter hvert endrer seg lite fra steg til steg. Kalmanfilter med Q = 0 blir nokså likt RLS (med glemmefaktor λ = 1), det ville blitt helt likt hvis vi i tillegg har R = 1, men det har vi ikke her. Mindre R gjør at K går langsommere mot 0 enn ved RLS. Tilstandene kan endres selv om Q ini = 0 og Q = 0 i alle tidssteg fordi en har en K ulik null, en betingelse for dette er selvsagt at P (og P ini ) er ulik null. 8.3 RLS Figurene 7, 8 og 9 viser ˆθ for tre ulike verdier av λ. Vi ser at med mindre λ reagerer estimatene raskere, men at variansen samtidig blir større. 2

3 8.4 Kalmanfilter og farget støy Simulerer signalet som i oppgaven og før nå figuren med pådrag u og resultat y, figur 10. En spurte ikke etter denne figuren i oppgaven, men det kan likevel være greitt å vise signal og pådrag her. Resultatene er i figur 11. Vi ser at filteret nokså raskt svinger seg inn mot de riktige verdiene, men at det i perioder også kan komme litt bort fra disse. Usikkerheten (variansen) virker større enn når enn ikke hadde farget støy. Disse resultat er i samsvar med resultatene i figur i Haugens gamle blå lærebok men vi får større avvik og også stadardavvikene er estimert større. Det blir slik også når jeg bruker samme a 0, b 0 og c 0 som det Haugen gjør. Hva som da er ulikt, utenom støyen, vet jeg ikke. Det kan være at Haugen nå bruker lavere verdie for Q ini, i alle fall får jeg at det gir bedre estimator i dette tilfellet. I tabellen nedenfor har vi brukt siste estimat av parametrene, ˆθ=th(:,end), og pluss minus standardavvik, sqrt(diag(p)). For 95% sikkerhet bruker en gjerne heller pluss minus to standardavvik, og vi ser her at resultatene vi får da er innefor disse grensene. a 0 = 0.56 â = 0.47 (±0.10) b 0 = 0.25 ˆb = 0.30 (±0.07) c 0 = 0.78 ĉ = 0.87 (±0.16) 3

4 Figur 1: Pådrag og simulert (virkelig) signal for systemet i oppgaven. Dette var punkt a) i oppgaven. Figur 2: Parameterestimatene, med randomstate=1367. Dette var punkt b) i oppgaven. 4

5 Figur 3: Parameterestimatene, med randomstate=1567. Dette er også som punkt b) i oppgaven, men denne figuren ba en ikke konkret om. Figur 4: Kalman-forsterkningene. Dette var punkt c) i oppgaven. 5

6 Figur 5: Parameterestimatene, med randomstate=1367. Dette var punkt b0) i oppgaven. Figur 6: Kalman-forsterkningene. Dette var punkt c0) i oppgaven. 6

7 Figur 7: Parameterestimatene, λ = 1. Dette var punkt d100) i oppgaven. Figur 8: Parameterestimatene, λ = Dette var punkt d99) i oppgaven. 7

8 Figur 9: Parameterestimatene, λ = Dette var punkt d95) i oppgaven. Figur 10: Pådrag og simulert (virkelig) signal for systemet med farget støy. Denne figuren spurde en ikke etter i oppgaven. 8

9 Figur 11: Parameterestimatene for systemet med farget støy. Dette var punkt e) i oppgaven. Figur 12: Fordeling av parameterestimatet for a i systemet med farget støy. Dette ble det ikke spurt etter i oppgaven. 9

10 Figur 13: Fordeling av parameterestimatet for b i systemet med farget støy. Dette ble det ikke spurt etter i oppgaven. Figur 14: Fordeling av parameterestimatet for c i systemet med farget støy. Dette ble det ikke spurt etter i oppgaven. 10