Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130"

Transkript

1 1 HG Revidert april 014 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller for situasjoer som er aktuelt å kjee til i dette kurset. De ieholder også oe eksempler på bruk av formlee. Utfordrige for studetee i oppgaver blir således derfor først og fremst å kue gjekjee situasjoe i oppgave og derfor plukke ut korrekt formel for kofidesitervallet. Oversikte ieholder også oe detaljer som jeg ikke rekker å sakke om på de få forelesigee som gjestår. 1 Geerell iledig med oe presiseriger og et regeeksempel La være e ukjet parameter (populasjos-størrelse) i e statistisk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verdie av i populasjoe er ukjet. Når vi setter opp e statistisk modell (som represeterer populasjoe vi trekker data fra og trekigsprosedyre), atar vi i utgagspuktet at modelle er sa for e viss (ukjet) verdi av parametere og usa for alle adre verdier. Aførselstegee rudt sa ovefor skyldes at begrepet sa parameterverdi ku gir god meig i relasjo til populasjoe dersom forutsetigee som er foretatt i modelle er realistiske forutsetiger om populasjoe og måte data er trukket på. La ˆ være e aktuell estimator for, og E E( ˆ ) står for e eller ae estimert versjo av stadardfeile til ˆ. (Husk (NB!) at hvis ˆ er forvetigsrett, er stadardfeile til ˆ ikke oe aet e stadardavviket til ˆ, emlig var( ˆ ).)

2 Det viser seg at alle kofidesitervall (KI) i pesum (iklusivt regresjosaalyse) - med et utak i tabell koker ed til samme form: ˆ c E( ˆ ) der c er e kvatil bestemt av de valgte kofidesgrade. Dee kvatile er som oftest fra N(0,1) -fordelige og oe gager fra t- fordelige (se situasjo i tabell 1 (. Med kofidesgrade 1, er for eksempel c z (dvs -kvatile i N (0,1) ) i situasjo 1 og 3 i tabell 1 og i alle situasjoer i tabell 3. Årsake til at dee type av KI er så valig er at det ofte fies teoremer (som for eksempel setralgreseteoremet og regel 5.0 og adre ligede) som viser at estimatore ˆ er tilærmet (i oe få tilfeller eksakt) ormalfordelt, ˆ ~ N(, var( ˆ )) N(, E( ˆ )). Dette iebærer (jfr. regel 1 og (side 1) i forelesige uke 10 om ormalfordelige) at tilærmet (*) ˆ E( ˆ ) tilærmet ~ N(0, 1) (*) gjelder bare hvis utvalgsstørrelse (atall observasjoer) ikke er for lite (se eksempel 1 uder). Løvås viser side 1 40 (6) hvorda utsaget (*) leder til kofidesitervallet formulert i regel 6.8 (6.7). Dessverre er regel 6.8 (6.7) uødvedig severt formulert hos Løvås med få avedelser (det er få situasjoer der ˆ er eksakt ormalfordelt, me mage situasjoer der ˆ er tilærmet ormalfordelt ). Vi blir derfor ødt til å gi e modifisert reformulerig av regel 6.8 (6.7) for å gjøre de mer avedelig: 1 Referaser i paretes viser til utg. av Løvås. Hvis det ikke er oe paretes, er referase lik i utg. og 3.

