Kombinatorikk. MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 20: Kombinatorikk. Repetisjon. Repetisjon
|
|
- Hallgeir Thoresen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kombiatori MAT Disret matemati orelesig : Kombiatori Roger Atose Matematis Istitutt, Uiversitetet i Oslo 7. april 8 Kombiatori er studiet av opptelliger, ombiasjoer og permutasjoer. Vi fier svar på spørsmål Hvor mage måter...? ute å telle. Vitig del av f.es. omplesitetsaalyse av algoritmer. Hvor mye tid bruer e algoritme? Hvor mye plass bruer e algoritme? ruleggede, yttig og fascierede matemati som dere må beherse. Vi sal i dag gjøre oss ferdige med apittel 9. ørst litt repetisjo. MAT Disret matemati 7. april 8 Repetisjo Ilusjos- og eslusjosprisippet: A + B A B A B Hvis vi først teller opp elemetee i A og deretter elemetee i B, har vi talt elemetee i A B to gager. or å få atall elemeter i A B må vi derfor tree fra det vi har talt for mye, emlig atallet i A B. Repetisjo Multipliasjosprisippet: Hvis vi sal treffe e serie uavhegige valg, vil det totale atall muligheter være produtet av atall muligheter ved hvert valg. A B A B Atall elemeter i det artesise produtet A B er atall elemeter i A multiplisert med atall elemeter i B. Begge prisippee a geeraliseres til flere e to megder. eeraliserige av ilusjos- og eslusjosprisippet ses lett ved hjelp av Ve-diagrammer. eeraliserige av multipliasjosprisippet blir A A A A A A MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8 4
2 Esempel - det er biære tall av legde Esempel - {a, b, c} {,, } {, } Multipliasjosprisippet gir oss følgede: {a, b, c} {,, } {, } {a, b, c} {,, } {, } 8 Vi a illustrere det sli: a b c a,, a,, a,, a,, a,, a,, b,, b,, b,, b,, b,, b,, c,, c,, c,, c,, c,, c,, MAT Disret matemati 7. april 8 5 MAT Disret matemati 7. april 8 6 Mer repetisjo Pla for dage Defiisjo (Permutasjo) E permutasjo e edrig av reefølge av elemetee i e ordet megde. Vi sier også at e permutasjo av e megde er e ordig av elemetee i megde. Esempel Permutasjoee av {A, B, C} er ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Det er! permutasjoer av e megde med elemeter. Og vi vet (selvfølgelig) at! ( ) ( ) I esempelet har vi elemeter og! 6 permutasjoer. Mer om permutasjoer og ordet utvalg ( Mer om ombiasjoer r) velg r Biomialoeffisietee Pascals treat eeraliserig av første vadratsetig (a + b) a + ab + b Oppsummerig av ombiatorise prisipper Esempler og oppgaver P r MAT Disret matemati 7. april 8 7 MAT Disret matemati 7. april 8 8
3 Ordet utvalg Vi sal å se på det som alles ordet utvalg fra e megde. Esempel Oppgave: I et baresire er det med bar. Det er lov til å opplyse om hvem som to de tre første plassee, mes reste ie sal rageres. Hvor mage forsjellige resultatlister a ma få? Esempel (ortsatt) Løsig: Det fis mulige viere, deretter 9 mulige adreplasser og til sist 8 mulige tredjeplasser. Det fis altså forsjellige resultatlister. Legg mere til at ! ( )! Vi sal å defiere dette mer geerelt og brue otasjoe P for dette tallet. MAT Disret matemati 7. april 8 9 MAT Disret matemati 7. april 8 Defiisjo Mer La r og være aturlige tall sli at r. Med! P r meer vi ( r)! P r forteller oss hvor mage måter vi a tree r elemeter i reefølge ut fra e megde med elemeter på. Når r bruer vi at!. Da får vi P! ( )!!!!! Esempel E idrettsleder har syv løpere i stalle si, og sal velge ut fire av dem til å delta i e stafett. I et stafettlag spiller reefølge stor rolle, især om idrettsgree er lagre og det er to etapper i lassis og to i fristil. Da er det 7 P 4 7! forsjellige mulige lagutta.! Det er et uder at avisee meer seg å vite hva uttaet vil bli dage i forveie. Det er som forvetet, side det er! permutasjoer av e megde med elemeter i. MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8
