Statistikk og økonomi, våren 2017

Transkript

1 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet av 0 terigkast for. har. Fi sasylighete for at vi får fire 6-ere i løpet a) Begru hvilke fordelig av disse 0 kastee. er biomisk fordelt. Begruelse: Det er bare to mulige hedelser: ete får vi e 6-er i kastet, eller så får vi det ikke. Det er samme sasylighet for å få 6-er i hvert kast (p = /6). vert kast er uavhegig av de adre kastee. Sasylighete for å få fire 6-ere er ( 0 4) Så gjetas dette forsøket, og vi kaller atall 6-ere i forsøk ummer for. Forsøket gjetas flere gager slik at det totalt blir gjort 0 forsøk. Det totale atall 6-ere i løpet av 0 forsøk, kaller vi Y. b) Begru kort at Y er tilærmet ormalfordelt. Agi også forvetigsverdi og stadardavvik for Y. At Y er tilærmet ormalfordelt følger av setralgreseteoremet. Forvetigsverdi: Y er er forvetigsverdie til -ee gitt ved (fordi alle -ee er biomisk fordelt og forvetigsverdie er p hvor er atall gager vi kaster terige, altså 0 må ikke forveksles med de som agir atall slike forsøk med å kaste terige 0 gager): er får vi da

2 Y I e biomisk fordelig er variase p( p). Igje er = 0, og vi får 5 p( p) Stadardavviket er derfor Stadardavviket for Y blir følgelig Y c) Fi sasylighete for at det totale atall 6-ere i løpet av de 0 forsøkee overstiger 55. er får vi mest korrekt svar dersom vi beytter heltallskorreksjo (legger til 0.5, se ederste avsitt på side 0 i læreboka): ( Y 55) ( Y 55) ( 0.85) G (0.85) G(0.85) Bruker vi R og reger ut øyaktig, får vi 0.96, så vi ser at ormaltilærmige med heltallskorreksjo blir svært god. Ute heltallskorreksjo ville vi fått 0.. Oppgave Statistisk setralbyrå utførte e meigsmålig blat 600 orske jeter i aldere 5-9 år, der spørsmålet var om de kue teke seg å ta igeiørutdaig. Av alle orske jeter i aldere 5-9 år vil adele p svare ja. Fi et 95 % kofidesitervall for p år du får vite at 60 av jetee svarte ja på spørsmålet. er ka vi ata at vi har biomisk fordelig. Vi bruker da følgede estimator for sasylighete p: p ˆ For å kue beytte dette, må vi forutsette at er tilærmet ormalfordelt, oe som krever at pˆ ( pˆ) 5 Statistikk og økoomi, oblig 6 løsigsforslag Side

3 er er pˆ ( pˆ) ( 0.) 54 så vi ser at dette kravet er oppfylt. Dersom vi skal ha et 95 % kofidesitervall, må vi fie stadardormalfordelige. Der fier vi z z 0.05 i kvatiltabelle til Nedre grese for kofidesitervallet blir da pˆ( pˆ) p ˆ z Øvre grese for kofidesitervallet blir pˆ( pˆ) p ˆ z0. 05 Et 95 % kofidesitervall for p blir følgelig 0.076, Oppgave Valig kjøttdeig skal ikke ieholde mer e 4 % fett. Vi har mistake om at kjøttdeig ieholder for mye fett, og bestemmer oss for å utføre e hypotesetest. La være prosetadele fett i e tilfeldig 400 g pakke kjøttdeig. Vi atar at er ormalfordelt med forvetig µ og stadardavvik =. a) Formuler hypotesee. b) Utfør teste med sigifikasivå 0.05 år du er gitt følgede måliger: 4, 5, 8,, 7,, 5, 9, 6 c) va blir di koklusjo? d) Bereg testes p-verdi. e) Bereg testes styrkefuksjo for verdiee, 4, 5, 6 og 7 og skisser de. f) Vi krever at sasylighete for type II feil skal være midre e 0.0 år µ =6. vor mage måliger må vi ta for å oppå dee styrke? a) Det er altså forvetigsverdie til fettiholdet som vi skal ta stillig til. Er fettiholdet for høyt? Vi setter derfor opp følgede hypoteser: 0 : 4 : 4 Statistikk og økoomi, oblig 6 løsigsforslag Side