3 3 Regel 6.8 (6.7) (Løvås side 40 (5)) modifisert. (Kofidesitervall basert på ormalfordelige). (a) Hvis estimatore ˆ er forvetigsrett og tilærmet ormalfordelt med stadardfeil 100(1 )% kofidesitervall for (**) [ ˆ z ˆ ˆ ˆ E( ), z E( )] E( ˆ ), vil følgede itervall være et tilærmet Hvis ˆ E( ˆ ) i (*) er eksakt ormalfordelt, N (0,1), vil itervallet ha eksakt kofidesgrad 1 (eller 100(1 )% ). (b) Videregåede teoremer i sasylighetsteori viser at i situasjoer der stadardfeile, E( ˆ ) var( ˆ ) er ukjet (dvs avheger av ukjete parametre i modelle) så vil uder geerelle betigelser kofidesitervallet fortsatt ha kofidesgrad tilærmet 100(1 )% om stadardfeile byttes ut med e estimert versjo. Med adre ord, utsaget (*) - og dermed (**) - gjelder fortsatt om E( ˆ ) å står for estimert stadardfeil. (a) begrues som i Løvås side 40 (6) der de eeste forskjelle er at det første likhetsteget byttes ut med : ˆ 1 Pz z som i Løvås side 40 (6) (gjør det selv!) P ˆ z ˆ ˆ ˆ E( ) z E( ) E( ˆ ) (b) bygger på videregåede sasylighetsteori (delvis tatt opp i tat-kurset og mye brukt i økoometrisk teori) og som ikke behadles her i tat1. For øvrig: Når det gjelder tolkige av begrepet kofidesgrad, les diskusjoe til figur 6.3 i Løvås side 5( 11). Dette er e viktig maipulasjo som vi krever at studetee behersker og forstår.

4 4 Regeeksempel 1 (Basert på oppgave 5.6 i Løvås med y problemstillig). E spesialpedagog skal udersøke læreeve til 900 tilfeldig utvalgte elever. I oppgave 5.6 atas at adele av alle skolebar (populasjoe) som har lærevasker, er p 0,15, altså kjet. Vi skal å i stedet ata at p er ukjet og at 0.15 er et estimat for p basert på utvalget av 900 elever. Vi er iteressert i å berege usikkerhete ved dette aslaget uttrykt ved et 95% kofidesitervall for p. For å komme oe vei, treger vi e statistisk modell for populasjoe og utvalgsmetode. Modell. La X være atall bar med lærevasker i et ret tilfeldig utvalg på 900 elever trukket fra populasjoe av alle skolebar. Ata X ~ bi(, p ) der p er adele av skolebar i populasjoe med lærevasker og atas ukjet. Merkad til modelle. Merk at utvalget er forutsatt represetativt. Dette ligger i forutsetige om at utvalget er ret tilfeldig som ideelt sett (sjelde eksakt oppfylt i praksis, me ofte akseptabelt bra oppfylt) betyr at alle mulige utvalg på 900 fra populasjoe har samme sasylighet for å bli trukket ut. X er, uder dee forutsetige, stregt tatt hypergeometrisk fordelt, me, side populasjoe er stor, ka vi ute vesetlig tap av realisme ata at X er biomisk fordelt - som gir e eklere modell. Ata at pedagoge fat 135 bar med lærevasker i utvalget. Tallet 135 er å å oppfatte som e observasjo av de stokastiske X variabele, X. De valige estimatore i dee modelle er. Estimatet (dvs de observerte verdie p ˆobs basert på data) får vi 135 ved å sette data i i estimatore, obs Oppgave er altså å berege et kofidesitervall for de ukjete p med 900 kofidesgrad (tilærmet) 95%: Om estimatore ˆp vet vi følgede ut fra teorie som er etablert i kurset til å: (a) ˆp er forvetigsrett. [Begruelse: X 1 1 E( ) E E( X ) p p (jfr. regel 5.3)]

