Statistikk 1 kapittel 4
|
|
- Johan Kristensen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017
2 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull) tallverdi Nå kan vi beregne forventede tallstørrelser, og deres variasjon Eksempel: levealder (antall år i live) til en tilfeldig valgt 50-åring. Det er en viss sjanse på at vedkommende dør på alder 50, 51, 52,, 110. Levealder er en stokastisk (tilfeldig) variabel. Det er usikkert hvilken verdi variabelen vil få. Stokastiske variabler skrives vanligvis som X, Y, Z, Definisjon: En stokastisk variabel (s.v.) X er en variabel som får en bestemt tallverdi for hvert utfall i utfallsrommet S
3 Kaster to terninger. X = sum av øyne, s.v. Hva er sannsynligheten P(X=8)? Antall gunstige utfall = 5, antall mulige utfall = 36 P(X=8) = 5/36 Hva med andre verdier av X? Tabellen gir P(X=x) og P(X x) for x = 2, 3, 12 Verdi x Sannsynlighet P(X=x) Kumulativ sannsynlighet P(X x) 2 1/36 1/36 3 2/36 3/36 4 3/36 6/36 5 4/36 10/36 6 5/36 15/36 7 6/36 21/36 8 5/36 26/36 9 4/36 30/ /36 33/ /36 35/ /36 36/36 = 1 3
4 Dette var et eksempel på et forsøk der den stokastiske variabelen er diskret. Levealder: her er den stokastiske variabelen kontinuerlig (i hvert fall i teori i praksis bruker vi ofte kun hele fullførte år) To typer sannsynlighetsmodeller -diskrete (enklere å forstå) -kontinuerlige 4
5 Sannsynlighetsmodeller for diskrete stokastiske variabler Definisjon: Sannsynlighetsfordeling (for en diskret s.v. X): samlet representasjon av alle verdiene en s.v. X kan ha, sammen med tilhørende sannsynligheter P(X=x) for alle x. Kan ta form av en tabell eller en formel. Eksempel: tabell for sum øyne. En sannsynlighet P(X=x) for en bestemt verdi x kalles også for punktsannsynlighet. 5
6 Eksempel 4.2. Fire barn, 16 mulige sammensetninger av barneflokken (se tabell 4.2) Definer stokastisk variabel X = antall jenter Tabell P(X=0) = P(ingen jenter) = (½) 4 = 1/16 P(X=1) = P(en jente) P(X=2) = P(to jenter) = P(X=3) = P(tre jenter) = P(en gutt) = 4*(½) 4 = ¼ = 6/16 = ¼ P(X=4) = P(fire jenter) = = 1/16 Sjekk: sum = ( )/16 = 1 Formel: P(X=x) = 4 x 16 x = 0, 1, 2, 3, 4 6
7 Kumulativ sannsynlighetsfordeling Gitt en sannsynlighetsfordeling P(X=x) for alle verdier x Den kumulative fordelingen er definert som F(x) = P(X x) Forklaring: la x 1, x 2, x 3, x n være verdiene som X kan ha i ordnet rekkefølge, slik at x 1 < x 2 < x 3 < x n. Da er F(x i ) = P(X x i ) = P(X=x 1 ) + P(X=x 2 ) + P(X=x 3 ) + + P(X=x i ) for en bestemt i, 1 i n Eksempler: 1) Tabell 4.1 2) Jente-eksemplet 7
8 Jente-eksemplet F(0) = P(X=0) = 1/16 F(1) = P(X=0) + P(X=1) = 5/16 F(2) = 11/16 F(3) = 15/16 F(4) = 16/16 = 1 F(x) 16/16=1 15/16 14/16 13/16 12/16 11/16 10/16 9/16 8/16 7/16 6/16 5/16 4/16 3/16 2/16 1/ x 8
9 Gitt sannsynlighetsfordelingen P(X=x), er det lett å finne den kumulative fordelingen F(x) for en bestemt x i, ved å legge sammen F(x i ) = P(X x i ) = P(X=x 1 ) + P(X=x 2 ) + P(X=x 3 ) + P(X=x i ) Omvendt, gitt F(x) for alle verdier av x, hvordan kan vi finne en bestemt punktsannsynlighet P(X=x i )? Beregn forskjeller: F(x i ) = P(X=x 1 ) + P(X=x 2 ) + P(X=x 3 ) + + P(X=x i-1 ) + P(X=x i ) F(x i-1 ) = P(X=x 1 ) + P(X=x 2 ) + P(X=x 3 ) + + P(X=x i-1 ) F(x i ) F(x i-1 ) = P(X=x i ) Også: for to generelle verdier x j og x k (x j < x k ): P(x j < X x k ) = F(x k ) F(x j ) < 9
10 Jente-eksemplet: P(flere enn 1 jente men maks 3 jenter) = = P(1 < X 3) = F(3) F(1) = 15/16 5/16 = 10/16 Sjekk: P(1 < X 3) = P(X=2 eller X=3) = 6/16 + 4/16 = 10/16 OK 10
