Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at
|
|
- Rolf Berge
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling f(x). Forventningsverdien (mean, expected value) til X er µ = E(X) = x x f(x) hvis X er diskret, og µ = E(X) = x f(x)dx hvis X er kontinuerlig.
2 3 Tyngdepunkt 4 Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at 0 x r e ax dx = r! når a > 0 og r er et heltall 0 ar+1 Vi betrakter ankomst- og oppholdstider for et bestemt lokaltog på en jernbanestasjon. Toget skal etter rutetabellen ankomme hver hverdag klokka 8:00, men kommer alltid etter dette tidspunktet. La X (minutter) betegne togets forsinkelse på en tilfeldig valgt hverdag. Vi antar at X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { kxe 2x for x > 0 g(x) = 0 for x 0 der k > 0 er en konstant. i) Har vist at k = 4. ii) Hva er forventingsverdien til X?
3 5 Prosjektstyring X = tid for å samle inn data (i påbegynte timer) Y = tid for å analysere data f X (x) f Y (y) Prosjektstyring (forts.) Ser på tid brukt til datainnsamling (X) Kunden har betalt 1200 kr for datainnsamlingen, og prosjektarbeideren som skal utføre datainnsamlingen får 500 kr timen. Hva er forventet inntekt for datainnsamlingen? f X (x)
4 7 Forventing til funksjon av en stokastisk variabel TEO 4.1: La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling f(x). Forventningsverdien til den stokastiske variablen g(x) er µ g(x) = E[g(X)] = x g(x)f(x) hvis X er diskret, og µ g(x) = E[g(X)] = g(x)f(x)dx hvis X er kontinuerlig. 8 E(aX + b) TEO 4.5: Hvis a og b er konstanter, så er E(aX + b) = ae(x) + b COR 1: Setter vi a = 0 ser vi at E(b) = b COR 2: Setter vi b = 0 ser vi at E(aX) = ae(x)
5 9 E(sum eller differanse) TEO 4.6: Forventningsverdien til summen eller differansen av to eller flere funksjoner av den stokastiske variablen X, er summen eller differansen til forventningsverdiene til funksjonene. Det vil si, siden E[g 1 (X) ± g 2 (X)] = E[g 1 (X)] ± E[g 2 (X)]. g(x) = g 1 (X) ± g 2 (X) E(g(X)) = E(g 1 (X) ± g 2 (X)) = [g 1 (x) ± g 2 (x)] f(x)dx = E[g 1 (X)] ± E[g 2 (X)] Varians (og kovarians) DEF 4.3: La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling f(x) og forventning µ = E(X). Variansen til X er σ 2 = Var(X) = E[(X µ) 2 ] = x hvis X er diskret, og σ 2 = Var(X) = E[(X µ) 2 ] = (x µ) 2 f(x) (x µ) 2 f(x)dx hvis X er kontinuerlig. Den positive kvadratroten av variansen, σ = SD(X), kalles standard avviket til X. TEO 4.2: Variansen til en stokastisk variabel X er σ 2 = Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = E(X 2 ) µ 2
6 11 Togforsinkelsen (forts.) 0 x r e ax dx = r! når a > 0 og r er et heltall 0 ar+1 { 4xe 2x for x > 0 f X (x) = 0 for x 0 E(X) = 1 Hva er variansen til X? 12 Varians til en funksjon av en stokastisk variabel TEO 4.3: La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling f(x). Variansen til den stokastiske variablen g(x) er σ 2 g(x) = E[(g(X) µ g(x)) 2 ] = x [g(x) µ g(x) ] 2 f(x) hvis X er diskret, og σ 2 g(x) = E[(g(X) µ g(x)) 2 ] = [g(x) µ g(x) ] 2 f(x)dx hvis X er kontinuerlig.