5 5 (b) tadardfeile for ˆp er E( ) p(1 p) X [Begruelse: 1 1 p var( ˆ) var var( ) (1 ) (1 p p X p p ). Dermed p(1 p) E( ) var( ) ] (c) ˆp er tilærmet ormalfordelt, tilærmet ~ N( E( ), var( )) N( p, E( )). [ Begruelse. Dette følger av regel 5.0 som sier at hvis var( X ) p(1 p) 5 og p ikke er veldig ær 0 tilærmet eller 1, så er X tilærmet ormalfordelt, X ~ N( E( X ), var( X )) N( p, p(1 p)). ide 900, syes betigelse klart å være oppfylt. Dermed ka vi bruke regel 1 (i forelesig uke 10 om ormalfordelige) som viser at 1 tilærmet 1 1 p(1 p) X ~ N E( X ), D( X ) N p, N p, E( ) ] Av dette 3 p følger at de stadardiserte ˆp,, er tilæmet N(0,1) -fordelt. Nå er stadardfeile, E( p ˆ ) ukjet side p er E( ) ukjet. Dermed, år er stor ok (slik at var( X ) p(1 p) 5), vil i følge modifisert regel 6.8 (6.7) (b) dee tilærmelse (1 ) fortsatt være akseptabel om vi erstatter de ukjete stadardfeile med estimert stadard feil. I tråd med otasjoe slik Løvås (og Excel og TATA og adre pakker) bruker de, lar vi å E( p ˆ) stå for de estimerte versjoe. Utsaget (*) blir i dee situasjoe dermed seede ut som 3 e det adre eksempelet etter regel 1 i forelesig uke 10.

6 6 ˆ p E( ˆ ) (1 ) tilærmet ~ N(0, 1) (1 ) som gir et tilærmet (1 )100% KI for p: z ˆ ˆ E( p) p z Med øsket kofidesgrad 95% treger vi kvatile z (se tabell E4 (D4) bak i Løvås), og kofidesitervallet blir utreget som (1 ˆ obs pobs ) (0.15)(0.85) obs (1.96) [0.13, 0.17] 900 Merkad 1. Usikkerhete ved aslaget obs 0.15 er således i dette eksemplet bereget til 0.0 (geerelt z ˆ E( ) ). Vi ser dermed at begrepet usikkerhet ved e estimerig ikke er oe absolutt størrelse. De avheger ikke bare av utvalgsstørrelse () og populasjosvariase til X (her p(1 p) som er variase for atall suksesser i et ekelt biomisk forsøk), me også av de subjektivt valgte kofidesgrade! Merkad. (For å berolige lesere). Om du til eksame blir bedt om å berege et kofidesitervall som i eksemplet, treger du aturligvis ikke, om du ikke eksplisitt blir spurt om det, å komme opp med hele begruelse ovefor. Det vil valigvis være tilstrekkelig simpelthe å velge riktig formel i forhold til de aktuelle modelle og å kue sette i tallee korrekt. Du ka aturligvis ved tilleggsspørsmål risikere å bli bedt om å gjeomføre deler av argumetasjoe ovefor for aktuelle modell-typer som omfattes av pesum.

7 7 Aktuelle modelltyper 1 E valig modelltype er uid-modelle (1) (egelsk iid) (1) La X1, X,, X være uavhegige og idetisk fordelte stokastiske (uid) variable med E( Xi) og var( Xi), der og tolkes som størrelser (som oftest ukjete) i e eller ae populasjo som data, x1, x,, x trekkes fra. 1 Aktuelle estimatorer: ˆ X og ˆ ( X i X ) som begge er forvetigsrette (jfr avsittet uder regel 6. og regel 6.3). 1 i1 La -kvatile i N(0,1) - fordelige beteges med z (slik at P( z Z z ) 1, der Z ~ N (0,1) ) La -kvatile i t ( 1) - fordelige beteges med t 1, (slik at P( t 1, T t 1, ) 1, der T ~ t( 1) ). Merk at fordeligee t( 1) og N(0,1) liger på hveradre: De er begge etoppet (klokkeformet) og symmetrisk rudt 0. Når er stor (dvs. 30 omtret), er forskjelle eglisjerbar. For små er t ( 1) karakterisert ved litt tygre haler e N (0,1) og litt flatere kurve rudt 0 (jfr. figur 5.6 side 05 (19) i Løvås). Tabell 1 Kofidesitervall for ituasjo Forutsetiger (modell) 1 3 (1) pluss forutsetige X ~ N(, ), i 1,,, Vilkårlig Kjet i (1) pluss forutsetige X ~ N(, ), i 1,,, Vilkårlig Ukjet i Bare (1) der X er vilkårlig fordelt i stor, 30 Ukjet (til ød tadardfeil var( ˆ ) Estimert stadardfeil Pivotal ˆ E( ˆ ) X ~ N(0, 1) X ~ t ( 1) X tilærmet 1 KI for X z X t 1, ~ N(0, 1) X z Kofidesgrad Eksakt 1 Eksakt 1 Tilærmet 1

