Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x"

Transkript

1 STK Puktestimerig - Kap 7 Geir Storvik Modeller og parametre Biomisk fordelig ( ) p X (x) = p x (1 p) x x Parameter: p Normalfordelig f X (x) = 1 2πσ e 1 2σ 2 (x µ) april 2016 Parametre: µ, σ I praksis, parametre er ukjete Øsker å estimere (aslå) parameter fra data x 1,..., x Et estimat er e fuksjo av x 1,..., x som gir et godt gjett på parametere Mulig estimat på µ er x ˆµ = X er e observator (stokastisk variabel) Statistisk iferes Eksempel støtfagere Trekke ut iformasjo om parametre fra data x 1,..., x Puktestimerig: Ekleste form for iferes Adre typer: Usikkerhetsaslag, kofidesitervaller, hypotesetestig Geerelt: Øsker å estimere parameter θ Puktestimat: Tall som ka betraktes som e rimelig verdi på θ. Oppås ved å velge e passede observator og berege des verdi basert på isamlede data. De valgte observator kalles e puktestimator for θ. Eksempel: Levetider for = 3 batterier observert: x1 = 5.0, x 2 = 6.4, x 3 = 5.9 θ = µ = E(X) av iteresse: Puktestimator: ˆθ = ˆµ = X Puktestimat: x = 5.77 Ny type støtfager produsert Testet på 25 biler, kotrollert krasj med 10mph X = atall biler med ige sylige skader (observert x = 15) p = adel krasj som resulterer i ige skader av populasjo av samme type biler Estimator: ˆp = X Estimat: x = = 0.60

2 Eksempel speigsmåliger Egeskaper estimatorer for µ Data på speig som gir feil på elektriske kompoeter Rimelig modell (sek 4.6): N(µ, σ) Mulige estimatorer for µ Gjeomsitt: X, estimat= x = Media: X = Media{X1,..., X }, estimat ( )/2 = Middel av ekstremverdier: X e = [mi(x i ) + max(x i ]/2, estimat ( )/2 = Trimmet 10% gjeomsitt: X tr = Gjeomsitt år 10% mist og 10% største er tatt vekk, estimat: Alle ka argumeteres er rimelige, dvs mage mulige. Hvilke er best? Ka ikke si oe om hvilke som er ærmest µ Ka si oe om hvilke som oppfører seg best uder gjetatte forsøk E estimator ˆθ er forvetigsrett for θ hvis E(ˆθ) = θ. Proposisjo Hvis X 1,..., X er et tilfeldig utvalg fra e fordelig med E(X i ) = µ så er X e forvetigsrett estimator for µ Hvis fordelige er symmetrisk om µ så er også X og X tr forvetigsrette estimatorer for µ X e oe mer problematisk da E(X e ) ikke ødvedigvis eksisterer Estimatorer for σ 2 Forvetet kvadratisk feil Eksempel: Levetid for mus som går på kallori-begreset diett: To mulige estimatorer for σ 2 = V (X): ˆσ 2 = 1 1 σ 2 = 1 (X i X) 2 Estimat : (X i X) 2 Estimat : Hvilke best i dette tilfellet? Ka vise: ˆσ 2 er forvetigsrett. Mål på kvalitet: MSE(ˆθ) = E[(ˆθ θ) 2 ] Matematisk bekvem (alterativ: E( ˆθ θ ). Geerelt: ˆθ ka ha forvetig θ. MSE(ˆθ) =E[(ˆθ E(ˆθ) + E(ˆθ) θ) 2 ] =E[(ˆθ E(ˆθ)) 2 ] + E[(E(ˆθ) θ) 2 ]+ 2E[(ˆθ E(ˆθ))(E(ˆθ) θ)] = V (ˆθ) + }{{} (E(ˆθ) θ) 2 }{{} Varias (Forvetigsskjevhet) 2

