ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

Transkript

1 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete deliger - mulige verdier er atskilte pukter på tallije, f.eks.,,, 3,... Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete deliger - mulige verdier er atskilte pukter på tallije, f.eks.,,, 3,... I mage situasjoer er det aturlig at alle verdier på tallije (muliges e del av de) er mulige utfall. 3

2 Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Eks.: X=høyde til tilfeldig valgt kvielig UiSstudet. I prisippet er ehver verdi i f.eks. itervallet [.5m,.m], et mulig utfall..5m.m Vi ka ikke liste opp alle mulige utfall i e slik situasjo og kytte sasylighet til hvert av dem! 4 Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Vi sier at X er e kotiuerlig tilfeldig variabel, eller at X har kotiuerlig sasylighetsdelig., For å beskrive delig av sasylighet på de skjellige utfallee, f(),,8,6,4, brukes e kurve, f(): Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Kurve beskriver delige av sasylighet på de skjellige utfallee, ved at: sasylighete er stor verdier der f() er stor. Vi ka ikke betrakte ekeltverdier, me et itervall, [a, b], av verdier.,,,8 f(),6,4,

3 Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Kurve beskriver delige av sasylighet på de skjellige utfallee, ved at: sasylighete er stor verdier der f() er stor. Vi ka ikke betrakte ekeltverdier, me et itervall, [a, b], av verdier. P(X [a,b]) = P(a X b) f(),,,8,6,4 b = f()d a, a b Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Def.: Kurve f() kalles sasylighetstetthetsfuksjoe til X. For tetthetsfuksjoe f() må vi ha at : ) f() ) to tall a og b der a < b, P(a X b) = f() d 3) f() d = - b a er 8 Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Def.: For e tilfeldig defiert ved F(y) = P(Y y), er deligsfuksjoe til Y. variabel Y sier vi at fuksjoe F Dersom Y er kotiuerlig delt, så F(y) = P(Y y) = f() d y - 9 3

4 Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Forvetig og varias kotiuerlige variable: Def.: Dersom X er e kotiuerlig tilfeldig variabel med tetthet f(), så E(X) = f()d = μ - Var(X) = ( - μ) f()d - ( = E{ ( X μ) }) Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Forvetig og varias kotiuerlige variable: Obs.: har samme tolkig som diskrete variable - setrum, beliggehet -spredig Def.: Dersom X er tetthet f(), så E(X) Var(X) = f()d = - = ( -μ) f()d ( = E{ ( X μ) }) - e kotiuerlig tilfeldig variabel med μ Kotiuerlige tilfeldige variable Viktige klasser av kotiuerlige deliger som vi skal se på: Ekspoesialdelige (kp. 4.) Normaldelige (kp. 4.3) Seiere: Studet s t-delig (kp. 6.6) 4

5 Kotiuerlige tilfeldige variable Viktige klasser av kotiuerlige deliger som vi skal se på: Ekspoesialdelige (kp. 4.) Normaldelige (kp. 4.3) Seiere: Studet s t-delig (kp. 6.6) 3 Ekspoesialdelige (kp. 4.) t Def.: Vi sier X er ekspoesialdelt med parameter λ dersom X har tetthet f() gitt ved : λ λe, f() =, > λ Skrivemåte: X~eksp.( ) 4 Ekspoesialdelige (kp. 4.) Def.: Vi sier X er ekspoesialdelt med parameter λ dersom X har tetthet f() gitt ved : λ λe, f() =, >, λ = : e, f() =, > f(),5,

6 f() f(),,5, ,,5, Ekspoesialdelige E viktig type (kotiuerlig) delig. Def.: Vi sier X er ekspoesialdelt med parameter λ dersom X har tetthet f() gitt ved : λ λe, > f() =, Obs.: ) kotiuerlig vetetidsdelig; jf. geometrisk delig; ) svært mye brukt til modellerig og aalyse av pålitelighet til systemer 6 Ekspoesialdelige Def.: Vi sier X er ekspoesialdelt med parameter λ dersom X har tetthet f() gitt ved : λ λe, > f() =, Setig : Dersom X er ekspoesialdelt med parameter λ, så E(X) = og Var(X) = λ λ 7 Ekspoesialdelige Eksp.-tettheter med ulike parametere: Forv. = Parameter λ = ; E(X) = = e, f() =, >,,5, Forv. =.e Parameter λ =.; f() = E(X) = =.., >,,,5,

7 f(),,5, Ekspoesialdelige Setig : Dersom X er ekspoesialdelt med parameter λ, så E(X) = og λ Var(X) = λ Def.: Vi sier X er ekspoesialdelt med parameter λ dersom X har tetthet f() gitt ved : λ λe, > f() =, Obs.: - λ E(X) = f()d = λe d = L = - λ Forvetige (og varias) fies vha. itegrasjo. (Det er ikke pesum i dette kurset.) 9 Ekspoesialdelige Eks.: Vi atar at levetide til e tilfeldig valgt lyspære er eksposialdelt med vetig 5 timer. Hva er sasylighete at de svikter før timer? Hva er sasylighete at de virker mist 3 timer? Kotiuerlige tilfeldige variable Obs.: Dersom X er kotiuerlig delt, så a P(X = a) = = f()d a Der : P(X a) = P(X < a) 7