8 8 4 Bare (1) der X er vilkårlig fordelt i 0) lite Ukjet Ikke pesum Merkad 3. Uttrykket pivotal beteger e stokastisk variabel som avheger av ukjete parametre i modelle - e variabel som derfor ikke er observerbar - me som har kjet sasylighetsfordelig. Pivotaler er bl.a yttige ved kostruksjo av kofidesitervaller og tester. Merkad 4. ide t( 1)-fordelige er tilærmet lik N(0, 1) for 30, vil forskjelle mellom KI-ee i situasjo og 3 være eglisjerbar år 30. Tabell. Kofidesitervall for år X1, X,, X er uavhegige og ormalfordelte med Xi ~ N(, ). (Jeg vil atakelig ikke rekke å sakke om dette på forelesigee, så dette må leses på egehåd 4.) Hvis e stokastisk variabel, V, er kji-kvadratfordelt (avsitt 5.9.1) med k frihetsgrader, skriver vi kort: V greske bokstave kji ). p-kvatile i dee fordelige kaller Løvås, p ~ k -fordelt ( er de, som er det tallet som oppfyller P( V ) p. Noe kvatiler fies i tabell D6. Merk at kji-kvadrat fordelige ikke er symmetrisk (jfr. figur 5.5 side 190 i Løvås) slik at vi treger kvatiler i begge eder av fordelige for å utlede kofidesitervallet. e merkad 6.) p Modell Estimator Pivotal X1, X,, X er uavhegige og ( 1) ~ idetisk fordelte (uid) Vilkårlig ˆ med X ~ N(, ), i 1,,, (Regel 5.) i 1 Nedre kofidesgrese ( 1) Øvre kofidesgrese Kofidesgrad ( 1) 1 Eksakt 1 4 Les avsitt (side 04 (190)) om kji-kvadratfordelige, med spesiell vekt på regel 5., og avsitt (side 45 (30)) for relevat avedelse.

9 9 Merkad 5. Har vi fuet et KI for populasjosvariase, 1 KI for (der A og B er positive stokastiske variable) slik at være gitt ved [ A, B ]. Dette skyldes at begivehetee fuksjoe y ( A B), ka vi lett fie et for stadardavviket,, også. Hvis [ AB, ] er et P( A B) 1, så vil et 1 KI for rett og slett og ( A B) er logisk ekvivalete og derfor like sasylige (side x er e voksede fuksjo av x). [Illustrer selv de siste setige med et diagram over fuksjoe y x!]. Merkad 6. Utledig av kofidesitervallet for. (Jfr. avsitt i Løvås.) ett V ( 1). I følge regel 5. er V - ~ 1 fordelt. For kvatilee 5 1 og har vi i følge defiisjoe av kvatiler og det at kji-kvadratfordelige er kotiuerlig, P( V 1 ) 1 P( V 1 ) 1 P( V 1 ) 1 (1 ) og PV ( /). Dermed blir (se figur 1): P( 1 V ) 1. Ved isettig for V får vi dermed ( 1) P1 P 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) P P 1 1 I de siste likhete har vi bare ordet om på ulikhete slik at de miste verdie kommer til vestre. Merk også at de adre likhete skyldes at år ma tar de iverse av begge sider av e ulikhet mellom positive tall, sur ulikhete rudt (for eksempel ). 5 Hvis geerelt V er k -fordelt (med k frihetsgrader), er p-kvatile i Løvås defiert som et tall, skrevet, som oppfyller P( V ) p. p p