3 Skyte på blik Eksempel Biomisk fordelig X Biom(, p) p = P(Suksess) av iteresse Naturlig estimator: ˆp = X E(X) = p, V (X) = p(1 p) E(ˆp) = p, V (X) = p(1 p)/ Forvetigsskjevhet: E(ˆp) p = 0 MSE(ˆp) = V (ˆp) = p(1 p)/. Eksempel Biomisk fordelig (forts) ˆp = X Alterativ: p = X+2 +4 Begruelse: X X =, X+2 X = ( Alterativ ) ærmere p for p 0.5. X+2 E +4 = p+2 +4 = +4 p (forvetigsskjev) MSE( p) = ( p(1 p) +8+16/ + 2/ 4p/ 1+4/ ) 2 Forvetigsrette estmatorer Defiisjo E puktestimator ˆθ sies å være e forvetigsrett estimator for θ hvis E(ˆθ) = θ for ehver verdia v θ. Hvis ˆθ ikke er forvetigsrett, kaller vi differase E(ˆθ) θ for forvetigsskjevhete til ˆθ Merk: Ma behøver ikke kjee θ for å fie ut om e estimator er forvetigsrett X er forvetigsrett for µ for alle verdier av µ! ˆp = X/ er forvetigsrett for p for alle verdier av p! Øsker ofte at ˆθ er forvetigsrett!

4 Eksempel Ata X 1,..., X er UIF Uiform[0, θ]. La ˆθ b = max(x 1,..., X ) Ka vise: E(ˆθ b ) = ˆθu = θ ˆθ b er forvetigsrett! Estimerig av σ 2 S 2 = 1 [ 1 (X i X) 2 = 1 1 X i 2 E(S 2 ) = 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1 1 ] ( X i ) 2. ( ) 2 E(X i ) 2 1 E X i { [ ]} (V (X i ) + (E(X i ) 2 ) 1 V ( X i ) + E( X i ) { (σ 2 + µ 2 ) 1 [ σ 2 + (µ) 2 ) ]} { σ 2 + µ 2 σ 2 µ 2 ) } = σ 2 dvs S 2 er e forvetigsrett estimator for σ 2 Merk: E ( 1 (X i X) 2) = 1 σ2 < σ 2 Varias og MSE for ˆσ 2 Estimatorer med miimum varias ˆσ 2 = S 2 = 1 1 (X i X) 2 er forvetigsrett. Må gjøre tilleggsatagelser for å si oe om ytterligere egeskaper Hvis X 1,..,, X N(µ, σ 2 ): MSE(ˆσ 2 ) = V [ˆσ 2 ] = 2σ4 1 Ka kostruere estimat med midre MSE ˇσ 2 = 1 (X i X) 2 +1 Er ikke legre forvetigsrett Ata ˆθ 1 og ˆθ 2 er to estimatorer for θ med E(ˆθ i ) = θ for i = 1, 2 Hvilke bør vi velge? Prisipp: Bladt alle estimatorer for θ som er forvetigsrette, velg de som har mist varias. Dee ˆθ kalles de miimum varias forvetigsrette estimator (MVUE) for θ. Side MSE = Varias + (Forvetigsskjevhet) 2, så er ˆθ også de som gir mist MSE bladt alle forvetigsrette estimatorer