4 b) Vi kjeer stadardavviket, så vi beytter e -test. Vi baserer oss på testobservatore 0 er er 0 4. Gjeomsittet av måligee, x, er x (4 9 Dette gir følgede z-verdi: ) 5.44 z x Oppgave agir at vi skal beytte et sigifikasivå på Dette er da vår, og vi fier av kvatiltabelle til stadardormalfordelige at z Vi ser at verdie av vår observator, z =.44, ikke overstiger 95-prosetile, som altså er.645. Vi ka derfor kokludere med at vi ikke ka forkaste med sigifikasivå 0.05 (altså med 95 % sikkerhet). 0 c) Koklusjo: Kjøttdeige ieholder ikke for mye fett. d) Testes p-verdi (sigifikassasylighet): Dette agir sasylighete for at vi forkaster ullhypotese gitt at de er sa. Altså: hva er sasylighete for at vi kue fått de måleresultatee vi fikk dersom forvetigsverdie faktisk ikke var større e 4. Dee er p ( 5.44).44 9 Vi må fie verdie.44 i tabelle til stadardormalfordelige. Vi ser i tabelle at for z =.44 er Dette iebærer at p (.44) e) Testes styrkefuksjo ) (. Styrkefuksjoe er sasylighete for å forkaste 0 for ulike verdier av de ukjete parametere, altså fettiholdet i vårt tilfelle. Statistikk og økoomi, oblig 6 løsigsforslag Side 4

5 I vårt kokrete tilfelle blir det: Dersom kjøttdeige har et fettihold som er ormalfordelt med forvetigsverdi, hvor stor er da sasylighete for å forkaste ullhypotese. (Og tilsvarede ved forvetigsverdi 4, 5, 6 og 7). Vi så i delspørsmål at vi forkaster ullhypotese dersom -verdie vi fier av måligee er større e z Det vi må fie er altså sasylighete for at de -verdie vi fier basert på måligee er større e.645 gitt at forvetigsverdie er. De grese, k, for gjeomsittet av måligee som medfører at vi forkaster ullhypotese, er gitt ved z 0.05 k 0 Sur vi rudt på dee, fier vi k 0 z0. 05 E z-verdi på.645 tilsvarer derfor k Vi ka å fie sasylighete for at gjeomsittet av måligee er større e dette dersom forvetigsverdie er : ( ) ( 5.645) (.645) 9 G (.65) å samme måte fier vi styrkefuksjoe for de adre verdiee: ( 4) ( 5.645) (.645) 9 G (.645) Statistikk og økoomi, oblig 6 løsigsforslag Side 5

6 (5) ( 0.645) 9 G (0.65) (6) ( 0.55) 9 G ( 0.6) (7) (.55) 9 G (.6) f) er er det spørsmål om hvor mage måliger som må gjøres for at sasylighete for type II-feil skal være midre e 0.0 år µ = 6. Type II-feil er altså at vi feilaktig godtar ullhypotese år det faktisk er at vi kokluderer med at 4 år de faktisk er 6. som er sa (godtakigsfeil). I vårt tilfelle: Dersom vi øker atall måliger, vil usikkerhet omkrig hvilke fettproset kjøttdeige virkelig har bli redusert. Dette uttrykkes ved at stadardfeile til estimatet av fettprosete blir redusert. Sagt på e ae måte: ormalfordeligskurve for fettprosete blir smalere. Dette vil gjøre at det er midre sasylig at vi godtar ullhypotese om at fettprosete er 4 dersom de i virkelighete er 6. Til beregige av dette ka vi bruke styrkefuksjoe med parameter µ = 6. Styrkefuksjoe er sasylighete for å forkaste, og er altså mius sasylighete for å godta 0. Sasylighete for å godta 0 er følgelig mius styrkefuksjoe: (type II-feil) = (6) 0. 0 Vi opererer fortsatt med et sigifikasivå på 0.05 ved teste. Styrkefuksjoe er imidlertid edret side de er avhegig av atall måliger, og de blir å k 6 (type II-feil) = Vi må her ta utgagspukt i de grese, k, for gjeomsittet av måligee som medfører at vi forkaster ullhypotese. De er også avhegig av og er å gitt ved 0 Statistikk og økoomi, oblig 6 løsigsforslag Side 6

7 Statistikk og økoomi, oblig 6 løsigsforslag Side 7 z k Bruker vi å dette uttrykket for k i uttrykket for sasylighete for type II-feil, får vi Setter vi så i uttrykket for k får vi Så bruker vi at geerelt er ) ( ) ( z z, og får at uttrykket blir: Dette er altså et uttrykk for sasylighete for type II-feil. Krever vi å at dee sasylighete skal være midre e 0., fier vi at de er det dersom uttrykket i paretese er midre e de vestresidige 0.-kvatile, altså z Fra kvatiltabelle fier vi at.8. 0 z Sur vi om på uttrykket, får vi og ) (.645