4 Kombiasjoer Esempel Ata at vi sal fordele tre orasje hatter,, på fem bar. agir hvor mage delmegder med elemeter det fies av e megde med elemeter Vi har tidligere vist dette ved idusjo. Det er også mulig å vise dette ret ombiatoris, som vi sal gjøre sart. Slie tall alles blat aet for biomialoeffisieter. 4 5 Hver ombiasjo svarer til e delmegde av {,,, 4, 5}. Atall måter å velge tre bar på i reefølge er 5 P Her vil hver ombiasjo av hatter, f.es. {,, 4}, bli telt! 6 gager, som 4, 4, 4, 4, 4, og 4. Hvis vi sal ta høyde for dette, så må vi dele på 6. Atall måter å fordele hattee er derfor 6/6, som er ( 5 ). MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8 4 Bevis (Nytt, og fritt for idusjo) Teorem La A være e megde med elemeter, og la. Da fies det forsjellige delmegder B av A. Atall måter å velge elemeter i reefølge fra A på er P! ( )! or hver delmegde B med elemeter, så fis det! forsjellige ordede utvalg fra A som gir oss B. Da må atall megder B med elemeter være ( ) P!! ( )!! MAT Disret matemati 7. april 8 5 MAT Disret matemati 7. april 8 6
5 Legg mere til at ( ) ( ) Biomialoeffisietee Hvorfor det? or esempel, hvis vi har e megde med elemeter, så er det ( ) 8 delmegder med 8 elemeter. or hver sli megde, så har vi også e megde med elemeter. Vi a f.es. lage e fusjo som til ehver delmegde av størrelse 8 gir e delmegde av størrelse. Dee fusjoe vil være både surjetiv og ijetiv. Derfor har vi at ( ( 8) ) 9 9. Atall delmegder av størrelse må være li atall delmegder av størrelse. Det er lie mage måter å velge elemeter på som det er å måter å velge bort elemeter på. Tallee ( ) alles blat aet for biomialoeffisieter. ølgede (reursive) sammeheg var utgagsputet for et tidligere idusjosbevis: + Hvorfor er det sli? La oss se på et esempel. MAT Disret matemati 7. april 8 7 MAT Disret matemati 7. april 8 8 Tre,, av fem hatter,, sal være orasje. Hvor mage måter a dette gjøres på? ( ) ( ) ( ) Hvis de første hatte er orasje, så må to av de fire resterede hattee være orasje. Det er ( 4 ) 6 måter å gjøre dette på. Biomialoeffisietee Dette forteller oss at det er to evivalete måter å defiere biomialoeffisietee på: Ved hjelp av faultetsfusjoe og brø:! ( )!! Hvis de første hatte er svart, så må tre av de fire resterede hattee være orasje. Det er ( 4 ) 4 måter å gjøre dette på. Ved reursjo: + MAT Disret matemati 7. april 8 9 MAT Disret matemati 7. april 8
6 Pascals treat Pascals treat er e måte å srive opp alle biomialoeffisietee på ved hjelp av formele ( ) ( ) ( ) + Pascals treat ( 6 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( 4) 5 ) ( 4 5) ) Hus at Vi får følgede bilde. Vi fier igje mage jete tallreer i Pascals treat De aturlige tallee:,,,4,5,6,... De såalte triagulære tallee:,,6,,5,,... Toerpotesee:,,4,8,6,,... Kvadrattallee:,4,9,6,5,... iboacci-tallee (selv om de er godt gjemt):,,,,5,8,,,... Og mage flere... MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april Tilbae til biomialoeffisietee Neste alle vet at (a + b). Alle vet at (a + b) a + b. Mage vet at (a + b) a + ab + b. De fleste a rege ut at (a + b) a + a b + ab + b. Noe greier til og med å rege ut at (a + b) 4 a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4. Noe bør begye å ae at det er e sammeheg med Pascals treat. Side (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + a b + a b + 5ab 4 + b 5 blir de aelse bereftet. MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8 4
