Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL

Transkript

1 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet). Oppgavesettet er på 9 sder kl.formelsamlg. Kotroller at du har fått alle arkee. Les oppgavetekstee øye. Bruk ege ark på hver oppgave. Begru alle svar. Vektg av oppgavee: Oppgave : 5 % Oppgave : 5% Oppgave 3: % Oppgave 4: % Oppgave 5: 5 % Oppgave 6: 5 % OPPGAVE I e studetforeg med 5 medlemmer skal det velges ytt styre beståede av leder, kasserer og tre styremedlemmer. amtlge det avgåede styret ekter å ta gjevalg. a) På hvor mage måter ka de fem trekkes ut? b) På hvor mage måter ka styret velges dersom det skal gjøres ege valg på leder og kasserer mes de tre øvrge styremedlemmer skal velges samlet etterpå? I et studetkull har % av studetee ege bl, 45 % har ege PC og % av studetee har begge deler. c) Hva er sasylghete for at e tlfeldg uttrukket studet dette kullet har ege bl eller PC? d) La A være begvehete: tudet har ege bl. La B være begvehete: tudet har ege PC. Er A og B uavhegge? Begru svaret. e) E tlfeldg uttrukket studet vser seg å ha ege bl. Hva er sasylghete for at dee studete har ege PC? OPPGAVE Ved stortgsvalget 985 fkk osalstsk Vestrepart (V) 5.4% av stemmee. Ved e megsmålg halvaet år seere svarte 77 av 9 stemmeberettgede at de vlle ha stemt V dersom det var valg. Tyder megsmålge på at V s velgeroppslutg hadde økt? Bruk hypotesetestg med sgfkasvå 5% for å besvare spørsmålet.

2 OPPGAVE 3 E fabrkk øsker å produsere hamburgere som veer gram. Maske som lager hamburgere ka stlles etter øsket vekt, og produsete bestemmer seg for å sette de på 3 gram, for å skre at de veer ok. Basert på tdlgere målger ka det forvetes at stadardavvket er 6 gram. La X være vekte tl e tlfeldg valgt hamburger. V atar at maske fugerer slk det er tekt, og at X ~ N (3,6). a) Hvor stor er sasylghete for at e hamburger veer mdre e 9 gram? b) Hvor stor er sasylghete for at e hamburger veer mellom 98 og gram? c) Hvor stor adel av hamburgere veer mer e gram? d) Fabrkke bestemmer seg for å ta de % tygste hamburgere ut av produksjoe før pakkg. Hva er maksmumsvekte tl de hamburgere som sedes tl pakkg? Det tas e stkkprøve hvor ma veer hamburgere. La X være de stokastske varabele som måler gjeomsttsvekte av de hamburgeres (v har kalt de for gjeomsttsvarabele ved oe aledger). e) Forklar hvorfor v ka ata at E ( X ) = µ = 3 er forvetge tl X. F også stadardavvket. OPPGAVE 4 Ved avlyste kamper på tppekupoge avgjøres tppeteget ved såkalt tedestrekg. Prsppet er at det for hver avlyst kamp trekkes e kule tlfeldg fra e ure med 3 lke kuler. Av dsse kulee er 4 merket med H, 4 er merket med U og 4 er merket B. Merkee på de sste kulee er bestemt av hva eksperter ulke avser og rado har tppet på dee bestemte kampe. Merket på de uttruke kula er da tppeteget på de avlyste kampe. a) Ata at ekspertee har fuet frem tl e hjemmefavortt. (dvs. at alle ekspertee har tppeteg H på kampe). Dersom tppeteget på dee kampe blr trukket, hva er sasylghete for at det blr e H? b) Du får vte at det uttruke tppeteget kke ble U, hva er å sasylghete for at det ble e H? På gru av dårlg vær ble tppeteget på tre kamper på e tppekupog avgjort ved tedestrekg. Alle ekspertee hadde tppeteg H på alle tre kampee. c) La X betege atall kamper av dsse som blr trukket ut med H. Begru hvorfor X er b(3,,75). d) Hva er sasylghete for at det kke ble oe H blat de truke tppetegee?

3 e) Pegelotteret reklamerer med at hvert femte Flax-lodd er et verlodd. Bert tror at sjase for å ve er mdre e dette. Hu øsker derfor å udersøke påstade ved å kjøpe 4 lodd. Betrakt dee stuasjoe som e hypoteseprøvgstuasjo. Formuler hypotesee H og H med ord og med eget symbolbruk. La X betege atall verlodd og gå ut fra at X er b(4,,) Bruk ormaltlærmelse tl å fe krtsk verd for teste år sgfkasvået er 5%. OPPGAVE 5 I 97-åree ble det Texsas fuet et fosl av flygeøgle Quetzalcoatlus orthrop. Vgespeet ble aslått tl å være omtret meter. Du blr egasjert som matematker et forskgsprosjekt for å kalkulere hvor store dsse flygeøglee kue bl. Det er satt som forutsetg at størrelse på vgespeet er ormalfordelt, med et gjeomstt på meter og et stadardavk på meter. a) Hva er sasylghete for at vgespeet på dee flygeøgle var større e 5 meter? b) Hva er sasylghete for at vgespeet var mellom 7 og meter? c) 9% av flygeøglee hadde et vgespe som lgger uder e vss verd. F dee verde. OPPGAVE 6 Ved drettsskoler UA er det årlge frdrettskokurraser for å fe de beste taletee. Et eksempel på e slk kokurrase er m sprt for 8-årge gutter. Ata at resultatet løpet er ormalfordelt med forvetet td lk, s og stadardavvk på,4 s. a) Hvor stor er sasylghete for at e tlfeldg valgt løper løper fortere e, s? b) Hvor stor er sasylghete for at tlfeldg valgte deltakere alle har e td bedre e, s? c) E øsker å g de % av taletee som har de beste tdee, spesaltreg. Hva er de dårlgste tde e løper ka ha for å komme med blat de utvalgte? 3

