Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal"

Transkript

1 Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal

2 2

3 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene som er markert med rød skrift og ramme rundt i kompendiet. Studentene oppfordres til å bruke formelsamlingen aktivt når øvingsoppgaver skal løses. Hjelpemidler eksamen: Godkjent kalkulator og formelsamling. Kun originalversjonen av formelsamlingen utgitt av SiMolde Bok er lov å ha med på eksamen. (Dette fordi det skal være lett å se at dere har med den riktige og lovlige formelsamlingen på eksamen). Det er lov å skrive egne notater i formelsamlingen som dere kan ta med på eksamen. Men: Ikke skriv av hele eksempler og hele oppgaver. (Dersom dette blir praktisert i stor grad må vi revurdere denne ordningen i forhold til neste års studenter). En gratis PDF-versjon av formelsamlingen kan lastes ned fra Per Kristian Rekdal Copyright c Høyskolen i Molde, mars

4 Innhold 1 Beskrivende statistikk Populasjon og utvalg Statistiske mål (èn variabel) Lokaliseringsmål Spredningsmål Statistiske mål (to variabler) Sannsynlighetsregning Utfallsrom Sannsynligheter Begivenhet Mengdelære Regning med sannsynligheter Kombinatorikk Koblinger situasjoner (endelig populasjon) Kombinatoriske sannsynligheter Betinget sannsynlighet Multiplikasjonssetningen Bayes lov Oppsplitting av Ω Uavhengighet Tilfeldige variabler, forventning og varians Tilfeldige variabler Forventning og varians Forventning Varians Noen regneregler Generelle forventninger

5 6 Simultane sannsynlighetsfordelinger Simultan- og marginalfordeling Generelle forventninger Kovarians Sentrale sannsynlighetsfordelinger Den binomiske fordelingen Den hypergeometriske fordelingen Poissonfordelingen Normalfordelingen (kontinuerlig) Standardavvik σ og %-vis areal Sentralgrensesetningen Diskrete fordelinger normalfordeling Sammenheng: Bin, Hyp, Poi og N Regresjonsanalyse Residual og SSE Minste kvadraters regresjonslinje Forklaringsstyrke og SST

6 6

7 Kapittel 1 Beskrivende statistikk 1.1 Populasjon og utvalg Definisjon: ( populasjon ) Populasjon = den totale mengden av objekter/data som vi ønsker å analysere Definisjon: ( utvalg ) Utvalg = en delmengde av populasjonen, dvs. en samling av data som er hentet fra en populasjon Definisjon: ( statistisk inferens ) Statistisk inferens = det å tolke/analysere utvalget for å finne ut mest mulig om hele populasjonen 7

8 1.2 Statistiske mål (èn variabel) Lokaliseringsmål Definisjon: ( median ) La n være en serie med tall/observasjoner i ordnet rekkefølge. Da er: median = midtre observasjonen gjennomsnitt av to midterste observasjonene, n = odde, n = like (1.1) Definisjon: ( typetall ) 1 La n være en serie med tall/observasjoner i ordnet rekkefølge. Da er: typetall = den verdien som forekommer hyppigst (1.2) Definisjon: ( gjennomsnitt ) La x 1,x 2,x 3,...,x n være n antall observasjoner. Da er gjennomsnittet: x = 1 n n x i (1.3) i=1 1 Kalles også modus eller modalverdi. 8

9 Generelt er typetall, median og gjennomsnitt forskjellige, dvs. ikke sammenfallende, se figur(1.1b), (1.1c) og (1.1d). Unntaket er for en symmetrisk fordeling, se figur (1.1a). Figur 1.1: Illustrasjon av typetall ( mode ), median og gjennomsnitt ( mean ). 9

10 1.2.2 Spredningsmål Definisjon: ( modalprosent ) La n være en serie med tall/observasjoner i ordnet rekkefølge. Da er: modalprosent = %-vis andel av observasjonene som har verdi lik typetallet (1.4) Definisjon: ( variasjonsbredde ) La n være en serie med tall/observasjoner i ordnet rekkefølge. Da er: variasjonsbredde = differansen mellom største og minste verdi (1.5) Definisjon: ( kvartilavvik ) La n være en serie med tall/observasjoner i ordnet rekkefølge. Da er: k 1 = nedre kvartil, dvs. 25% av observasjonene har verdi k 1 (1.6) 50% av observasjonene har verdi k 2 k 2 = medianen, dvs. (1.7) 50% av observasjonene har verdi k 2 k 3 = øvre kvartil, dvs. 75% av observasjonene har verdi k 3 (1.8) Da er: kvartilavvik = k 3 k 1 (1.9) 10

11 Definisjon: ( empirisk varians ) 2 La x 1,x 2,x 3,...,x n være observasjoner, og la x være gjennomsnittet. Da er den empiriske variansen: S 2 x = 1 n 1 n (x i x) 2 (1.10) i=1 Definisjon: ( empirisk standardavvik ) 3 Det empiriske standardavviket er: S x = S 2 x (1.11) 2 Kalles også utvalgsvariansen. 3 Kalles også utvalgstandardavviket. 11

12 1.3 Statistiske mål (to variabler) Definisjon: ( empirisk kovarians ) 4 La x 1,x 2,x 3,...,x n og y 1,y 2,y 3,...,y n være observasjoner, og la x samt y være de respektive gjennomsnitt. Den empiriske kovariansen er da: S xy = 1 n 1 n (x i x)(y i y) (1.12) i=1 Definisjon: ( korrelasjonskoeffisient ) La x 1,x 2,x 3,...,x n og y 1,y 2,y 3,...,y n være observasjoner. Korrelasjonskoeffisienten er da: R xy = S xy S x S y (1.13) 4 Kalles også utvalgskovariansen. 12

13 Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Figur 2.1: Sannsynlighetsregning. 13

14 2.1 Utfallsrom Definisjon: ( utfallsrom ) Resultatet av et stokastisk forsøk kan ikke forutsies entydig, men det kan angis en mengde mulige enkeltutfall. Denne mengden av mulige enkeltutfall kalles utfallsrom: Ω = { mengden av alle mulige enkeltutfall } (2.1) 2.2 Sannsynligheter Egenskaper ved sannsynligheten: ( diskret utfallsrom ) 0 p i 1, for alle i = 1,2,3,...,n (2.2) n i=1 p i = 1 (2.3) hvor n i=1 p i = p 1 +p 2 +p p n. 14

