Kapittel 5: Diskrete sannsynsfordelingar TMA4245 Statistikk. 5.2 Diskret uniform fordeling NTNU NTNU NTNU

Transkript

1 Kapittel 5: Disrete sasysfordeligar TMA4245 Statisti Rep.: Forvetig, varias og ovarias Forvetig (tygdeput, geeraliserig av empiris gjeomsitt): < P x µ = E(X) = R xf(x) (Xdisret) : xf(x)dx (Xotiuerlig) Varias (mål for spreiig): Kap : Disret uiform, biomis og hypergeometris fordelig < P σ 2 = Var(X) = E[(X µ) 2 ] = E(X 2 ) µ 2 x = (x µ)2 f(x) R : (x µ)2 f(x)dx (Xdisret) (Xotiuerlig) Bi(=5, p=0.5) Kovarias (mål for samvariasjo (fortei), ije dimesjoslaus): Cov(X, Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )] = E(X Y ) E(X) E(Y ) Korrelasjosoeffisiet (mål for grad av samvariasjo, dimesjoslaus): ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) p Var(X) p Var(Y ) Turid.Follestad@math.tu.o p.1/1 TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.2/1 Rep.: Forvetig, varias og ovarias Uavhegige stoastise variablar: X, Y uavhegige Cov(X, Y ) = 0. Fusjoar av stoastise variablar: g(x, Y ), h(x, Y ) E[g(X, Y )] = < P P x y g(x, y)f(x, y) R : R g(x, y)f(x, y)dxdy E[g(X, Y ) ± h(x, Y )] = E[g(X, Y )] ± E[h(X, Y )] (X, Y disrete) (X, Y otiuerlige) 5.2 Disret uiform fordelig Disret uiform fordelig: Dersom de stoastise variabele X tar verdiae x 1, x 2,..., x med lit sasy, så er X disret uiformt fordelt med fordelig f(x) f(x; ) = 1, x = x 1, x 2,..., x F (x) Lieærombiasjo Y = P a i X i + b: E(Y ) = a i E(X i ) + b Var(Y ) = a 2 i VarX Xi 1 i + 2 a i a j Cov(X i, X j ) j=1 Desity Histogram of x x Chebyshevs teorem: TEO 5.1: Forvetig og varias i de disrete uiforme fordeliga f(x; ) er P (µ σ < X < µ + σ) TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.3/1 P µ = E(X) = x i P og σ 2 = Var(X) = (x i µ) 2 TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.4/1

2 Bi(=10, p=0.2) Bi(=10, p=0.2) Bi(=10, p=0.5) Bi(=10, p=0.5) Bi(=10, p=0.7) Bi(=10, p=0.7) 5.3 Biomis fordelig Beroulli prosess: Ei Beroulli-prosess (-forsøsree, -esperimet) har følgjede eigesapar: 1. Esperimetet består av gjettatte forsø. 2. Kvart forsø har to mulige utfall: susess (hedig A) eller fiaso (hedig A ). Biomis fordelig (forts.) f(x) og F (x): = 10, p = 0.2 = 10, p = 0.5 = 10, p = P (susess) = P (A) = p (og dermed P (A ) = 1 p) i alle forsø, dvs. sasyet for susess er li i alle forsøa. 4. Dei forsøa er uavhegige. La de stoastise variable X vere atal gogar hediga A (susess) itreffer på dei uavhegige forsøa Sasysfordeliga til X blir alla biomis fordelig og er gitt ved b(x;, p) = p x x (1 p) ( x), x = 0, 1,..., Kumulativ fordelig: F (x) = P (X X) fi vi ved tabelloppslag. TEO 5.2: Forvetig og varias i biomis fordelig b(x;, p) er µ = E(X) = p og σ 2 = Var(X) = p(1 p) TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.5/1 TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.6/1 Esempel: Midtvegsesame (Oppg. 1a, esame 6/ 2004) Midtvegsesame blir gitt i form av ei "multiple choice"-oppgåve der det er = 20 spørsmål, alle med m svaralterativ, studetae må velge eit svaralterativ (a ije svare blat), og ei må ha mist rette svar for å få arater bedre e F (36%) Ole lurer på om ha sal la vere å lese og heller velge tilfeldige svaralterativ, me spør først ei studieamerat om å ree ut sasyet for då å få bedre e F. Oppgåve: La X = atal rette svar Ole får. Forlar vifor vi a ata at X er biomis fordelt med = 20 og p = 1 m. Ure med uler [versjo 1] Har ure med raude og blå uler. Defiisjo: p = atal raude uler legg ula tilbae (dvs. treig med tilbaeleggig s.a. P (raud) li i alle forsø) Då er talet på raude uler biomis fordelt. Fi sasyet for at Ole får bedre e F, dvs. P (X ) år m = 2, m = 4 og m = 5. Kva blir forveta atal orrete svar, dvs. E(X) år m = 2, 4, 5? TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.7/1 TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p./1