5 MVUE for µ uder N(µ, σ 2 ) Komplikasjoer Teorem. La X 1,..., X være UIF fra N(µ, σ 2 ). Da er ˆµ = X MVUE for µ Hvis det er rimelig å ata at data er ormalfordelte: Bruk X som estimator for µ. Ata X 1,..., X er uif 3 mulige fordeliger: f 1 (x) = 1 2πσ e (x θ)2 /(2σ 2), x R f 2 (x) = 1 π[1+(x θ) 2 ], x R f 3 (x) = 1 2c, c x θ c Normal Cauchy Uiform Alle symmetriske, θ media i alle fordeliger θ = E(X) for f 1 og f 3, E(X) eksisterer ikke for f 2! Sett tidligere på X, X, X e, X tr Hvorda oppfører disse seg uder de ulike fordeliger? Komplikasjoer - forts Eksempel sesurerig Ata levetid på kompoet Exp(λ), µ = 1/λ Hvis ormal: Alle forvetigsrette, me X er best! Hvis Cauchy: X og X e er svært dårlige, mes X er gaske god. Hvis uiform: Alle forvetigsrette, me X e er best X tr er ikke best i oe av tilfellee me fugerer rimelig godt i alle tilfeller. X tr er e robust estimator I praksis: Ser ofte på data gjeom histogram, sasylighetsplott Luker vekk outliere Svarer omtret til trimmet gjeomsitt! Totalt kompoeter med levetider X 1,..., X Forsøk: Observerer levetider til r < feiler r kompoeter eå ikke feilet. La Y 1 = tid for første feil, Y 2 = tid for 2. feil osv Total akkumulert levetid for kompoeter er T r = r Y i + ( r)y r Er ˆµ = T r /r e mulig estimator for µ? To egeskaper ved ekspoesiell fordelig: Hukommelsesløs: P(X > t0 + t X > t 0 ) = P(X > t) mi(x1,..., X k ) Exp(kλ).

6 Eksempel sesurerig - forts Rapporterig av puktestimat T r = r Y i + ( r)y r Alle kompoeter varer til Y 1, 1 varer til Y 2 osv: T r = Y 1 +( 1)(Y 2 Y 1 )+( 2)(Y 3 Y 2 )+ +( r+1)(y r Y r 1 ) Y 1 er de miste av X 1,..,, X, så E(Y 1 ) = 1/(λ) Y 2 Y 1 er miste av 1 gjeværede levetider, E(Y 2 Y 1 ) = 1/[( 1)λ] E(Y i+1 Y i ) = 1/[( i)λ] E[T r ] = 1 λ + ( 1) 1 ( 1)λ + + ( r + 1) 1 ( r+1)λ = r λ ˆµ = T r /r er forvetigsrett for µ! Bør rapportere presisjo (usikkerhet) i tillegg til estimat Stadard feile til e estimator ˆθ er dets stadardavvik σˆθ V = (ˆθ). Hvis stadardfeile ivolverer ukjete parametre som ka estimateres, så vil estimatet på σˆθ isatt de estimerte verdier gi estimert stadardfeil ˆσˆθ eller sˆθ Eksempel: uif X1,..., X N(µ, σ 2 ) ˆµ = X har stadardfeil σ ˆµ = σ/ Estimert stadardfeil er s/ der s 2 = 1 1 (x i x) 2 Eksempel speigsmåliger Eksempel støtfagere Data på speig som gir feil på elektriske kompoeter Rimelig modell (sek 4.6): N(µ, σ) x = , s = Stadardfeil: σˆµ = σ X = σ/ Hvis σ = 1.5 er kjet: σ ˆµ = 1.5/ 20 = Hvis σ er ukjet: ˆσ = s = 1.462, ˆσX = 1.462/ 20 = Ny type støtfager produsert Testet på 25 biler, kotrollert krasj med 10mph X = atall biler med ige sylige skader (observert x = 15) X Biom(, p) ˆp = X/, σˆp = p(1 p)/ p ukjet, ˆp = 0.6 ˆσˆp = ˆp(1 ˆp)/ = Merk: σˆp 0.5(1 0.5)/ = 0.10