15 2.3 Begivenhet Definisjon: ( begivenhet ) begivenhet = delmengde av utfallsrommet (2.4) Egenskaper for en begivenhet: ( diskret utfallsrom ) P(A) = u A p(u) (2.5) I tillegg kan vi nå skrive lign.(2.2) og (2.3) på en alternativ måte: 0 P(A) 1, for alle A (2.6) P(Ω) = e Ω p(e) = 1 (2.7) 15

16 2.4 Mengdelære Ω Utfallsrommet er hele det blå området. Figur 2.2: Utfallsrommet Ω. A A visualiseres ved det blå området. Figur 2.3: Begivenheten A. Ā A A benevnes ikke A. Figur 2.4: Komplementet til A er A (eller A c ). 16

17 A B A og {}}{ B. A og B inntreffer. Tilsvarer OVERLAPP av mengder. Figur 2.5: Snittet mellom A og B. A B A eller {}}{ B. A eller B (eller begge) inntreffer. Tilsvarer SUM av mengder. Figur 2.6: Unionen mellom A og B. A B A og {}}{ B =. A og B inntreffer aldri samtidig. ingen felles elementer Figur 2.7: A og B er disjunkte, dvs. unionen mellom A og B er tom, altså umulig. Huskeregler: = og, tilsvarer OVERLAPP av mengder = eller, tilsvarer SUM av mengder 17

18 2.5 Regning med sannsynligheter Definisjon: ( disjunkte begivenheter) To begivenheter A og B er disjunkte dersom A og {}}{ B =. Setningen: ( den spesielle addisjonssetningen ) Dersom begivenhetene A og B er disjunkte, dvs. A og {}}{ B =, så gjelder: P(A eller {}}{ B) = P(A)+P(B) (2.8) Setningen: ( den generelle addisjonssetningen ) For begivenhetene A og B gjelder: eller {}}{ P(A B) = P(A)+P(B) P(A og {}}{ B) } {{ } ekstra ledd (2.9) 18

19 Setningen: ( den generelle addisjonssetningen ) For begivenhetene A, B og C gjelder: P(A B C) } {{ } eller = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) } {{ } og (2.10) Setningen: ( komplementsetningen ) For begivenheten A og dens komplement A (eller A c ) gjelder: P(A) = 1 P(A) (2.11) Setningen: ( total sannsynlighet ) For begivenhetene A og B gjelder: P(A) = P(A B)+P(A B) (2.12) 19

20 Setninger: ( tvillingsetningene ) og eller {}}{ {}}{ P(A B) = 1 P(A B) (2.13) og eller {}}{ {}}{ P(A B) = 1 P(A B) (2.14) 20

21 Kapittel 3 Kombinatorikk Figur 3.1: Kombinatorikk. En lås med svært mange kombinasjonsmuligheter. 21

22 3.1 Koblinger Definisjon: ( koblinger ) Koblinger = forhold som gjør at et bestemt valg kan påvirke utfallet av andre valg vi skal gjøre. Grunnprinsipp i kombinatorikk: ( antagelse ) Ingen kobling mellom mellom valgmulighetene. Kombinasjoner: ( uten koblinger ) Dersom vi har m 1 = antall muligheter i valg nr. 1 m 2 = antall muligheter i valg nr. 2.. m N = antall muligheter i valg nr. N (3.1) da er antall mulige kombinasjoner = m 1 m 2 m 3...m N (3.2) 22

23 3.2 4 situasjoner (endelig populasjon) Urnemodellen: er det trekking med eller uten tilbakelegging? betyr det noe i hvilken rekkefølge kulene trekkes? trekning m/tilbakelegging u/tilbakelegging ordnet situasjon 1 situasjon 2 ikke-ordnet situasjon 4 (forekommer sjelden) situasjon 3 Figur 3.2: 4 situasjoner for urnemodellen. 23

24 La: N = totalt antall valgobjekter (3.3) s = antall objekter som velges (3.4) Situasjon 1: # ordnede komb. m/tilbakelegging = N N... N = N s (3.5) Situasjon 2: # ordnede komb. u/tilbakelegging = N (N 1)... (N s+1) = N! (N s)! (3.6) Situasjon 3: # ikke-ordnede komb. u/tilbakelegging = N! (N s)! s! ( ) N s } {{ } binomialkoeff. (3.7) Situasjon 4: Ingen formel. 24

25 3.3 Kombinatoriske sannsynligheter La oss se på en tellesituasjon som kan beskrives med urnemodellen. I slike situasjoner er det en sammenheng mellom sannsynlighet og antall kombinasjoner: P(A) = antall gunstige kombinasjoner for A antall mulige kombinasjoner totalt (3.8) 25

26 Kapittel 4 Betinget sannsynlighet Figur 4.1: Gitt at vi vet hvilke kuler som er i bøtten... 26

27 4.1 Multiplikasjonssetningen Setning: ( multiplikasjonssetningen, generelle ) 1 P(A og {}}{ B) = P(A B) P(B) (4.2) Tilsvarende gjelder: = P(A B) { }} { P(B A) = P(B A) P(A) (4.3) 4.2 Bayes lov Setning: ( Bayes lov ) P(A B) = P(B A) P(A) P(B) (4.4) eller alternativt: P(B A) = P(A B) P(B) P(A) (4.5) 1 For en betinget sannsynlighet står det vi vet til høyre for : P(B A) = P(B når } vi {{ veta } ) (4.1) vet 27

28 4.3 Oppsplitting av Ω Setningen: ( oppsplitting av Ω i 2 ) {}}{ Anta at utfallsrommet Ω splittes i to delrom Ω = B 1 B 2, der B 1 B 2 =, dvs. delrommene B 1 og B 2 har ingen felles elementer: de er disjunkte. Enhver mengde A kan da skrives: eller med tilhørende sannsynlighet A = (A B 1 ) eller {}}{ (A B 2 ) (oppsplitting) (4.6) P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) (4.7) Alternativt 2 kan lign.(4.7) skrives: P(A) = P(A B 1 ) P(B 1 ) + P(A B 2 ) P(B 2 ) (4.8) Figur 4.2: Oppsplitting av sannsynlighetsrom Ω, jfr. lign.(4.6). 2 Via multiplikasjonssetningen i lign.(4.2): P(A og {}}{ B) = P(A B) P(B). 28