7 13 Varians til en lineær funksjon av en stokastisk variabel TEO 4.9: Hvis a og b er konstanter, så er σax+b 2 = Var(aX + b) = a2 Var(X) = a 2 σx 2 COR 1: Setter vi a = 1 ser vi at Var(X + b) = Var(X) = σx 2. COR 2: Setter vi b = 0 ser vi at Var(aX) = a 2 Var(X) = a 2 σx Prosjektstyring (forts.) Ser på aktivitet A. Kunden har betalt 1200 kr for aktivitet A, og prosjektarbeideren som skal utføre aktivitet A får 500 kr timen. Inntekt for aktivitet A: g(x) = X Forventning: E(g(X)) = 100. Hva er Var(g(X))? f X (x)
8 15 Forventning og varians, univariat Diskret stokastisk variabel Kontinuerlig stokastisk variabel Forventning: E(X), tyngdepunkt i fordelingen, beste gjett på ny fremtidig observasjon µ = E(X) = x xf(x) µ = E(X) = xf(x)dx µ g(x) = E[g(X)] = x g(x)f(x) µ g(x) = E[g(X)] = g(x)f(x)dxx E(aX + b) = ae(x) + b Varians: Var(X), mål for spredning σ 2 = Var(X) = E[(X µ) 2 ] = E(X 2 ) µ 2 σ 2 = x (x µ)2 f(x) σ 2 = (x µ)2 f(x)dx σg(x) 2 = Var[g(X)] = E[(g(X) µ g(x)) 2 ] σg(x) 2 = x (g(x) µ g(x)) 2 f(x) σg(x) 2 = [g(x) µ g(x)] 2 f(x)dx Var(aX + b) = a 2 Var(X) Standardavvik: SD(X) = Var(X) Mål for spredning på samme skala som originalobservasjonenen Chebyshevs teorem TEO 4.11: Chebyshevs teorem Sannsynligheten for at en stokastisk variabel X vil anta en verdi innen k standardavvik fra forventningsverdien er minst 1 1/k 2. Det vil si, P(µ kσ < X < µ + kσ) 1 1 k 2 k=1: P(µ σ < X < µ + σ) = 0 k=2: P(µ 2σ < X < µ + 2σ) = 0.75 k=3: P(µ 3σ < X < µ + 3σ) = 0.89
9 17 Chebyshevs teorem og Normalfordelingen Nøyaktig for normalfordelingen: k=1: P(µ σ < X < µ + σ) = k=2: P(µ 2σ < X < µ + 2σ) = k=3: P(µ 3σ < X < µ + 3σ) = Forventning til funksjon av flere stokastiske variabler DEF 4.2: La X og Y være stokastisk variable med simultan sannsynlighetsfordeling f(x, y). Forventningsverdien til den stokastiske variabelen g(x, Y) er µ g(x,y) = E[g(X, Y)] = x hvis X og Y er diskrete, og g(x, y)f(x, y) y µ g(x,y) = E[g(X, Y)] = g(x, y)f(x, y)dxdy hvis X og Y er kontinuerlige.
10 19 Prosjektstyring (forts.) X = tid for datainnsamling (i påbegynte timer) Y = tid for dataanalyse. x f Y (y) y f X (x) µ X = E(X) = = 2.2 µ Y = E(Y) = = 3.0 Hva er E(X + Y)? Hva er E( Y X )? 20 E(funksjoner av flere SV) TEO 4.7: Forventningsverdien til summen eller differansen av to eller flere funksjoner av de stokastiske variablene X og Y, er summen eller differansen til forventningsverdiene til funksjonene. Det vil si, E[g(X, Y) ± h(x, Y)] = E[g(X, Y)] ± E[h(X, Y)]. COR 1: Setter vi g(x, Y) = g(x) og h(x, Y) = h(y) E[g(X) ± h(x)] = E[g(X)] ± E[h(Y)]. COR 2: Setter vi g(x, Y) = X og h(x, Y) = Y E[X ± Y] = E[X] ± E[Y].