7 Bruk av setralgreseteoremet Alterativ til setralgreseteorem - Simulerig Begge eksempler: Gjeomsitt av mage observasjoer X = 1 X i direkte ˆp = X = 1 X i der X i er Beroulli variable Setralgreseteoremet: ˆθ N(θ, σ 2ˆθ ) P(θ 2σˆθ ˆθ θ + 2σˆθ) =P( 2 ˆθ θ σˆθ P( 2 Z 2) 2) =P(Z 2) P(Z 2) =Φ(2) Φ( 2) = = Stokastiske variable X 1,..., X F der F er de kumulative fordeligsfuksjo θ ukjet parameter, ˆθ = ˆθ(X) estimator Spørsmål: Er ˆθ forvetigsrett Hva er usikkerhete til ˆθ? Fordeligsegeskaper til ˆθ? Svar avhegig av F som ofte er ukjet Delvis ukjet gjeom at e atar Xi N(µ, σ 2 ) me µ, σ ukjete Helt ukjet gjeom at ikke egag forme på fordelige er kjet. Tilærmiger: Setralgreseteoremet: ˆθ tilærmet ormal Hvis setralgreseteoremet ikke holder: Ka bruke simulerig/bootstrappig Eksempel X i, i = 1,..., er levetidee til kompoeter Ata X i Exp(λ), E(X i ) = 1/λ Estimator: ˆλ = 1/ X, Estimat: 1/ = Varias til ˆλ: Variasjoe i ˆλ ved gjetatte eksperimeter der vi samler i = 10 observasjoer i hvert eksperimet. Mulig metode for å fie varias: Repetere eksperimet mage gager Problem: Vaskelig å repetere eksperimet i praksis. Løsig: Simulere eksperimet på datamaski MATLAB : = 10; B = 1000; mu = 1/ lambda ; for b=1:b x s t a r = exprd (mu, 1, ) ; lambdasim ( b ) = 1/mea( xstar ) ; ed SE=sqrt ( var ( lambdasim ) ) Merk: Må kjee λ! Bootstrappig - eksempel Hovedide: Side λ er ukjet, bruk ˆλ: x = [ ] ; = 10; mu_hat = mea( x ) lambda_hat = 1/ mu_hat B = 1000; lambdasim = zeros (1,B ) ; for b=1:b x s t a r = exprd ( mu_hat, 1, ) ; lambdasim ( b ) = 1/mea( xstar ) ; ed SE = sqrt ( var ( lambdasim ) ) 5 kjøriger av disse komadoee gir stadard feil verdiee E økig av B til ga tallee To kilder til usikkerhet: Usikkerhet i de opprielige observasjoer x1,..., x Usikkerhet i våre simuleriger I praksis: Usikkerhet i simuleriger svært små

8 Parametrisk Bootstrappig - geerell idé Ikke-parametrisk Bootstrappig Ata X 1,..., X uif F (x; θ), observert x 1,..., x Estimer F (x; θ) med F(x; ˆθ) der ˆθ er estimat på θ basert på x 1,..., x. 1. Repeter for b = 1,..., B 1.1 Simuler x1,..., x uif fra F (x; ˆθ) 1.2 Sett θ b = ˆθ(x ) der x = (x1,..., x ) 2. Estimer σ ˆθ ved 1 B B 1 b=1 (θ b θ ) 2 der θ = 1 B B b=1 θ b. Vi kaller dette Parametrisk bootstrappig da vi bruker de parametriske forme på F (x; θ). Ata X 1,..., X uif F (x), vet igetig om F (x). F(x) = P(X x). Mulig estimat: F (x) = Atall x i x = 1 (#x i x) = 1 I(x i x) F(x) diskret sasylighetsfordelig med P(X = xi ) = 1 for i = 1,...,. Svarer til å trekke fra {x1,..., x } med tilbakeleggig Eksempel - Ikke-parametrisk Bootsrappig Observasjoer MATLAB kode: x = [ ] ; = 10; B = 1000; lambdasim = zeros (1,B ) ; for b=1:b x s t a r = radsample ( x,, t r u e ) ; lambdasim ( b ) = 1/mea( xstar ) ; ed SE = sqrt ( var ( lambdasim ) ) 5 gjetatte kjøriger av disse kommadoee ga stadard feil Stadardfeil har økt oe.