29 Setningen: ( oppsplitting av Ω ) eller {}}{ {}}{ {}}{ {}}{ Anta at utfallsrommet Ω splittes i delrom Ω = B 1 B 2 B 3... B N, der alle B i B j =, dvs. ingen delromb 1, B 2,..., B N har noen felles elementer: disjunkte Enhver mengde A kan da skrives: eller eller eller eller {}}{ A = (A B 1 ) (A B 2 ) med tilhørende sannsynlighet eller {}}{... eller {}}{ (A B N ) (oppsplitting) (4.9) P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) P(A B N ) (4.10) Alternativt kan lign.(4.10) skrives: P(A) = P(A B 1 ) P(B 1 ) + P(A B 2 ) P(B 2 ) P(A B N ) P(B N ) (4.11) Figur 4.3: Oppsplitting av sannsynlighetsrom Ω, jfr. lign.(4.9). 29

30 4.4 Uavhengighet Definisjon: ( uavhengighet ) To begivenheter A og B er uavhengige dersom P(A B) = P(A) (4.12) Setning: ( multiplikasjonssetningen, spesielle ) Dersom begivenhetene A og B er uavhengige, så gjelder: P(A og {}}{ B) uavh. = P(A) P(B) (4.13) 30

31 Sannsynlighetsregning ( kap. 2 og 4 ) Add. setn. Mult. setn. Disjunkt Uavh. Tvilling Komp. setn.: Total sanns.: Bayes lov: Oppspl. av Ω:

32 Kombinotarikk ( kap. 3 ) Situasjon 1: Situasjon 2: Situasjon 3: Situasjon 4: Ingen formel i vårt kurs

33 Kapittel 5 Tilfeldige variabler, forventning og varians Figur 5.1: Forventning og varians. 33

34 5.1 Tilfeldige variabler Definisjon: ( tilfeldig/stokastisk variabel ) En stokastisk variabel er en strrelse X som kan anta ulike verdier x med ulike sannsynligheter. Definisjon: ( sannsynlighetsfordeling, diskret ) En sannsynlighetsfordeling til en diskret variabel er en funksjon definert ved: P(x) }{{} = P(X = x) } {{ } liten x for verdier stor X for selve variabelen (5.1) Definisjon: ( kumulativ sannsynlighetsfordeling, diskret ) Den kumulative sannsynlighetsfordeling F til en diskret variabel X er definert ved: F(x) = P(X x) (5.2) 34

35 5.2 Forventning og varians Forventning Definisjon: ( forventningsverdi, diskret ) For en diskret tilfeldig variabel X med de mulige verdiene x 1, x 2,..., x m er forventningsverdien: E[X] = m i=1 x i P(X = x i ) (5.3) Definisjon: ( forventningsverdi, kontinuerlig ) For en kontinuerlig tilfeldig variabel X er forventningsverdien: E[X] = x f(x)dx (5.4) hvor f(x) = sannsynlighetstettheten av x. 35

36 5.2.2 Varians Definisjon: ( varians, diskret ) For en diskret tilfeldig variabel X er variansen: Var[X] = E[(X E[X]) 2 ] (5.5) Variansen er altså forventningsverdien av (X E[X]) 2. Lign.(5.5) kan derfor skrives: Var[X] = m (x i E[X]) 2 P(X = x i ) (5.6) i=1 Setning: ( varianssetningen ) La X være en stokastisk variabel. For variansen gjelder da: Var[X] = E[X 2 ] E[X] 2 (5.7) Via lign.(5.3) kan varianssetningen skrives: Var[X] = m i=1 x 2 i P(X = x i) ( m i=1 x i P(X = x i )) 2 (5.8) 36

37 5.2.3 Noen regneregler La a og b være konstanter. La videre X og Y være to stokastiske variabler. Da gjelder: Regneregler for forventning: E[a] = a (5.9) E[a+X] = a+e[x] (5.10) E[a X] = a E[X] (5.11) E[aX +by] = ae[x]+be[y] (5.12) Regneregler for varians: V ar[a] = 0 (5.13) Var[a+X] = Var[X] (5.14) Var[a X] = a 2 Var[X] (5.15) Var[X] = Var[ X] (5.16) Dessuten er alltid Var[X] 0, dvs. en varians kan aldri være negativ. 37

38 5.3 Generelle forventninger Definisjon: ( generell forventningsverdi, diskret ) For en diskret tilfeldig variabel X og en vanlig funksjon h(x) så er: E[h(X)] = m i=1 h(x i ) P(X = x i ) (5.17) 38

39 Kapittel 6 Simultane sannsynlighetsfordelinger Figur 6.1: Simultane sannsynlighetsfordelinger. 39

40 6.1 Simultan- og marginalfordeling Definisjon: ( simultanfordeling ) La X og Y være to stokastiske variabler. Med simultanfordeling menes: p(x,y) = P(X = x og Y = y) (6.1) Definisjon: ( marginalfordeling ) La X og Y være to stokastiske variabler. Med marginalfordeling menes: P(X = x) = y p(x, y) (6.2) P(Y = y) = x p(x, y) (6.3) Definisjon: ( uavhengighet ) La X og Y være to stokastiske variabler. Disse er uavhengige dersom: P(X = x og Y = y) } {{ } = p(x,y) = P(X = x) P(Y = y) (6.4) for alle X = x og Y = y. 40

41 6.2 Generelle forventninger Definisjon: ( generell forventingsverdi, diskret ) For diskrete stokastiske variabel X, Y og funksjonen h(x, Y) så gjelder: E[h(X,Y)] = m n i=1 j=1 h(x i,y j ) p(x i,y j ) (6.5) Spesialtilfelle av definisjonen i lign.(6.5): La oss se på et spesialtilfelle av lign.(6.5), nemlig det spesialtilfellet når: Da er: h(x,y) = X Y (6.6) E[X Y] = m n i=1 j=1 x i y j p(x i,y j ) (6.7) Setning: La X og Y være to uavhengige stokastiske variabler Da gjelder: E[X Y] = E[X] E[Y] (6.8) 41