8 Kotiuerlige tilfeldige variable Obs.: Dersom X er kotiuerlig delt, så,, P(a X b) : f(),8,6,4, 55 6 a 65 b ,,,8 P(X = a) = P(a X a) = f(),6,4, a Kotiuerlige tilfeldige variable Viktige klasser av kotiuerlige deliger som vi skal se på: Ekspoesialdelige (kp. 4.) Normaldelige (kp. 4.3) Seiere: Studet s t-delig (kp. 6.6) 3 Normaldelige (kp. 4.3) Dette er de viktigste delige i de stad at ige adre deliger er mer brukt i statistiske aalyser e ormaldelige! 4 8

9 Normaldelige... 5 Normaldelige Setig: Dersom X,..., X er uavhegige, ormaldelte tilfeldige variable (og a,..., a er kostater), så er Y = a X a X e ormaldelt tilfeldig variabel. 6 Normaldelige Obs.: Resultatet i setige gjelder ikke geerelt ( adre typer deliger) Dersom X ~ekspo.() og X ~ekspo.(), så har vi ikke at X +X ~ekspo.() Dersom X ~B(,.5) og X ~B(,.), så har vi ikke at X +X ~B(); Heller ikke er f.eks. X biomisk delt! 7 9

10 Normaldelige Setig: Dersom X,..., X er uavhegige, ormaldelte tilfeldige variable (og a,..., a er kostater), så er Y = a X a X e ormaldelt tilfeldig variabel. Forvetig: E(Y) = E(a X a X ) =a E(X )+...+ a E( X ) Varias: Var(Y) = Var(a X a X ) =a Var(X )+...+ a Var( X ) 8 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Statistiske egeskaper til gjeomsittet Hvor?? Eks.: Data: ( måliger av e persos blodsukkerivå; tatt på samme tidspukt.) Vi vil typisk bruke gjeomsitt, som her er Statistiske egeskaper til gjeomsittet Eks.: Data: Gjeomsitt er 4.35; Prikkdiagram: 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Hva er virkelig ivå? (4.35 eller 3.6 eller 5....) Vi treger å vite oe om de statistiske usikkerhete i aslaget 4.35!! 3

11 ,8 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Eks.: Data: Gjeomsitt er 4.35; Statistisk takegag: Vi oppfatter de måligee som utfall av e (kotiuerlig) delig: 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 3 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Dvs.: vi oppfatter måligee,, K, tilfeldige variable X, X, K,X aktuelle delige. som utfall av som alle har de Gjeomsittet av måligee, = ( + + L+ ) oppfattes som utfall av gjemosittet X = ( X + X + L+ X ) av de tilfeldige variable : 3 Statistiske egeskaper til gjeomsittet statistiske egeskapee til X = L vil kue telle oss mye om de statistiske ( X + X + X ), De + usikkerhete!! Dette er e typisk situasjo! 33

12 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Geerelt : måliger,, K, ; oppfattes som utfall av tilfeldige variable X, X, K, X. Mage gager er det rimelig å ata at X, X, K, X ) uavhegige og idetisk delte tilfeldige variable, og ) ormaldelte. er Hva er da egeskapee til X = L ( X + X + + X )? 34 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Setig : Dersom X,X, K, X tilfeldige variable som alle er ormaldelte med vetig μ og varias σ, så er X = L ( X + X + + X ) er uavhegige ormaldelt med vetig μ og varias σ. 35 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Setig : Dersom X,X, K,X er uavhegige tilfeldige variable som alle er ormaldelte med vetig μ og varias σ, så er X = ( X + X + L+ X ) ormaldelt med vetig μ og Bevis :... vha.: varias σ.. Setig: Dersom X,..., X er uavhegige, ormaldelte tilfeldige variable (og a,..., a er kostater), så er Y = a X a X e ormaldelt tilfeldig variabel.. Regeregler vetig og varias. 36

13 Statistiske egeskaper til gjeomsittet E del gager er det ikke rimelig å bruke ormalatakelse (ata at måligee er utfall fra e ormaldelig). (F.eks. dersom dataee har e tydelig flertoppet eller usymmetrisk delig.) Hva ka vi da si om: Statistiske egeskaper til gjeomsittet? 37 Setralgresesetige Setralgresesetige : Dersom X, X, K, X uavhegige og idetisk delte tilfeldige variable med vetig μ og varias σ, så er X = L ( X + X + + X ) er tilærmet ormaldelt med σ vetig μ og varias, år er stor. Bevis: Setralgresesetige Obs : Setralgresesetige : Dersom X, X, K, X uavhegige og idetisk delte tilfeldige variable med vetig μ og varias σ, ( X + X + + X ) Y = L så er er tilærmet ormaldelt med vetig μ og varias σ, år er stor. 39 3

14 Setralgresesetige... år er stor...?? Tommelfigerregel: mist 3 god tilærmig. Eks.: Y = sum av 3 kast med e terig. Fordelig til Y? P(Y<) =? 4 Setralgresesetige Eks.: Y = sum av 3 kast med e terig. La X i = resultat i kast r i, i=,,..., 3. Vi ka fie at E(X i )=3.5 og Var(X i )=.9, og vi har her at Y = X X 3 (Alle X i ee er uavhegige og idetisk delte!) Y si delig er tilærmet ormal med vetig = 5 og varias 3.9 = Setralgresesetige Y si delig er tilærmet ormal med vetig = 5 og varias 3.9 = 87.6,5,4,3,,

15 Setralgresesetige Y si delig er tilærmet ormal med vetig = 5 og varias 3.9 = 87.6,5 Y 5 5 P(Y < ) = P < ,4,3,, P(Z < -.53) =.98, ( her er Z ~ N(,) ) fra tabell. 43 5