4 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag Formelark for Matematkk, modul tatstkk og sasylghetsregg BINOMIALKOEFFIIENTEN:! = k ( k)! k! ADDIJONETNINGEN: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) DEFINIJON AV BETINGET ANNYNLIGHET: P( A B) = P( A B) P( B) MULTIPLIKAJONREGELEN: P( A B) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B) BAYE FORMEL: P( B A) = P( A B) P( B) P( A) TANDARDAVVIK La x, x, x3,..., x være observasjoee et datasett, og x gjeomsttet av dem. Nedefor er det gtt tre formler:. Teoretsk stadardavvk.. Teoretsk stadardavvk formulert ved hjelp av stokastske varabler.. ( x x) ( X ) X = =. FORVENTNING, VARIAN OG TANDARDAVVIK FOR EN TOKATIK VARIABEL X E( X ) = x P( X = x ) alle x Var( X ) = E ( X E( X )) = E( X ) ( E( X )) σ = Var( X ) = E ( X E( X )) 4

5 BINOMIK FORDELING P(X =x) = p x ( p) -x, E(X) = p, x Var(X) = p(-p) HYPERGEOMETRIK FORDELING M N M k k P ( X = k ) = N M N E( X ) = Var( X ) = p( p) N N POIONFORDELING Med t mees td, legde, areal, volum. λ er atall forekomster per tdsehet av e bestemt hedelse A. λ λ x ( t) t P( X = x) = e E( X ) x! = λt Var( X ) = λt NORMALFORDELING X µ Hvs X N ( µ, σ ), så er Z = N(,). Dersom x er e verd verdmegde σ x µ tl e ormalfordelt stokastsk varabel X, og v skrver z =, så bereges σ F( x) = P( X x) = G z (se tabell over sasylgheter sasylgheter for X ved ( ) stadardormalfordelg) ENTRALGRENETEOREMET Hvs X er e stokastsk varabel, med E( X ) = µ stadardavvk, og X, X,..., X er koper av X, så er X = ( X + X + L + X ) tlærmet ormalfordelt for, med forvetg E ( X ) = µ og stadardavvk ( ) σ X =. KONFIDENINTERVALLER Et tlærmet ( α) % kofdestervall for p e bomsk stuasjo, basert på ˆ( ˆ) ˆ( ˆ) estmatore pˆ = X / er gtt ved ˆ p p ˆ /, p p z p z p α + α /. V fer et tlærmet( α) % kofdestervall for forholdet M / N e x x hypergeometrsk stuasjo ved tervallet: z ˆ ˆ α / Var( p), + zα / Var( p) 5

6 hvor x / er de observerte verde av estmatore pˆ = X / og N x x Var( pˆ ) = N. Et ( α) % Z-tervall for gjeomsttet µ e ormalfordelt stuasjo er gtt σ σ ved: X zα /, X + zα / lke tervaller brukes år stadardavvket σ er kjet. Et ( α) % T-tervall for gjeomsttet µ e ormalfordelt stuasjo er gtt ved X tα /, X + tα / Her er = ( X X ) = ukjet.. lke tervaller brukes år stadardavvket σ er KRITIKE VERDIER. Hvs H forkastes år X blr påfallede lte, er k er de største verd slk at P( X k) α (esdg test). V forkaster H dersom X k.. Hvs H forkastes år X blr påfallede stor, er k er de mste verd slk at P( X k) α (esdg test). V forkaster H dersom X k. Hvs H forkastes år X blr påfallede lte eller X blr påfallede stor, er P( X k) α / og P( X k) α / (tosdg test). V forkaster H dersom X k eller X k. TET AV BINOMIK p Heskte med teste er å avsløre om de samlede data atyder e p, kalt ˆp, som avvker sgfkat fra e bestemt verd, kalt p. V beytter testobservatore pˆ p X p Z = =. V har følgede alteratver: p( p) p( p). H : p p og H : p > p hvs Z > z α H : p p og H : p < p hvs Z < z α H : p = p og H : p p hvs Z > z α /. 6

7 Z-TET (NÅR TANDARDAVVIKET ER KJENT) Her testes det om samlede data atyder at gjeomsttet µ lgger ær ok e X µ kjet verd µ. V beytter testobservatore Z =. V har følgede ( σ / ) alteratver:. : H µ µ og H > µ hvs Z > z α H µ og H < µ hvs Z < z α H = µ og H µ hvs Z > z α /. T-TET (NÅR TANDARDAVVIKET IKKE ER KJENT) X µ V beytter testobservatore T =, hvor alteratver: = ( x x). V har følgede =. : H µ µ og H > µ hvs T>z α H µ og H < µ hvs T< - z α H = µ og H µ hvs T > z α/. UPARET T-TET V beytter testobservatore T = p X Y +, hvor p = ( ) ( ) x y + Det som er kalt x her er stadardavvket for x-verdee, og y er stadardavvket for y-verdee. og står for atall observasjoer hver gruppe. H µ og H > µ hvs T>z α H µ og H < µ hvs T< - z α H = µ og H µ hvs T > z α/.. 7

8 PARET T-TET D V beytter testobservatore D =, hvor D er gjeomsttet av dfferesee, D / D er stadardavvket for dfferesee, og er atallet observasjospar.. : H µ µ og H > µ hvs T>z α H µ og H < µ hvs T< - z α H = µ og H µ hvs T > z α/. KORRELAJONKOEFFIIENTEN R = = ( x x)( y y) ( x x) ( y y) = = TABELLER 8

9 9