10 10 Regeeksempel. For de 37 kviehøydee (døtree), y1, y,, y 37 vi samlet i på forelesige 5. mars 01, ble estimatet for populasjos-stadardavviket,, lik 1 ˆ obs obs ( yi y) i1. Vi øsker et 95% KI for. om modell bruker vi (1) for de bakeforliggede stokastiske variablee, Y1, Y,, Y 37, og atar i tillegg at de er ormalfordelte, Yi ~ N(, ) for i 1,,,. (Normalfordeligsatakelse ases valigvis for realistisk for høydemåliger i homogee grupper.) Kofidesgrad 0.95, gir 0.05 og Vi treger altså kvatilee og 0.05 i kjikvadratfordelige med 1 36 frihetsgrader. Tabell E6 (D6) gir ku 0.975=0.57 og for de ærmeste kji-kvadratfordelige som er 35 -fordelige. -fordelige 36 er ikke represetert i tabell E6 (D6), me vi ka bruke CHIINV-fuksjoe i Excel for 36 frihetsgrader som gir 0.975=1.34 og Ut fra merkad 5 blir 95% kofidesitervallet for bereget til ,, (0.81), (1.30) 4.4, 6.80 obs obs obs Merk at estimatet ˆ obs 5.3 ikke ligger midt i kofidesitervallet (det er altså større usikkerhet til høyre for estimatet e til vestre - som skyldes ar kji-kvadratfordelige er e skjev fordelig). Dette iebærer at begrepet stadardfeil ikke kommer i som oe yttig begrep i dette tilfellet (og blir derfor ikke brukt i forbidelse med estimerig av eller ), i motsetig til kofidesitervall basert på ormalfordelige eller t-fordelige som ovefor. Om vi øsker et 95% kofidesitervall for variase,, får vi det, på gru av merkad 5, ved rett og slett å kvadrere tallee i itervallet for : (4.4),(6.80) 17.94, 46., der jeg bare tok med to desimaler i svaret for å gjøre itervallet lettere å lese i e evetuell rapport (de siste desimalee har lite tolkigsverdi uasett).

11 0 y 11 Merkad 7. Noe gager fier vi altså ikke akkurat de fraktile i tabelle (E6 (D6)) vi er ute etter., Til eksame, for eksempel, har vi ikke tilgag til Excel. Da er det lov å bruke øyemålsmetode (i magel av iterpolasjosmetoder som ikke er pesum). I så fall ser vi på de to ærmeste fordeligee som er represetert: Frihets grader På øyemål aslår vi for eksempel 0.975=1.5 og omtret for 36 frihetsgrader, som er godt ok i e eksamesbesvarelse. Figur 1 -fordelige. Graf laget med TATA asylighetstetthete i kji-kvadratfordelige med 36 frihetsgrader x