7 Teorem (eeraliserig av. vadratsetig) or alle tall a og b og alle hele tall har vi (a + b) a + a b + a b + ( ) ( ) a b + + ab + b a b Bevis (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) }{{} foreomster Hvis vi multipliserer dette ut, så får vi ledd. Hvert ledd består av fatorer, hvor hver fator er ete a eller b, f.es. abaa b. Hvis B A {,..., }, så lar vi B svare til leddet hvor fator ummer i er b hvis i B og a ellers..es. vil {, 4, 5} svare til leddet b a a b 4 b 5 a 6 a Hvert ledd ommer fra e og bare e megde B; det vi har besrevet er e surjetiv og ijetiv fusjo fra potesmegde av A til leddee vi får år vi reger ut (a + b). MAT Disret matemati 7. april 8 5 MAT Disret matemati 7. april 8 6 Oppsummerig av regeprisipper Bevis (ortsatt) Det fis ( ) delmegder av A med elemeter. Da fis det ( ) ledd med b er og a er. Disse leddee ordes til a b Dette er øyatig leddet med ides i teoremet. Side er vilårlig må formele i teoremet gi oss verdie på (a + b). Dette avslutter beviset. Ordet utvalg med repetisjo: r Hvor mage biære tall av legde 5 fis det? Det er 5. Ordet utvalg ute repetisjo: P r På hvor mage måter a vi tree to ort fra e ortsto? Det er 5 P Permutasjoer:! På hvor mage måter a vi stoe om ordet LAKS? Det er 4! 4 4. Kombiasjoer: ( ) Hvor mage delmegder av {a, b, c, d, e} har to elemeter? ) 5 4 Det er ( 5 Vi sal se på oe flere esempler. MAT Disret matemati 7. april 8 7 MAT Disret matemati 7. april 8 8
8 ørst e lite digresjo om store tall I ombiatori ommer vi fort opp i veldig store tall. Bredde til et hårstrå: 6 atomer. Atomer i e vadråpe: atomer. Atomer i uiverset: 8 atomer. Atall forfedre 65 geerasjoer tilbae atall atomer i uiverset. Og disse tallee er gase små... Allievel a vi represetere dem og rege på dem ute store problemer. MAT Disret matemati 7. april 8 9 Esempel På hvor mage forsjellige måter a vi gå fra A til B i dette 8 gager 4-ruteettet? Vi må gå ett steg av gage og u oppover eller til høyre. A Hvor mage slie stier er det? Dee stie a represeteres som. Dette er et ord på teg over alfabetet {, } hvor fire av tegee er og åtte av tegee er. Hvor mage slie ord er det? Det er ( ) MAT Disret matemati 7. april 8 B Oppgave Vi sjeer at det stemmer for gager -ruteettet: Atall ord blir i dette tilfellet: ( ) På hvor mage forsjellige måter a vi gå fra A til B i dee -ube? Vi må gå ett steg av gage og u oppover, til høyre eller iover? B som stemmer... A MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8
9 Esempel Esempel studeter per arater, og ige stry a represeteres sli: (Dette ble også evt på forrige forelesig i et itrodusjosesempel om uler og boser.) På hvor mage ulie måter a de 6 arateree A til gis til studeter? Vi ie er iteressert i hvile arater e bestemt studet får, me u atallet av hver arater i fordelige. Det er 6 muligheter for hver av de studetee. Ka vi brue multipliasjosprisippet og si at svaret er 6? Nei La oss lage 6 båser og putte studetee i hver si bås avhegig av hvile arater de får. ordelige a represeteres sli: At alle stryer a represeteres sli: Hvor mage slie ombiasjoer fis det? Av 5 teg må 5 være røde streer. Atall muligheter må være ( 5 5 ) MAT Disret matemati 7. april 8 MAT Disret matemati 7. april 8 4 Esempel rafteori Mer geerelt har vi + Neste gag begyer vi med grafteori. E graf består av oder og ater: som gir hvor mage forsjellige måter vi a fordele idetise elemeter i forsjellige beholdere på. Dette alles også for uordet utvalg med repetisjo. Oppgave: larer dere å tege dee på et ar ute å løfte blyate og ute å gå over e at to gager? MAT Disret matemati 7. april 8 5 MAT Disret matemati 7. april 8 6
Kapittel 9: Mer kombinatorikk
MAT00 Disret Matemati Forelesig : Mer ombiatori Roger Atose Istitutt for iformati, Uiversitetet i Oslo Kapittel 9: Mer ombiatori 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-04-5 00:06) MAT00 Disret Matemati 5. april
DetaljerForelesning 20. Kombinatorikk. Roger Antonsen - 7. april 2008
orelesning Kombinatori Roger Antonsen - 7. april 8 Kombinatori Kombinatori er studiet av opptellinger, ombinasjoner og permutasjoner. Vi finner svar på spørsmål Hvor mange måter...? uten å telle. Vitig
DetaljerMAT1030 Forelesning 21
MAT00 Forelesning Mer ombinatori Roger Antonsen - 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-0-5 00:05) Kapittel 9: Mer ombinatori Plan for dagen Mer om permutasjoner og ordnet utvalg ) Mer om ombinasjoner n velg