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Punktestimator. STK Bootstrapping og simulering - Kap 7 og eget notat. Bootstrapping - eksempel Hovedide: Siden λ er ukjent, bruk ˆλ:

Punktestimator. STK Bootstrapping og simulering - Kap 7 og eget notat. Bootstrapping - eksempel Hovedide: Siden λ er ukjent, bruk ˆλ: Punktestimator STK00 - Bootstrapping og simulering - Kap 7 og eget notat Geir Storvik 8. april 206 Trekke ut informasjon om parametre fra data x,..., x n Parameter av interesse: θ Punktestimator: Observator,

Detaljer

STK1100 våren 2017 Estimering

STK1100 våren 2017 Estimering STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis

Detaljer

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i

Detaljer

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi

Detaljer

Estimering 2. -Konfidensintervall

Estimering 2. -Konfidensintervall Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,

Detaljer

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 19 des. 2014 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 5 jui 2015 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - Fornuftig verdi Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette

Detaljer

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall

Detaljer

Kapittel 8: Estimering

Kapittel 8: Estimering Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100

Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 2014 (oppdatert April 2016) 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor

Detaljer

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013 TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 0 Kp. 5 Estimerig. Målemodelle. Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x

Detaljer

ECON240 Statistikk og økonometri

ECON240 Statistikk og økonometri ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi

Detaljer

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statistikk H00 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoer 9.0-9.: Adelser 9.: Varias Mette Lagaas Foreleses oag 0.oktober, 00 Norske hoppdommere og Jae Ahoe Jae Ahoe er e fisk skihopper,

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram 2 Kort reetisjo fra kaittel 4 Betiget sasylighet og trediagram Eksemel: Fra e oulasjo av idrettsfolk trekkes e erso tilfeldig og testes for doig. De iteressate hedelsee er D=ersoe er doet, A=teste er ositiv.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2007 Oppsummerig Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. april Bjør H. Auestad Oppsummerig våre 2006 1 / 37 Oversikt

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet

Detaljer

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03). LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2012 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 20. august, 2012 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 57 Iformasjo Litt om

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 011 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 øving 3

Løsningsforslag ST2301 øving 3 Løsigsforslag ST2301 øvig 3 Kapittel 1 Exercise 11 Et utvalg på 100 idivider trekkes fra e populasjo med tilfeldig parrig. Det ble observert AA 63 idivider av geotype AA, Aa 27, og aa 10. Lag et 95 % kofidesitervall

Detaljer

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske

Detaljer

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre. EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 HG April 00 Oversikt over kofidesitervall i Eco 30 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA4240 H2006: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010 Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i

Detaljer

Bootstrapping og stokatisk simulering Tilleggslitteratur for STK1100

Bootstrapping og stokatisk simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Bootstrapping og stokatisk simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 014 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor statistikk

Detaljer

Populasjon, utvalg og estimering

Populasjon, utvalg og estimering Populasjo, utvalg og estimerig (Notat til forelesig i estimerig, Kap. 6.) Populasjo og utvalg Med basalkuskap i sasylighetsregig og sasylighetsfordeliger er vi å i stad til å gå videre med statistisk iferes

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i STK2120 Statistiske metoder og dataaalyse 2 Eksamesdag: Madag 6. jui 2011. Tid for eksame: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider.

Detaljer

Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner

Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner ushu.li@uib.o Forelesig + 3 Momet og Mometgeererede fuksjoer 1. Oppsummerig til Forelesig 1 1.1) Fuksjoe av S.V: hvis variabele er e fuksjo (trasformasjo) av S.V. : g( ), da er også e S.V.: til ethvert

Detaljer

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2. Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

Suffisient observator

Suffisient observator Iledig Beslutigsteori Parametriske metoder Ikke-parametriske metoder Diskrimiatfuksjoer Evaluerig Ikke-ledet lærig Klygeaalyse Suffisiete observatorer Suffisiet observator Statistisk størrelse s som ieholder

Detaljer

Oversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Oversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Hypotesetestig, del 4 oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Oversikt, del 5 Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ma de høyeste geviste hvis de to første kortee ma

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe

Detaljer

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke

Eksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: STK11 Sasylighetsregig og statistisk modellerig. LØSNINGSFORSLAG Eksamesdag: Fredag 9. jui 217. Tid for eksame: 9. 13.. Oppgavesettet

Detaljer

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:

Hypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som: Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

Sammendrag i statistikk

Sammendrag i statistikk Sammedrag i statistikk Sammedrag Dette dokumetet er et sammedrag av pesum i faget ST0103 ved NTNU høste 2014. Notatet er derfor ikke tekt å være komplett eller spesielt grudig gjeomlest for feil, me det