8 og følgelig Vi ka dermed kokludere med at atall måliger må være mist 0 for at sasylighete for type II-feil skal være midre e 0.0 år µ = 6. Oppgave 4 Dee oppgavee er til forvekslig lik de foregåede, me å er stadardavviket ukjet. Dessute skal vi ha et aet sigifikasivå og litt adre måliger. Videre dropper vi spørsmålee om styrkefuksjo (fordi det blir litt komplisert i dette tilfellet). Valig kjøttdeig skal ikke ieholde mer e 4 % fett. Vi har mistake om at kjøttdeig ieholder for mye fett, og bestemmer oss for å utføre e hypotesetest. La være prosetadele fett i e tilfeldig 400 g pakke kjøttdeig. Vi atar at er ormalfordelt med forvetig µ og stadardavvik. a) Formuler hypotesee. b) Utfør teste med sigifikasivå 0.0 år du er gitt følgede måliger: 5, 7, 8, 4, 9, 6, 7, 5, 9, c) va blir di koklusjo? d) Bereg testes p-verdi. a) ypotesee blir som i oppgave : : 0 : 4 4 b) Vi kjeer ikke stadardavviket, så vi må beytte e T-test. Vi baserer oss på testobservatore T 0 S er er 0 4. Gjeomsittet av måligee, x, er x 0 ( ) 6. Vi må bruke utvalgsstadardavviket S som estimator for stadardavviket. For disse måligee fier vi s 0 0 i ( x i x) Statistikk og økoomi, oblig 6 løsigsforslag Side 8

9 (.) (.) = 4..7 ( 0.) Tar vi kvadratrote av dette, fier vi s = Dette gir følgede observerte T-verdi: 0.7 (.).7 (.) t x s Oppgave agir at vi skal beytte et sigifikasivå på 0.0. Dette er da vår, og vi fier av kvatiltabelle til t-fordelige at t 0.0,9.8 Vi ser at verdie av vår observator, t =.55, overstiger 99-prosetile, som altså er.8. Vi ka derfor kokludere med at vi ka forkaste 0 på sigifikasivå 0.0 (altså med 99 % sikkerhet). c) Koklusjo: Kjøttdeige ieholder for mye fett. d) Testes p-verdi (sigifikassasylighet): Dette agir sasylighete for at vi forkaster ullhypotese gitt at de er sa. Altså: hva er sasylighete for at vi kue fått de måleresultatee vi fikk dersom forvetigsverdie faktisk ikke var større e 4. Dee er 6. 4 ( 6.) p T T.55 Vi må fie verdie.55 i tabelle til t-fordelige (vi har fortsatt 9 frihetsgrader). Vi ser i tabelle at for er t. 50. Dette iebærer at sasylighete, 9 for at T skal være større e.55 er midre e Vi må derfor skrive at p ( T.50) ar vi tilgag på bedre tabeller eller regeverktøy, ka vi fie e mer eksakt verdi: p ( T.55) 0.00 Statistikk og økoomi, oblig 6 løsigsforslag Side 9

10 Oppgave 5 Et legemiddelfirma har utviklet et ytt medikamet til behadlig av pasieter med Alzheimers sykdom. Eksisterede medikameter har e ytteeffekt hos 55 % av pasietee. Legemiddelfirmaet påstår at det ye medikametet er bedre e de eksisterede. For å teste hypotese blir 45 pasieter behadlet med det ye medikametet. Totalt av disse vil oppleve ytte av medisie. Variabele er biomisk fordelt med ukjet parameter p. a) Formuler hypotesee. b) Teste av det ye medikametet viste at 5 av de 45 pasietee hadde ytte av behadlige. Test hypotesee som du formulerte over med sigifikasivå 0,05. c) va blir di koklusjo? a) Det vi skal ta stillig til, er altså om sasylighete, p, for at medikametet virker er høyere e for det gamle medikametet, som altså har e sasylighet for å virke på 0.55 (side det har ytteeffekt hos 55 % av pasietee). Vi setter derfor opp følgede hypoteser: : p 0 : p b) Som testobservator for e slik test beytter vi p p 0 p 0 ( 0 ) p 0 hvor er atall forsøk (her: 45), er sasylighete vi skal sammelige med (her: 0.55) og er atall gustige utfall (her: 5). Vi fier da z ( 0.55).07 Oppgave agir sigifikasivået til Av stadardormalfordeliges kvatiltabell fier vi at z Vi forkaster dersom er større e dette, oe vi ser at de er. Vi ka derfor forkaste ullhypotese med sigifikasivå c) Koklusjo: Det ye medikametet er bedre e det gamle. 0 Statistikk og økoomi, oblig 6 løsigsforslag Side 0