Normalfordeling. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 7
|
|
- Arnulf Enoksen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ueoppgaver i BtG207 Statisti, ue 7 : Normalfordeling. 1 Høgsolen i Gjøvi Avdeling for tenologi, øonomi og ledelse. Statisti Ueoppgaver ue 7 Normalfordeling. Oppgave 1 Anta Z N(0, 1), dvs. Z er standard normalfordelt. Regn ut sannsynlighetene: a) P(Z 1.50) b) P (Z > 1.50) c) P (Z 0.25) d) P(Z > 0.25) e) P ( 0.75 < Z 0.75) f) P (Z = 0.75). Sørg for at du beherser denne regnetenien så fort som mulig. Flere oppgaver av samme type i oppgave 21, ap i Løvås. Oppgave 2 a ) Finn tallet z 0.25 som er sli at P (Z <z 0.25 )=0.75 når Z N(0, 1). b ) Finn tallet z sli at P (Z >z )=0.025 når Z N(0, 1). Oppgave 3 Måleverdien av spenningen på et bilbatteri er X, som er N (12.70, ). Regn ut P(12.50 <X 12.90) Sørg for at du beherser denne regnetenien så fort som mulig. Flere oppgaver av samme type i oppgave 23, ap i Løvås. Oppgave Anta X N(μ, ), og regn ut a) P(μ <X<μ+ ). b) P(μ 2 <X<μ+2). c) P(μ 3 <X<μ+3). Oppgave 5 La X N(12.70, ). Finn en sli at P(12.70 X ) =0.95 Oppgave 6 En sneer sal appe to 200 centimeter lange lister og legge dem etter hverandre. Kall lengden på listene X 1 og X 2,mensX er summen av lengdene. a ) Anta lengdene X i N (200, 2) er uavhengige. Regn ut forventningsverdi μ og standardavvi for X = X 1 + X 2. b ) Regn ut P (397 <X 03). c) Finn et intervall [μ +, μ ] sli at P (μ X μ + ) =0.95. d ) Anta han isteden apper den andre lista ved å legge den første oppå, og at dette medfører at X 2 = X 1. Hva er da P (397 <X 03)?
2 2 Ueoppgaver i BtG207 Statisti, ue 7 : Normalfordeling. Oppgave 7 Anta vi har et bilbatteri med spenning 12.70V. I prasis er dette et ujent tall, som vi sal forsøe å finne ved målinger. På grunn av måleunøyatighet vil måleverdien i prasis avvie noe fra den orrete verdien. En standard antaelse om målefeil er at de er normalfordelte, og at målingene har forventningsverdi μ som den orrete verdien (dvs V i dette tilfellet). Av denne grunn alles normalfordeling av og til målemodellen. Vi antar her at vi gjennom spesifiasjoner fra produsenten av måleinstrumentet vet at =V. For å øe presisjonen på resultatet gjør vi målinger, og aller disse måleresultatene ( før observasjon ) X 1, X 2, X 3 og X. De fatise resultatene av disse målingene alles x 1, x 2, x 3 og x. Som vår onlusjon sal vi brue gjennomsnittsverdien x =(x 1 + x 2 + x 3 + x )/, som før observasjon er en stoastis variabel X =(X 1 + X 2 + X 3 + X )/. Vi antar at X 1, X 2, X 3 og X er uavhengige, og alle