11 Forventning Gitt en stokastisk variabel (s.v.) X med sannsynlighetsfordeling P(X=x) En rekke forsøk resulterer i mange verdier for X. Gjennomsnitt for denne tallserien heter forventning til X Forteller meg hvor «midtpunktet» av sannsynlighetsfordelingen ligger Eksempel: et spill over flere runder. Du taper 10 kr. med 60% sjanse i hver runde, og vinner 40 kr. med 40% sjanse. Deltar du? 60% av rundene taper du 10 kr. 40% av rundene vinner du 40 kr. Forventet resultat etter mange runder = 0,6. (-10) + 0,4. (+40) = +10 kr. i snitt pr. runde 11
12 X = resultat i en runde P(X= -10) = 0,6 og P(X= +40) = 0,4 Forventet resultat = (-10). P(X= -10) + (40). P(X= +40) = = (-10). 0,6 + (40). 0,4 = 10 kr Definisjon Gitt en diskret s.v. X med utfall x 1, x 2,, x n og punktsannsynligheter P(X=x i ) Forventningsverdi (forventning) til X er definert som E(X) = alle i [x i. P(X=x i )] Forventning E(X) er et fast tall, ikke stokastisk 12
13 1) Jente-eksemplet: Y = antall jenter i en firebarns familie Forventet antall jenter? Jfr. tabell 4.2 E(Y) = 0 x 1/ x ¼ + 2 x 6/ x ¼ + 4 x 1/16 = 32/16 = 2. 2) Terning, X = antall øyne er en s.v. E(X) = 1 x 1/6 + 2 x 1/ x 1/6 = 3½ Forventet verdi behøver ikke å være med i utfallsrommet! Du må ikke forveksle E(X) med et bestemt utfall Tolkning E(X): kaster du 1000 ganger, kan du forvente at antall øyne totalt går mot
14 Stokastisk variabel deskriptiv statistikk forventning gjennomsnitt X må være tellbar for å kunne beregne forventningen E(X) E(X) gir ikke mening når X er kategorisk (nominal, ordinal). Jfr X = bokommune, hårfarge etc. 14
15 St. Petersburg paradoks (eks. 4.8) En mynt kastes gjentatte ganger, inntil første gang resultatet er «kron» Du får 2 kroner utbetalt ved «kron» i 1. kast k k. kast Hvor stor er forventet gevinst? X = gevinst, s.v. Utfall x kan være alt fra 0, 2, 4, 2 k, «kron» i runde k betyr at det var «mynt» i rundene 1,2,,k-1. P(«kron» i runde k) = (½) k-1. ½ = (½) k E(X) = k=1 2 k.(½) k = 2.½ + 4.(½) (½) 3 +. = = k=11 = =??? Forventet gevinst er uendelig stor! Men du må være villig til å delta i uendelig mange runder. Jfr Løvås for forklaring 15
16 Egenskaper for forventet verdi (regel 4.7) X og Y er stokastiske variabler, a og b er konstanter. Det er lett å bevise at E(a) = a E(b.X) = b.e(x) E(aX + by) = a.e(x) + b.e(y) ************************** Forventning mer generelt: X er en diskret s.v., g(x) er en generell funksjon E[g(X)] = alle i g(x i ).P(X=x i ) NB E(X 2 ) = alle i (x i ) 2.P(X=xi) {E(X)} 2 = { alle i x i.p(x=x i )} 2 16
17 Varians og standardavvik En bestemt type forventning forekommer ofte: varians X er en s.v.. Varians til X defineres som forventet verdi til avvikskvadraten Avvik = avstand mellom X og dens forventning Definisjon: Var(X) = E[(X μ) 2 ] der μ = E(X) er forventning til X Egenskap: Var(X) = E[X 2 ] - μ 2 = alle i (x i ) 2.P(X=x i ) - μ 2 Bevis: Var(X) = E[(X μ) 2 ] = E[X 2-2μX + μ 2 ] = E[X 2 ] - 2μE[X] + μ 2 = E[X 2 ] - μ 2 Definisjon: standardavvik = kvadratrot av varians SD(X) = Var(X) Standardavvik skrives ofte som σ, varians som σ 2 17
18 Eksempel 4.10, tabell 4.7 Papirfabrikk X = antall dager med produksjonsstans i løpet av en uke Verdi x Sannsynlighet P(X=x) Verdi.Sannsynlighet x.p(x=x) Verdi 2.Sannsynlighet x 2.P(X=x) 0 0, ,22 0,22 0,22 2 0,27 0,54 1,08 3 0,17 0,51 1,53 4 0,12 0,48 1,92 5 0,07 0,35 1,75 6 0,03 0,18 1,08 7 0,01 0,07 0,49 Sum 1 E(X) = 2,35 E(X 2 ) = 8,07 E(X) = μ = forventet antall dager med produksjonsstans i løpet av en uke = 2,35 Tolkning: 100 uker, kan forvente 235 dager med produksjonsstans Var(X) = E[X 2 ] μ 2 = 8,07 2,35 2 = 2,55 dager 2 SD(X) = 2,55 = 1,60 dager (trykkfeil i boka) NB Måle-enhet for SD(X) er den samme som for X her: dager 18
