Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Transkript

1 EKSAMEN Emekode: SFB Emeav: Metode 1, statistikk deleksame Dato: 7. mai 2018 Hjelpemidler: Godkjet kalkulator og vedlagt formelsamlig m/tabeller Eksamestid: 4 timer Faglærer: Has Kristia Bekkevard Om eksamesoppgave og poegberegig: Oppgavesettet består av 15 sider iklusiv dee forside, hvorav de 10 siste sidee er formelsamlig og tabeller. Kotroller at oppgave er komplett før du begyer. Oppgavesettet består av 25 deloppgaver. Alle deloppgavee skal besvares og teller likt ved sesurerige. Dersom du meer at oe i oppgave er uklart, ta selv de forutsetiger du meer er ødvedige. Lykke til. Sesurfrist: 28. mai 2018 Karakteree er tilgjegelige for studeter på Studetweb

2 Oppgave 1 Ata at 40 % av alle studeter bor hjemme mes de studerer. Ata videre at 80 % av alle studeter har jobb ved side av studiee, og at 30 % av alle studeter BÅDE bor hjemme mes de studerer OG har jobb ved side av studiee. La H agi begivehete at e studet bor hjemme og la J agi begivehete at e studet har jobb ved side av studiee. a) Hva er sasylighete for at e studet ete bor hjemme eller har jobb ved side av studiee eller både bor hjemme og har jobb ved side av? b) E tilfeldig valgt studet har jobb ved side av studiee. Hva er sasylighete for at dee studete bor hjemme? Omtret 8 % av alle me og 0,64 % av alle kvier er fargeblide. Videre ka du legge til gru at det er 50 % me og 50 % kvier i verde. c) Hva er sasylighete for at e tilfeldig perso er fargeblid? d) Blat alle fargeblide velger vi tilfeldig ut e perso. Hva er sasylighete for at dee persoe er e kvie? Oppgave 2 Et varelager ieholder 40 oppblåsbare juletrær. 10 av disse er puktert (ødelagt). Vi tar med oss tre tilfeldige juletrær fra lageret. a) På hvor mage måter ka 3 juletrær trekkes ut? b) Hva er sasylighete for at alle de 3 juletrære du trekker ut er i orde (ikke puktert)? c) Hva er sasylighete for at mist et juletre av de 3 du trekker ut er puktert?

3 Oppgave 3 I e spørreudersøkelse har 100 persoer blitt spurt om si meig om et ytt prosjekt. 46 sier de er for, og 54 sier de er mot. a) La p være sasylighete for at e tilfeldig valgt perso støtter prosjektet. Agi et estimat for p, (p ) og tilhørede stadardavvik (stadardfeil), SE(p ). b) Lag et 95 % kofidesitervall for p basert på dataee over. Oppgave 4 Ata at atall timer per uke som høgskoleasatte treer er ormalfordelt med forvetig μ = 3,5 og stadardavvik σ = 0,8 a) Hva er sasylighete for at e tilfeldig valgt høgskoleasatt treer mer e 4 timer per uke? b) Hva er sasylighete for at 10 tilfeldig valgte høgskoleasatte i gjeomsitt treer midre e 3 timer per uke? c) Hva er sasylighete for at e tilfeldig valgt høgskoleasatt treer midre e 2, 5 timer per uke? Du trekker ut 5 tilfeldige høgskoleasatte. d) Hva er sasylighete for at akkurat 2 av disse 5 treer midre e 2,5 timer pr. uke? e) Hva er sasylighete for at mist 1 av de 5 treer midre e 2,5 timer pr. uke? Oppgave 5 Du har spurt = 20 HiØ-utdaede økoomer om de får telefokostader dekket hos arbeidsgiver eller ikke. Udersøkelse viste at 6 fikk dekket telefo. a) Foreta e hypotesetest for å avgjøre om det er et midretall (midre e halvparte) av Hiof-økoomer som får dekket telefokostadee av arbeidsgiver. b) Bereg P-verdie (sigifikassasylighete) til resultatet av hypoteseteste i a).

4 Oppgave 6 Ata at du har udersøkt hvor mage timer pr. uke studeter er på sosiale medier, og at udersøkelse di gav disse resultatee: X = 6,00 S X = 3,0551 = 20 a) Berege et 95 % kofidesitervall for det gjeomsittlige atall timer studeter er på sosiale medier pr. uke. Ata at e udersøkelse viser at orske økoomistudeter i gjeomsitt bruker 7 timer til jobbig med matematikkfag i uka. Legg til gru at vi har gjort e tilsvarede udersøkelse ved HiØ, og fått følgede resultater: X = 8,5 S X = 5,35 = 20 b) Sett opp hypoteser og gjeomfør e test for å udersøke om studetee i Østfold bruker mer tid på matematikkfag e ladsgjeomsittet. Brukt 5 % sigifikasivå. Oppgave 7 Vi vurderer prise på to varer mot hveradre. X er prise på vare A og Y er prise på vare B. Simultafordelige mellom de to er vist i dee tabelle: Y = Pris for B 34 kr 24 kr X = Pris for A 20 kr 0,25 0,15 30 kr 0,45 0,15 a) Fi margialsasylighetee for X og Y. b) Fi E[X] og E[Y]. c) Fi Var[X] og Var[Y]. d) Fi Cov[X,Y] og ρ[x, Y].

5 Oppgave 8 Du skal plassere peger i 6 aksjefod av totalt 30 tilgjegelige. Du har ige iformasjo om fodee og vi atar at du velger helt tilfeldig. a) Hvor mage mulige kombiasjoer av fod ka du sette samme? b) Etter et år gjør du opp status på ivesterige og får vite hvilket fod som var best. Hva er sasylighete for at du hadde med det beste fodet i ditt tilfeldige utvalg? c) Hva er sasylighete for at du hadde med deg de to beste fodee?

6 Vedlegg 1: Formelsamlig Gruleggede formler i sasylighetsregige Komplemetregel P(A ) = 1 P(A) Geerell addisjossetig P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Betiget sasylighet P(A B) = P(A B) P(B) Multiplikasjosregel P(A B) = P(B A) = P(B) P(A B) = P(A) P(B A) Bayes lov P(B A) = P(B) P(A B) P(A) Total sasylighet P i i 1 P(A) = A B P B i Uavhegighet P(A B) = P(A) P(B) For to uavhegige begiveheter A og B gjelder: P(A B) = P(A) P(B A) = P(B)

7 Kombiatorikk La være atall mulige utfall i é trekig, og k atall trekiger. Ordet utvalg med tilbakeleggig k Ordet utvalg ute tilbakeleggig k = P,k =! ( k)! Uordet utvalg ute tilbakeleggig ( k ) = C,k =! ( k)! k! Geerelt om sasylighetsfordeliger Fordeligsfuksjo F(x) = P(X x) P(a < X b) = F(b) F(a) P(X > a) = 1 F(a) P(X b) = F(b) Forvetig E(X) = x i P(X = x i ) alle x i E(a) = a E(bX) = be(x) E(a + bx) = a + be(x) E(a + bx + cx 2 ) = a + be(x) + ce(x 2 )

8 E[g(X)] = g(x i ) P(X = x i ) alle x i Varias S 2 X = 1 1 (X i X ) 2 i=1 Var(X) = E[(X μ) 2 ] = E(X 2 ) (E(X)) 2 Var(X + a) = Var(X) Var(bX) = b 2 Var(X) Var(bX + a) = b 2 Var(X) Stadardavvik S X = S X 2 σ[x] = Var(X) Kovarias S XY = 1 1 (X i X ) (Y i Y ) i=1 Cov(X, Y) = E[(X E(X))(Y E(Y)] = E(X Y) E(X) E(Y) Korrelasjo S XY R XY = S X S Y Cov(X, Y) ρ(x, Y) = Var(Y) Var(X)

9 Diskrete sasylighetsfordeliger Biomisk fordelig X~bi(, p) P(X = x) = ( x ) px (1 p) x E(X) = p Var(X) = p(1 p) Hypergeometrisk fordelig X~hypergeom(N, M, ) P(X = x) = ( M M ) (N x x ) ( N ) E(X) = M N Var(X) = N N 1 M N (1 M N ) Poiossofordelig P(X = x) = λx x! e λ E(X) = λ Var(X) = λ

10 Kotiuerlige sasylighetsfordeliger Geerell ormalfordelig X~N(μ, σ 2 ) x μ F(x) = G ( σ ) P(X x) = P(Z z) = G(z) Stadard ormalfordelig Z~N(0, 1) Z = X μ σ P(Z z) = G(z) G( z) = 1 G(z) Tilærmiger Setralgreseteoremet La X 1, X 2,, X være uavhegige variabler fra samme fordelig med forvetig µ og varias σ 2. Da er X = 1 (X 1 + X X ) tilærmet N (μ, σ2 ) og summe X 1 + X X tilærmet N(μ, σ 2 )

11 Puktestimerig Estimerig av µ μ = X = 1 X i i=1 E(X ) = μ Var(X ) = σ2 SE(X ) = σ Estimerig av σ 2 σ 2 = 2 SX = 1 (X 1 i=1 i X ) 2 E(S 2 X ) = σ 2 Estimerig av biomisk p p = X p (1 p ) SE(p ) = Kofidesitervall Z-itervall (kjet σ) for µ år er stor (ca 30)/σ atas kjet X ± zα σ X 2 T-itervall for µ år er lite (ca < 30/S X estimeres) X ± t (ν) α S X 2 ν = 1 Kofidesitervall for p [p ± zα 2 p (1 p ) ] p = X

12 Hypotesetestig Z-test av µ år er stor (ca 30)/σ atas kjet) Z = X μ 0 σ T-test av µ år er lite (ca < 30/ S X estimeres) T = X μ 0 S X Z-test av p Z = X p 0 p 0 (1 p 0 ) = p p 0 p 0 (1 p 0 )

13 Vedlegg 2: Tabeller

14

15