TMA4240 Statistikk Høst 2016

Transkript

1 TMA44 Statistikk Høst 16 Nrges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt fr matematiske fag Abefalt øvig 7 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Reger først ut de kumulative frdeligsfuksje til X: F X (x) = Z x e t dt =1 e x fr x> Skal fie sasylighetstetthete til V = max(x 1,X ) g reger først ut frdeligsfuksje: F V (v) =P (max(x 1,X ) apple v) = P (X 1 apple v \ X apple v) uavh Dvs. sasylighetstetthete til V blir: = P (X 1 apple v)p (X apple v) = F X (v) =(1 e v ) =1 e v + e v f V (v) =F (v) = e v e v E(V )= Z 1 v( e v e v )dv = Z 1 v e v dv = 1 1 = 3 Z 1 v e v dv Vi har at E(X) = R 1 x e x dx = 1, dvs. vi har at E(X) < E(V ) < E(X) sm vetet da V er de største av t X-er. Side V = max(x 1,X ) vil vi frvete at E(V ) > E(X) g at E(V ) < E(X 1 + X ) = E(X). b) Merk at tallsvaree i reste av ppgave ka være ulik de tallsvaree du får selv. E ka defiere følgede fuksj sm simulerer fra frdeldig til V : fucti max_verdi = simulerframaks(b, lambda, ) % Fuksj sm simulerer fra maks-frdelig % B: atall gjetagelser % lambda: mdellparameter ab7-lsf-b 3. september 16 Side 1

2 TMA44 Statistikk Høst 16 % : atall X_i i hver gjetagelse max_verdi = zers(b, 1); fr b = 1:B utbetalig = exprd(1/lambda, [,1]); % trekk fra ekspetialfrdelige max_verdi(b) = max(utbetalig); % lagre maksimum ed ed g deretter kalle dee fuksje: lambda =.; % mdellparameter = 8; % atall idustribraer B = 5; % atall gager vi gjetar frseket max_verdi = simulerframaks(b, lambda, ); % B realiseriger fra frdelige til V figure; histgram(max_verdi, Nrmalizati, prbability ) % Plt cdf figure; [Fhat, v_verdi] = ecdf(max_verdi); plt(v_verdi, Fhat); % Krrekt cdf F lambda, ) (1-exp(-lambda * v)).^; 1-F(v_verdi, lambda, ); hld ; plt(v_verdi, F(v_verdi, lambda, )); leged( Empirisk CDF, Teretisk CDF ); Et histgram av frdelige til V er gitt i Figur 1. Empirisk g teretisk kumulative frdeligsfuksj er plttet i Figur, g vi ser at de stemmer bra veres. c) Vi fier sasylighete ved å telle atall gager V > 3 g dele på 5: % Aslaa sasyliget V > 3 verdi = 3; % sasyliget = sum(max_verdi > verdi) / B % Sa sasylighet 1-F(verdi, lambda, ) De sae sasylighete er.197, mes de aslåtte sasylighete er.. Dersm vi hadde trukket flere realisasjer fra V kue vi ha vetet at de aslåtte sasylighete var ærmere de sae verdie. ab7-lsf-b 3. september 16 Side

3 TMA44 Statistikk Høst 16 Figur 1: Histgram av V. Figur : Empirisk g teretisk kumulativ frdeligsfuksj til V. d) Vi estimerer frvetet høyeste utbetalig fr 8 braer ved å ta gjemsittet av 5 realisasjer fra V : % Frvetet sterste utbetalig frvetet_utbetalig = mea(max_verdi) Frvetet høyeste utbetalig er 13.7 millier krer. e) Kde fr å simulere behldig på kt er gitt uder: ta_pp_laa = 3; ta_ut_fra_kt = 5; startsum_kt = 3; laaekstad = 5; pris_frsikrig = 5; B = 1; % atall gager vi gjetar frseket max_verdi = simulerframaks(b, lambda, ); ab7-lsf-b 3. september 16 Side 3

4 TMA44 Statistikk Høst 16 behldig_kt = startsum_kt * es(b,1); fr b = 1:B % Avgjer m reassurerig reassurer = radsample(:1,1,true, [1/3, /3]); % Ikke reassurer if reassurer == if max_verdi(b) > ta_pp_laa; % maa ta pp laa behldig_kt(b) = behldig_kt(b)-laaekstad... -ta_ut_fra_kt; else % ka betale selv behldig_kt(b) = behldig_kt(b) - max_verdi(b); ed % reassurer else behldig_kt(b) = behldig_kt(b) - pris_frsikrig; ed ed % Frvetet behldig i fdet etter et aar frvetet_behldig = mea(behldig_kt) Frvetet behldig er.84 millier krer etter et år. Oppgave X er ktiuerlig frdelt med sasylighetstetthet f X (x) = ( x exp( x ) x ellers Frmel fr trasfrmasj av variabler fies i det blå heftet. a) Vi har U = X =g(x); x slik at X = U +=h(u) med h (u) =1. Fuksje g(x) = x er stregt mt g deriverbar fr alle x. Vi har dermed ab7-lsf-b 3. september 16 Side 4