19 Egenskaper for varians og standardavvik: forskyvning og skala-endring (Fig. 4.9) X er en s.v., E(X)=4, Var(X)=2, SD(X)=1,41 Forskyvning: Definer en ny s.v.: Y = X + 15 Nå er E(Y) = E(X) + 15 = 19 Var(X) = Var(Y) = 2 Skala-endring: Definer W = 2X E(W) = E(2X) = 2E(X) = 8 Var(W) = E[W 2 ] {E(W)} 2 = E[(2X) 2 ] 4.{E(X)} 2 = 4.Var(X) = 8 SD(W) = Var(W) = (4.Var(X)) = 2. Var(X) = 2.SD(X) = 2,81 19
20 Forskyvning og skala-endring samtidig Z= X E(X) SD(X) Lett å bevise at E(Z) = 0, SD(Z) = 1 Vi kaller Z for den standardiserte s.v. m.h.t. X: Z har forventning null og varians/standardavvik lik én 20
21 Generelt : X er en s.v., a,b er konstanter Var(X) 0 Var(X+a) = Var(X) Var(bX) = b 2.Var(X) SD(X) 0 SD(X+a) = SD(X) SD(bX) = b.sd(x) NB: Absoluttverdi til b F. eks. SD(-2.X) = 2.SD(X) 21
22 Kontinuerlige sannsynlighetsmodeller s.v. X: kroppshøyde til en tilfeldig mann Histogrammet blir mer nøyaktig med flere intervaller Konturen nærmer seg en glatt kurve Sannsynlighetsfordelingen for en kontinuerlig variabel heter sannsynlighetstetthet 22
23 Sannsynlighetstetthet f(x) for en kontinuerlig s.v. X beskriver sannsynlighetsfordelingen til X, og har følgende egenskaper: a) det totale arealet under kurven f(x) er lik 1; b) P(a X b) er lik arealet under kurven f(x) mellom x=a og x=b; c) f(x) 0. Alternativt for b): P(a X b) = b a f x dx areal bestemt integral X og x er kontinuerlige variabler. Dermed er P(X = x) lik null! Arealet til et uendelig smalt intervall er null. Det gir ikke mening å snakke om sannsynligheten for at en kontinuerlig variabel X har en bestemt verdi x. Intervaller! 23
24 Prognose for Norges befolkning i 2050 publisert i 2012 SSB: «Framskrevet folkemengde 1. jan er personer» X: folkemengde Norge i 2050, s.v. X er en kontinuerlig variabel (i praksis): P(X=x) 0 Sjansen er nærmest null at SSBs prognose treffer mål! Bedre å gi prognose i form av et intervall. Stokastisk befolkningsprognose: f. eks. P(6 mln X 7 mln) = 59% også P( X ) = 80% «80% prognoseintervall» 24
25 Kumulativ sannsynlighetsfordeling F X er en kontinuerlig s.v. Definisjon: F(x i ) = P(X x i ) = x i f x dx areal under f(x)-kurven til venstre for et fast punkt x i Derfor f(x) = F (x) tetthet f(x) = første deriverte av fordeling F(x) NB Integraler ikke pensum, tolk P(a<X<b) eller P(X<b) som areal under tetthetskurven 25
26 Kroppshøyde er en kontinuerlig s.v. Skriv denne s.v. som X Fordelingsfunksjon F(x) viser sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person har kroppshøyde mindre eller lik x cm. m.a.o. F(x) = P(X x) 26
27 Regneregler for kumulativ fordeling F(x) P(X b) = P(X < b) = F(b) P(X > b) = 1- F(b) P(a X b) = F(b) F(a) (a < b) 27
28 Forventning og varians for en kontinuerlig s.v. Forventning og varians defineres på samme måte som for en diskret s.v., men integral ( ) i stedet for sum ( ) E(X) = μ = + x.f x dx Var(X) = σ 2 + = x μ 2 +.f x dx=[ x 2.f x dx] μ 2 28
29 Eksempel 4.12 joggetur X er punktet der nøkkelen ligger, 0 X 9, med like stor sannsynlighet for hver X. X måles i km fra startpunktet. Tettheten til X må være f(x) = 1/9, 0 x 9 f(x) = 0 ellers P(4,6 < X < 6,3) = F(6,3) F(4,6) Hva er F? F(x) er arealet under «kurven» f(x) til venstre for punktet X=x. = høyde. bredde = 1/9. (x-0) = x/9, 0 x 9 Sjekk: F(9) må være 1, F(0) må være 0 stemmer F(6,3) F(4,6) = 6,3/9 4,6/9 = 1,7/9 = 0,188 19% sjanse for at nøkkelen ligger mellom X = 4,6 km og X = 6,3 km 29