42 6.3 Kovarians Definisjon: ( kovarians ) La X og Y være to stokastiske variabler. Med samvariasjon/korrelasjon { }} { kovariansen mellom disse mener vi: Cov[X,Y] = E[(X E[X])(Y E[Y])] (6.9) Setning: ( kovarians ) La X og Y være to stokastiske variabler. For samvariasjon/korrelasjon { }} { kovariansen gjelder da: Cov[X,Y]= E[X Y] E[X] E[Y] (6.10) Setning, (spesialtilfelle): ( kovarians ) La X og Y være to stokastiske variabler. Dersom X og Y er uavhengige, dvs.: E[X Y] uavh. = E[X] E[Y] (6.11) så er Cov[X,Y] = 0 (6.12) 42

43 Definisjon: ( korrelasjonskoeffisienten ) La X og Y være to stokastiske variabler. Med korrelasjonskoeffisienten ρ[x,y] mener vi da: ρ[x,y] = Cov[X,Y] Var[X] Var[Y] (6.13) 43

44 Setning: ( kovarians II ) La X og Y være to stokastiske variabler. Generelt gjelder da følgende sammenhengen mellom variansen og kovariansen: 1 Var[aX +by] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y] + 2ab Cov[X,Y] (6.15) hvor a og b er konstanter. Setning, (spesialtilfelle): ( kovarians II ) La X og Y være to stokastiske variabler. Dersom X og Y er ukorrelerte, så er: Da gjelder: Cov[X,Y] = 0 (6.16) Var[aX +by] = a 2 Var[X] + b 2 Var[Y] (6.17) 1 Siden σ[x] 2 Var[X] og siden Cov[X,Y] = ρ[x,y] σ[x] σ[y], se lign.(6.13), så kan variansen Var[X +Y] skrives på en alternativ måte: σ[ax +by] 2 = a 2 σ[x] 2 + b 2 σ[y] 2 + 2ab ρ[x,y] σ[x] σ[y] (6.14) 44

45 Kapittel 7 Sentrale sannsynlighetsfordelinger Figur 7.1: Illustrasjon av sentralgrensesetningen ( CLT ). 45

46 7.1 Den binomiske fordelingen Binomisk forsøksserie: 1. Hvert forsøk skal ha 2 mulige utfall, s (suksess) eller f (fiasko). 2. Det skal være samme sannsynlighet p for suksess i alle n forsøkene. 3. Alle forsøk er uavhengige. 4. Vi gjennomfører et bestemt antall forsøk, n. En forsøksserie som oppfyller disse kravene kalles en binomisk forsøksserie. Definisjon: ( binomisk fordeling, X Bin[n, p] ) Punktsannsynlighetene for en binomisk fordeling er: P(X = x) def. = ( ) n p x (1 p) n x (7.1) x Setning: ( forventing og varians av X Bin[n,p] ) La X være en binomisk variabel, dvs. X Bin[n,p]. Da er forventningen: og variansen: E[X] = n p (7.2) Var[X] = n p(1 p) (7.3) 46

47 7.2 Den hypergeometriske fordelingen Definisjon: ( hypergeometrisk fordeling, X Hyp[N, M, n] ) Punktsannsynlighetene for en hypergeometrisk fordeling er: P(X = x) def. = ( ) ( ) M N M x n x ( ) (7.4) N n hvor X = stokastisk variabel = antall spesielle elementer i det tilfeldige utvalget på (7.5) n trukne elementer N = antall elementer i grunnmengden (7.6) M = antall spesielle elementer (7.7) N M = antall vanlige elementer (7.8) n = antall trukne elementer (7.9) Merk: En hypergeometrisk forsøksserie tilsvarer en situasjon med trekning uten tilbakelegging. 47

48 Setning: ( forventing og varians av X Hyp[N,M,n] ) La X være en hypergeometrisk variabel, dvs. X Hyp[N, M, n]. Forventningsverdien er da: E[X] = n M N (7.10) og variansen: Var[X] = N n N 1 n M ( N 1 M ) N (7.11) Setning: ( Hyp[N,M,n] Bin[n,p] ) Dersom grunnmengden N i en hypergeometrisk forsøkserie er mye større enn utvalget n, typisk: så er: N 20 n (7.12) X Hyp[N,M,n] N 20 n X Bin[n,p] (7.13) 48

49 7.3 Poissonfordelingen Definisjon: ( Poissonfordeling, X Poi[λ] ) 1 Punktsannsynlighetene for en Poissonfordeling er: hvor P(X = x) def. = λx x! e λ (7.14) λ = gjennsomsnittlig antall begivenheter innenfor en gitt tid eller gitt rom Setning: ( forventing og varians av X Poi[λ] ) La X være en Poissionfordelt variabel, dvs. X Poi[λ]. Forventningenverdien er da: og variansen er: E[X] = λ (7.15) Var[X] = λ (7.16) 1 Kalles ofte loven om sjeldne begivenheter. 49

50 Setning: ( Bin[n, p] Poi[λ] ) I en binomisk sannsynlighetsfordeling, dersom sannsynligheten for suksess p er svært liten og antall forsøk n er svært stor, typisk så er n 50 og p 0.05 (7.17) X Bin[n,p] n50 og p0.05 X Poi[λ] (7.18) 50

51 7.4 Normalfordelingen (kontinuerlig) Definisjon: ( generelle normalfordeling X N[µ, σ] ) La X være en kontinuerlig stokastisk variabel. Den generelle normalfordelingen for X er: f X (x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2 (7.19) hvor µ = E[X] = forventingen av X (7.20) σ 2 = Var[X] = variansen av X (7.21) Definisjon: ( standardisert normalfordeling, X N[µ = 0, σ = 1] ) La X være en kontinuerlig stokastisk variabel. Dersom E[X] = µ = 0, Var[X] = σ 2 = 1 (7.22) så vil den generelle normalfordelingen i lign.(7.19) redusere seg til: f X (x) = 1 2π e x2 2 (7.23) Dette kalles den standardiserte normalfordelingen. 51

52 P(Z z 52

53 7.4.1 Standardavvik σ og %-vis areal For en normalfordeling med et gitt standardavvik σ, så dekker intervallet µ σ X µ+σ hele 68.2 % av arealet (7.24) under sannsynlighetfordelingen f X (x). Tilsvarende dekker intervallet µ 2σ X µ+2σ hele 95.4 % av arealet (7.25) under sannsynlighetfordelingen f X (x). Dette er illustrert i denne figuren: Figur 7.2: Standardavvik σ og %-vis areal for en normalfordeling. 53