11 21 Generalisering Y = E(Y) = n a i X i + b i=1 n a i E(X i ) + b i=1 Formelsamlingen s Prosjektstyring (forts.) x f Y (y) y f X (x) Er interessert i forholdet g(x, Y) = Y X datainnsamling og dataanalyse. E [ ] Y X = x y mellom varigheten av y f(x, y) x NB: E [ Y X = (1/2) (1/3) (2/3) 0.03 = 1.44 ] E(X) E(Y) (3/2) (4/3) 0.15
12 Varians og kovarians DEF 4.4: La X og Y være to stokastisk variable med simultan sannsynlighetsfordeling f(x, y), og forventninger hhv. µ X = E(X) og µ Y = E(Y). Kovariansen til X og Y er σ XY = Cov(X, Y) = E[(X µ X )(Y µ Y )] = (x µ X )(y µ Y )f(x, y) x y hvis X og Y er diskrete, og σ XY = Cov(X, Y) = E[(X µ X )(Y µ Y )] = hvis X og Y er kontinuerlige. (x µ X )(y µ Y )f(x, y)dxdy 24 Kovarians TEO 4.4: Kovariansen til to stokastiske variabler X og Y med forventninger hhv. µ X = E(X) og µ Y = E(Y), er gitt ved σ XY = Cov(X, Y) = E(X Y) E(X) E(Y) = E(X Y) µ X µ Y TEO 4.8: La X og Y være to uavhengige stokastiske variabler. Da er E(X Y) = E(X) E(Y). Når X og Y er uavhengige er E(X Y) = E(X) E(Y) = µ X µ Y. Dermed når X og Y er uavhengige er Cov(X, Y) = µ X µ Y µ X µ Y = 0. Men, hvis Cov(X, Y) betyr det nødvendigvis IKKE at X og Y er uavhengige.
13 25 Korrelasjon DEF 4.5: La X og Y være to stokastisk variable med kovarians σ XY og varianser hhv. σ 2 X og σ2 Y. Korrelasjonskoeffisienten til X og Y er ρ XY = Cov(X, Y) Var(X) Var(Y) = σ XY σ X σ Y Tolkning : Hvis Y = ax + b og a > 0 ρ XY = 1 Hvis Y = ax + b og a < 0 ρ XY = 1 Hvis X og Y er uavhengige ρ XY = 0 1 ρ XY 1. Korrelasjon = 0.95 Korrelasjon = Korrelasjon = 0.7 Korrelasjon =
14 27 Aksjekurs, eksamen juni 2004, 2c aksjeverdi i kroner dager Figuren viser utviklingen av aksjekursen til Agderfrukt (stiplet) sammen med aksjekursen til Trønderfrukt (heltrukket). 28 Aksjekurs, forts. Kursendringen dag i for Agderfrukt kaller vi X i, og vi antar at X i har forventning µ X = 0.15 kroner og standardavvik σ X = 0.60 kroner. Kursendringen dag i for Trønderfrukt kaller vi Y i, og vi antar at Y i har forventning µ Y = 0.15 kroner og standardavvik σ Y = 0.80 kroner. Kursendringer for ulike dager antas å være uavhengige. Vi sammenlikner de to selskapene ved å måle differansen mellom de daglige kursendringene, D i = X i Y i, og ta gjennomsnitt. Vi ser på 10 dager og får D = i=1 D i = i=1 (X i Y i ). Gir figuren grunn til å tro at endringene i de to aksjekursene samme dag, X i og Y i, er uavhengige? Korrelasjonen mellom X i og Y i for disse to selskapene, ρ(x i, Y i ), er enten -0.5, 0.0 eller 0.5. Hvilken av disse verdiene virker mest rimelig fra figuren? Begrunn kort. Hva blir forventningsverdi og varians for D? Benytt verdien for korrelasjonen, ρ(x i, Y i ), som du valgte over.