30 Dessuten forventning 9 9 E X = x.f x dx = x. 1 9 dx = 1 9.½x2 9 0 = Forventer å finne nøkkelen ca. halvveis = 4,5 km Også varians 9 σ 2 = x 2 f x dx 4,5 2 = x dx 4,52 = 1 9.⅓x3 ] 9 0 (4,5)2 = 6,75 km slik at standardavvik SD(X) = 6,75 = 2,60 km. Stor spredning rundt midtpunktet 4,5. Langt fra sikkert at nøkkelen ligger i nærheten av midtpunktet på 4,5 km. 30
31 Uniform fordeling Fordelingen til X i dette eksemplet kalles for en «uniform fordeling» Generelt: Tettheten til en uniform fordelt variabel X er f(x) = 1/(b-a), a x b f(x) = 0 ellers E(X) = (a + b)/2 Var(X) = (b a) 2 /12 Flere slike sannsynlighetsmodeller (f. eks. binomisk fordeling, Poissonfordeling, normalfordeling) i kap. 5 31
32 Median og prosentiler for en kontinuerlig s.v. X Medianen x deler tettheten i to deler, hver med areal lik ½ M.a.o. F(x) = ½ Median kalles også for 50-prosentil Generelt: p-prosentil (0<p<100) deler tettheten i to deler. Delen til venstre for p-prosentilet har areal p%, til høyre (100-p)% F(p) = p/100 Jfr. kap. 2 32
33 Oppsummering P(X = x i ) f(x) Både diskret og kontinuerlig: Forventning E(X) skrives ofte som μ Kontinuerlig: V x har uendelig mange verdier for X, selv på et begrenset intervall Varians Var(X) skrives ofte som σ 2 33
34 To eller flere stokastiske variabler samtidig Fokus på to stokastiske variabler, stort sett diskrete s.v. X Y P(X=x og Y=y) for alle x og y heter den simultane fordelingen til X og Y Er en funksjon av både x og y Sier noe om sammenhengen mellom s.v. ene X og Y 34
35 Eksempel trykkeribedrift: tabell 4.8, fig X: antall henvendelser i morgen Y: antall nye bestillinger i morgen Vi ser at X og Y henger sammen: det er en tendens til at store verdier for X går sammen med store verdier for Y, og omvendt x 0 1 y P(X=x) P(X=x,Y=y) P(X=x,Y=y) P(Y=y)
36 Legg merke til 1) sum over alle x og alle y av P(X=x,Y=y) = 1, alle x alle y P(X=x,Y=y) = 1 2) P(X=x) = alle y P(X=x,Y=y) er den marginale fordelingen til X (funksjon av x, ikke av y) på samme måte: P(Y=y) = alle x P(X=x,Y=y) marginal fordeling til Y x 0 1 y P(X=x) P(X=x,Y=y) P(Y=y)
37 3) Forventningene til X og til Y beregnes på vanlig måte, basert på de marginale fordelingene til X og Y μ X = 0 * 0, * 0, * 0, * 0, * 0,03 = 2,61 μ Y = 0 * 0, * 0, * 0, * 0, * 0,03 = 1,12 også variansene σ 2 X og σ 2 Y fra de marginale fordelingene x 0 1 y P(X=x) P(X=x,Y=y) P(Y=y)
38 4) Hendelser der både X og Y er involvert, f. eks. X + Y = 4 P(X+Y=4) = 0,01 + 0,09 + 0,07 = 0,17 Generelt kan vi definere sannsynligheten P(X+Y = z) for z = 0, 1, 2,, 11 og utlede sannsynlighetsfordelingen for Z=X+Y ved hjelp av P(X=x,Y=y) x 0 1 y P(X=x) P(X=x,Y=y) P(Y=y)
39 5) Betinget sannsynlighetsfordeling P(X=x Y=y) bruk definisjon for betinget sannsynlighet f. eks. P(X=3 Y=2) = P(X=3 og Y=2)/P(Y=2) = 0,03/0,19 = 0,158 16% sjanse for at X = 3, gitt at Y = 2 Betinget forventning til X beregnes ved hjelp av betinget fordeling P(X=x Y=y), er derfor en funksjon av y; skrives som E(X y) Samme for betinget varians Var(X y) Også omvendt: P(Y=y X=x), betinget forventning/varians til Y etc. x 0 1 y P(X=x) P(X=x,Y=y) P(Y=y)
40 Definer ny s.v. som Z = X + Y E(Z) = E(X) + E(Y) Mer generelt Regel 4.12: gitt en rekke s.v. er X i og konstanter a i, i = 1,2, n E(a 1 X 1 +a 2 X 2 + +a n X n ) = a 1 E(X 1 ) + a 2 E(X 2 ) + + a n E(X n ) gjelder både for diskrete og kontinuerlige variabler Eksempel: befolkningsprognose 2050 X, Y, Z er s.v. er som representerer befolkningen i aldersgruppene 0-19, og 65+ i år 2050 E(X) = E(Y) = E(Z) = Folkemengde totalt i 2050 har forventning E(X+Y+Z) = E(X) + E(Y) + E(Z) =