54 7.5 Sentralgrensesetningen Setning: ( CLT 2, sentralgrensesetningen ) La X 1, X 2, X 3,... X n være uavhengige stokastiske variabler med samme P(X = x i ), dvs. diskret ELLER kont. { }} { sannsynlighetsfordeling X i samme sannsynlighetsfordeling for alle i = 1,2,3,...,n (7.26) hvor n er antall forsøk, dvs. E[X i ] = µ og Var[X i ] = σ 2, i = 1,2,3,...,n (7.27) er den samme for alle forsøk / gitt stokastisk variabel i. Da gjelder at gjennomsnittet X: X = X 1 +X 2 +X X n n er normalfordelt i grensen når antall forsøk n BLIR STOR: X n=stor [ ] σ N µ, n (7.29) (7.28) altså P(X = x) er normalfordelt med forventning og varians hhv. E[X] = µ og Var[X] = σ2 n (7.30) 2 På engelsk brukes ofte forkortelsen CLT, dvs. central limit theorem. 54

55 Det er en alternativ måte å formulere sentralgrensesetningen på: Setning: ( sentralgrensesetningen og G(z) ) diskret ELLER kont. { }} { LaX 1,X 2,X 3,...X n værenstk.uavhengigestokastiskevariablermedsammesannsynlighetsfordeling med µ som forventingsverdi og σ 2 som varians, dvs. E[X i ] = µ og Var[X i ] = σ 2, i = 1,2,3,...,n (7.31) Gjennomsnittet X av disse n stk. stokastiske variablene X = X 1 +X 2 +X X n n (7.32) er da normalfordelt for store n, dvs. ( ) P(X x) n=stor x µ G σ n (7.33) Kommentar: Hvor stor n må være ( n = antall forsøk ) for at sentralgrensesetningen skal gjelde er avhengig av situasjonen. Men en tommelfingerregel er at vi bør ha: n 30 (7.34) dvs. antall forsøk bør være ca. 30 eller mer. 55

56 7.6 Diskrete fordelinger normalfordeling Setning: ( Bin[n,p] N[µ,σ] ) For en diskret { }} { binomisk fordeling, X Bin[n, p], hvor n p(1 p) 5 (7.35) så er sannsynligheten X har verdien x være kont. { }} { normalfordelt: ( ) x+0.5 E[X] P(X x) G σ[x] ( ) x 0.5 E[X] P(X x) 1 G σ[x] (7.36) (7.37) hvor forventning og standardavvik er E[X] lign.(7.2) = n p (7.38) σ[x] lign.(7.3) = n p(1 p) (7.39) 56

57 Setning: ( Hyp[N,M,n] N[µ,σ] ) For en diskret { }} { hypergeometrisk fordeling, X Hyp[N, M, n], hvor N 20 n (7.40) n M N (1 M N ) 5 (7.41) så vil X være tilnærmet en kont. { }} { normalfordeling: ( ) x+0.5 E[X] P(X x) G σ[x] ( ) x 0.5 E[X] P(X x) 1 G σ[x] (7.42) (7.43) hvor forventning og standardavvik er E[X] σ[x] lign.(7.10) = n M N lign.(7.11) = (7.44) n M N (1 M N ) (7.45) 57

58 Setning: ( Poi[λ] N[µ,σ] ) For en diskret { }} { Poissonfordeling, X Poi[λ], hvor λ 5 (7.46) så vil X være tilnærmet en kont. { }} { normalfordeling: ( ) x+0.5 E[X] P(X x) G σ[x] ( ) x 0.5 E[X] P(X x) 1 G σ[x] (7.47) (7.48) hvor forventning og standardavvik er E[X] lign.(7.15) = λ (7.49) σ[x] lign.(7.16) = λ (7.50) 58

59 Setning: ( diskret N[µ,σ] ) Dersom X er diskret sannsynlighetsfordeling som er tilnærmet kont. { }} { normalfordelt, dvs. og hvor X kun kan ha hele tall, dvs. X tilnærmet N[µ, σ] (7.51) da gjelder X = diskret stokastisk variabel som kun har hele tall (7.52) ( ) x+0.5 E[X] P(X x) G σ[x] ( ) x 0.5 E[X] P(X x) 1 G σ[x] (7.53) (7.54) hvor E[X] σ[x] lign.(7.15) = forventning til den diskrete variabelen (7.55) lign.(7.16) = variansen til den diskrete variabelen (7.56) 59

60 7.7 Sammenheng: Bin, Hyp, Poi og N Her er en oversikt over sammenhengene mellom de fire sannsynlighetsfordelingene som inngår i MAT110 Statistikk 1 : Figur 7.3: Oversikt. De blå pilene representerer setningene i lign.(7.13) og lign.(7.18). 60

61 Bin[ n, p ] Hyp[ N, M, n ] Poi[ λ ] N[ μ, σ ] 2 param. 3 param. 1 param. 2 param. diskret diskret diskret kontinuerlig

62 Bin[ n, p ] Hyp[ N, M, n ] Poi[ λ ] N[ μ, σ ] 1) 2 mulig utfall 2) samme p for suksess 3) uavhengige 1) x antall suksesser / spesielle 2) N antall i grunnmengden 3) M antall spesielle 1) x antall begivenheter innenfor en gitt tid 2) λ = rate 1) Tetthetsfunksjon f X (x) 2) Gausskurve 4) n antall forsøk 4) n antall trukne elementer - kjenner ikke fordelingen i urnen - m / tilbakelegging - teller opp antall suksesser - kjenner fordelingen i urnen - u / tilbakelegging - teller opp antall suksesser - rate ( konstant ) - antall begivenheter innenfor en gitt tid eller gitt rom - telleforsøk - loven om skjeldne begivenh. - under bestemte betingelser vil mange diskrete og kontinuerige fordelinger med god tilnæring være normalfordelt (f.eks. CLT )

63 Kapittel 11 Regresjonsanalyse Figur 11.1: Regresjon. 63

64 11.1 Residual og SSE Definisjon: ( residual ) 1 La (x 1,y 2 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n ) være observasjonspar/datasett. La videre linjen ŷ = a + bx, hvor a og b er parametre, være en foreslått lineær modell for observasjonsparene. For observasjonsverdien x i, hvor i = 1,2,...,n, er da den tilhørende predikerte/estimerte verdien ŷ i gitt ved: ŷ i = a+bx i (11.1) Residual e i er da definert ved: e i = y i ŷ i (11.2) hvor y i er de faktiske observasjonene/dataene: y i }{{} faktiske observasjoner/data (11.3) 1 SSE står for sum square error. 64

