Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Transkript

1 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamlig (bakerst i ogavesettet). Kotroller at du har fått alle arkee. Les ogavetekstee øye. Bruk ege ark å hver ogave. Begru alle svar. Alle delsørsmål teller like mye. Ogave I datatekologie brukes begreee byte og bit. Ehete byte består av åtte bits. Hver bit ka ha to verdier: og. Vi ka illustrere e byte slik: Her har oe bits verdie, oe verdie (vi ka teke oss at betyr strømme å, betyr strømme av ). E byte er de miste ehete vi omtaler i forbidelse med elektroisk lagrigskaasitet. a) Hvor mage forskjellige bytes ka vi ha? b) Hvor mage forskjellige bytes består av fem -ere og tre -er. c) Hvis e byte skal ha mist to uller, hvor mage muligheter fies det da? d) Hvor mage bytes med to dobbelt-eere fies det? (e dobbelt-eer er to -ere ved side av hveradre) Ogave I e ure ligger N lodd, hvorav ett er vierloddet. Persoee A og B skal trekke et lodd hver, me kragler om hvem som skal trekke først. Begge meer at de som trekker først har størst sjase for å trekke vierloddet, fordi hvis ha virkelig gjør det, så har ummer to ige sjase i det hele tatt. Tek deg at A trekker først.

2 a) Hva er sasylighete for at A trekker vierloddet? b) Hva er sasylighete for at B trekker vierloddet hvis A ikke gjør det? c) Hva er sasylighete for at B trekker vierloddet? Har de gru til å kragle? Ogave 3 Ata at atallet ark e riter trykker før driftsstas itreffer er ormalfordelt med µ = 5 og σ = 84. a) Forklar hva olysigee i ogavetekste betyr, blat aet ved å tege e figur. b) Hvor stor er sasylighete for at ritere klarer å behadle 8 ark før de stoer? c) Hvor stor er sasylighete for at ritere bruker mellom og 8 ark før de stoer? d) Hvis ritere allerede har trykket 8 ark, hvor stor er sasylighete for at de klarer ark før de stoer? Ogave 4 Såkalte løgdetektorer måler flere fysiologiske resoser hos ersoer som blir itervjuet i forbidelse med krimialsaker (bl.a. svettig, uls og blodtrykk). Idee er at disse fysiologiske resosee er sesielt sterke år ma lyver. Aaratee gir likevel ikke å oe måte helt sikre koklusjoer. Noe ersoer vil oleve e itervjusituasjo i forbidelse med et alvorlig lovbrudd som så ubehagelig at de får omtret samme reaksjoer som e som lyver gjør, helt ute at de har gjort oe galt. Dessute er det e del meesker som ikke har slike reaksjoer år de lyver. Ved e udersøkelse av løgdetektorers effektivitet deltok 8 ersoer. Halvarte var uskyldige, og halvarte skyldige. Det ble avsagt dom i hver sak å grulag av data fra løgdetektore. Ma fat ma følgede: Vi lar U = uskyldig, S = skyldig, F = frifuet, D = dømt

3 a) Sett o et hedelsestre for dee situasjoe. Fi P(D U). b) Fi P(S F) Ogave 5 E oulasjo av dyr aslås til 5 idivider. Biologee meer at 48 % av idividee er disse huer. De vil teste dette aslaget, og fager 5 dyr. Av disse er 8 huer. Tabelle edefor ieholder de relevate olysigee for teste: Sett sigifikasivået til,5. a) Sett o H og H b) Forklar betydige av tabelle (det er egetlig é tabell, de er bare delt i to). Hvilke fordelig har testvariabele? c) Fi testes kritiske verdi. d) Fi sigifikassasylighete. e) Må forskere forkaste sitt orielige aslag? 3

4 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig Formelark for Matematikk, modul Statistikk og sasylighetsregig BINOMIALKOEFFISIENTEN:! = k ( k)! k! ADDISJONSSETNINGEN: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) DEFINISJON AV BETINGET SANNSYNLIGHET: P( A B) = P( A B) P( B) MULTIPLIKASJONSREGELEN: P( A B) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B) BAYES FORMEL: P( B A) = P( A B) P( B) P( A) STANDARDAVVIK OG GJENNOMSNITTLIG ABSOLUTTAVVIK La x, x, x3,..., x være observasjoee i et datasett, og x gjeomsittet av dem. Nedefor er det gitt tre formler:. Emirisk stadardavvik.. Teoretisk stadardavvik. 3. Gjeomsittlig absoluttavvik.. ( x i x) i=. ( X i X ) i= 3. x x i= FORVENTNING, VARIANS OG STANDARDAVVIK FOR EN STOKASTISK VARIABEL X E( X ) = x P( X = x ) alle xi i Var( X ) = E ( X E( X )) = E( X ) ( E( X )) i σ ( X ) = Var( X ) = E ( X E( X )) 4