41 Kovarians og korrelasjon Samvariasjon for to (eller flere) s.v. er X og Y (Z, ) Variablene kan være diskrete eller kontinuerlige Grad av samvariasjon uttrykkes ved hjelp av begrepet kovarians («varierer samtidig»). Skrives som Cov(X,Y) Definisjon: Cov(X,Y) = E[(X-μ X )(Y- μ Y )], der μ X =E(X) og μ Y =E(Y) Egenskap: Cov(X,Y) = E(X.Y) - μ X.μ Y (vis selv) To diskrete s.v. er X og Y: E(X.Y) = alle x alle y x.y.p(x=x,y=y) Kovarians trenges når du skal beregne varians til en sum av to eller flere s.v. er 41
42 Trykkeri-eksemplet: beregn Cov(X,Y) E(X.Y) = 1.1.0, , , ,01 = 4,24 (lilla celler bidrar ikke til produktet X.Y) Fra før hadde vi at μ X = 2,61, μ Y = 1,12 Cov(X,Y) = E(X.Y) - μ X.μ Y = 4,24 2,61.1,12 = 1,32 Vanskelig å tolke. Lettere hvis vi tar høyde for SD(X) og SD(Y). Da innfører vi begrepet korrelasjon x 0 1 y P(X=x) P(X=x,Y=y) P(Y=y)
43 Korrelasjon mellom X og Y Corr X,Y = Cov(X,Y) SD X.SD(Y) den skrives også som ρ(x,y) Uttrykker hvor sterk lineær sammenheng det er mellom X og Y -1 ρ +1 ρ > 0 positiv sammenheng mellom X og Y: store verdier for X går sammen med store verdier for Y ρ = +1 perfekt lineær positiv sammenheng ρ < 0 negativ sammenheng mellom X og Y: store verdier for X går sammen med små verdier for Y, og omvendt ρ = -1 perfekt lineær negativ sammenheng ρ = 0 ingen (lineær) sammenheng mellom X og Y 43
44 Trykkeri-eksemplet Cov(X,Y) = 1,32 Var(X) = 3,08 => SD(X) = 1,755 Var(Y) = 1,15 => SD(Y) = 1,072 Nå blir ρ(x,y) lik 1,32/(1,755 x 1,072) = 0,70 Rimelig sterk grad av positiv sammenheng NB Cov(X,X) =? ρ(x,x)=? 44
45 Eksempel: befolkningsprognose 2050 X, Y, Z er s.v. er som hhv. representerer befolkning i aldersgruppene 0-19, og 65+ i år 2050 Det viser seg at Corr(X,Y) = 0,537. Befolkning i alder 0-19 positivt korrelert med befolkning i alder Corr(Y,Z) = 0,190. Aldersgruppene og 65+ er svakt korrelerte (men positivt) 45
46 Varians til en sum av s.v. er (regel 4.15) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2.Cov(X,Y) Positiv (negativ) kovarians øker (reduserer) varians i summen Generelt: Var(aX + by) = a 2.Var(X) + b 2.Var(Y) + 2.a.b.Cov(X,Y) 46
47 Trykkeri-eksemplet X = antall henvendelser kostnader 20 kr / henvendelse Y = antall bestillinger fortjeneste 100 kr / bestilling konstante kostnader 10 kr Forventet overskudd? Definer s.v. Z: Z = 100Y 20X 10 E(Z) = 100.E(Y) 20.E(X) 10 = = 100.1, ,61-10 = 49,8 kr. Fra før har vi Var(X) = 3,08 Var(Y) = 1,15 Cov(X,Y) = 1,32 Hvor stor er variansen til Z? Var(Z) = Var(100Y 20X 10) = Var(Y) Var(X) +2.( 20).100 Cov(X,Y) = = 7452 SD(Z) = 86,3 kr.: stor spredning rundt forventet overskudd på 49,8 kr. 47
48 Uavhengige stokastiske variabler Fra før: to hendelser A og B er uavhengige når P(A B) = P(A) eller P(B A) = P(B) eller P(A B) = P(A). P(B) Helt analogt for to stokastiske variabler: Definisjon: X og Y er uavhengige hvis og bare hvis P(X=x,Y=y) = P(X=x). P(Y=y) for alle (x,y) Mao den simultane sannsynligheten kan skrives som produkt av sannsynlighetene for X og Y 48
49 Egenskap: To uavhengige s.v er X og Y er ukorrelerte, d.v.s. ρ(x,y)=0 Bevis: Cov(X,Y) = E(X.Y) - μ X.μ Y (definisjon av kovarians) = [Σ x Σ y x.y.p(x=x,y=y)] - μ X.μ Y (definisjon av forventning) = [Σ x Σ y x.y.p(x=x).p(y=y)] - μ X.μ Y (pga antatt uavhengighet) = [Σ x Σ y x.p(x=x).y.p(y=y)] - μ X.μ Y = [Σ x x.p(x=x)].[σ y y.p(y=y)] - μ X.μ Y = μ X.μ Y - μ X.μ Y = 0 Dermed blir også korrelasjonen lik null. Men: når ρ(x,y)= 0, er X og Y ikke nødvendigvis uavhengige 49