3 Ure med uler [versjo 2] Har ure med raude, blå, vite og svarte uler. Defiisjoar: p 1 = atal vite uler p 2 = atal svarte uler p 3 = atal blå uler p 4 = atal raude uler legg ula tilbae (dvs. treig med tilbaeleggig) Då er talet på vite, svarte, blå og raude uler multiomis fordelt. Multiomis fordelig Ata: Eit forsø blir gjetatt gogar. Kvart forsø gir eit av mulige utfall E 1, E 2,..., E. P (E 1 ) = p 1, P (E 2 ) = p 2,..., P (E ) = p i alle forsø, dvs. sasya lie i vart forsø. Dei forsøa er uavhegige. La dei stoastise variablae X 1, X 2,..., X represetere atal gogar utfalla E 1, E 2,..., E opptrer i dei forsøa. Må ha at P X i = og P p i = 1 Sasysfordeliga til X 1, X 2,..., X blir alla multiomis fordelig og er gitt ved der f(x 1, x 2,..., x ; p 1, p 2,..., p, ) = x 1, x 2,..., x X x i = og X p i = 1. p x 1 1 px 2 2 px TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.9/1 TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.10/1 Ure med uler [versjo 3] Har ure med raude og blå uler. Defiisjo: N= =atal raude uler legg ula til side (dvs. treig uta tilbaeleggig s.a. P (raud) varierer frå forsø til forsø) Då er talet på raude uler hypergeometris fordelt. 5.4 Hypergeometris fordelig Eit hypergeometris esperimet har følgjade eigesapar: 1. Vi har ei megde av N eiigar, der blir lassifiserte som "susess" og N som "fiaso". 2. Treer eit tilfeldig utvalg av storlei frå dei N eiigae uta tilbaeleggig. X = atal susess (hedig A) i det tilfeldige utvalget, er då ei hypergeometris stoastis variabel og har ei hypergeometris fordelig. Sasysfordeliga til X er TEO 5.3: f(x) = h(x; N,, ) = ` `N x x `N x = 0, 1, 2,..., Forvetig og varias i de hypergeometrise fordeliga h(x; N,, ) er µ = E(X) = N og σ2 = Var(X) = N N 1 N (1 N ) TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.11/1 TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.12/1

4 Hyper(N=10, =5, = 5) Hyper(N=10, =5, = 5) Hyper(N=12, =5, = 5) Hyper(N=12, =5, = 5) Hyper(N=100, =50, = 40) Hyper(N=100, =50, = 40) Hypergeometris fordelig (forts.) f(x) og F (x): N = 10, = 5, = 5 N = 12, = 5, = 5 N = 100, = 50, = Esempel: Kaelotteri 300 lodd fordelt på 3 fargar (100 av var). 9 viarlodd, 3 av var farge. Vi jøper 5 lodd. To strategiar: 1. tre 5 lodd blat dei 300 lodda. 2. tre 5 lodd av same farge. Kva for ei strategi gir størst viarsjase? TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.13/1 TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.14/1 Esempel: Kaelotteri (forts.) Løysig: La X = #gevistar. Vil fie P (vie) = P (X 1) for var strategi. Strategi 1): N = 300, = 5, = 9(viarlodd), N = 291(adre lodd). X h(x; 300, 5, 9) P (X = x) = / x 5 x 5 `9 `291 P (X 1) = 1 P (X = 0) = `300 = = Strategi 2): N = 100, = 5, = 3(viarlodd), N = 97(adre lodd, same farge). X h(x; 100, 5, 3) P (X = x) = / x 5 x 5 `3 `97 P (X 1) = 1 P (X = 0) = `100 = = Hypergeometis og biomis fordelig Dersom er lite i forhold til N ( N 0.05) har vi at samasetiga av dei N eiigae edrar seg lite uder treig uta tilbaeleggig, sli at sasyet for susess edrar seg lite. Dermed a hypergeometris fordelig tilærmast med biomis fordelig med p = N. Ka sjå på biomis fordelig som ei stor populasjo versjo av hypergeometris fordelig. Resultat: Strategi 2) er best. TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.15/1 TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.16/1

5 Ure med uler [versjo 4] Har ure med raude, blå, vite og svarte uler. Defiisjoar: N= a 1 =atal vite uler a 2 =atal svarte uler a 3 =atal blå uler a 4 =atal raude uler legg ula til side (dvs. treig uta tilbaeleggig) Då er talet på vite, svarte, blå og raude uler multivariat hypergeometris fordelt. Multivariabel hypergeometris fordelig Eit multivariabelt hypergeometris esperimet har følgjade eigesapar: 1. Et tilfeldig utvalg av storlei blir tret frå N eiigar uta tilbaeleggig. 2. Av dei N eiigae blir a 1 lassifisert i cella A 1, a 2 i cella A 2,..., a i cella A. La X 1 represetere atal eiigar i utvalget som blir lassifisert i cella A 1, X 2 i cella A 2,..., X i cella A. Sasysfordeliga til X 1, X 2,..., X blir alla multivariabel hypergeometris fordelig: f(x 1, x 2,..., x ; a 1, a 2,..., a, ) = `a1 x 1 `a2 x `a 2 x `N med P x i = og P a i = N. TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.17/1 TMA4245 Statisti: Kapittel 5 p.1/1