15 29 Varians til lineærkombinasjon av to stokastiske variabler TEO 4.10: La X og Y være to stokastisk variable med simultan sannsynlighetsfordeling f(x, y), da er σ 2 ax+by = Var(aX + by) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y) + 2abCov(X, Y) = a 2 σ 2 X + b2 σ 2 Y + 2ab σ XY COR 1: Hvis X og Y er uavhengige stokastiske variable, så er Cov(X, Y) = 0 og Var(aX + by) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y) = a 2 σ 2 X + b 2 σ 2 Y COR 2: Hvis X og Y er uavhengige stokastiske variable, så er Cov(X, Y) = 0 og Var(aX by) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y) = a 2 σ 2 X + b 2 σ 2 Y COR 3: Hvis X 1, X 2,..., X n er uavhengige stokastiske variable, så er Var(a 1 X a n X n ) = a 2 1Var(X 1 ) + + a 2 nvar(x n ) 30 Generalisering Y = E(Y) = Var(Y) = + 2 n a i X i + b i=1 n a i E(X i ) + b i=1 n a 2 i Var(X i) i=1 n i=1 i 1 j=1 a i a j Cov(X i, X j ) Formelsamlingen s 34.
16 31 Prosjektstyring: tid Total varighet av aktiviteter er X + Y, hva er Var(X + Y)? µ X = E(X) = = 2.2 µ Y = E(Y) = = 3.0 E(X + Y) = E(X) + E(Y) = = 5.2 σ 2 X = Var(X) = E(X 2 ) µ 2 X = = = 0.36 σy 2 = Var(Y) = E(Y 2 ) µ 2 Y = = = Prosjektstyring: tid (forts.) σ XY = Cov(X, Y) = E(XY) µ X µ Y = = = 0.16 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y) = = 1.68 SD(X + Y) = Var(X + Y) = 1.68 = 1.3
17 33 Prosjektstyring: penger Inntekt for datainnsamling er: X Inntekt for dataanalyse er: Y Totalt inntekt er Z = 500 X 500 Y = a Y X + a Y Y + b der a X = 500, a Y = 500 og b = µ X = E(X) = = 2.2 µ Y = E(Y) = = 3.0 E(a x X + a Y Y + b) = a X E(X) + a Y E(Y) + b E(Z) = ( 500) ( 500) = 600 σ 2 X = Var(X) = 0.36 σ 2 Y = Var(Y) = 1.00 σ XY = Cov(X, Y) = 0.16 Var(a X + a Y Y + b) = a 2 X Var(X) + a2 Y Var(Y) + 2a X a Y Cov(X, Y) Var(Z) = ( 500) ( 500) ( 500) ( 500)0.16 = q SD(X + Y) = Var(Z) = = Kapittel 4.5 : nytt i 8. utgave Kapittel 4 er som kapittel 3 grunnleggende. Kapittel 3 fortalte om generelle egenskaper ved fordelinger, kapittel 4 tar opp mål for fundamentale parametre som karakteriserer systemet og som vi vil bruke videre. Gjennomsnittet til en fordeling antyder tendensen, og variansen eller standardavviket antyder variabiliteten til systemet. Videre angir kovariansen tendensen til at to stokastiske variabler følger hverandre i et system.
18 35 Kapittel 4.5 : nytt i 8. utgave NB: Fordelingen er ofte gitt basert på naturlover e.l., men parameterverdiene må ofte estimeres fra målte data. Selv om vi i flere oppgaver oppgir en forventningsverdi (µ), vil den i praksis være funnet fra eksperimentelle data. Kapittel 9 tar opp estimering, for situasjonene når parametre er kjente og ukjente.
Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4
3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF
DetaljerKapittel 4: Matematisk forventning
Kapittel 4: Matematisk forventning TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Multivariate tilfeller foreleses mandag 6.september, 2004 Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/16 Forventing til funksjon av flere stokastiske
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 4: Matematisk forventning [4.1+start 4.3] Quiz kjørt med Kahoot! fra kahoot.it. Mette Langaas wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/ 2 Høyde, kvinner Frequency
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
Detaljer3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
Detaljer3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.1,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen)
TMA4240 Statistikk H200 3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen) Mette Langaas Foreleses mandag 3. september 200 2 f (x,
DetaljerForeleses onsdag 8. september 2010
TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians
DetaljerEksempel: kast med to terninger
Kapittel 3 TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Eksempel: kast med to terninger I et eksperiment kaster vi to terninger og registerer antall øyne på hver terning. Utfallsrom S={(,),(,2),(,3),...,(,), (2,),...,(2,),...,(,)}
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
DetaljerForventning og varians.
Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.1) Forventningsverdi = gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: x xf(x),x
DetaljerKapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger
f(x,y) NTNU Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4240 Statistikk (F2 og E7) 3.4: Foreleses mandag 30.august y=hoyde x=vekt Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/18 Oppsummering
DetaljerForventning og varians.
Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.) Forventningsverdi gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: E(X) f(),x diskret
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning
DetaljerSum to terninger forts. Eksempel: kast med to terninger. Sum to terninger forts. Kapittel 3. TMA4240 H2006: Eirik Mo
3 Sum to terninger forts. Kapittel 3 TMA4240 H200: Eirik Mo 2 3 4 5,,2,3,4,5, 2 2, 2,2 2,3 2,4 2,5 2, Andre 3 3, 3,2 3,3 3,4 3,5 3, terning 4 4, 4,2 4,3 4,4 4,5 4, 5 5, 5,2 5,3 5,4 5,5 5,,,2,3,4,5, Med
Detaljer6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) =
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 4, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 a) Utfallsrommet til X 1 er {1, 2,, 4, 5, }. Sannsynlighetsfordelingen
DetaljerFormelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal
Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene
Detaljerstatistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
Detaljer6.2 Normalfordeling. Høyde kvinner og menn. 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling. Kapittel 6
3 6.2 Normalfordeling Kapittel 6 Noen kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4245 V2007: Eirik Mo Normalfordeling: Sannsynlighetstettheten til en normalfordelt stokastisk variabel, X, med forventning
DetaljerA) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.
Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:
DetaljerForelesning 13. mars, 2017
Forelesning 13. mars, 217 AVSNITT 5.2 Kovariansen mellom to variable Korrelasjon mellom to variable AVSNITT 5.3 Betingede fordelinger Kovariansen mellom to stokastiske variable Kovariansen mellom to stokastiske
DetaljerTo-dimensjonale kontinuerlige fordelinger
To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a
DetaljerForelesning 7. mars, 2017
Forelesning 7. mars, 2017 AVSNITT 5.1 Eksempel: Miljøkonturer AVSNITT 5.2 Forventningen til en funksjon av flere variable Kovariansen mellom to variable Eksempel: Miljøkonturer Miljøvariable som karakteriserer
DetaljerKapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4245 Statistikk (B, K1, I) 3.1, 3.2, 3.3 foreleses torsdag 15.januar 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 160 170 180 190 hoyde i cm Mette.Langaas@math.ntnu.no
DetaljerTMA4245 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 4 Løsningsskisse Oppgave 1 Mureren La X være mengden mørtel mureren bruker i løpet av en tilfeldig valgt arbeidsdag.
DetaljerKapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Foreleses 15. september, 2004. µ µ µ + Basert på slides av Mette Langås p.1/16 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig
Detaljer1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
DetaljerStatistikk 1 kapittel 4
Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)
DetaljerStatistikk 1 kapittel 4
Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
DetaljerTMA4245 Statistikk Vår 2007
TMA4245 Statistikk Vår 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har lært.
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 11. november 2017) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerTMA4245 Statistikk Høst 2016
TMA5 Statistikk Høst 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving Løsningsskisse Oppgave a) Den tilfeldige variabelen X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet
DetaljerLøsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015
Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 0 Oppgave 1 Siden det spørres om tall fra et intervall, som oppgaven viser kan være et reelle, er det tydelig at tallene er tatt fra en kontinuerlig fordeling.