65 Definisjon: ( SSE ) 2 La (x 1,y 2 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n ) være observasjonspar/datasett. Størrelsen SSE, sum squared error, er da definert ved: 3 SSE = n (y i ŷ i ) 2 (11.5) i=1 hvor ŷ i er prediksjonene/estimatene som linjen 4 ŷ i = a + bx i } {{ } prediksjoner (11.6) gir for tilhørende observasjonsverdiene x i, og y i er de faktiske observasjonene/dataene: y i }{{} faktiske observasjoner/data (11.7) 2 SSE står for sum square error. 3 Siden e i lign.(11.2) = y i ŷ i så kan SSE alternativt skrives: 4 a og b er parametre. SSE = n e 2 i (11.4) i=1 65

66 11.2 Minste kvadraters regresjonslinje Å finne den linjen ŷ i = a+bx i som passer best med datasettet menes å finne den a og b som gir minst SSE, dvs. minst sum squared error i forhold til datasettet. y Vilkårlig a og b: y og som passer best: y = a + bx e 5 y = + x e 5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 3 e 4 e 1 e 2 x x Figur 11.2: Linje som ikke passer best, og linje som passer best. Setning: ( minste kvadraters lineære regresjonslinje ) La (x 1,y 2 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n ) være observasjonspar/datasett. Minste kvadraters lineære regresjonslinje er da gitt ved: hvor ŷ = ˆα + ˆβx, (11.8) og ˆβ = S xy Sx 2 (11.9) ˆα = y ˆβx (11.10) S 2 x lign.(1.10) = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2, S xy lign.(1.12) = 1 n 1 n (x i x)(y i y) (11.11) i=1 samt x = 1 n n i=1 x i og y = 1 n n i=1 y i. 66

67 11.3 Forklaringsstyrke og SST Definisjon: ( SST ) 5 La (x 1,y 2 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n ) være observasjonspar/datasett. Størrelsen SST, sum squared total, er da definert ved: SST = n (y i y) 2 (11.12) i=1 hvor y i er de faktiske observasjonene/dataene: y i }{{} faktiske observasjoner/data (11.13) og y er det empiriske gjennomsnittet, dvs. y lign.(1.3) = 1 n n y i (11.14) i=1 y y i y i = residual y i y i y i y i = total variasjon y x i x Figur 11.3: Residual og total variasjon. 5 SST står for sum square total. 67

68 Definisjon: ( forklaringskraften ) 6 La x 1,x 2,x 3,...,x n og y 1,y 2,y 3,...,y n være observasjoner. Forklaringskraften R 2 er da: R 2 = 1 SSE SST (11.15) hvor SSE = SST = n (y i ŷ i ) 2 (11.16) i=1 n (y i y) 2 (11.17) i=1 hvor y i er de faktiske observasjonene/dataene: y i }{{} faktiske observasjoner/data (11.18) og ŷ i er prediksjonene/estimatene som linjen 7 ŷ i = ˆα + ˆβx i } {{ } prediksjoner (11.19) samt y er det empiriske gjennomsnittet, dvs. y = 1 n n y i (11.20) i=1 6 Kalls også forklaringsgrad. 7 Se lign.(11.8). Parametrene/koeffisientene ˆα og ˆβ er parametre gitt ved lign.(11.10) og (11.9). 68

Formelsamling V MAT110 Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V MAT110 Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2016 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal Figur 1: Statistikk. 3 Innhold 1 Beskrivende statistikk 9 1.1 Populasjon og utvalg.................................. 9 1.2 Statistiske mål

Detaljer

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være

Detaljer

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

Kapittel 2: Hendelser

Kapittel 2: Hendelser Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en

Detaljer

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4 3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

MAT110. Statistikk 1. Løsning til øvingsoppgaver Per Kristian Rekdal

MAT110. Statistikk 1. Løsning til øvingsoppgaver Per Kristian Rekdal MAT110 Statistikk 1 Løsning til øvingsoppgaver 2016 Per Kristian Rekdal 2 Forord Løsningsforslag: Dette er en samling av løsningsforslag til øvingene i emnet MAT110 Statistikk 1 ved Høgskolen i Molde fra

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer

MAT110. Statistikk 1. Løsning til øvingsoppgaver Per Kristian Rekdal

MAT110. Statistikk 1. Løsning til øvingsoppgaver Per Kristian Rekdal MAT110 Statistikk 1 Løsning til øvingsoppgaver 2017 Per Kristian Rekdal 2 Forord Løsningsforslag: Dette er en samling av løsningsforslag til øvingene i emnet MAT110 Statistikk 1 ved Høgskolen i Molde fra

Detaljer

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium V-2014 MAT110 Statistikk 1 Del 1 av 2 Per Kristian Rekdal 2 Figur 1: But under a different accounting convention... 3 4 Forord Dette er del I (av II) av kompendiet i faget MAT110 Statistikk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Kompendium V-2016 MAT110. Statistikk 1. Del 2 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium V-2016 MAT110. Statistikk 1. Del 2 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium V-2016 MAT110 Statistikk 1 Del 2 av 2 Per Kristian Rekdal Figur 1: Statistikk. 3 Innhold 0 Introduksjon 23 0.1 Statistikk........................................ 23 0.2 Oversikt over MAT110

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

Oppgavesett nr. 5. MAT110 Statistikk 1, Et transportfirma har et varemottak for lastebiler med spesialgods, se figur 1.

Oppgavesett nr. 5. MAT110 Statistikk 1, Et transportfirma har et varemottak for lastebiler med spesialgods, se figur 1. Innleveringsfrist: mandag 19. mars kl. 16:00 (version 01) Oppgavesett nr. 5 MAT110 Statistikk 1, 2018 Oppgave 1: ( logistikk ) Et transportfirma har et varemottak for lastebiler med spesialgods, se figur

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 2 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 2 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium V-2014 MAT110 Statistikk 1 Del 2 av 2 Per Kristian Rekdal 2 Innhold 0 Introduksjon 22 0.1 Statistikk........................................ 22 0.2 Oversikt over MAT110 Statistikk 1.........................

Detaljer

Eksamen i. MAT110 Statistikk 1

Eksamen i. MAT110 Statistikk 1 Avdeling for logistikk Eksamen i MAT110 Statistikk 1 Eksamensdag : Torsdag 28. mai 2015 Tid : 09:00 13:00 (4 timer) Faglærer/telefonnummer : Molde: Per Kristian Rekdal / 924 97 051 Kristiansund: Terje

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Hogskoleni Østfold EKSAMEN. Eksamenstid: kl til k

Hogskoleni Østfold EKSAMEN. Eksamenstid: kl til k Hogskoleni Østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 5. jan 2015 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metodekurs I: Grunnleggende matematikk og statistikk (Statistikk, ny og utsatt eksamen)

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN

Høgskoleni østfold EKSAMEN et) Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: SFB10711Metode 1 Statistikkdel Dato: 5. feb. 2016Eksamenstid: kl. 1400 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling til kl. 1800 Faglærer: Nils Ingar Arvidsen

Detaljer

Høgskoleni Øs fold EKSAMEN. Om noe er uklart eller mangelfullt i oppgaven inngår det som en del av oppgaven å ta de nødvendige forutsetninger.

Høgskoleni Øs fold EKSAMEN. Om noe er uklart eller mangelfullt i oppgaven inngår det som en del av oppgaven å ta de nødvendige forutsetninger. Høgskoleni Øs fold EKSAMEN Emnekode: Emne: SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Deleksameni statistikk Dato: 3. januar 2014 Eksamenstid: kl. 0900 til kl. 1300 Hjelpemidler: Faglærer:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: STK Sannsynlighetsregning og statistisk modellering Eksamensdag: Mandag 4. mars 26 Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er

Detaljer

Motivasjon for kurset. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008. Oppsummering. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 2008

Motivasjon for kurset. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008. Oppsummering. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 2008 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Oppsummering ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 008 Pensum: Pensumbok: Per Chr. Hagen: "Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk",

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4,

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

Regler i statistikk STAT 100

Regler i statistikk STAT 100 TORIL FJELDAAS RYGG - VÅREN 2010 Regler i statistikk STAT 100 Innhold side Sannsynlighetsregning 3 - Uttrykk 3 - Betinget sannsynlighet 4 - Regler for sannsynlighet 4 - Bayes teorem 4 - Uavhengige begivenheter

Detaljer

Dataanalyse. Hva er en dataanalyse og hvordan gå frem for å gjennomføre en dataanalyse av det innsamlede datagrunnlaget fra en feltundersøkelse?

Dataanalyse. Hva er en dataanalyse og hvordan gå frem for å gjennomføre en dataanalyse av det innsamlede datagrunnlaget fra en feltundersøkelse? Hva er en dataanalyse og hvordan gå frem for å gjennomføre en dataanalyse av det innsamlede datagrunnlaget fra en feltundersøkelse? Skrevet av: Kjetil Sander Utgitt av: estudie.no Revisjon: 1.0 (Sept.

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.

Detaljer

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Versjon fra mai 2007 FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no ISSN:??????? Innledning. Denne formelsamlingen er skrevet for bruk

Detaljer

Foreleses onsdag 8. september 2010

Foreleses onsdag 8. september 2010 TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!

Detaljer

MAT110 Statistikk 1 Løsningsforslag til eksamensoppgaver

MAT110 Statistikk 1 Løsningsforslag til eksamensoppgaver MAT110 Statistikk 1 Løsningsforslag til 2012-2015 eksamensoppgaver Per Kristian Rekdal 2 Innhold 1 LØSNING: Eksamen 1. juni 2012 7 2 LØSNING: Eksamen 10. januar 2013 23 3 LØSNING: Eksamen 30. mai 2013

Detaljer

TMA4245 Statistikk Vår 2007

TMA4245 Statistikk Vår 2007 TMA4245 Statistikk Vår 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har lært.

Detaljer

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 4

Statistikk 1 kapittel 4 Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN. SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Skriftlig eksamen, vår, statistikk

Høgskoleni østfold EKSAMEN. SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Skriftlig eksamen, vår, statistikk Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Skriftlig eksamen, vår, statistikk Dato: 4. mai 2015 Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 13.00 Hjelpemidler:

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Stokastisk variabel. Eksempel augefarge

Stokastisk variabel. Eksempel augefarge Dagens tekst Kap 3: Stokastiske variable og sannsynsfordelingar Stokastisk variabel: Diskret sannsynsfordeling: Kontinuerleg sannsynsfordeling: Kummulativ sannsynsfordeling: Diskret simultanfordeling Kontinuerleg

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012) 1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel

Detaljer

A. i) Sett opp en frekvenstabell over de fire mulige kombinasjonene av kjønn og røykestatus. Dvs. fyll inn. Ikke - røyker Sum Jente Gutt Sum 25

A. i) Sett opp en frekvenstabell over de fire mulige kombinasjonene av kjønn og røykestatus. Dvs. fyll inn. Ikke - røyker Sum Jente Gutt Sum 25 1 ECON21: ESAEN 215v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i > Grensen til bestått bør ligge på ca

Detaljer

Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling

Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling Kapittel 8 Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Til nå... Definert sannsynlighet og stokastiske variabler (kap. 2 & 3).

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett

Detaljer

Oppgavesett nr. 1. MAT110 Statistikk 1, Etterspørsel y=y i Figur 1: Sammenheng mellom pris x og etterspørsel y.

Oppgavesett nr. 1. MAT110 Statistikk 1, Etterspørsel y=y i Figur 1: Sammenheng mellom pris x og etterspørsel y. Innleveringsfrist: mandag 27. jan. kl. 14:00 Oppgavesett nr. 1 MAT110 Statistikk 1, 2014 Oppgave 1: ( kovarians ) Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom pris x og etterspørsel y av en vare. Pris x=x

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk.

Sannsynlighetsregning og Statistikk. Sannsynlighetsregning og Statistikk. Leksjon Velkommen til dette kurset i sannsynlighetsregning og statistikk! Vi vil som lærebok benytte Gunnar G. Løvås:Statistikk for universiteter og høyskoler. I den

Detaljer

Forelesning 7. mars, 2017

Forelesning 7. mars, 2017 Forelesning 7. mars, 2017 AVSNITT 5.1 Eksempel: Miljøkonturer AVSNITT 5.2 Forventningen til en funksjon av flere variable Kovariansen mellom to variable Eksempel: Miljøkonturer Miljøvariable som karakteriserer

Detaljer

Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emnenavn: Metodekurs 1: statistikk, deleksamen Dato: Eksamenstid: 4. januar 2017 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Faglærer:

Detaljer

Forventning og varians.

Forventning og varians. Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.) Forventningsverdi gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: E(X) f(),x diskret

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 4: Matematisk forventning [4.1+start 4.3] Quiz kjørt med Kahoot! fra kahoot.it. Mette Langaas wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/ 2 Høyde, kvinner Frequency

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}

Detaljer

Oppgavesettet består av 11 sider inklusiv denne forsiden, hvorav de 7 siste er formelsamling og tabeller.

Oppgavesettet består av 11 sider inklusiv denne forsiden, hvorav de 7 siste er formelsamling og tabeller. Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: SFB10711 Metode 1, statistikk deleksamen Dato: Eksamenstid: 18. mai 2016 4 timer Hjelpemidler: Faglærer: Kalkulator og vedlagt Hans Kristian Bekkevard formelsamling

Detaljer

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.

Detaljer

Eksempel: kast med to terninger

Eksempel: kast med to terninger Kapittel 3 TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Eksempel: kast med to terninger I et eksperiment kaster vi to terninger og registerer antall øyne på hver terning. Utfallsrom S={(,),(,2),(,3),...,(,), (2,),...,(2,),...,(,)}

Detaljer

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) =

6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) = Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 4, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 a) Utfallsrommet til X 1 er {1, 2,, 4, 5, }. Sannsynlighetsfordelingen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Deleksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Onsdag 12. oktober 2011. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet

Detaljer

Statistikk og dataanalyse

Statistikk og dataanalyse Njål Foldnes, Steffen Grønneberg og Gudmund Horn Hermansen Statistikk og dataanalyse En moderne innføring Kapitteloversikt del 1 INTRODUKSJON TIL STATISTIKK Kapittel 1 Populasjon og utvalg 19 Kapittel

Detaljer

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for

Detaljer

Forventning og varians.

Forventning og varians. Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.1) Forventningsverdi = gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: x xf(x),x

Detaljer

Kapittel 3: Studieopplegg

Kapittel 3: Studieopplegg Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere

Detaljer

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Versjon per 18. februar 2004 Innhold 1 EMPIRISKE STATISTISKE MÅL 1 1.1 Forventningsverdi, varians og standardavvik.....................

Detaljer

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: HIS 05 08. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside)

Detaljer

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Vi så i forrige kapittel at utvalgsfordeling til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene til statistikken over alle utvalg av samme størrelse

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 29. november 1993. Tid for eksamen: 09.00 15.00. Oppgavesettet

Detaljer

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik. Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger f(x,y) NTNU Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4240 Statistikk (F2 og E7) 3.4: Foreleses mandag 30.august y=hoyde x=vekt Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/18 Oppsummering

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 5 Løsningsskisse Oppgave 1 En lottorekke kan oppfattes som et ikke-ordnet utvalg på

Detaljer

Regneregler for forventning og varians

Regneregler for forventning og varians Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 4

Statistikk 1 kapittel 4 Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Notasjon. Løsninger. Problem. Kapittel 7

Notasjon. Løsninger. Problem. Kapittel 7 3 Notasjon Kapittel 7 Funksjoner av stokastiske variabler Har n stokastiske variabler, X 1, X 2,..., X n, med kjent fordeling f( 1, 2,..., n ) og kumulativ fordeling F( 1, 2,..., n ). Ser på Y = u(x 1,

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 14 (6.-9. april)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 14 (6.-9. april) HG April 010 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 14 (6.-9. april) Innledende merknad. De fleste oppgavene denne uka er øvelser i bruk av den viktige regel 5.0, som er sentral i dette kurset,

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for lærer- og tolkeutdanning

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for lærer- og tolkeutdanning HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for lærer- og tolkeutdanning Emnekode(r): LGU52003 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10), emne 2 Studiepoeng: 15 Eksamensdato: 11. mai 2015 Varighet/Timer: Målform: Kontaktperson/faglærer:

Detaljer

Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner

Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner a) Sannsynlighetene i oppgaven blir P (F 1 F 2 ) P (F 1 ) + P (F 2 ) P (F 1 F 2 ) P (F 1 ) + 1 P (F2 C ) P (F 1 F 2 ) 0.080 + 0.075 0.006 0.149 P (F 1 F 2 ) P (F 1 F 2

Detaljer

betyr begivenheten at det blir trukket en rød kule i første trekning og en hvit i andre, mens B1 B2

betyr begivenheten at det blir trukket en rød kule i første trekning og en hvit i andre, mens B1 B2 ECON30: EKSAMEN 06v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 25. NOVEMBER 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 5, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 X og Y er uavhengige Poisson-fordelte stokastiske variable, X p(x;5 og Y p(y;1.

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlig uniform fordeling f() = B A, A B. En kontinuerlig størrelse (vekt, lengde, tid), som aldri kan bli mindre enn

Detaljer

MAT110. Statistikk 1. Samling av øvingsoppgaver Per Kristian Rekdal

MAT110. Statistikk 1. Samling av øvingsoppgaver Per Kristian Rekdal MAT110 Statistikk 1 Samling av øvingsoppgaver 2016 Per Kristian Rekdal 2 Forord Øvingsoppgaver: Dette er en samling av øvingsoppgaver i emnet MAT110 Statistikk 1 ved Høgskolen i Molde fra våren 2016. Samlingen

Detaljer

Oppgave 1 Vi lar X være antall tankskip som ankommer havnen i løpet av en dag. Vi har fått oppgitt at X poisson(λ) med

Oppgave 1 Vi lar X være antall tankskip som ankommer havnen i løpet av en dag. Vi har fått oppgitt at X poisson(λ) med Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 5, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Vi lar X være antall tankskip som ankommer havnen i løpet av en dag.

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER VARIGHET: 4 TIMER DATO: 27. FEBRUAR 2004 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 5

Detaljer

Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG

Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVDELING FOR MAT- OG MEDISINSK TEKNOLOGI Matteknologisk utdanning Kandidatnr: Eksamensdato:

Detaljer

Innhold. Innledning. Del I

Innhold. Innledning. Del I Innhold Del I Innledning 1 Hva er statistikk?...17 1.1 Bokas innhold 18 1.1.1 Noen eksempler 18 1.1.2 Historie 21 1.1.3 Bokas oppbygning 22 1.2 Noen viktige begreper 23 1.2.1 Populasjon og utvalg 23 1.2.2

Detaljer