12 1 3 Aktuelle modelltyper Tabell 3 Tilærmet kofidesitervall basert på regel 5.0 (ormaltilærmig for biomisk, hypergeometrisk og poisso fordelig) Modell Estimator ˆ X X ~ bi(, p ) X ~ hypergeom. (, M, N) ( p M N) X tadardfeil var( ˆ ) Estimert stadardfeil E( ˆ ) Betigelse for akseptabel ormaltilærmelse p(1 p) (1 ) var( X ) 5 ( p(1 p) 5 p(1 p) N N 1 (1 ) N N 1 var( X ) 5 p (1 ) Pivotal ˆ E( ˆ ) tilærmet ~ N(0,1) Kofidesitervall ( kofidesgrad tilærmet 1 ) ˆ z E( ˆ ) z p (1 ) N N 1 tilærmet ~ N(0,1) z (1 ) (1 ) N N 1 X ~ pois( t) 6 ˆ X t t ˆ var( X ) 5 ( t t 5) ˆ ˆ t tilærmet ~ N(0, 1) ˆ z ˆ t Merkad 7 Merk at de tre KI-ee i tabell 3 samt KI-ee i situasjo 1 og 3 i tabell 1 alle har de geerelle forme agitt i regel 6.8 (6.7) der E står for stadardfeil eller estimert stadardfeil dersom E( ˆ ) avheger av ukjete parametre. Utak fra regel 6.8 (6.7) er gitt i 6 Husk at otasjoe X ~ pois( m ) er valgt slik at det som står på m s plass alltid er lik EX ( ) (som også er lik var( X ) i poisso-fordelige). Hvis det for eksempel i e oppgave fremgår at X ~ pois(3.7), følger automatisk at E( X ) var( X ) 3.7. Av modelle i tabelle følger således at E( X ) var( X ) t som impliserer at ˆ er forvetigsrett side ˆ X 1 1 E( ) E E( X ) t. Variase (lik kvadrert stadardfeil) blir t t t ˆ X 1 1 var( ) var var( X) t. t t t t

13 13 tabell og situasjo uder tabell 1. Argumetasjoe fra pivotal-utsaget til kofidesitervallet er gitt i avsitt rett etter regel 6.8 (6.7). Merkad 8 I mage KI (jfr tabell 1 og 3) bruker vi altså de estimerte versjoe av stadardfeile (i tilfelle stadardfeile er ukjet) år vi utleder et KI. Det er ikke på oe måte opplagt at vi har lov til dette. Det er rimelig å teke seg at e slik fremgagsmåte ville kue ødelegge tilærmelse til N(0, 1), oe som ville gjøre kofidesgrade tvilsom. Det at vi ifølge modifisert regel 6.8 (6.7) (b) faktisk har lov til å erstatte E med e estimert versjo ute å berøre kofidesgrade vesetlig, er egetlig gaske overraskede sett i lys av e ofte betydelig usikkerhet i estimerige av. For eksempel for kviehøydee i merkad 6 ble kofidesitervallet for 4.4, 6.80 som idikerer e ikke ubetydelig usikkerhet Likevel vil etter modifisert regel 6.8 (6.7) (b) kofidesgrade for KI-et for ikke bli vesetlig berørt om vi bytter ut med ˆ i stadardfeile. Merkad 9 Det at vi har formler for usikkerhetsdele, c E( ˆ ), i et kofidesitervall for der utvalgsstørrelse igår, gjør det mulig å bestemme ødvedig størrelse () på utvalget for å oppå at usikkerhete ikke overstiger e gitt (akseptabel) grese. like beregiger ka være viktige ved plaleggige av e statistisk udersøkelse. Eksempler på slike beregiger er gitt i eksemplee 6.9, 6.11 og 6.14 i Løvås. 4 Regresjosmodelle KI-ee for ukjete parametre i de ekle stadard regresjomodelle med ormalfordelte restledd følger samme møsteret som situasjo i tabell 1, med eeste forskjell at frihetsgrader beyttes i t-fordelige istedefor 1 som i situasjo. KI-et har i alle tilfeller forme ˆ t, E( ˆ ) og kofidesgrade 1 gjelder eksakt for alle 3. Det du treger i tillegg er derfor bare formler for ˆ og E( ˆ ), som du fier i Løvås kap. 7, eller regresjo-ii otatet som sart legges ut på ettet. Notatet gir også eksempler på beregig av slike KI-er.

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 011 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 HG April 00 Oversikt over kofidesitervall i Eco 30 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler.