har N (12.7, 0.3) fordeling. a) Hva er E ( X ),Var ( X ) og X? b ) Hva slags fordeling har X? (Dvs. angi fordelingstype og verdier på parametrene). c) Regn ut P ( < X ). d ) Gjør følgende generalisering: La X 1,,X 2,...,X n være uavhengige, der X i N(μ, ) for alle i. Hva slags fordeling har X? Oppgave 8 Tiden Hansen bruer påågå til jobben ( i minutter) er en stoastis variabel X 1 N(32, 2), mens veien hjem igjen som går nedoverbae er X 2 N(28, 3). a ) b ) c ) d ) Hva er sannsynligheten for at han en enelt dag bruer mellom 31 og 33 minutter til jobben? Hva er sannsynligheten for at han i gjennomsnitt en måned med 25 arbeidsdager bruer mellom 31 og 33 minutter til jobben? Hva er sannsynligheten for at han bruer mer enn 65 minutter tilsammen på veien til og fra jobben en dag? Hva er sannsynligheten for at han bruer ortere tid fra jobben enn til jobben en dag? Hint: Betrat variabelen D = X 2 X Hans Petter Hornæs
3 Ueoppgaver i BtG207 Statisti, ue 7 : Normalfordeling. 3 Fasit, Normalfordeling. Oppgave 1 a) P(Z 1.50) = Φ(1.50) Tabell5.1.1 = b) P(Z>1.50) = P ( Z 1.50 ) =1 P(Z 1.50) = = c) P(Z 0.25) = Φ( 0.25) = 1 (0.25) Tabell5.1 = = d) P(Z> 0.25) = P ( Z 0.25 ) =1 P(Z 0.25) = = e) P( 0.75 <Z 0.75) = Φ(0.75) ( 0.75) = ( ) = =0.568 f) 0 (fordi eneltverdier har sanns. 0 i ontinuerlig fordeling, eller alternativt at dette an regnes ut som P (X =0.75) = P (0.75 X 0.75) = Φ(0.75) (0.75) = 0) Oppgave 2 a) Vi må brue tabell balengs, og finne det tallet som er nærmest midt inne i tabellen. Vi finner at Φ(0.67) = 0.786, og Φ(0.68) = Hvilet som helst av disse tallene, eller tall mellom disse godtas. Siden 0.75 er omtrent midt imellom foreslår jeg z =0.675 (Nøyatigere regning med Maple gir 0.675). b) P(Z>z)=0.025 P(Z z) = Φ(z) = Balengs tabellbru gir da at z =1.96. Det er imidlertid greiere å brue fratiltabellen, tabell 5.2 i formelsamlinga. Denne gir denne verdien direte for enelte verdier, og vi an lese av under 2.5% = Oppgave Φ =Φ(0.67) ( 0.67) = 2 Φ(0.67) 1=0.972 Oppgave a) μ + μ μ + μ Φ =Φ(1)( 1) = 2Φ(1) 1= = b) Φ(2)( 2) = c) Φ(3) ( 3) = Oppgave 5 Uttryer først sannsynligheten ved hjelp av Φ: P(12.70 X ) =Φ =Φ(/) ( /) = Φ(/) (1 (/)) = 2Φ(/) 1 Vi får dermed en lining vi først løser med hensyn på Φ(/) 2Φ(/) 1=0.95 Φ(/) = ( )/2 Φ(/) = Siden Φ går på sannsynligheten for Z<z, mens fratiltabellen (tab. 5.2) tar utgangspunt i Z>z vrir vi sannsynligheten: P(Z</) = P(Z>/) = = Dermed er / = z 0.025, dvs fratilen i standard normalfordeling. z finner vi fra tabell 5.2 som z = Dette gir da =1.960 = (sli at intervallet blir <X< <X<13.29).