5 HYPERGEOMETRISK FORDELING M N M k k P ( X = k ) = N M N E( X ) = Var( X ) = ( ) N N GEOMETRISK FORDELING P( Y = y) = ( ) y E( Y ) ( ) = Var Y = BINOMISK FORDELING P x x x ( X = x) = ( ) E X ) = ( Var( X ) = ( ) POISSONFORDELING Med t mees tid, legde, areal, volum. λ er atall forekomster er tidsehet av e bestemt hedelse A. λ λ x ( t) t P( X = x) = e E( X ) x! = λt Var( X ) = λt NORMALFORDELING X µ Hvis X ~ N ( µ, σ ), så er Z = ~ N (,). Dersom x er e verdi i verdimegde til σ x µ e ormalfordelt stokastisk variabel X, og vi skriver z =, så bereges σ F( x) = P( X x) = G z (se tabell over sasyligheter i sasyligheter for X ved ( ) stadardormalfordelig) SENTRALGRENSETEOREMET Hvis X er e stokastisk variabel, med E( X ) = µ stadardavvik S, og X, X,..., X er koier av X, så er X = ( X + X + L + X ) tilærmet ormalfordelt for, med forvetig E ( X ) = µ og stadardavvik ( ) σ X = S. 5

6 KONFIDENSINTERVALLER Et tilærmet ( α) % kofidesitervall for i e biomisk situasjo, basert å ˆ( ˆ) ˆ( ˆ) estimatore ˆ = X / er gitt ved ˆ ˆ /, z z α + α / Vi fier et tilærmet( α) % kofidesitervall for forholdet M / N i e x x hyergeometrisk situasjo ved itervallet: z ˆ ˆ α / Var( ), + zα / Var( ) hvor x / er de observerte verdie av estimatore ˆ = X / og N x x Var( ˆ ) = N. Et ( α) % Z-itervall for gjeomsittet µ i e ormalfordelt situasjo er gitt σ ved: X zα /, X + zα / σ Dersom stadardavviket σ ikke er kjet, setter vi S = i= ( x i x). og bruker S i stedet for σ. Dee fremgagsmåte er god ok dersom atallet observasjoer er større e, side ormalfordelige og t-fordelige da er svært like. Dersom atallet observasjoer er vesetlig midre e bør/må vi beytte t-fordeliges kvatiler, t α, i stedet for ormalfordeliges z α. Bruker vi S i stedet for σ får vi e tilærmig til et ( α) % T-itervall for gjeomsittet µ i e ormalfordelt situasjo. KRITISKE VERDIER. Hvis H forkastes år X blir åfallede lite, er k er de største verdi slik at P( X k) α (esidig test). Vi forkaster H dersom X k.. Hvis H forkastes år X blir åfallede stor, er k er de miste verdi slik at P( X k) α (esidig test). Vi forkaster H dersom X k. 3. Hvis H forkastes år X blir åfallede lite eller X blir åfallede stor, er P( X k) α / og P( X k) α / (tosidig test). Vi forkaster H dersom X k eller X k. TEST AV BINOMISK Hesikte med teste er å avsløre om de isamlede data atyder om estimatet X/ til de virkelige sasylighete, avviker sigifikat fra e bestemt verdi, kalt. Vi beytter 6

7 testobservatore Z X X = =. Vi har følgede alterativer: ) ( ) (. H : og H : > hvis Z > z α H : og H : < hvis Z < z α H : = og H : hvis Z > z α /. 3. Z-TEST (OG TILNÆRMING TIL T-TEST) Her testes det om isamlede data atyder at gjeomsittet µ ligger ær ok e kjet verdi µ. Vi forutsetter først at stadardavviket σ er kjet. Vi beytter X µ testobservatore Z =. Vi har følgede alterativer: ( σ / ). H µ og H > µ hvis Z > z α H µ og H < µ hvis Z < z α H = µ og H µ hvis Z > z α /. 3. Dersom stadardavviket ikke er kjet, bereger vi det emiriske stadardavviket S = ( x i x) og bruker S i stedet for σ. Dee fremgagsmåte er god ok i= dersom atallet observasjoer er større e, side ormalfordelige og t- fordelige da er svært like. Dersom atallet observasjoer er vesetlig midre e bør/må vi beytte t-fordeliges kvatiler, t α, i stedet for ormalfordeliges z α. For øvrig er teste de samme. UPARET T-TEST Vi beytter testobservatore T = S X Y +, hvor S = ( ) S ( ) S x y + Det som er kalt S x her er stadardavviket for x-verdiee, og S y er stadardavviket for y-verdiee. og står for atall observasjoer i hver grue. : og H > µ hvis T > t α H µ og H < µ hvis T < t α H = µ og H µ hvis T > t α /. H µ µ. 3. 7

8 PARET T-TEST D Vi beytter testobservatore D =, hvor D er gjeomsittet av differesee, S D / S D er stadardavviket for differesee, og er atallet observasjosar.. H µ og H > µ hvis T > t α H µ og H < µ hvis T < t α H = µ og H µ hvis T > t α /. 3. KORRELASJONSKOEFFISIENTEN R = i= ( x x)( y y) i ( xi x) ( yi y) i= i= i TABELLER 8

9 9

10