5 TMA44 Statistikk Høst 16 f U ( u) =f X ( h(u)) h (u) =(u + ) exp( (u + ) ) 1 =(u + ) exp( (u + ) ); u. Alterativt ka vi ta utgagsput i kumulativ frdelig. Vi skriver F U (u) =P(U apple u) =P(X apple u) =P(X apple u + ), u. Dette gir F U (u) =F X (u + ) = 1 exp{ (u + ) }, u. Derivasj mhp u gir riktig tetthetsfuksj. b) Vi har her der med Fuksje g(x) = V = X = g(x); x X = 1 V = h(v ) h (v) = 1. x er stregt mt g deriverbar fr alle x. Dette gir f V ( v) =f X ( h(v)) h ( v) 1 =( v)exp( ( 1 v) ) 1 = 1 v exp( ( 1 v) ); v apple. Alterativt ka vi ta utgagsput i kumulativ frdelig. Vi skriver F V (v) =P(V apple v) =P( X apple v) v =P(X ) =1 P(X apple v ), v apple. Dette gir v F V (v) =1 F X =exp{ v }, v apple. Derivasj mhp v gir riktig tetthetsfuksj. ab7-lsf-b 3. september 16 Side 5

6 TMA44 Statistikk Høst 16 c) Vi har sm gir W = X = g(x); x X = p W = h(w ) med h (w) = 1 p w. Fuksje g(x) =x er stregt mt g deriverbar fr alle x. f W ( w) =f X ( h( w)) h ( w) = p w exp( w) 1 p w =exp( w); w. Alterativt ka vi ta utgagsput i kumulativ frdelig. Vi skriver Dette gir F W (w) =P(W apple w) =P(X apple w) =P( X apple p w) p p =P( w apple X apple w) =P(X apple p w) P(X apple p w) =P(X apple p w), w. F W (w) =F X p w =1 exp{ w}, w. Derivasj mhp w gir riktig tetthetsfuksj. Oppgave 3 De stkastiske variabele X er rmalfrdelt med frvetigsverdi µ g varias, X N(µ, ) g vi skal utlede sasylighetstetthetsfuksje til de stkastiske variabele Y, sm er gitt ved Y = X µ = X µ. De kumulative sasylighetsfrdelige til Y er X µ F Y (y) =P (Y apple y) =P apple y = P (X apple µ + y) =F X (µ + y). ab7-lsf-b 3. september 16 Side 6

7 TMA44 Statistikk Høst 16 Derivasj med hesy på y gir sasylighetstetthete f Y (y), f Y (y) = df Y (y) dy = F X(µ + y) = f X (µ + y) = d dy F X(µ + y) d (µ + dy y) = p e 1 ((µ+ y) µ) = 1 p e 1 y. Dette er tetthete til rmalfrdelige med µ = g = 1. Altså har vi at Y N(, 1). Oppgave 4 a) Vi beytter de kumulative frdeligsfuksje i ppgavetekste. Reger først ut sasylighete fr geerell verdi av, fr så å rege ut fr = /8. Dette gir P(Y > /4) = 1 P(Y apple /4) = 1 4 exp 4 exp = = P( /4 <Y < /3) = P(Y < /3) P(Y < /4) = P(Y > /4 Y < /3) = P(Y > /4 \ Y < /3) P(Y < /3) = = exp 4 1 exp 3 = / exp 3 = exp b) Side Y er e ktiuerlig, ka vi fie sasylighetstetthete ved å derivere de kumulative frdeligsfuksje i ppgavetekste f(y; )= d dy F (y; )= 1 1 y exp = 1 = exp { y/ } exp Fra figure i ppgavetekste har vi at ta(y )=X, altså har vi e-til-e relasj mellm vikele Y g avstade X. Det betyr at vi ka beytte trasfrmasj av variable (kap 7. i lærebka) til å fie frdelige til X. La y = arcta(x) =w(x), altså de mvedte ab7-lsf-b 3. september 16 Side 7

8 TMA44 Statistikk Høst 16 fuksje av fuksje ver. Vi har da at sasylighetsfrdelige til X, g(x; gitt ved g(x; )=f(w(x); ) w (x). Opplysige i ppgave eller ppslag i Rttma gir at w (x) =1/(1 + x ) sm gir ), er g(x; )= 1 exp exp { arcta(x)/ } 1 1+x, x >. ab7-lsf-b 3. september 16 Side 8