DetaljerStokastisk variabel. Eksempel augefarge
Dagens tekst Kap 3: Stokastiske variable og sannsynsfordelingar Stokastisk variabel: Diskret sannsynsfordeling: Kontinuerleg sannsynsfordeling: Kummulativ sannsynsfordeling: Diskret simultanfordeling Kontinuerleg
DetaljerØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. Lineærkombinasjonen Z = 5X + 8Y har forventningsverdi
ØVINGER 27 Løsninger til oppgaver Øving 6 4. (7). Fra oppgave 4.5 (øving 4) har vi forventningsverdien variansen til X, E[X] =.92, V ar[x] =.3. Lineærkombinasjonen Z = 5X + 8Y har forventningsverdi E[Z]
DetaljerKapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable
Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerDenne veka. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon
Denne veka Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon Notat: Ordningsvariable og ekstremvariable Ordnings variable Maksimum Minumum Transformasjon
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerMAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem
MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA44 Statistikk Høst 9 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b Løsningsskisse Oppgave X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { f(x),
Detaljer6.1 Kontinuerlig uniform fordeling
Kapittel 6 Noen kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig uniform fordeling: Sannsynlighetstettheten til den kontinuerlige uniforme
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: STK Sannsynlighetsregning og statistisk modellering Eksamensdag: Mandag 4. mars 26 Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!
DetaljerKapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.
Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerECON Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger. Jo Thori Lind
ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Betinget sannsynlighet 2. Stokastiske variable 3. Forventning og varians 4. Regneregler
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerNotasjon. Løsninger. Problem. Kapittel 7
3 Notasjon Kapittel 7 Funksjoner av stokastiske variabler Har n stokastiske variabler, X 1, X 2,..., X n, med kjent fordeling f( 1, 2,..., n ) og kumulativ fordeling F( 1, 2,..., n ). Ser på Y = u(x 1,
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 2.8: Bayes regel 3.1: Stokastisk variabel 3.2: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 1. september 2010
DetaljerEKSAMEN I TMA4240 Statistikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Henning Omre (909 37848) Mette Langaas (988 47649) EKSAMEN I TMA4240 Statistikk 18.
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2007
TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,
DetaljerBetinget sannsynlighet
Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4,
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x) er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom: 1. f(x) 0 for alle x R 2. f(x)dx =1 3. P (a
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: HIS 05 08. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside)
DetaljerLa U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer
Binormalfordelingen Definisjon Noe av hensikten med å innføre begrepet betinget sannsynlighet er at kompliserte modeller ofte kan bygges ut fra enkle betingede modeller. Når man spesifiserer betingelser
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.
DetaljerKapittel 5: Diskrete sannsynsfordelingar TMA4245 Statistikk. 5.2 Diskret uniform fordeling NTNU NTNU NTNU
Kapittel 5: Disrete sasysfordeligar TMA4245 Statisti Rep.: Forvetig, varias og ovarias Forvetig (tygdeput, geeraliserig av empiris gjeomsitt): < P x µ = E(X) = R xf(x) (Xdisret) : xf(x)dx (Xotiuerlig)
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerOppgavesett nr. 5. MAT110 Statistikk 1, Et transportfirma har et varemottak for lastebiler med spesialgods, se figur 1.
Innleveringsfrist: mandag 19. mars kl. 16:00 (version 01) Oppgavesett nr. 5 MAT110 Statistikk 1, 2018 Oppgave 1: ( logistikk ) Et transportfirma har et varemottak for lastebiler med spesialgods, se figur
DetaljerEKSAMEN I TMA4245 Statistikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Turid Follestad (98 06 68 80/73 59 35 37) Hugo Hammer (45 21 01 84/73 59 77 74) Eirik
DetaljerTMA4240 Statistikk. Øving nummer 7. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave Blandet drops a) Tippekupong På en tippekupong er det gitt 2 fotballkamper.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 29. november 1993. Tid for eksamen: 09.00 15.00. Oppgavesettet
DetaljerSTK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner
STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i
DetaljerKapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma.
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma. Mette Langaas Foreleses mandag 27. september 2010 2
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerRegneøvelse 22/5, 2017
Regneøvelse 22/5, 217 Arne Bang Huseby Eksamen STK11 212: oppgave 1 og 2 Eksamen STK11 28: oppgave 1) og 2 Eksamen 212, oppgave 1 Ved en bestemt butikk i en større dagligvarekjede viser langvarige data
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerUtfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerEksamensoppgave i TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerTMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlig uniform fordeling f() = B A, A B. En kontinuerlig størrelse (vekt, lengde, tid), som aldri kan bli mindre enn
DetaljerSTK1100 våren Forventningsverdi. Forventning, varians og standardavvik
STK00 våren 0 Forventning, varians og standardavvik Svarer til avsnitt 3.3 i læreboka Geir Storvik (Ørnulf Borgan) Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forventningsverdi Punktsannsynligheten px (
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER SV SØ 232: METODE II
EKSAMENSOPPGAVER SV SØ 232: METODE II H-1998 Gjør rede for følgende begreper: 1. Stokastisk variabel 2. Sannsynlighet 3. Estimator 4. Estimat 5. Forventning 6. Varians 7. Kovarians Gjør rede for trinnene
DetaljerFormelsamling V MAT110 Statistikk 1. Per Kristian Rekdal
Formelsamling V-2016 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal Figur 1: Statistikk. 3 Innhold 1 Beskrivende statistikk 9 1.1 Populasjon og utvalg.................................. 9 1.2 Statistiske mål
DetaljerObservatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter
Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter
DetaljerForelesing 27 Oppsummering. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Forelesing 27 Oppsummering Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 18.04.2018 I dag Lineær regresjon (sjekk av modellantagelser) Praktisk informasjon Andre statistikk-kurs Oversikt over
DetaljerEKSAMEN I EMNE TMA4245 STATISTIKK
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal 73 59 35 34/ 41 64 53 76 Jo Eidsvik 73 59 01 53/ 90 12 74 72
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
Andreas Mhre April 15 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 13 Oppgave 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) E(XY) = - E(X ) X og Z er uavhengige, så
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 25. NOVEMBER 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ
DetaljerRegler i statistikk STAT 100
TORIL FJELDAAS RYGG - VÅREN 2010 Regler i statistikk STAT 100 Innhold side Sannsynlighetsregning 3 - Uttrykk 3 - Betinget sannsynlighet 4 - Regler for sannsynlighet 4 - Bayes teorem 4 - Uavhengige begivenheter
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerKontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt.
Eksamen i: MET040 Statistikk for økonomer Eksamensdag: 4 november 2008 Tid for eksamen: 09.00-13.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Tillatte hjelpemidler: Alle trykte eller egenskrevne hjelpemidler og kalkulator.
DetaljerMAT110. Statistikk 1. Kompendium 2018, del 2. Per Kristian Rekdal
MAT110 Statistikk 1 Kompendium 2018, del 2 Per Kristian Rekdal 2 Innhold 0 Introduksjon 7 0.1 Statistikk........................................ 8 0.2 Oversikt over MAT110 Statistikk 1.........................
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN
et) Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: SFB10711Metode 1 Statistikkdel Dato: 5. feb. 2016Eksamenstid: kl. 1400 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling til kl. 1800 Faglærer: Nils Ingar Arvidsen
DetaljerLøsningsforslag Til Statlab 5
Løsningsforslag Til Statlab 5 Jimmy Paul September 6, 007 Oppgave 8.1 Vi skal se på ukentlige forbruk av søtsaker blant barn i et visst område. En pilotstudie gir at standardavviket til det ukentige forbruket
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
DetaljerRegneregler for forventning og varians
Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
Detaljer