Detaljer

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6 «Ucertaity of the Ucertaity» Del 4 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Iledig Dette er del fire i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». I dag skal jeg vise deg utledige av formele: σ m s,

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 014 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer

Detaljer

Hypotesetesting, del 5

Hypotesetesting, del 5 Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi

Detaljer

Lineær regresjonsanalyse (13.4)

Lineær regresjonsanalyse (13.4) 2 Kap. 13: Lieær korrelasjos- og regresjosaalyse ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Kap. 13.1-13.3: Lieær korrelasjosaalyse. Disse avsitt er ikke pesum, me de lieære

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Øvelsesoppgave i: ECON30 Statistikk HØST 004 Dato for utleverig: Fredag 5. oktober 004 Frist for ileverig: Osdag 7. oktober 004, seest kl. 5.00 Ileverigssted: Ekspedisjoskotoret,.

Detaljer

STK1100 våren Konfidensintevaller

STK1100 våren Konfidensintevaller STK00 våre 07 Kofdestevaller Svarer tl avstt 8. læreboka Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo Eksempel E kjemker er teressert å bestemme kosetrasjoe µ av et stoff e løsg Hu måler kosetrasjoe fem

Detaljer

ST1201 Statistiske metoder

ST1201 Statistiske metoder ST Statistiske metoder Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag - Eksame desember Oppgave a) Dette er e ANOVA-tabell for k-utvalg med k 4 og j 6 for j,,3,4.

Detaljer

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008 3MX 00/8 - Kapittel : 8. jauar. februar 008 Pla for skoleåret 00/008: Kapittel 6: 6/ /. Kapittel : / /3. Prøver på eller skoletime etter hvert kapittel. É heildagsprøve i hver termi. Repetisjo, prøver,

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: Fredag 6. Jui 04 Varighet/eksamestid: 5 timer Emekode: TALM005-A Emeav: Statistikk og Økoomi Klasse(r): Kjemi, Material, Logistikk

Detaljer

Hva er statistikk? TMA4240 Statistikk H2015. Denne forelesningen. Pensum

Hva er statistikk? TMA4240 Statistikk H2015. Denne forelesningen. Pensum Hva er statistikk? TMA440 Statistikk H015 Siste forelesig: oppsummerig og avslutig Statistikk har som mål å utvikle vår kuskap basert på isamlig og aalyse av empiriske data. To greer: Sasylighetsteori:

Detaljer

Skrivne og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret.

Skrivne og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Eksame 11. mai 2015 Eksamestid 4 timar IR201812 Statistikk og Simulerig Skrive og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekig som tregst for å grugje svaret. Oppgåve 1......................................................................................

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Statistikk Gruppe(r): Alle ( 2. årskull) Eksamesoppgav Atall sider (ikl. e består av: forside): 5 Tillatte hjelpemidler: Emekode: LO070A Dato: 11.06.2004

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter

Detaljer

STATISTIKK :D INNHOLD

STATISTIKK :D INNHOLD STATISTIKK :D INNHOLD Et par tig som ka bli yttige.... Sasylighetsregig... 3. Stokastiske variable og sasylighetsfordeliger.... 4. Forvetig og varias... 3 5. Diskrete fordeliger... 4 Diskret uiform fordelig...

Detaljer

Kapittel 5: Diskrete sannsynsfordelingar TMA4245 Statistikk. 5.2 Diskret uniform fordeling NTNU NTNU NTNU

Kapittel 5: Diskrete sannsynsfordelingar TMA4245 Statistikk. 5.2 Diskret uniform fordeling NTNU NTNU NTNU Kapittel 5: Disrete sasysfordeligar TMA4245 Statisti Rep.: Forvetig, varias og ovarias Forvetig (tygdeput, geeraliserig av empiris gjeomsitt): < P x µ = E(X) = R xf(x) (Xdisret) : xf(x)dx (Xotiuerlig)

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.

Detaljer