Løsningsforslag oblig 1 STK1110 høsten 2014
|
|
- Aleksander Aronsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsningsforslag oblig STK høsten 4 Oppgave I forbindelse med en studie av antioksidanter og antocyanider, ble innholdet av antocyan i 5 beger med blåbær målt. De målte verdiene var (i mg per gram): Vi antar at målingene kan betraktes som realisasjoner av uavhengige normalfordelte variable med forventning µ og varians σ. a) Lag et 95% konfidensintervall for forventningen µ. Vi har gitt 5 målinger av antocyanid i 5 beger blåbær, vi antar at målingene er uif. (uavhengige identisk fordelte) med X i N(µ,σ ), for i =,...5. Et 95% konfidensintervall for µ er gitt av ( X t α/,n S/ n, X +tα/,n S/ n) = (543.85, ) hvor α =.5, t α/,n =.448 og S = n i (X i X). Vi brukte t-fordelingen siden σ er ukjent og vi er nødt til å estimere det vha. S. Dessuten, er utvalget veldig lite, kun 5 observasjoner. b) Generer datasett, hvert av størrelse n = 5, der observasjonene skal være realisasjoner av stokastiske variable X,X,...,X 5 som er uavhengige og N(558,3 )-fordelte. Du kan bruke rnorm-funksjonen i R til dette. Beregn 95% konfidensintervaller som i punkt a) fra de simulerte datasettene, og tell opp hvor mange av de intervallene som inneholder 558 Kommentér og forklar. Følgende er et forslag til R-kode som er en løsning av oppgaven. Du kan ha gjort det på en annen måte eller brukt en annen programvare. Vi oppretter en (x5) matrise X[i,j] der i er rader og j søyler. Vi bruker hjelpevariabelen tell til å telle antall intervaller som inneholder 558 og funksjonen for til å gå gjennom alle radene i =,,3,..., og beregne hvert intervall. Funksjonen if sjekker og teller om 558 er inneholdt i intervallet. Her, har vi beregnet konfidensintervaller utfra utvalg med 5 genererte tall fra N(558,3 ) og telt hvor mange av dem inneholder 558 i både oppgave (b) og (c). Dette har vi gjentatt ganger for å vise at svaret varierer og at ikke alle trenger nødvendigvis å ha fått det samme antallet. m= X <- matrix(data = NA, nrow = m, ncol = 5, byrow = FALSE,
2 tell = dimnames = NULL) for( i in :m){ X[i,] = rnorm(5,558,3) lower = mean(x[i,])-qt(.975,4)*sd(x[i,])/sqrt(5) upper = mean(x[i,])+qt(.975,4)*sd(x[i,])/sqrt(5) if(lower < 558 && 558 < upper){ tell = tell + } } andel = tell/m Her viser vi resultatene vi har fått ved å kjøre R-koden ganger. Du burde ha fått et lignende resultat. c) Omgang Antall int. som inneholder 558 Prosent % % % % % % % % % % R-koden blir den samme, men vi må erstatte qt med.96. Omgang Antall int. som inneholder 558 Prosent % % % % % % % % % % Det er ingen god idé å benytte dette intervallet her da vi kun har 5 observasjoner. En tommelfingerregel sier at vi trenger minst 4 observasjoner for å benytte de tilnærmede intervallene man bruker for store utvalg. Det er selvsagt færre intervaller som inneholder 558 i
3 dette tilfellet siden.96 er mindre enn t-verdiene vi brukte i forrige deloppgave, og derfor er intervallene smalere her. Så dekningssansynligheten blir mindre enn vi tror. d) Alle realisasjonene kommer fra uavhengige normalt fordelte variabler, dette medfører at intervallene er uavhengige av hverandre. Vi sjekker om 558 er inneholdt i hvert av disse, med to mulige utfall enten ja eller nei. Så N = {Antall intervaller som inneholder 558} er binomisk fordelt med parameter N = og p b og p c der og p b = P( X t α/,n S/ n < 558 < X +t α/,n S/ n) n( X 558) = P( t α/,n < < t α/,n ) = α =.95 S p c = P( X.96S/ n < 558 < X +.96S/ n) n( X 558) = P(.96 < <.96) S = P(t 4 <.96) P(t 4 <.96).93 siden n( X 558)/S t 4. Vi ser at disse sannsynlighetene stemmer godt med de empiriske resultatene vi fikk i punkt b) og c). e) Vi skal vise at 4S /σ χ 4. Observér først at 5 ( ) Xi µ 5 ( Xi = X 5 +( X ) 5 µ) σ σ 5 ( Xi = X ) 5 5 (X i X 5 )( X 5 µ) + σ σ ( ) = (5 )S X5 µ + σ σ/ 5 5 ( ) X5 µ () siden i (X i X 5 ) = 5 X 5 5 X 5 =. Vi kjenner fordelingen til summen lengst til venstre (den er χ 5) og den lengst til høyre (den er χ ). Hvis vi nå kan vise at gitt stokastiske variable X,Y og Z, hvor Z χ n og Y χ m og hvor X og Y er uavhengige, så vil Z = X +Y X χ n m er vi ferdige. Dette gjøres lettest ved hjelp av momentgenererende funksjoner. Merk at hvis X χ k så er den momentgenererende funksjonen til X gitt som M X (t) = E[exp{tX}] = exp{tx}( k/ Γ(k/)) x k/ exp{ x/}dx = ( k/ Γ(k/)) u k/ (/ t) k/+ exp{ u}(/ t) du = k/ (/ t) k/ = ( t) k/ 3 σ
4 fra egenskapene til gammaintegralet og hvor u = x(/ t). Fra over har vi nå at siden X og Y er uavhengige er M Z (t) = M X+Y (t) = M X (t)m Y (t), videre er derfor M X = M Z (t)/m Y (t) = ( t) n/ /( t) m/ = ( t) (n m)/. som er den momentgenererende funksjonen til en χ n m-fordelt variabel, som var det vi skulle vise. f) Et 99% konfidensintervall for σ er gitt av Oppgave ((n )S /x α/,n, (n )S /x α/,n ) = (364.6, 8.5) X,...,X n er uavhengige og uniformt fordelt på intervallet [,θ], der θ er et ukjent parameter. De tilfeldige variablene har med andre ord tetthet { /θ hvis xi θ f(x θ) = ellers a) Forventningen til variablene X,...,X n er E[X i ] = siden Var(X i ) = E[X i] E[X i ] og E[X i] = xf(x θ)dx = x f(x θ)dx = har vi at Var(X i ) = θ /3 (θ/) = θ /. b) x θ dx = θ x θ dx = θ xdx = θ, x dx = θ 3 Fra a) har vi at E[X i ] = θ/ og momentestimatoren er derfor gitt som ˆθ = X, den er videre forventningsrett siden E[ˆθ] = E[ X] = E[ n n X i ] = E[X ] = θ. 4
5 c) Vi har at Var(ˆθ) = Var( X) = 4Var( n n X i ) = 4 n n Var( X i ). Siden X,...,X n er uavhengige har vi at og i tillegg like fordelte (ergo samme varians) Var(ˆθ) = 4 n n Var( X i ) = 4 n Var(X n i ) Var(ˆθ) = 4 n nvar(x ) = θ 3n. Så derfor er σˆθ = Var(ˆθ) = θ/(3n) /. Vi sier at estimatoren ˆθ er konsistent hvis ˆθ P θ. Fra Chebychevs ulikhet har vi at for enhver ǫ > vil Pr{ ˆθ θ ǫ} Var(ˆθ) ǫ = θ 3nǫ når n og ˆθ er derfor konsistent. d) På grunn av uavhengighet er simultantettheten til X,...,X n gitt som f(x,...,x n θ) = n { /θ n hvis x f(x i θ) = i θ for alle i =,...,n ellers e) Siden x i θ, for i =,...,n er det samme som at min x i max x i θ, kan vi i n i n skrive simultantettheten som f(x,...,x n θ) = { /θ n hvis min ellers i n x i max i n x i θ, siden /θ n er avtagende for θ [ max x i, ) følger det at likelihoodfunksjonen er størst for i n minst mulig θ som er større enn eller lik max x i. Derfor er maksimum likelihood estimatoren i n gitt som ˆθ max = U = max X i. i n 5
6 f) La U = max i n X i, da er den kumulative fordelingsfunksjonen til U F U (u) = Pr{U u} = Pr{max i n X i u} = Pr{X i u,i =,...,n}. Alle begivenhetene {X i u},i =,...,n er uavhengige siden variablene X,...,X n er det. Da er sannsynligheten for snittet av begivenhetene lik produktet av begivenhetene slik at n ( ) n u Pr{X i u,i =,...,n} = Pr{X i u} = Pr{X u} n = θ der vi brukte at X i har alle den samme fordelingen. Siden tettheten f U (u) er den deriverte av den kumulative fordelingsfunksjonen er f U (u) = { n θ n u n for u θ ellers. g) Forventningen til ˆθ max = U er h) E[U] = uf U (u)du = un( u θ )n θ du = n θ n u n du = n θ n θ n+ n+ = nθ n+. Fra punkt g) ser vi at estimatoren θ = (n+)ˆθ max /n må være forventningsrett, videre er siden Var( θ) = (n+) n E[U ] = ( nθ n+ ( nθ n+ u n( u θ )n θ du = n θ n ) ) = (n+) n nθ (n+)(n+) = θ n(n+), u n+ du = n θ n θ n+ n+ = nθ n+ i) Vi foretrekker θ siden Var( θ) = θ n(n+) Var(ˆθ) = θ 3n for all n. j) Vi har generert datasett med tall fra uniform fordelingen med (kjent) θ =. For hvert av disse datasettene har vi regnet ut momentestimatoren ˆθ (thetamom i plottene) og den modifiserte sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren θ (thetamod i plottene). Vi har plottet både boksplott og histogram. På begge plottene kan man se at θ har lavere varians enn ˆθ, med andre ord, θ ligger generelt nærmere enn det ˆθ gjør. 6
7 thetamom thetamod Density 5 5 thetamom thetamod Vi har brukt R-koden under til å generere plottene N= n= thetamom=c(:n) thetamod=c(:n) for(i in :N){ data = runif(n) thetamom[i]=*mean(data) thetamod[i]=((n+)/n)*max(data) } 7
8 boxplot <- data.frame(thetamom,thetamod) postscript("boxplot.eps") boxplot(boxplot) dev.off() postscript("histogram.eps") hist(thetamom, freq=f, col="red", main=null, xlab=null, ylim=c(,5)) hist(thetamod, freq=f, col="blue", add=t, main=null, xlab=null) legend("topright", legend=c("thetamom", "thetamod"),col=c( red, blue ), lty=,lwd=.5) dev.off() Oppgave 3 a) Vi vil bestemme forkastningsområdet R = {X k} slik at sannsynligheten for feil av type I blir α.5. Så α P(X k λ = ) = P(X = ) P(X = k ). Vi beregner k ved hjelp av sannsynlighetsfunskjonen: P(X = x) = e λ λ x x!. For k = får vi P(X = ) = e =.8647 For k =, For k = 3, P(X = ) P(X = ) = e e =.594 For k = 4 For k = 5 P(X = ) P(X = ) P(X = ) = e e e P(X 4 λ = ) = e e e 3 e 6 =.49 =.333 P(X 5 λ = ) = e e e 3 e 6 4 e 4 =.57 For k = 6 P(X 6 λ = ) = e e e 3 e 6 4 e 4 5 e =.66 Førsteverdiavk slikatα <.5erk = 6såvivelgerR = {X 6}somforkastningsområde. 8
9 b) Vi er bedt om å beregne P(forkaste H λ = 4). Legg merke til at dette tilfellet ikke er en feil siden vi skal forkaste når λ = 4, dvs. vi gjør det riktige. Hvis λ = 4 da er X Poiss(4) c) P(X k λ = 4) = e 4 5 l= 4 l l! =.49 Type-II-feil er sannsynlighet for å godta H når den ikke er sann. I dette tilfellet blir dette P(R λ = 4) = P(X k λ = 4) =.785 X,...,X m der X i Poiss(n i p), i =,...,m. Likelihoodfunksjonen er: log-likelihood blir L(p;x,...,x m ) = P(X = x,...,x m = x m ) uavh. = P(X = x ) P(X m = x m ) = e n p (n p) x e nmp (n m p) xm x! x m! = x! x m! (n p) x (n m p) xm e p n i. m l(p;x,...,x m ) := logl(p;x,...,x m ) = log x! x m! + x i log(n i p) p Den deriverte av log-l er: n i. p l(p;x,...,x m ) = p x i n i = som gir følgende sannsynlighetsmaksimeringsestimator: ˆp MLE = x i n i (som selvsagt maksimerer L siden p logl < ). Dette er en fornuftig estimator (under antagelsen om uavhengighet) siden vi teller antall tilfeller x,...,x m i hver populasjon, legger dem sammen og deler på totalt antall individer n i. 9
10 d) Vi skal finne E[ˆp MLE ] og Var[ˆp MLE ]. E[ˆp MLE ] = n i E[X i ] = n i n i p = p der vi brukte at X i Poisson(n i p) og derfor E[X i ] = n i p for alle i =,,...,m. Dette viser at ˆp MLE er en forventningsrett estimator for p. Var[ˆp MLE ] = ( n i) Var[X i ] = ( n i) n i p = n ip dervibrukteatx i eruavhengigeforåkunnesplitteoppvarianstilsummenogatvar[x i ] = n i p for alle i =,,...,m. Legg merke til at Var[ˆp MLE ] når n i og på grunn av Chebyshev s ulikhet får vi at estimatoren ˆp MLE er konsistent.
TMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerUtfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerInferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"
Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.
DetaljerSiden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.
Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Oppgave 1 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f(x) = 2xe
DetaljerSTK Oppsummering
STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer
DetaljerHypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:
Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.
DetaljerStatistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)
TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
DetaljerLøsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Løsningsskisse Oppgave X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f X (x) = { x exp( x ) x
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.12: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 20.oktober, 2010 2 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne
DetaljerNorske hoppdommere og Janne Ahonen
TMA440 Statistikk H010 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoner 9.10-9.11: Andelser 9.1: Varians Mette Langaas Foreleses onsdag 0.oktober, 010 Norske hoppdommere og Janne Ahonen Janne Ahonen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1100 Statistiske metoder og dataanalyse 1 - Løsningsforslag Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30
DetaljerEstimatorar. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Estimatorar Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 11.10.2018 I dag Repetisjon Er dataa mine normalfordelt? Estimatorar Eigenskapar til S 2 Kahoot 2 Repetisjon Obervator Ein observator
DetaljerLøsningsforslag: STK2120-v15.
Løsningsforslag: STK2120-v15 Oppgave 1 a) Den statistiske modellen er: X ij = µ i + ϵ ij, j = 1,, J, i = 1,, I Her indekserer i = 1,, I gruppene og j = 1,, J observasjone innen hver gruppe Feilleddene
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
DetaljerDekkes av kap , 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene.
Estimering 2 -Konfidensintervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene. En (punkt-)estimator ˆΘ gir oss et anslag på en ukjent parameterverdi, men gir oss ikke noen direkte informasjon
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1 Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30 18.00. Oppgavesettet
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
Detaljerfor x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerObservatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter
Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter
DetaljerBootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100
Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 2014 (oppdatert April 2016) 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002
Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]
DetaljerForeleses onsdag 13.oktober, 2010
TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.4: Konfidensintervall for µ 8.7: Student-t fordeling 8.6: Fordeling til S Mette Langaas Foreleses onsdag 13.oktober, 010 Estimering Mål: finne sannheten om
DetaljerKapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering
Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
I dag I dag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve 3 a og b (inkl SME) Om eksamen (Truleg) 10 punkt.
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Løsningsskisse Oppgave Scriptet run confds.m simulerer n data x,..., x n fra en normalfordeling med
DetaljerTMA4240 Statistikk H2017 [15]
TMA4240 Statistikk H207 [5] Del 2: Statistisk inferens Populasjon og utvalg [8.] Observatorer og utvalgsfordelinger [8.2-8.3] Fordeling til gjennomsnittet og sentralgrenseteoremet [8.4] Normalplott [8.8]
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve
DetaljerPunktestimator. STK Bootstrapping og simulering - Kap 7 og eget notat. Bootstrapping - eksempel Hovedide: Siden λ er ukjent, bruk ˆλ:
Punktestimator STK00 - Bootstrapping og simulering - Kap 7 og eget notat Geir Storvik 8. april 206 Trekke ut informasjon om parametre fra data x,..., x n Parameter av interesse: θ Punktestimator: Observator,
Detaljer(utarbeidet av Mette Langaas), TMA4245 V2007
Kapittel 8 og 9 Ett- og toutvalgs estimering; statistisk inferens, forventningsretthet, punktestimat, intervallestimat og prediksjonsintervall, estimere forventningsverdi, differanse, andel og varians,
DetaljerRegneøvelse 22/5, 2017
Regneøvelse 22/5, 217 Arne Bang Huseby Eksamen STK11 212: oppgave 1 og 2 Eksamen STK11 28: oppgave 1) og 2 Eksamen 212, oppgave 1 Ved en bestemt butikk i en større dagligvarekjede viser langvarige data
DetaljerOppgave 1. . Vi baserer oss på at p 47 1 og p 2 er tilnærmet normalfordelte (brukbar tilnærming). Vi har tilnærmet at (n 1 = n 2 = 47)
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen vår 006, s. 1 Oppgave 1 a) En tilfeldig utvalgt besvarelse får F av sensor 1 med sannsynlighet p 1 ; resultatene for ulike besvarelser er uavhengige.