50 Regneregel Hvis X 1, X 2,, X n er uavhengige s.v. er, og a 1, a 2,, a n er konstanter, så er Var(a 1 X 1 + a 2 X 2 + a n X n ) = a 12 Var(X 1 ) + a 22 Var(X 2 ) + + a n2 Var(X n ) fordi alle parvise kovarianser er lik null. 50
51 Eksempel 4.10, tabell 4.7 en gang til. Papirfabrikk X i = antall dager med produksjonsstans i uke nr. i. Vi fant at E(X i ) = 2,35 dager og at Var(X i ) = 2,55 dager 2 Definer s.v. T som antall dager med stans i løpet av et år. Beregn E(T) og SD(T) T = X 1 + X 2 + X 52 E(T) = 52.E(X i ) = 122,2 dager Var(T) = Var( i X i ). Anta at X i -ene er uavhengige (drøft) Var( i X i ) = i Var(X i ) = 52.Var(X i ) = 132,6 og SD(T) = 11,5 dager NB Ett år: SD(T)/E(T) = 11,5/122,2 = 0,094 = 9,4% En uke: SD(X i )/E(X i ) = 1,56/2,35 = 0,664 = 66,4% Den relative variasjonen over en lang periode er mindre enn over en kort periode, p.g.a. (antatt) uavhengighet. 51
52 Forventning til et produkt av uavhengige variabler Anta at X og Y er uavhengige stokastiske variabler. Da er E(X.Y) = E(X). E(Y) Bevis: X og Y er uavhengige Cov(X,Y) = 0 = E(X.Y) - E(X).E(Y) Gjelder også flere uavhengige s.v. er E(X 1. X 2. X 3. X n ) = E(X 1 ). E(X 2 ). E(X 3 ). E(X n ). 52
Statistikk 1 kapittel 4
Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)
Detaljerstatistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling
Detaljer3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.1,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen)
TMA4240 Statistikk H200 3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen) Mette Langaas Foreleses mandag 3. september 200 2 f (x,
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerTyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4
3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF
DetaljerForelesning 13. mars, 2017
Forelesning 13. mars, 217 AVSNITT 5.2 Kovariansen mellom to variable Korrelasjon mellom to variable AVSNITT 5.3 Betingede fordelinger Kovariansen mellom to stokastiske variable Kovariansen mellom to stokastiske
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerKapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable
Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske
DetaljerForeleses onsdag 8. september 2010
TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians
DetaljerRegneregler for forventning og varians
Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene
DetaljerKapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.
Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt
DetaljerTogforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at
Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerForelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable
Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerTo-dimensjonale kontinuerlige fordelinger
To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerBetinget sannsynlighet
Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av
DetaljerØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. Lineærkombinasjonen Z = 5X + 8Y har forventningsverdi
ØVINGER 27 Løsninger til oppgaver Øving 6 4. (7). Fra oppgave 4.5 (øving 4) har vi forventningsverdien variansen til X, E[X] =.92, V ar[x] =.3. Lineærkombinasjonen Z = 5X + 8Y har forventningsverdi E[Z]
DetaljerSTK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner
STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
Detaljer3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4,
DetaljerForventning og varians.
Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.) Forventningsverdi gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: E(X) f(),x diskret
DetaljerForventning og varians.
Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.1) Forventningsverdi = gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: x xf(x),x
DetaljerKapittel 4: Matematisk forventning
Kapittel 4: Matematisk forventning TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Multivariate tilfeller foreleses mandag 6.september, 2004 Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/16 Forventing til funksjon av flere stokastiske
DetaljerLøsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)
1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel
DetaljerSTK1100 våren Forventningsverdi. Forventning, varians og standardavvik
STK00 våren 0 Forventning, varians og standardavvik Svarer til avsnitt 3.3 i læreboka Geir Storvik (Ørnulf Borgan) Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forventningsverdi Punktsannsynligheten px (
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo
DetaljerFormelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal
Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 4: Matematisk forventning [4.1+start 4.3] Quiz kjørt med Kahoot! fra kahoot.it. Mette Langaas wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/ 2 Høyde, kvinner Frequency
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerBernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling
Bernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling Bernoulli forsøksrekke i) gjentar et forsøk n ganger ii) hvert forsøk gir enten suksess eller fiasko iii) sannsynligheten for suksess er p i alle forsøkene
DetaljerLitt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.
H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel
Detaljer6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) =
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 4, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 a) Utfallsrommet til X 1 er {1, 2,, 4, 5, }. Sannsynlighetsfordelingen
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling
Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling 1 Geometrisk fordeling Binomisk forsøks-serie En serie likeartete forsøk med to mulige utfall, S og F, i hvert. (Modell) forutsetninger
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
DetaljerA) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.
Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:
DetaljerECON Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger. Jo Thori Lind
ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Betinget sannsynlighet 2. Stokastiske variable 3. Forventning og varians 4. Regneregler
DetaljerDiskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Forventning (gjennomsnitt) (X=antall mynt i tre kast)
Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(X), populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen
DetaljerEksempel: kast med to terninger
Kapittel 3 TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Eksempel: kast med to terninger I et eksperiment kaster vi to terninger og registerer antall øyne på hver terning. Utfallsrom S={(,),(,2),(,3),...,(,), (2,),...,(2,),...,(,)}
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerKapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4245 Statistikk (B, K1, I) 3.1, 3.2, 3.3 foreleses torsdag 15.januar 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 160 170 180 190 hoyde i cm Mette.Langaas@math.ntnu.no
DetaljerStatistikk 1. Nico Keilman. ECON 2130 Vår 2014
Statistikk 1 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Pensum Kap 1-7.3.6 fra Løvås «Statistikk for universiteter og høgskoler» 3. utgave 2013 (eventuelt 2. utgave) Se overspringelsesliste på emnesiden Supplerende
DetaljerKap. 7 - Sannsynlighetsfordelinger
Oppgaver: Kap. 7 - Sannsynlighetsfordelinger Oppgaver fra kapitlet Lærebok: 7.0-0-0-,7.--7, 7.-, 7., 7., 7.7 Oppgavesamling: 7.00, 7.0, 7.09, 7., 7.9, 7., 7.0, 7.0, 7.0 7.0-0-0-0- Stokastisk variabel:
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 11. november 2017) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerStokastisk variabel. Eksempel augefarge
Dagens tekst Kap 3: Stokastiske variable og sannsynsfordelingar Stokastisk variabel: Diskret sannsynsfordeling: Kontinuerleg sannsynsfordeling: Kummulativ sannsynsfordeling: Diskret simultanfordeling Kontinuerleg
DetaljerDiskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen
Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(, populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
Detaljer1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
DetaljerLøsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015
Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 0 Oppgave 1 Siden det spørres om tall fra et intervall, som oppgaven viser kan være et reelle, er det tydelig at tallene er tatt fra en kontinuerlig fordeling.
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerDenne uken: Kapittel 4.3 og 4.4
Sist: Kapittel 4.1, 4.2, 4.5 Tilfeldighet Sannsynlighetsmodeller Regler for sannsynlighet Denne uken: Kapittel 4.3 og 4.4 Tilfeldige variable Forventning og varians til tilfeldige variable Litt repetisjon:
DetaljerTerningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6
Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...
DetaljerForelesning 7. mars, 2017
Forelesning 7. mars, 2017 AVSNITT 5.1 Eksempel: Miljøkonturer AVSNITT 5.2 Forventningen til en funksjon av flere variable Kovariansen mellom to variable Eksempel: Miljøkonturer Miljøvariable som karakteriserer
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN
et) Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: SFB10711Metode 1 Statistikkdel Dato: 5. feb. 2016Eksamenstid: kl. 1400 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling til kl. 1800 Faglærer: Nils Ingar Arvidsen
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 2.8: Bayes regel 3.1: Stokastisk variabel 3.2: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 1. september 2010
DetaljerForelesing 27 Oppsummering. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Forelesing 27 Oppsummering Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 18.04.2018 I dag Lineær regresjon (sjekk av modellantagelser) Praktisk informasjon Andre statistikk-kurs Oversikt over
DetaljerTMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko
DetaljerLa U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer
Binormalfordelingen Definisjon Noe av hensikten med å innføre begrepet betinget sannsynlighet er at kompliserte modeller ofte kan bygges ut fra enkle betingede modeller. Når man spesifiserer betingelser
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn
DetaljerHøgskoleni Øs fold EKSAMEN. Om noe er uklart eller mangelfullt i oppgaven inngår det som en del av oppgaven å ta de nødvendige forutsetninger.