4 Ueoppgaver i BtG207 Statisti, ue 7 : Normalfordeling. Mange vil no synes argumentet er mer oversitlig ved åhenvisetilenfigur: µ 12,5 µ 13 µ + 13,5 x Siden sannsynligheten er 0.95 for at utfallet ligger mellom grensene, er sannsynligheten = 0.05 for at utfallet blir utenfor. Denne sannsynligheten fordeles lit, med 0.05/2 = på begge sider. Spesielt blir det en sannsynlighet på for at utfallet blir større enn μ + : ( X μ P(X μ + ) =0.025 P μ + μ ) = De to sannsynligheten er lie da det er samme hendelse, vi har truet fra samme tall og dividert med samme positive tall på begge sider av lihetstegnet. Siden Z = X μ N(0, 1) (og μ ene nulles ut) er altså ( P Z ) =0.025 Siden z per definisjon er det entydige tallet som oppfyller P (Z z )=0.025 er = z = z =1.960 = Oppgave 6 a ) Du an addere forventningsverdiene: μ =E(X 1 + X 2 ) = = 00. Dessuten an du addere variansene, når X 1 og X 2 er uavhengige. (Dette betyr at du ie an addere standardavviene): Var (X 1 + X 2 )= =8så = 8=2.83. b ) Siden lineærombinasjoner, med sum som spesialtilfelle, av uavhengige normalfordelinger er normalfordelte er X 1 + X 2 normalfordelt. Parametrene har vi fra a oppgaven, så X N (00, 2.83): P (397 <X 03) = Φ =Φ(1.06) ( 1.06) =Φ(1.06) (1 (1.06)) = 2Φ(1.06) 1 tab.5.1 = = c) ( μ + μ P(μ X μ + ) =0.95 Φ ( ) Φ =0.95 Φ 2Φ ( ) 1=0.95 Φ ) ( 1 ( ) μ μ =0.95 ( )) =0.95 ( ) =0.975
5 Ueoppgaver i BtG207 Statisti, ue 7 : Normalfordeling. 5 Dermed er P Z =0.975 P Z =0.025, sli at = Z 0.025, detvilsi2.5% fratilen i standard normalfordeling. Denne finner du i tabell 5.2: =1.960 =1.960 = = 5.6. Dermed er 95% intervallet [00 5.6, ] = [39., 05.6]. Et alternativt argument, basert på figur: α/2 =0.025 (= 2.5%) α/2 α/2 a µ b x ( X μ P(X b) =0.025 P b μ ) ( =0.025 P Z b μ ) =0.025 b μ = z b μ = z b = μ + z Fra tabell 5.2 er 2.5% fratilen i standard normalfordeling z =1.960, og vi finner øvre grense: b = = 05.6 For nedre grense a får vi P (X a) = = Du an brue tabell eller symmetrien z r = z 1 r,spesieltatz = z = z = og får på tilsvarende måte a = μ z = = 39.. d) NåerX 1 og X 2 ie lenger uavhengige (snarere tvert i mot, X 2 = X 1)så X = X 1 + X 2 = X 1 + X 1 = 2X 1. Dermed er det reglene for multipliasjon med salar (E (ax + b) = ae(x) +b og Var (ax + b) = a 2 Var (X) ax+b = a x,medb = 0) som sal brues: μ =E(2X 1 )=2 200 = 00 og Var (2X 1 )= =16så =ogx N (00, ) P (397 <X 03) = Φ =0.568 Det er med andre ord mindre sannsynlig åfålengdeså nær 00 i dette tilfellet, da spredningen (standardavviet) er større. Oppgave 7 a) E ( X ) ( 1 =E X X X ) X = 1 E(X 1)+ 1 E(X 2)+ 1 E(X 3)+ 1 E(X ) = = = 12.70
6 6 Ueoppgaver i BtG207 Statisti, ue 7 : Normalfordeling. Var ( X ) ( 1 =Var ( 1 X X X ) X = ) 2 ( ) 2 1 Var (X 1 )+ Var (X 2 )+ = X = 2 /=/2=0.15 ( ) 2 1 Var (X 3 )+ ( ) 2 1 Var (X ) = 2 = b ) c) d ) Siden X er en lineærombinasjon av normalfordelte variable er den normalfordelt. Med resultatene fra a oppgaven har vi da X N(12.70, 0.15) P ( < X ) =Φ =Φ(1.33) ( 1.33) =Φ(1.33) (1 (1.33)) = 2Φ (1.33) 1= =0.816 Kommentar: Om vi aller intervallet (12.50, 12.90) nær den ritige verdien ser vi at det er mye mer sannsynlig at vi med gjennomsnittet ommer nær den ritige verdien enn ved en eneltmåling (denne sannsynligheten var fra oppgave 2). Et tilsvarende argument som i a oppgaven, med erstattet med n, gire ( X ) = μ og Var ( X ) = 2 /n, og dermed X = / n. Dette gir X N ( μ, / n ) Kommentar: Standardavviet på gjennomsnittet, / n, er en vitig størrelse vi sal brue mye i fortsettelsen. Den alles standardfeilen. Oppgave 8 a) P(31<X 1 33) = Φ =Φ(0.50) ( 0.50) = b) X N ( 32, 2/ 25 ) =N(32, 0.) gir sannsynligheten P ( 31 < X 33 ) =Φ =Φ(2.5) ( 2.5) = c) X = X 1 + X 2, sli at μ =E(X) =E(X 1 + X 2 )=E(X 1 )+E(X 2 ) = = 60 Var (X) =Var(X 1 + X 2 )=Var(X 1 )+Var(X 2 )= =13 og dermed = 13 = Vi har derfor X N(60, 3.61) som gir: ( ) P(X>65) = 1 P( 65) = 1 =1(1.39) = = d) μ =E(D) =E(X 1 X 2 )=E(X 1 ) E(X 2 )=28 32 = Gjentar argumentet for at variansene i en differens må adderes (og ie subtraheres!): Var (D) =Var(X 1 X 2 )=Var(1 X 1 +( 1) X 2 )=1 2 Var (X 1 )+( 1) 2 Var (X 2 ) =1 Var (X 1 )+1 Var (X 2 )=Var(X 1 )+Var(X 2 ) Dermed er Var (D) = =13og = 13 = 3.61, og følgelig D N(, 3.61). At han bruer ortere tid fra enn till jobben er X 2 <X 1, som an omformes til X 2 X 1 < 0 D<0, og dermed ( ) 0 ( ) P(D<0) = Φ =Φ(1.11) =
Normal- og eksponentialfordeling.