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 (22)
TMA4240 Statistikk H2010 (22) 10.11-10.12: Testing av andelser 10.13: Testing av varians i ett N utvalg Mette Langaas Foreleses onsdag 3.november, 2010 2 Laban strakk seg ikke lenger, men smaker den bedre?
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.4: Konfidensintervall for µ 8.7: Student-t fordeling 8.6: Fordeling til S 2 Mette Langaas Foreleses onsdag 13.oktober, 2010 2 Estimering Mål: finne sannheten
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerBootstrapping og simulering
Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 2014 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor statistikk, men
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar
DetaljerEksamensoppgave i TMA4295 Statistisk inferens
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4295 Statistisk inferens Faglig kontakt under eksamen: Vaclav Slimacek Tlf: 942 96 313 Eksamensdato: Tirsdag 2. desember 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1110 FASIT. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerTMA4245 Statistikk. Innlevering 3. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA4245 Statistikk Vår 2017 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3 Dette er den første av to innleveringer i blokk 2 Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Oppgave 1 Oljeleting a) Siden P(A
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 11. november 2017) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerKap. 8: Utvalsfordelingar og databeskrivelse
Kap. 8: Utvalsfordelingar og databeskrivelse Utvalsfordelingar Utvalsfordeling for gjennomsnitt (med kjent varians) ( X ) Sentralgrenseteoremet (SGT) Utvalsfordeling for varians (normalfordeling) Utvalfordeling
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007
Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren
DetaljerDa vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X
Me me me me metallic hvit 4.4: Tilnærming til normalfordeling Tilnærming til normalfordeling: binomisk og Poisson kan tilnærmes v.h.a. normalfordeling under bestemte forhold (ved "mange" delforsøk/hendelser)
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 3. april Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerForslag til endringar
Forslag til endringar Bakgrunn: Vi har ingen forelesningar veka etter påske. Eg skal bort 18. og 19. april. Eksamen er 30.mai Forslag til endringar: Ekstra forelesningar onsdag 16.mars og onsdag 30 mars
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. Rea181 EKSAMENSDATO: 1. juni 28 KLASSE: Ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl.
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerMAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag
MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3. Løsningsforslag I kapittel 9 i kompendiet forklarte vi at maximum-likelihood er en av de viktige anvendelsene av ikke-lineær optimering. Vi skal se litt mer på hva
DetaljerDenne veka. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon
Denne veka Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon Notat: Ordningsvariable og ekstremvariable Ordnings variable Maksimum Minumum Transformasjon
DetaljerLøsningsforslag eksamen 27. februar 2004
MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag eksamen 7 februar 004 Oppgave a) Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh N(0, σ ) der µ i er forventa kopperinnhold for legering i og ε ij er feilleddet (tilfeldig variasjon)
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerLøsningsforslag statistikkeksamen desember 2014
Løsningsforslag statistikkeksamen desember 2014 Oppgave 1 a i. To hendelser er disjunke hvis det er intet overlapp mellom hendelsene, altså hvis A B = Ø. Siden vi har en sannsynlighet for å finne A B som
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 8, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 Da komponentene danner et parallellsystem, vil systemet fungere dersom minst
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
DetaljerLøsningsforslag øving 8, ST1301
Løsningsforslag øving 8, ST3 Oppgave Hva gjør følgende funksjon? Hvilken fordeling har variabelen n som returneres som funksjonsverdi? Forklar hvorfor. Forutsett at to enkle positive tall blir oppgitt
DetaljerDagens tekst. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon
Dagens tekst Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon Notat: Ordningsvariable og ekstremvariable Ordnings variable Maksimum Minumum Transformasjon
DetaljerFerdig før tiden 4 7 Ferdig til avtalt tid 12 7 Forsinket 1 måned 2 6 Forsinket 2 måneder 4 4 Forsinket 3 måneder 6 2 Forsinket 4 måneder 0 2
Besvar alle oppgavene. Hver deloppgave har lik vekt. Oppgave I En kommune skal bygge ny idrettshall og vurderer to entreprenører, A og B. Begge gir samme pristilbud, men kommunen er bekymret for forsinkelser.
