TMA4240 Statistikk Høst 2009

Transkript

1 TMA44 Statistikk Høst 9 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b Løsningsskisse Oppgave X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet { f(x), x,,,, ellers Skal finne sannsynlighetstettheten til Da y x får vi og gitt at x,, får vi ved teorem 7. Y X. x y + [ ] y + g(y) f for y,,5. Oppgave Simultanfordeling Eksamen august 6, oppgave 4 av 4 Simultanfordelingen, f(x, y), til de to diskrete stokastiske variablene X og Y er gitt i følgende tabell: ovingb-lsf-b. oktober 9 Side

2 y y y f(x) x- 6 x 6 x 6 f(y) Marginalfordelingen til X og til Y sees i tabellen. f(x) f(y) { for x,, ellers. { for y,, ellers. Forvening og varians til X: E(X) ( ) + + Var(X) ( ) + ( ) + ( ) Forvening og varians til Y : E(Y ) + + Var(Y ) ( ) + ( ) + ( ) Kovarians: E(X Y ) 6 ( ) + ( ) + ( ) Cov(X,Y ) 6 6

3 Siden kovariansen mellom X og Y ikke er null så kan ikke X og Y være uavhengige. Vi ser også at simultanfordelingen til X og Y ikke er lik produktet av de to marginalfordelingene, noe som ville vært tilfellet hvis X og Y hadde vært uavhengige. Oppgave Eksamen desember 999, oppgåve 4 av 5, punkt a,b (av a-e) a) P(X > ) P(X ) F() ( e ).6 P(X > X > ) P(X > X > ) P(X > ) F() F() e e.59 P(X > ) P(X > ) E(X) xf(x)dx θ θ Γ() θ b) U min(x A,X B ), og X A og X B er uavhengige. x xe θ dx formel θ θ θ + Γ( + ) F U (u) P(U u) P(U > u) P(min(X A,X B ) > u) P(X A > u X B > u) uavh. P(X A > u)p(x B > u) ( F XA (u))( F XB (u)) e u e u e u( + ) f U (u) F U (u) ( u + )e u( + ) ( + ) u e u( + ), u > Gjenkjenner dette som same fordelinga som X og Y kjem frå, men med θ ( Følgjer då frå a) at: E(U) ( + ) ( + ) + ). Oppgave 4 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet

4 Vi bruker i oppgavene teorem 7.. f X (x) { xexp( x ) x ellers a) Vi har U X g(x);x slik at X U + h(u) med h (u). Funksjonen g(x) x er strengt monoton og deriverbar for alle x. Vi har dermed f U ( u) f X ( h(u)) h (u) (u + ) exp( (u + ) ) (u + ) exp( (u + ) );u. b) Vi har her der med V X g(x);x X V h(v ) h (v). Funksjonen g(x) x er strengt monoton og deriverbar for alle x. Dette gir f V ( v) f X ( h(v)) h ( v) ( v) exp( ( v) ) v exp( ( v) );v. c) Vi har W X g(x);x som gir X W h(w) med

5 h (w) w. Funksjonen g(x) x er strengt monoton og deriverbar for alle x. f W ( w) f X ( h( w)) h ( w) w exp( w) w exp( w);w. Oppgave 5 Levetid for lyspærer Eksamen august, oppgave av a) Fra formelsamlingen ser vi at både X og Y er eksponensialfordelte variable: og vi får at X Exp(β ) E[X] β Y Exp(β ) E[Y ] β, E[X] E[Y ] β β. b) Først gjør vi et variabelskifte der X UV og Y V slik at U X/Y er den variabelen vi er ute etter. Deretter finner vi simultantettheten til U og V, før vi til slutt bruker denne til å finne marginaltettheten til U. Vi vet at simultantettheten til U og V er gitt ved der Jacobideterminanten J er gitt ved x x u v J Dermed blir f U,V (u,v) f U,V (u,v) f X,Y (x(u,v),y(u,v)) J, y u Marginaltettheten til U finner vi ved f U (u) y v f U,V (u,v)dv v u v. β e uv/β β e v/β v u,v > ellers v β β e u v β + β u,v > ellers. v β β e u v β + β dv β β (β +β u) u > ellers.

6 c) E[U] u f U (u)du β β β β u (β + β u) du ( s ) s ds, hvor vi bruker substitusjonen β s β + β u i siste linje. Oppgave 6 Eksamen desember 999, oppgåve 5 av 5 I denne oppgåva er det fleire alternative løysningar, tre løysningar er gitt her: Alternativ : Finn først fordelingsfunksjonen: D.v.s. tettleiken er: som skulle visast. Alternativ : F Y (y) P(Y y) P(X + X y) f(x,x )dx dx x +x y uavh. λe λx λe λx dx dx x +x y y y x y y λe λx λe λx dx dx λe λx ( e λ(y x ) )dx (λe λx λe λy )dx e λy yλe λy f(y) F Y (y) λe λy λe λy + yλ e λy λ ye λy, y >

7 F Y (y) P(Y y) P(talet på hendingar i [,y] ) P(Z ) der Z P (λy) P(Z ) (λy) e λy (λy)!!! e λy λye λy e λy D.v.s. tettleiken er: f(y) F Y (y) λe λy λe λy + λ ye λy λ ye λy, y > som skulle visast. Alternativ : Finn først momentgenerarande funksjon (MGF) til den aktuelle gamma-fordelinga: For Y X + X har vi at: M Y (t) E(e ty ) e ty λ ye λy dy λ ye (λ t)y dy λ (λ t) (λ t) ye (λ t)y dy λ ( λ t ) M Y (t) M X +X (t) M X (t)m X (t) Frå tabellen har vi at M Xi (t) λ λ t, d.v.s. M Y (t) ( λ λ t ). Då Y X + X har same MGF som gammafordalinga med parameter α og β λ har vi vist at Y har denne gammafordelinga. Oppgave 7 Oppgave fra notat om ordningsvariabler og ekstremvariabler Betrakt et parallellsystem av to uavhengige komponenter, der levetiden til hver av komponentene er eksponensialfordelt med parameter λ, dvs F X (x) e λ x for x.

8 X X Figur : Paralellkopling av to komponenter Da komponentene danner et paralellsystem, vil systemet fungere dersom minst en av komponentene fungerer. Vi lar dermed levetiden til systemet betegnes ved V max(x,x ), og fordelingen til V finnes ved å benytte at komponenten med lengst levetid er mindre eller lik v hvis og bare hvis begge komponentene er mindre eller lik v: F V (v) P(V v) P(max(X,X ) v) P(X v X v) Vi har videre Uavh. P(X v) P(X v) (F X (v)) ( e λv ) e λv + e λv. Forventningen til V er gitt ved Ved delvis integrasjon får vi dermed E(V ) f V (v) d dv F V (v) λ e λv λ e λv. E(V ) vf V (v)dv vf V (v)dv. ( λ v e λv λ v e λv )dv λ.