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 013 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. 1 ECON130: EKSAMEN 013 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller likt uasett variasjo i vaskelighetsgrad. Svaree er gitt i

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10

Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Geerell defiisjo av : Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee: θ Dersom L og U L

Detaljer

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Sannsynlighetsregning med statistikk. Kp. 5 Estimering.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Sannsynlighetsregning med statistikk. Kp. 5 Estimering. ÅMA asylighetsregig med statistikk våre 008 Kp. 5 Estimerig Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp. 5.3)

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Konfidensintervall, innledning. Kp. 5 Estimering.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Konfidensintervall, innledning. Kp. 5 Estimering. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk våre 006 Kp. 5 Estimerig Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estimerig i målemodelle (kp. 5.3)

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksame i: ECON130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamesdag: 6.05.017 Sesur kugøres: 16.06.017 Tid for eksame: kl. 14:30 17:30 Oppgavesettet er på 6 sider Tillatte helpemidler: Alle

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som

Detaljer

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

betegne begivenheten at det trekkes et billedkort i trekning j (for j=1,2,3), og komplementet til

betegne begivenheten at det trekkes et billedkort i trekning j (for j=1,2,3), og komplementet til 1 ECON1: EKSAMEN 17v SENSORVEILEDNING. Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller likt uasett variaso i vaskelighetsgrad. Svaree er gitt i

Detaljer

Kapittel 8: Estimering

Kapittel 8: Estimering Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

ECON240 Statistikk og økonometri

ECON240 Statistikk og økonometri ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Estimering 2. -Konfidensintervall

Estimering 2. -Konfidensintervall Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 0 Kp. 5 Estimerig. Målemodelle. Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2015

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2015 Eksame august 15 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave 1 a asylighetee blir og X > Z > 1 1 Z 1 Φ.3,.5 W > 5 X + Y > 5 b Forvetet samfuskostad blir

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren

Kap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren 2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av

Detaljer

Løsningsforslag Oppgave 1

Løsningsforslag Oppgave 1 Løsigsforslag Oppgave 1 a X i µ 0 σ X i µ 0 2 σ 2, i 1,..., er uavhegige og stadard N0, 1 fordelte. Da er, i 1,..., uavhegige og χ 2 -fordelte med e frihetsgrad. Da er summe χ 2 -fordelt med atall frihetsgrader

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8%

211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8% Prøve-eksame II MET 1190 Statistikk Dato 31. mai 2019 kl 1100-1400 Alle svar skal begrues. Når besvarelse evalueres, blir det lagt vekt på at framgagsmåte og resultat preseteres så klart, presist og kortfattet

Detaljer

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske

Detaljer

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013 TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >

Detaljer

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram 2 Kort reetisjo fra kaittel 4 Betiget sasylighet og trediagram Eksemel: Fra e oulasjo av idrettsfolk trekkes e erso tilfeldig og testes for doig. De iteressate hedelsee er D=ersoe er doet, A=teste er ositiv.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette

Detaljer

STK1100 våren 2017 Estimering

STK1100 våren 2017 Estimering STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 øving 3

Løsningsforslag ST2301 øving 3 Løsigsforslag ST2301 øvig 3 Kapittel 1 Exercise 11 Et utvalg på 100 idivider trekkes fra e populasjo med tilfeldig parrig. Det ble observert AA 63 idivider av geotype AA, Aa 27, og aa 10. Lag et 95 % kofidesitervall

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Mars 017 Overskt over kofdestervall Eco 130 Merk at dee overskte kke er met å leses stedefor framstllge Løvås, me som et supplemet. De eholder tabeller med formler for kofdestervaller for stuasjoer

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03). LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<.. >>.

Oppgaven består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<.. >>. ECON 130 EKSAMEN 008 VÅR - UTSATT PRØVE SENSORVEILEDNING Oppgave består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som abefales å veie like mye, Kommetarer og tallsvar er skrevet i mellom . Oppgave 1 Ved e spørreudersøkelse

Detaljer

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre. EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

Populasjon, utvalg og estimering

Populasjon, utvalg og estimering Populasjo, utvalg og estimerig (Notat til forelesig i estimerig, Kap. 6.) Populasjo og utvalg Med basalkuskap i sasylighetsregig og sasylighetsfordeliger er vi å i stad til å gå videre med statistisk iferes