DetaljerKapittel 9: Mer kombinatorikk
MAT3 Disret Matemati orelesning : Mer ombinatori Dag Normann Matematis Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 9: Mer ombinatori 3. april (Sist oppdatert: -4-3 4:4) MAT3 Disret Matemati 3. april Oppsummering
DetaljerMAT1030 Forelesning 21
MAT orelesning Mer ombinatori Dag Normann -. april (Sist oppdatert: -4-4:5) Kapittel 9: Mer ombinatori Oppsummering orrige ue startet vi på apitlet om ombinatori. Vi så på hvordan vi an finne antall måter
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 21: Mer kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 15. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-15 00:05) Kapittel 9: Mer kombinatorikk
DetaljerAlgoritmer og datastrukturer Avsnitt Algoritmeanalyse
Kapittel 5. Biære søetrær Algoritmer og datastruturer Avsitt 5..5 Algoritmeaalyse Avsitt 5..5.5 - Gjeomsittlig avstad mellom to «aboer» i iorde i et biært søetre med forsjellige verdier ver permutasjo
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT3 Diskret Matematikk Forelesning 2: Mer kombinatorikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 3. april 2 (Sist oppdatert: 2-4-3 4:3) Kapittel 9: Mer kombinatorikk MAT3 Diskret Matematikk
DetaljerUlike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging 29 (29 1) (29 2) (29 3) =
MAT000V Sasylighetsregig og kombiatorikk Urdede utvalg ute tilbakeleggig Pascals talltrekat og biomialkoeffisietee Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo Ulike typer utvalg Eksempel 6.: Vi
DetaljerRekursjon og induksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis. Induksjonsbevis. Eksempel (Fortsatt) Eksempel
Reursjon og indusjon MAT1030 Disret matemati Forelesning 15: Indusjon og reursjon, reurenslininger Dag Normann Matematis Institutt, Universitetet i Oslo 3 mars 008 Onsdag ga vi endel esempler på reursive
DetaljerUlike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging. Ordnet utvalg med tilbakelegging.
MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Ordet utvalg med og ute tilbakeleggig (repetisjo) Uordet utvalg ute tilbakeleggig (repetisjo) Tilfeldige variabler og sasylighetsfordeliger Hypergeometrisk fordelig
DetaljerSTK1100: Kombinatorikk
1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee
DetaljerOM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z
OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke
DetaljerMAT1030 Forelesning 16
MAT1030 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Roger Antonsen - 17 mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Forrige gang ga vi endel esempler på reursive definisjoner og
DetaljerSTK1100: Kombinatorikk og sannsynlighet
ST1100: ombiatorikk og sasylighet Jauar 201 Ørulf Borga/Geir Storvik Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: Et stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for
DetaljerEKSAMEN løsningsforslag
05.0.08 EKSAMEN løsigsforslag Emekode: ITF0705 Dato: 5. desember 07 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Emeav: Matematikk for IT Eksamestid: 09.00 3.00 Faglærer: Christia F Heide
DetaljerAVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Eksamesoppgave består av: Atall sider (ikl forside): 5 Emekode: FO 9A Dato: 57 Atall oppgaver: Fagasvarlig: Ulf Uttersrud
DetaljerBjørn Davidsen MATEMATIKK FOR INGENIØRER. Rekker
Bjør Davidse MATEMATIKK FOR INGENIØRER Reer Reer Side Ihold FORORD REKKER 4 NOEN INNEDENDE DEFINISJONER 4 KONVERGENS AV REKKER 6 ARITMETISKE OG GEOMETRISKE REKKER 9 Aritmetise tallfølger og reer 9 Geometrise
DetaljerPlan. MAT1030 Diskret matematikk. Eksamen 12/6-06 Oppgave 2. Noen tips til eksamen
Plan MAT1030 Disret matemati Plenumsregning 12: Diverse oppgaver Roger Antonsen Matematis Institutt, Universitetet i Oslo 22. mai 2008 Dette er siste plenumsregning. Vi regner stort sett esamensoppgaver.
DetaljerAVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Eksamesoppgave består av: Atall sider (ikl forside): 5 Emekode: FO 9A Dato: 69 Atall oppgaver: Fagasvarlig: Ulf Uttersrud
DetaljerKapittel 5: Diskrete sannsynsfordelingar TMA4245 Statistikk. 5.2 Diskret uniform fordeling NTNU NTNU NTNU
Kapittel 5: Disrete sasysfordeligar TMA4245 Statisti Rep.: Forvetig, varias og ovarias Forvetig (tygdeput, geeraliserig av empiris gjeomsitt): < P x µ = E(X) = R xf(x) (Xdisret) : xf(x)dx (Xotiuerlig)
DetaljerPlan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1
Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte
DetaljerMA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische
DetaljerAVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Emekode: FO 019A Dato: 12.12.200 Faglig veileder: Ulf Uttersrud Eksamestid: 9-14 Eksamesoppgave består av: Atall sider
DetaljerLøsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 21 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
.. Løsigsforslag Emekode: ITF7 Dato:. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Faglærer: Christia F Heide Eksamesoppgave: Oppgavesettet
DetaljerMer om utvalgsundersøkelser
Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse
DetaljerKapittel 10 fra læreboka Grafer
Forelesigsotat i Diskret matematikk torsdag 6. oktober 017 Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) E graf er e samlig pukter (oder) og kater mellom puktee (eg. odes, vertex, edge). E graf kalles rettet
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
7. jauar 7 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 4. desember 6 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Emeav: Matematikk for IT Eksamestid: 9. 3. Faglærer: Christia F Heide Kalkulator
DetaljerObligatorisk oppgave nr. 3 i Diskret matematikk
3. obligatoriske oppgave i Diskret matematikk høste 08. Obligatorisk oppgave r. 3 i Diskret matematikk Ileverigsfrist. ovember 08 Oppgave er frivillig og tregs ikke leveres, me hvis dere leverer de ie
DetaljerFØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT
FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Derivasjon.
Defiisjo av derivert Vi har stor ytte av å vite hvor raskt e fuksjo vokser eller avtar Mer presist: Vi øsker å bestemme stigigstallet til tagete til fuksjosgrafe P Q Figure til vestre viser hvorda vi ka
DetaljerFakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Diskret matematikk
Fakultet for tekologi, kust og desig Tekologiske fag Eksame i: Diskret matematikk Målform: Bokmål Dato: 9. ovember 017 Tid: Atall sider (ikl. forside): 9 Atall oppgaver: 6 Tillatte hjelpemidler: Forhådsgodkjet
DetaljerKapittel 8: Estimering
Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som
Detaljer8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.
Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x
DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeg) 500 = + 8 er a) Vis at de deriverte til fuksjoe ( ) O O ( ) = 500+ 16 b) Deriver fuksjoee 1) f( ) = l( ) ) g( ) = e c) Vi har gitt polyomfuksjoe f( ) = 1 + 15
DetaljerFørsteordens lineære differensiallikninger
Førsteordens lineære differensiallininger Begrepet førsteordens lineære differensiallininger er ie sielig definert i Sinus R. Denne artielen omhandler det temaet. En førsteordens lineær differensiallining
DetaljerProsedyre for løsning av oppgaver Jeg skal ved hjelp av noen oppgaver/eksempler fra produsentens tilpasning, gi
Jo Vislie; mars 07 ECO 00 07 Prosedyre for løsig av ogaver Jeg sal ved hjel av oe ogaver/esemler fra rodusetes tilasig, gi forslag til rosedyre/hjel/veivalg til å løse ogaver i ECO 00. Det er tre tyer
DetaljerOppgaver i kapittel 1 - Løsningsskisser og kommentarer Lærebok:
Oppgaver i apittel - Løsningssisser og ommentarer Lærebo:.6 Vitig oppgave, viser hvordan ree-summer an tilnærmes med integraler. Atuelt hvis vi har formelen for n te ledd, men ie har noen summeformel.
DetaljerFagdag 2-3mx 24.09.07
Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.
DetaljerProsedyre for løsning av oppgaver Jeg skal ved hjelp av noen oppgaver/eksempler fra produsentens tilpasning, gi
1 Jo Vislie; aril 015 ECO 00 015 Prosedyre for løsig av ogaver Jeg sal ved hjel av oe ogaver/esemler fra rodusetes tilasig, gi forslag til rosedyre/hjel/veivalg til å løse ogaver i ECO 00. Det er tre tyer
DetaljerEksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren
2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for
DetaljerTallsystemer. Læringsmål. Posisjonstallsystemer. Potensregning en kort repetisjon 123 = = 7B 16. Forstå posisjonstallsystemer
Forstå posisjostallsystemer Lærigsmål Tallsystemer Kue biærtall og heksadesimale tall Kue kovertere mellom ulike tallsystemer: Ti 3 = = 7B 6 (Kapittel 6 + 7.-7.3) Kue ekel regig med biærtall addisjo multiplikasjo
DetaljerSTK1100 våren 2017 Estimering
STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon
2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)
DetaljerSTK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1
STK00 våren 07 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Esempel Vi vil først ved hjelp av et esempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr. Vi legger fire røde ort og to svarte ort i en bune.
DetaljerEksamen R2, Høsten 2010
Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 11 (HG)
Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig
DetaljerFakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Diskret matematikk
Side 1 av 9 Fakultet for tekologi, kust og desig Tekologiske fag Eksame i: Diskret matematikk Målform: Bokmål Dato: 10. desember 018 Tid: 09:00 1:00 Atall sider (ikl. forside): Atall oppgaver: 6 Tillatte
DetaljerIN3030 Uke 12, v2019. Eric Jul PSE, Inst. for informatikk
IN3030 Uke 12, v2019 Eric Jul PSE, Ist. for iformatikk 1 Hva skal vi se på i Uke 12 Review Radix sort Oblig 4 Text Program Parallellizig 2 Oblig 4 Radix sort Parallelliser Radix-sorterig med fra 1 5 sifre
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011
MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder
Løsigsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder 6. mai 00 Iledig Vi skal betrakte det såkalte grafdeligsproblemet (graph partitioig problem). Problemet ka ekelt formuleres som følger: Gitt e graf
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon
2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)
DetaljerECON240 Statistikk og økonometri
ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56
Detaljer2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10
. Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56
DetaljerOblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k
Oblig 2 - MAT20 Fredri Meyer 26 otober 2009 Matrisee A i er defiert sli der P er e rotasjosmatrise som defierer i oppgave 2: A A 2 A + = A = P A P = P A P Oppgave Matrisee A i+ og A i er similære det fies
DetaljerKommentarer til oppgaver;
Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe
Detaljer8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).
Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:
DetaljerStatistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet
DetaljerDifferensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger
Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør
DetaljerAvsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger
Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59
DetaljerTest, 3 Sannsynlighet
Test, Sannsynlighet Innhold. Pascals talltreant... 2.2 Kombinatori g sannsynlighetsberegning... 7. Sannsynlighetsberegninger.... Hypergeometris sannsynlighetsmodell....5 Binomis sannsynlighetsmodell...
DetaljerLøsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan
Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave
DetaljerS2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene
Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b
DetaljerEcon 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering
Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor
DetaljerInnføring i medisinsk statistikk
Stoastis forsø el. esperimet Iførig i medisis statisti KLH3 - Høst 9 Kapittel. Stoastis variabel og Disret sasylighetsfordelig Et ret teis begrep for e prosess der hesite er å framsaffe data om hedelser
DetaljerOppgaven består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<.. >>.
ECON 130 EKSAMEN 008 VÅR - UTSATT PRØVE SENSORVEILEDNING Oppgave består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som abefales å veie like mye, Kommetarer og tallsvar er skrevet i mellom . Oppgave 1 Ved e spørreudersøkelse
DetaljerLøsningsforslag til eksamen
7. jauar 6 Løsigsforslag til eksame Emekode: ITF75 Dato: 5. desember 5 Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt.
DetaljerLøsningsforslag. Oppgavesettet består av 16 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver.
. mai 5 Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 5. desember 4 Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl 3. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
DetaljerOPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER
OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)
DetaljerOppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?
ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt
DetaljerFaglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare!
Side 1 av 7 Noe viktige pukter: (i) (ii) (iii) (iv) Les hele eksamessettet øye før du begyer! Faglærer går ormalt é rude gjeom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Skriv svaree die i svarrutee og levér i oppgavearket.
DetaljerECON 2200 VÅREN 2014: Oppgaver til plenumsøvelse den 12.mars
Jo Vislie; mars 04 Ogave ECO 00 VÅRE 04: Ogaver til leumsøvelse de.mars E bedrift har rodutfusjoe = - b, der b er e ositiv ostat. Sisser grafe til dee og agi egesaee til rodutfusjoe (ved gjeomsittsrodutivitet,
DetaljerFakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag
Side 1 av 1 Fakultet for tekologi, kust og desig Tekologiske fag Eksame i: Diskret matematikk Målform: okmål Dato: 30.11.016 Tid: 5 timer / kl. 9-14 tall sider ikl. forside: 1 tall ogaver: 10 Tillatte
DetaljerKombinatorikk. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Multiplikasjonssetningen
MAT0100V Sasylighetsegig og kombiatoikk Kombiatoikk Odede utvalg med og ute tilbakeleggig Uodede utvalg ute tilbakeleggig Pascals talltekat og biomialkoeffisietee Øulf Boga Matematisk istitutt Uivesitetet
DetaljerEksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:
DetaljerVelkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkomme til oversiktsforelesiger i Matematikk 1 med Jørge Edal Følger, rekker, og potesrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesig 2 (kap. 9.3 9.4) Dages økkelbegrep: Sammeligigsteste Gresesammeligigsteste Forholdsteste
DetaljerTMA4100 Høst Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA400 Høst 206 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 2 2..0: Vi bruker eisjoe for ikke-vertikale tagetlijer sie 97 i læreboke). Tagetlije gjeom et pukt
DetaljerFaglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare!
Side 1 av 6 Noe viktige pukter: (i) (ii) (iii) (iv) Les hele eksamessettet øye før du begyer! Faglærer går ormalt é rude gjeom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Skriv svaree die i svarrutee og levér i oppgavearket.
DetaljerRepetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Geerell defiisjo av : Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee: θ Dersom L og U L
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 007 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir
DetaljerEksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable
ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell
DetaljerPåliteligheten til en stikkprøve
Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee
DetaljerKombinatorikk. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Multiplikasjonssetningen
MAT000V Sasylighetsegig og kombiatoikk Kombiatoikk Odede utvalg med og ute tilbakeleggig Uodede utvalg ute tilbakeleggig Pascals talltekat og biomialkoeffisietee Øulf Boga Matematisk istitutt Uivesitetet
DetaljerDer oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53
Detaljer3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008
3MX 00/8 - Kapittel : 8. jauar. februar 008 Pla for skoleåret 00/008: Kapittel 6: 6/ /. Kapittel : / /3. Prøver på eller skoletime etter hvert kapittel. É heildagsprøve i hver termi. Repetisjo, prøver,
DetaljerVi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall
Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x
Detaljerf(x) = x 2 x 2 f 0 (x) = 2x + 2x 3 x g(x) f(x) = f 0 (x) = g(x) xg0 (x) g(x) 2 f(x; y) = (xy + 1) 2 f 0 x = 2(xy + 1)y f 0 y = 2(xy + 1)x
Ogave a) f() = f 0 () = + 3 ) f() = g() f 0 () = g() g0 () g() c) f(; y) = (y + ) f 0 = (y + )y f 0 y = (y + ) d) f(; y) = ( y + ) ( y ) f 0 = ( y + ) r y ( y ) + ( y + ) ( y ) r y = ( y + )( r y y ) ((
DetaljerLøsning eksamen R1 våren 2010
Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6
Detaljer