Høgskoleni Øs fold EKSAMEN Emnekode: Emne: SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Deleksameni statistikk Dato: 3. januar 2014 Eksamenstid: kl. 0900 til kl. 1300 Hjelpemidler: Faglærer:
DetaljerTest, 3 Sannsynlighet og statistikk
Test, 3 Sannsynlighet og statistikk Innhold 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 3. Forventningsverdi, varians og standardavvik... 5 3.3 Normalfordelingen... 4 3.4 Sentralgrensesetningen...
Detaljerµ = E(X) = Ʃ P(X = x) x
Redigerte høydepunkt fra forrige episode 3.2: Punktsannsynlighet og kumulativ sannsynlighet punktsannsynlighet: sanns. for at en stok. var. X har en viss verdi x; P(X = x) kumulativ sannsynlighet: sanns.
DetaljerSTK1100 våren Normalfordelingen. Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger
STK00 våren 206 Normalfordelingen Svarer til avsnitt 4.3 i læreboka Geir Storvik Matematisk institutt Universitetet i Oslo Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger Normalfordelingen
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerTMA4245 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 4 Løsningsskisse Oppgave 1 Mureren La X være mengden mørtel mureren bruker i løpet av en tilfeldig valgt arbeidsdag.
DetaljerPrøvemidtveiseksamen TMA4240 Statistikk H2004
Prøvemidtveiseksamen TMA4240 Statistikk H2004 Lagt ut 21.09.2004, løsningsforslag tilgjengelig 04.10.2004. Tilatte hjelpemiddel: Bestemt enkel kalkulator, dvs. HP30S. Tabeller og formler i statistikk (Tapir).
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a
DetaljerLøsningskisse seminaroppgaver uke 11 ( mars)
HG Mars 008 Løsningskisse seminaroppgaver uke (0.-4. mars) ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR Oppgave En gitt prøve er laget som en flervalgsprøve ( multiple choice test ). Prøven består av tre spørsmål. For hvert
DetaljerSum to terninger forts. Eksempel: kast med to terninger. Sum to terninger forts. Kapittel 3. TMA4240 H2006: Eirik Mo
3 Sum to terninger forts. Kapittel 3 TMA4240 H200: Eirik Mo 2 3 4 5,,2,3,4,5, 2 2, 2,2 2,3 2,4 2,5 2, Andre 3 3, 3,2 3,3 3,4 3,5 3, terning 4 4, 4,2 4,3 4,4 4,5 4, 5 5, 5,2 5,3 5,4 5,5 5,,,2,3,4,5, Med
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 30. AUGUST 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB107111 Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen Dato: 16. mai 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian
DetaljerST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST/ST Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 9 Oppgaver fra boka 3..9 Ved et terningkast anses utfallet antall øyne lik for
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: STK Sannsynlighetsregning og statistisk modellering Eksamensdag: Mandag 4. mars 26 Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er
DetaljerObservatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter
Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter
DetaljerMidtveiseksamen i STK1100 våren 2017
Midtveiseksamen i STK1100 våren 2017 Denne midtveiseksamenen består av 20 oppgaver. Det er ett riktig svaralternativ for hvert spørsmål. Hvis svaret er oppgitt som et desimaltall, er det rundet av til
DetaljerKapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable
Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )
Detaljer= 5, forventet inntekt er 26
Eksempel på optimal risikodeling Hevdet forrige gang at i en kontrakt mellom en risikonøytral og en risikoavers person burde den risikonøytrale bære all risiko Kan illustrere dette i en enkel situasjon,
DetaljerEt lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver?
Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Boka (Ch 1.4) motiverer dette ved å gå fra histogrammer til tetthetskurver.
DetaljerMAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem
MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
Andreas Mhre April 15 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 13 Oppgave 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) E(XY) = - E(X ) X og Z er uavhengige, så
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av
Detaljer1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 5: Noen diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.4 Geometrisk og negativ binomisk fordeling 5.5 Poisson-prosess og -fordeling Mette Langaas Institutt for matematiske fag,
DetaljerKapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger
f(x,y) NTNU Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4240 Statistikk (F2 og E7) 3.4: Foreleses mandag 30.august y=hoyde x=vekt Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/18 Oppsummering
DetaljerEt lite notat om og rundt normalfordelingen.
Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte
DetaljerÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35
Detaljer