Detaljer

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet

Detaljer

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2. Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 5 jui 2015 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 007 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

Noen vanlige. Indikatorfordeling: 1, dersom suksess. I mange situasjoner kan fenomenet vi ser på. 0, dersom ikke suksess

Noen vanlige. Indikatorfordeling: 1, dersom suksess. I mange situasjoner kan fenomenet vi ser på. 0, dersom ikke suksess Kapittel 5: Noe valige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighets- fordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 19 des. 2014 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2009

TMA4240 Statistikk Høst 2009 TMA440 Statistikk Høst 009 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave Øsker å fie 99% kofidesitervall for µ µ år vi atar ormalfordeliger

Detaljer

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

Løsningsforslag ST1101/ST6101 kontinuasjonseksamen 2018

Løsningsforslag ST1101/ST6101 kontinuasjonseksamen 2018 Løsigsforslag ST/ST6 kotiuasjoseksame Oppgave a Defier hedelsee R, B, B rød kule i første trekig, blå kule i adre trekig, blå kule i tredje trekig. Vi skal fie PR B B for to ulike situasjoer. Geerelt vet

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir

Detaljer

Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard EKSAMEN Emekode: SFB107111 Emeav: Metode 1, statistikk deleksame Dato: 7. mai 2018 Hjelpemidler: Godkjet kalkulator og vedlagt formelsamlig m/tabeller Eksamestid: 4 timer Faglærer: Has Kristia Bekkevard

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

5 y y! e 5 = = y=0 P (Y < 5) = P (Y 4) = 0.44,

5 y y! e 5 = = y=0 P (Y < 5) = P (Y 4) = 0.44, Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) Vi lar her Y være atall fugler som kolliderer med vidmølla i løpet av de gitte

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA4240 H2006: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z

OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2007 Oppsummerig Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. april Bjør H. Auestad Oppsummerig våre 2006 1 / 37 Oversikt

Detaljer

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2018

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2018 Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2018 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2012 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 20. august, 2012 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 57 Iformasjo Litt om

Detaljer

Lineær regresjonsanalyse (13.4)

Lineær regresjonsanalyse (13.4) 2 Kap. 13: Lieær korrelasjos- og regresjosaalyse ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Kap. 13.1-13.3: Lieær korrelasjosaalyse. Disse avsitt er ikke pesum, me de lieære

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statistikk H00 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoer 9.0-9.: Adelser 9.: Varias Mette Lagaas Foreleses oag 0.oktober, 00 Norske hoppdommere og Jae Ahoe Jae Ahoe er e fisk skihopper,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010 Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i

Detaljer

Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Bjørnar Karlsen Kivedal

Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Bjørnar Karlsen Kivedal EKSAMEN Emekode: SFB10711 Emeav: Metode 1, statistikk deleksame Dato: 10. oktober 2018 Hjelpemidler: Godkjet kalkulator og vedlagt formelsamlig m/tabeller Eksamestid: 4 timer Faglærer: Bjørar Karlse Kivedal

Detaljer

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe

Detaljer

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6 «Ucertaity of the Ucertaity» Del 4 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Iledig Dette er del fire i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». I dag skal jeg vise deg utledige av formele: σ m s,

Detaljer

EKSAMEN. Oppgavesettet består av 5 oppgaver, hvor vekten til hver oppgave er angitt i prosent i oppgaveteksten. Alle oppgavene skal besvares.

EKSAMEN. Oppgavesettet består av 5 oppgaver, hvor vekten til hver oppgave er angitt i prosent i oppgaveteksten. Alle oppgavene skal besvares. EKSAMEN Emekode: SFB12003 Eme: Metodekurs II: Samfusviteskapelig metode og avedt statistikk Dato: 2.6.2014 Eksamestid: kl. 09.00 til kl. 13.00 Hjelpemidler: Kalkulator Faglærer: Bjørar Karlse Kivedal Eksamesoppgave:

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer