ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

Transkript

1 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53 Oppsummerig, del 3 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 2/ 53

2 Oppsummerig, del 3 Oppsummerig, del 3 Styrke, styrkefuksjo Tosidige tester Test for p i biomisk modell;. t-fordelig Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 3/ 53, Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 4/ 53

3 Oversikt, del 4, t-fordelig, t-test, t-itervall Test for forvetige, λt, i Poissomodell;. Kofidesitervall t-fordelig, t-test, t-itervall Test for forvetige, λt, i Poissomodell;. Kofidesitervall Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 5/ 53 t-fordelig, Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2. La σ 2 = = 1 1 i=1 X i X 2,og T = X μ Def. Studet s t-fordelig: Dersom X 1,...,X,er u.i.f. tilf. var. der X i er ormalfordelt med forvetig μ og varias σ 2, i =1,...,,såerT Studet s t-fordelt med 1 frihetsgrader: T t 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 6/ 53

4 t-fordelig Obs: I de beskreve situasjoe har vi: X μ σ 2 N0, 1 og X μ t 1, Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 7/ 53 t-fordelig, Egeskaper til t-fordelige: x f1x f2x f15x t-fordelige er avhegig av atall frihetsgrader. De blir mer og mer lik N 0, 1-fordelige år atall frihetsgrader øker. symmetrisk omkrig 0 tygre haler e N 0, 1-fordelige t-tabell!! Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 8/ 53

5 t-fordelig, Fraktiler i t-fordelige: Def. t α,d Dersom T er Studet s t-fordelt med d frihetsgrader, defieres tallet t α,d ved at P T >t α,d =α. Tilsvarer z α i N 0, 1-fordelige Skisse av td-fordelig; arealet P T > t α,d =αer farget. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 9/ 53 t-test, Situasjo der vi bruker t-test: Målemodelle m/ormalatakelse og ukjet varias, σ 2 : måliger: x 1,...,x ; betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable EX i =μ og VarX i =σ 2, i =1,..., X i ormalfordelt og σ 2 ukjet. Obs. 1: X i ormalfordelt Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 10 / 53

6 t-test, Obs. 1: X i ormalfordelt Obs. 2: Dersom er stor, treger vi ikke bry oss med t-fordelig. Obs. 3: Målemodell 3 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 11 / 53 t-test, Eksempel: 10 blodsukkeriholdmåliger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Øsker å teste H 0 : μ =4.0 mot H 1 : μ>4.0 Vi atar at: De =10måligee: x 1,...,x ; ka betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable, der EX i =μ og VarX i =σ 2, i =1,...,, og der X i er ormalfordelt og σ 2 er ukjet. Variase,σ 2, estimeres med: σ 2 = = 1 1 i=1 X i X 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 12 / 53

7 t-test, Vil teste: H 0 : μ =4 mot H 1 : μ>4 Uder H 0 er teststørrelse, ullfordelig T = X 4 10 t9 jf. def. av t-fordelig Forkaster H 0 dersom μ = X peker klart i retig av at H 1 er korrekt. Test sig.ivå α: Forkast H 0 dersom f9x T t α, t9 tetthet Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 13 / 53 t-test, Gjeomførig av test på 5% ivå: Sig.ivå, α =0.05 t 0.05,9 =1.83 Data: Gj.s. = 4.35, emp. varias = Utfall av: X 4 10 : =1.962 Side >t 0.05,9 =1.83, ka vi forkaste H 0. Dataee tyder på at virkelig blodsukkerihold, μ, er større e 4. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 14 / 53

8 μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias,, Oppsummerig, t-tester Målemodelle: måliger: x 1,...,x ; betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable EX i =μ og VarX i =σ 2, i =1,..., X i ormalfordelt og σ 2 ukjet. Målemodell 3 Estimator for variase: = σ 2 = 1 1 i=1 Xi X 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 15 / 53 μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias,. t-test, esidig., Test sig.ivå α for: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ<μ 0 Forkast H 0 dersom X μ 0 t α, Skisse av t-fordelig og forkastigsområde. Test sig.ivå α for: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ>μ 0 Forkast H 0 dersom X μ 0 t α, Skisse av t-fordelig og forkastigsområde. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 16 / 53

9 μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias,. t-test, tosidig., Test sig.ivå α for: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0 Forkast H 0 dersom X μ 0 X μ 0 t α/2, 1, eller t α/2, Skisse av t-fordelig og forkastigsområde. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 17 / 53 μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias,. t-test, tosidig., Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger i kg/mm 2 : 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjeomsitt: 322.8; estimert varias empirisk varias: Ma er iteressert i om hardhete er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatee på at hardhete er ulik 300? Målemodell med ormalatakelse; ukjet varias. Estimator for variase: = σ 2 = 1 1 i=1 Xi X 2 Forvetige, μ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : μ = 300 mot H 1 : μ 300 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 18 / 53

10 μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias,. t-test, tosidig., Vil teste: H 0 : μ = 300 mot H 1 : μ 300 Uder H 0 er teststørrelse, ullfordelig T = X t 1 Forkaster H 0 dersom μ = X peker klart i retig av at H 1 er korrekt. Test sig.ivå α: Forkast H 0 dersom T t α/2, 1 eller T t α/2, Skisse av t5-fordelig. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 19 / 53 μ, målemodell, ormalatakelse, ukjet varias,. t-test, tosidig., Gjeomførig av test på 5% ivå: Sig.ivå, α =0.05 α/2 =0.025; t 0.025,5 =2.57 Data: Utfall av: X : Side 2.13 t 0.025,5 =2.57 og 2.13 t 0.025,5 = 2.57, ka vi ikke forkaste H 0. Det er ikke grulag i dataee for å hevde at virkelig hardhet, μ, erulik300kg/mm 2. = Obs.: Jf. koklusjo med kjet varias: forkast H 0 ; z =1.96. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 20 / 53

11 Oversikt, del 4, t-fordelig, t-test, t-itervall Test for forvetige, λt, i Poissomodell;. Kofidesitervall t-fordelig, t-test, t-itervall Test for forvetige, λt, i Poissomodell;. Kofidesitervall Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 21 / 53 t-itervall, Med målemodell 1 ormalatakelse og kjet varias: 1 α 100% kofidesitervall for μ er σ X z 2 α/2, X + z α/2 Dette er basert på 1. kjet verdi av σ 2 2. Z = X μ σ 2 σ 2 N0, 1 ormalatakelse Med målemodell 3 ormalatakelse og ukjet varias må vi basere oss på t-fordelige. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 22 / 53

12 t-itervall, Med målemodell 3 ormalatakelse og ukjet varias: 1 α 100% kofidesitervall for μ er S X t 2 α/2, 1, X + t α/2, 1 Dette er basert på 1. σ 2 estimeres med σ 2 = = 1 1 i=1 2. Normalatakelse og 3. T = X μ t 1 X i X 2, Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 23 / 53 t-itervall,, Eksempel: 10 blodsukkeriholdmåliger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Øsker et 95% kofidesitervall for virkelig blodsukkerihold. Vi atar at: De =10måligee: x 1,...,x ; ka betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable, der EX i =μ og VarX i =σ 2, i =1,...,, og der X i er ormalfordelt og σ 2 er ukjet. μ: virkelig blodsukkerihold Variase, σ 2, estimeres med: σ 2 = = 1 1 i=1 X i X 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 24 / 53

13 t-itervall,, =10; 95% α =0.05 t α/2, 1 = t 0.025,9 =2.262 Et 95% kofidesitervall for virkelig blodsukkerihold, μ, er S gitt ved: X , X Isatt data Gj.s. = 4.35, emp. varias = , blir utreget itervall: , = 3.95, 4.75 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 25 / 53 t-itervall, begruelse, Jf.: Geerell defiisjo av kofidesitervall: Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee: θ Dersom L og U L <U er to fuksjoer av X 1,...,X, som er slik at: 1 α = P L θ U, sier vi at det utregete itervallet l, u er et 1 α 100% kofidesitervall for θ. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 26 / 53

14 t-itervall, begruelse, Obs. 1: Det utregete itervallet l, u: Framkommer år vi setter dataverdiee x 1,...,x i i fuksjoee L og U. Obs. 2: Evetuelt tilærmede itervall For t-itervallet er: L = X t α/2, 1 og U = X + t α/2, 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 27 / 53 t-itervall, begruelse, X t α/2, 1 } {{ } L, X + t α/2, 1 }{{ } U er et 1 α 100% kofidesitervall for μ, fordi 1 α = P = P t α/2, 1 X μ t α/2, 1 X t α/2, 1 μ X + t }{{ α/2, 1 }}{{ } L U = P L μ U Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 28 / 53

15 Kofidesitervall,, Målemodell 1; 1 α 100% kofidesitervall for μ er σ X z 2 α/2, X + z σ 2 α/2 Målemodell 2; til. 1 α 100% kofidesitervall for μ er S X z 2 α/2, X + z α/2 Biomisk modell; til. 1 α 100% kofidesitervall for p er p1 p p1 p p z α/2, p + z α/2 Målemodell 3; 1 α 100% kofidesitervall for μ er S X t 2 α/2, 1, X + t α/2, 1 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 29 / 53 Oversikt, del 4, t-fordelig, t-test, t-itervall Test for forvetige, λt, i Poissomodell;. Kofidesitervall t-fordelig, t-test, t-itervall Test for forvetige, λt, i Poissomodell;. Kofidesitervall Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 30 / 53

16 Test for forvetige, λt, i Poissomodell, lite, Eksempel: Overvåkig av dødsrate for fugler jf. fugleifluesa; For et bestemt va registreres det gjeomsittlig 2.5 døde fugler pr. døg uder ormale forhold. E dag registreres det 6 døde fugler. Gir dette grulag for å påstå at virkelig dødsrate har økt til over det ormale? Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 31 / 53 Test, Poissomodell,, Statistisk tekig: Vi betrakter resultatet 6 registrerte døde fugler i et døg som utfall av e tilfeldig variabel Y, der Y Poissoλt, λ: ukjet, t =1. Obs.: det er rimelig med Poissofordelig for Y! λ 1, er forvetet atall døde fugler ved det aktuelle vaet i løpet av et døg. Normalt har vi: λ ormalt =2.5. Vi vil teste H 0 : λ =2.5 mot H 1 : λ>2.5 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 32 / 53

17 Test, Poissomodell,, Vi vil teste H 0 : λ =2.5mot H 1 : λ>2.5 Teststørrelse: Y ; ullfordelig: Y Poisso2.5: Dette beskriver hva som er tekelige utfall uder H 0 Store verdier av Y idikerer at H 1 er riktig. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 33 / 53 Test, Poissomodell,, Store verdier av Y idikerer at H 1 er riktig. Derfor: Test: Forkast H 0 dersom Y k, der k kritisk verdi er slik at teste får ærmest mulig øsket sigifikasivå. Kritisk verdi, k, fies vha. Poissotabell λt =2.5 slik at sig.ivå = P forkaste H 0 H 0 riktig = P Y k λt =2.5 er ærmest mulig øsket sig.ivå Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 34 / 53

18 Test, Poissomodell,, Fra Poissotabell λt =2.5: y P Y = y Vi må prøve oss fram med forskjellige verdier av k. Dersom vi øsker sig.ivå ærmest mulig 0.05, ser vi at: P Y 9 = = P Y 8 = P Y =8+P Y 9 = = P Y 7 = = P Y 6 = = P Y 5 = = Dvs., med k = 6 fårvietestmed sig.ivå Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 35 / 53 Test, Poissomodell,, Gjeomførig/koklusjo: Data: utfall av Y : 6=k =6 Koklusjo: Forkast H 0 ; Test: Forkast H 0 dersom Y k Det er grulag for å påstå at virkelig dødsrate rate av registrerte døde fugler har økt til over det ormale. Skisser styrkefuksjoe til dee teste! Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 36 / 53

19 Oversikt, del 4, t-fordelig, t-test, t-itervall Test for forvetige, λt, i Poissomodell;. Kofidesitervall t-fordelig, t-test, t-itervall Test for forvetige, λt, i Poissomodell;. Kofidesitervall Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 37 / 53 Kofidesitervall, E tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi bruke: Test sig.ivå α: Forkast H 0 dersom X μ 0 σ 2 z α/2 eller Vi skal se at dette er det samme som: X μ 0 σ 2 z α/2 Forkast H 0 dersom μ 0 ikke er ikludert i kofidesitervallet for μ. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 38 / 53

20 Kofidesitervall, Eksempel: Vi skal kjøpe smolt av e smoltoppdretter. Det hevdes at gjeomsittsvekte til smolte i merde er 80 gram. Vekt av i tilfeldig valgte smolt: gj.s.-vekt: gram. Vi er iteressert i om vekte gjeomsittsvekt for alle smolt i merde ka være ulik 80 gram. Tyder resultatee på at vekte ka er ulik 80 gram? Målemodell med ormalatakelse; kjet varias, σ 2 =10 2. Forvetige, μ: vektgjeomsittsvekt for alle smolt i merde Vil teste: H 0 : μ =80 mot H 1 : μ 80 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 39 / 53 Kofidesitervall, Vil teste: H 0 : μ = 80 mot H 1 : μ 80 Test sig.ivå α =0.10: Forkast H 0 dersom X z 0.05 eller Er det samme som: Forkast H 0 dersom X z X 80 z eller X 80 + z Er det samme som: Behold H 0 dersom 80 z X 80 + z Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 40 / 53

21 Kofidesitervall, Behold H 0 dersom z X 80 + z Er det samme som: behold H 0 dersom X z X + z Dette siste betyr: behold H 0 dersom μ 0 =80 90% kofidesitervall for μ. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 41 / 53 Kofidesitervall, Gjeomførig / koklusjo: 90% α =0.1 z α/2 = z 0.05 =1.645 Et 90% kofidesitervall for vekte, μ, er isatt data, gj.s. = 76.87: , = 71.4, 82.4 Dvs.: side μ 0 =80 ikke grulag for å hevde at μ , 82.4, beholdes H 0. Dataee gir Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 42 / 53

22 Kofidesitervall, Geerelt: La L, U være et ev. tilærmet 1001 α% kofidesitervall for parametere θ. Vi vil teste H 0 : θ = θ 0 mot H 1 : θ θ 0 Test: Forkast H 0 dersom θ 0 L, U. Teste har sigifikasivå α ev. tilærmet. Veldig god måte å gjeomføre tosidige tester på! Obs.: dersom dette blir brukt for esidig test får vi e ae sammeheg mellom itervallets kofidesgrad og sig.ivået til teste. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 43 / 53 Kofidesitervall, Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger i kg/mm 2 : 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjeomsitt: 322.8; estimert varias empirisk varias: Ma er iteressert i om hardhete er forskjelig fra 300 kg/mm 2. Tyder resultatee på at hardhete er ulik 300? Målemodell med ormalatakelse; ukjet varias. Estimator for variase: = σ 2 = 1 1 i=1 Xi X 2 Forvetige, μ: virkelig hardhet Vil teste: H 0 : μ = 300 mot H 1 : μ 300 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 44 / 53

23 Kofidesitervall, Øsker å bruke 5% sigifikasivå. Gjeomfører test vha. kofidesitervall; dvs., teste er: Forkast H 0 dersom et 95% kofidesitervall for μ ikke ieholder 300. Et 95% kofidesitervall for μ er gitt ved: S X t ,5 6, X + t 0.025,5 6 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 45 / 53 Kofidesitervall, Et 95% kofidesitervall for μ er gitt ved: S X t ,5 6, X + t 0.025,5 6 Isatt data Gj.s. = 322.8, emp. varias = 689.4, t 0.025,5 =2.571, blir utreget itervall: , = 295.2, Koklusjo: Behold H 0 side μ 0 = , side μ 0 = 300 er ieholdt i kofidesitervallet. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 46 / 53

24 Kofidesitervall, Eksempel: Sammelige meigsmåliger Forrige meigsmålig: 28% oppslutig Dee meigsmålig: 31% oppslutig Er det edrig i virkelig oppslutig? Obs.: Sammeliger resultater fra to grupper; ikke stadardmetode i dette kurset. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 47 / 53 Kofidesitervall, Modell: Forrige meigsmålig: X 1 B 1,p 1 Dee meigsmålig: X 2 B 2,p 2 X 1 og X 2 atas å være statistisk uavhegige. Vi vil teste H 0 : p 1 = p 2 mot H 1 : p 1 p 2 Vi vil teste H 0 : p 1 p 2 =0 mot H 1 : p 1 p 2 0 Det vil være best å lage et kofidesitervall for p 1 p 2,og bruke dette til teste. p 1 p 2 estimeres med: p 1 p 2 = X 1 1 X 2 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 48 / 53

25 Kofidesitervall, p 1 = X 1 1, p 2 = X 2 2 E p 1 p 2 = E p1 E p2 = p1 p 2 Var p 1 p 2 = Var p1 + Var p2 = p 1 1 p p 21 p 2 2 p 1 og p 2 er begge tilærmet ormalfordelte og de uavhegige. Vi ka da slutte at også p 1 p 2 er tilærmet ormalfordelt. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 49 / 53 Kofidesitervall, p 1 p 2 er tilærmet ormalfordelt. Altså: p 1 p 2 p 1 p 2 p1 1 p p 21 p 2 2 N0, 1, tilærmet Nevere stadardavviket til p 1 p 2 ka tilærmes med: p1 1 p 1 + p 21 p Bruker symbolet ŜD p 1 p 2 for dee. Vi har: p 1 p 2 p 1 p 2 ŜD p 1 p 2 N0, 1, tilærmet Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 50 / 53

26 Kofidesitervall, Vi har: Medfører: P Derfor: p 1 p 2 p 1 p 2 ŜD p 1 p 2 N0, 1, z α/2 p 1 p 2 p 1 p 2 ŜD p 1 p 2 {}}{ P p 1 p 2 z α/2 ŜD p 1 p 2 L p 1 p 2 p 1 p 2 + z α/2 ŜD p 1 p 2 }{{} U tilærmet z α/2 1 α 1 α Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 51 / 53 Kofidesitervall, Vi har altså at L, U er et tilærmet 1 α100% kofidesitervall for differase p 1 p 2. Data: 1 = 1120, 2 = 1050; α =0.05 α/2 =0.025 og z =1.96 Utfall av p 1 p 2 : = 0.03 Utfall av ŜD p p1 1 p 1 1 p 2 = + p 21 p 2 : = Derfor, kofidesitervall: , = 0.008, Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 52 / 53

27 Kofidesitervall, Derfor, kofidesitervall: , = 0.008, Koklusjo: Side 0 er ieholdt i itervallet ka vi ikke forkaste H 0. Det er ikke grulag for å påstå at virkelig oppslutig er edret. Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 53 / 53