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik
DetaljerBootstrapping og stokatisk simulering Tilleggslitteratur for STK1100
Bootstrapping og stokatisk simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 014 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor statistikk
DetaljerLøsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015
Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 0 Oppgave 1 Siden det spørres om tall fra et intervall, som oppgaven viser kan være et reelle, er det tydelig at tallene er tatt fra en kontinuerlig fordeling.
DetaljerDenne veka. Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon
Denne veka Kap 7: Funksjonar av stokastiske variable Transformasjon av variable Moment Momentgenererande funksjon Notat: Ordningsvariable og ekstremvariable Ordnings variable Maksimum Minumum Transformasjon
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2018
TMA4240 Statistikk Høst 2018 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 5 Dette er andre av tre innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.6: Prediksjonsintervall 9.8: To utvalg, differanse µ 1 µ 2 Mette Langaas Foreleses mandag 18.oktober, 2010 2 Prediksjonsintervall for fremtidig observasjon,
DetaljerKp. 9.8 Forskjell mellom to forventninger
andeler I analysene skal vi se på situasjonene der σx og σ Y er kjente; normalantakelse a σx og σ Y er ukjente men σ X = σ Y ; normalantakelse og b σx og σ Y er ukjente og σ X σ Y ; normalantakelse 3 og
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 11. juni 28 KLASSE: HiS 6-9 Jørstadmoen. TID: kl. 8. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.
Detaljerj=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader.
FORMELSAMLING TIL STK2120 (Versjon av 30. mai 2012) 1 Enveis variansanalyse Anta at Y ij = µ + α i + ɛ ij ; j = 1, 2,..., J i ; i = 1, 2,..., I ; der ɛ ij -ene er uavhengige og N(0, σ 2 )-fordelte. Da
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Høsten Momentestimatoren og sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren
ST0103 Brukerkurs i statistikk Høsten 2016 Momentestimatoren og sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) Boka har bare ett eksempel med sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren. Vi gjengir dette nedenfor,
Detaljeri x i
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 11, blokk II Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale
DetaljerSTK juni 2018
Løsningsforslag til eksamen i STK. juni 8 Oppgave Tvillingpar kan være enten eneggede eller toeggede. Sannsynligheten for at det ved en tvillingfødsel blir født eneggede tvillinger er i Nord-Europa omtrent
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Mandag 1. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet
Detaljer(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].
FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2017) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00
DetaljerLøsningsforslag STK1110-h11: Andre obligatoriske oppgave.
Løsningsforslag STK1110-h11: Andre obligatoriske oppgave. Oppgave 1 a) Legg merke til at X er gamma-fordelt med formparameter 1 og skalaparameter λ. Da er E[X] = 1/λ. Små verdier av X tyder derfor på at
DetaljerTilfeldig utvalg [8.1] U.i.f. Statistisk inferens. Kapittel 8 og 9
3 Tilfeldig utvalg [8.1] DEF 8.1: En populasjon er mengden av observasjoner som vi ønsker å studere, dvs. alle observasjoner det er mulig å gjøre. (Dersom elementene i populasjonen har fordeling f(x),
DetaljerFørste sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015
Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Dette er det første obligatoriske oppgavesettet i STK1110 høsten 2015. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Du må bruke Matematisk institutts
DetaljerST1201 Statistiske metoder
ST0 Statistise etoder Norges tenis-naturvitensapelige universitet Institutt for ateatise fag Løsningsforslag - Esaen deseber 008 Oppgave a l(θ = lnl(θ = L(θ = n n f(x i [ θ e ] x i θ [ ln lnθ x ] i = nln
DetaljerEstimering og hypotesetesting
Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetesting TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Estimering og hypotesetesting Fenomen Bilkjøring Høyden til studenter Spørsmål Hvor stor andel av studentene synes de er flinkere
Detaljer