Ukeoppgaver i Statistikk, uke 8 : Normal- og eksponentialfordeling. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 8 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 16. juni 2009. KLASSE: HIS 07 10. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 innkl. forside)
DetaljerAndre obligatoriske oppgave stk 1100
Andre obligatorise oppgave st 11 John Miael Modin 17. april 8 Oppgave 1 X er årsinteten til en tilfeldig valgt person i en befolningsgruppe. Sansynlighetstettheten til X er gitt ved { θ f X (x) = θ x θ
DetaljerMatematikk S2 kapittel 5 Sannsynlighet Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
Matemati S2 apittel 5 Sannsynlighet Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 508 a Utfall: 1 og 2, 1 og 3, 1 og 4, 2 og 3, 2 og 4, 3 og 4. De ses utfallene er lie sannsynlige, så de har hver sannsynlighet 1
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerFørsteordens lineære differensiallikninger
Førsteordens lineære differensiallininger Begrepet førsteordens lineære differensiallininger er ie sielig definert i Sinus R. Denne artielen omhandler det temaet. En førsteordens lineær differensiallining
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER
DetaljerEKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Håvard Rue 73 59 35 20 Håkon Tjelmeland 73 59 35 20 Bjørn Kåre Hegstad 73 59 35 20
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: HIS 05 08. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside)
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerMAT1030 Forelesning 16
MAT1030 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Roger Antonsen - 17 mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Forrige gang ga vi endel esempler på reursive definisjoner og
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.
DetaljerRekursjon og induksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis. Induksjonsbevis. Eksempel (Fortsatt) Eksempel
Reursjon og indusjon MAT1030 Disret matemati Forelesning 15: Indusjon og reursjon, reurenslininger Dag Normann Matematis Institutt, Universitetet i Oslo 3 mars 008 Onsdag ga vi endel esempler på reursive
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerKonfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall)
Forelesning 3, kapittel 6 Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er kjent : Hvis σ er ukjent har
DetaljerEKSAMEN. Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA 1081 og REA1081F EKSAMENSDATO: 1. juni 2011. KLASSE: Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl. TID: kl. 9.00 12.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs
DetaljerTyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4
3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 27. mai 211. KLASSE: HIS 8 11. TID: kl. 8. 13.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 innkl. forside) TILLATTE
DetaljerDa vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X
Me me me me metallic hvit 4.4: Tilnærming til normalfordeling Tilnærming til normalfordeling: binomisk og Poisson kan tilnærmes v.h.a. normalfordeling under bestemte forhold (ved "mange" delforsøk/hendelser)
DetaljerSTK1100 våren Normalfordelingen. Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger
STK00 våren 206 Normalfordelingen Svarer til avsnitt 4.3 i læreboka Geir Storvik Matematisk institutt Universitetet i Oslo Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger Normalfordelingen
DetaljerTMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlig uniform fordeling f() = B A, A B. En kontinuerlig størrelse (vekt, lengde, tid), som aldri kan bli mindre enn
DetaljerRegneregler for forventning og varians
Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene
DetaljerTogforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at
Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være
DetaljerTMA4245 Statistikk. Innlevering 3. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA4245 Statistikk Vår 2017 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3 Dette er den første av to innleveringer i blokk 2 Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerFORMELSAMLING STATISTIKK, HiG
Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Versjon fra mai 2007 FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no ISSN:??????? Innledning. Denne formelsamlingen er skrevet for bruk
Detaljerµ = E(X) = Ʃ P(X = x) x
Redigerte høydepunkt fra forrige episode 3.2: Punktsannsynlighet og kumulativ sannsynlighet punktsannsynlighet: sanns. for at en stok. var. X har en viss verdi x; P(X = x) kumulativ sannsynlighet: sanns.
DetaljerOppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1
ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerBeskrivende statistikk.
Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut
DetaljerKapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Foreleses 15. september, 2004. µ µ µ + Basert på slides av Mette Langås p.1/16 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig
DetaljerObservatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter
Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter
DetaljerGammafordelingen og χ 2 -fordelingen
Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet
DetaljerTo-dimensjonale kontinuerlige fordelinger
To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
Andreas Mhre April 15 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 13 Oppgave 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) E(XY) = - E(X ) X og Z er uavhengige, så
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2018
TMA4240 Statistikk Høst 2018 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 5 Dette er andre av tre innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerUlikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter.
Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Dersom man ofte ikke er intressert i å finne eksakte løsninger kun sikkre interval, er ulikheter
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerBernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling
Bernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling Bernoulli forsøksrekke i) gjentar et forsøk n ganger ii) hvert forsøk gir enten suksess eller fiasko iii) sannsynligheten for suksess er p i alle forsøkene
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002
Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]
DetaljerForeleses onsdag 8. september 2010
TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians
DetaljerECON2130 Kommentarer til oblig
ECON2130 Kommentarer til oblig Her har jeg skrevet ganske utfyllende kommentarer til en del oppgaver som mange slet med. Har noen steder gått en del utover det som det strengt tatt ble spurt om i oppgaven,
DetaljerKapittel 5: Diskrete sannsynsfordelingar TMA4245 Statistikk. 5.2 Diskret uniform fordeling NTNU NTNU NTNU
Kapittel 5: Disrete sasysfordeligar TMA4245 Statisti Rep.: Forvetig, varias og ovarias Forvetig (tygdeput, geeraliserig av empiris gjeomsitt): < P x µ = E(X) = R xf(x) (Xdisret) : xf(x)dx (Xotiuerlig)
DetaljerSensorveiledning eksamen ECON 3610/4610 Høst 2004
1 Jon Vislie; november 2004 Sensorveiledning esamen ECO 3610/4610 Høst 2004 Modellen har fem lininger og sju variable (,n,m,,k,x og c); med to frihetsgrader i utgangspuntet og som an brues til å masimere
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007
Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren
DetaljerFormelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal
Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene
DetaljerInferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"
Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.
DetaljerKontinuerlige stokastiske variable.
Kontinuerlige stokastiske variable. I forelesning har vi sett på en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f() =2 og sannsynlighetsfunksjon F () = 2 for. Der hadde jeg et reint regneteknisk
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x) er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom: 1. f(x) 0 for alle x R 2. f(x)dx =1 3. P (a
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling
Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling 1 Geometrisk fordeling Binomisk forsøks-serie En serie likeartete forsøk med to mulige utfall, S og F, i hvert. (Modell) forutsetninger
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a
DetaljerST1201 Statistiske metoder
ST0 Statistise etoder Norges tenis-naturvitensapelige universitet Institutt for ateatise fag Løsningsforslag - Esaen deseber 008 Oppgave a l(θ = lnl(θ = L(θ = n n f(x i [ θ e ] x i θ [ ln lnθ x ] i = nln
DetaljerForelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable
Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med
DetaljerSiden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.
Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning
DetaljerKapittel 4: Matematisk forventning
Kapittel 4: Matematisk forventning TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Multivariate tilfeller foreleses mandag 6.september, 2004 Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/16 Forventing til funksjon av flere stokastiske
DetaljerLøsningsforslag statistikkeksamen desember 2014
Løsningsforslag statistikkeksamen desember 2014 Oppgave 1 a i. To hendelser er disjunke hvis det er intet overlapp mellom hendelsene, altså hvis A B = Ø. Siden vi har en sannsynlighet for å finne A B som
Detaljerfor x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter
TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere
DetaljerForventning og varians.
Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.) Forventningsverdi gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: E(X) f(),x diskret
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.6: Prediksjonsintervall 9.8: To utvalg, differanse µ 1 µ 2 Mette Langaas Foreleses mandag 18.oktober, 2010 2 Prediksjonsintervall for fremtidig observasjon,
Detaljer+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1
Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:
DetaljerKapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering
Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett
DetaljerSTK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1
STK00 våren 07 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Esempel Vi vil først ved hjelp av et esempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr. Vi legger fire røde ort og to svarte ort i en bune.
DetaljerEksamensoppgave i TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. Rea181 EKSAMENSDATO: 1. juni 28 KLASSE: Ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl.
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerUtvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.
Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 11. juni 28 KLASSE: HiS 6-9 Jørstadmoen. TID: kl. 8. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING TIRSDAG 7. AUGUST 2007 KL LØSNINGSFORSLAG
Side av 7 NTNU Norges tenis-naturvitensapelige universitet Faultet for fysi, inforati og ateati Institutt for datateni og inforasjonsvitensap KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TT23 VISUALISERING TIRSAG 7. AUGUST
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt
UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent
DetaljerMAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem
MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi
DetaljerFørste sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015
Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Dette er det første obligatoriske oppgavesettet i STK1110 høsten 2015. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Du må bruke Matematisk institutts
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
Detaljer3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
DetaljerForventning og varians.
Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.1) Forventningsverdi = gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: x xf(x),x
DetaljerForelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering. Jo Thori Lind
Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Trekke utvalg 2. Estimatorer og observatorer som stokastiske variable 3. Egenskapene til en estimator
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar
Detaljeronsdag_19_09_2018_poisson_eksponential_normalfordelng_vikartime_bygg_v2.notebook
September 19, The story so far Kap. 3: Diskrete stokastiske variable variablene er "diskrete", dvs. tellevariable som kun har verdier X = 0, X = 1, X = 2,... beregne forventningsverdi og varians for variabel
DetaljerNotasjon. Løsninger. Problem. Kapittel 7
3 Notasjon Kapittel 7 Funksjoner av stokastiske variabler Har n stokastiske variabler, X 1, X 2,..., X n, med kjent fordeling f( 1, 2,..., n ) og kumulativ fordeling F( 1, 2,..., n ). Ser på Y = u(x 1,
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Oppgave 1 Oljeleting a) Siden P(A
DetaljerKapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma.
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma. Mette Langaas Foreleses mandag 27. september 2010 2
DetaljerLøsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100
DetaljerTMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko
DetaljerOppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,
DetaljerDenne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans
Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
Detaljer8 + AVSLUTTE SPILLET Handelsenheten forteller deg når spillet er over, etter 1 time. BATTERY INFORMATION
AVSLUTTE SPILLET andelsenheten forteller deg når spillet er over, etter 1 time. BRAND Regn ut hva du er god for ved å følge disse trinnene: hvis hun eller han landet på dette feltet. (Se side 13.) 1. Tell
DetaljerEksamen i. MAT110 Statistikk 1
Avdeling for logistikk Eksamen i MAT110 Statistikk 1 Eksamensdag : Torsdag 28. mai 2015 Tid : 09:00 13:00 (4 timer) Faglærer/telefonnummer : Molde: Per Kristian Rekdal / 924 97 051 Kristiansund: Terje
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx
DetaljerFORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Versjon per 10. januar 2002, ved Hornæs
FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Versjon per 10 januar 2002, ved Hornæs 1 EMPIRISKE STATISTISKE MÅL 11 Forventningsverdi, varians og standardavvik La x {x 1,x 2, x n } være et datasett av (reelle) tall: 111
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerUtvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.
Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en observator er fordelingen av verdiene observatoren tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg er en tilfeldig
Detaljerstatistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig
Detaljer